第2講 機電液系統(tǒng)數(shù)學模型

1、線性化線性化：實際控制系統(tǒng)的數(shù)學模型大多是非線性的，可以引入等實際控制系統(tǒng)的數(shù)學模型大多是非線性的，可以引入等效的線性系統(tǒng)來代替非線性系統(tǒng)效的線性系統(tǒng)來代替非線性系統(tǒng)：00( )()()dFF xF xxdx0000( , )(,)()()FFF x yF xyxyxy ：處理方法：處理方法：1、忽略那些次要的非線性因素，如死區(qū)、飽和及干摩擦等；、忽略那些次要的非線性因素，如死區(qū)、飽和及干摩擦等；2、將工作點附近的小變量之間的關系用線性方程來近似代、將工作點附近的小變量之間的關系用線性方程來近似代替，稱為工作點的增量方程。替，稱為工作點的增量方程。將非線性函數(shù)展在工作點展開成將非線性函數(shù)展在工

2、作點展開成Taylor級數(shù)，略去高于一階微增量的無窮級數(shù)，略去高于一階微增量的無窮小項，從而求得近似的線性函數(shù)，這時就可以用線性控制理論對液壓系統(tǒng)小項，從而求得近似的線性函數(shù)，這時就可以用線性控制理論對液壓系統(tǒng)進行分析了。進行分析了。線性化線性化：例：液壓滑閥的流量公式為：例：液壓滑閥的流量公式為：2dvpQCx0000022212dvdvdvppQCxCxCxpp應用應用Taylor級數(shù)進行線性化級數(shù)進行線性化 ：00002212dvdvpQQCxCxppqvcQkxkp拉氏變換：把問題的求解從原拉氏變換：把問題的求解從原來的時域變換到幅頻域，把微來的時域變換到幅頻域，把微分變成代數(shù)方程，而

3、代數(shù)方程分變成代數(shù)方程，而代數(shù)方程的求解通常是比較簡單的，求的求解通常是比較簡單的，求解代數(shù)方程后，再通過拉氏反解代數(shù)方程后，再通過拉氏反變換得變換得。時域函數(shù)時域函數(shù)f(t)的拉氏變換定義的拉氏變換定義 ：線性微分方程 微分方程的時域解 拉氏變換后 方程拉氏方程 的解拉氏變換時域復頻域拉氏反變換代數(shù)運算0( )( )stF sf t edt拉氏反變換定義為拉氏反變換定義為 ：1( )( )2jstjf tF s e dsj 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：當初始條件為零時，輸出、輸入及各階層數(shù)為當初始條件為零時，輸出、輸入及各階層數(shù)為零，此時系統(tǒng)輸出量與輸入量的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函

4、數(shù)。零，此時系統(tǒng)輸出量與輸入量的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。設某一系統(tǒng)：輸入量設某一系統(tǒng)：輸入量：r(t),輸出輸出:c(t),則微分方程的一般形式則微分方程的一般形式： trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammnmmmnnmnnn1111011110.若系統(tǒng)初始條件全部為若系統(tǒng)初始條件全部為0，即：，即： 00.00,0000.00,0011nmcccrrr兩端分別進行歐拉變換有：兩端分別進行歐拉變換有： sRbsRsbsRsbsCasCsasCsammmnnn.110110故輸出量故輸出量c(t)與輸入量與輸入量s(t)之間的傳遞函數(shù)為

5、：之間的傳遞函數(shù)為： nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCG.s2211022110 方框圖：方框圖：可簡單明確地表示系統(tǒng)中各變量之間的相互關系。可簡單明確地表示系統(tǒng)中各變量之間的相互關系。 方框圖單元：方框圖單元： 圖圖2-1為方框圖的基本單元。為方框圖的基本單元。r(t)為輸入信號，它是時間的函數(shù)，為輸入信號，它是時間的函數(shù)，R(s)為其拉氏變換；為其拉氏變換；c(t)為信號輸出，為信號輸出，C(s)為其拉氏變換。用方框來表示輸入與輸為其拉氏變換。用方框來表示輸入與輸出的傳遞函數(shù)，有出的傳遞函數(shù)，有C(s) = R(s) G(s)圖圖2-2為方框圖的相加（減）點。為方框圖的

6、相加（減）點。 其含義為：其含義為： 。箭頭頂端正負號表示此信號的正負。箭頭頂端正負號表示此信號的正負。)(ss213sZZZ）（）（ 圖2-1方框圖基本單元 串聯(lián)串聯(lián)： 反饋反饋： 方框圖的聯(lián)結方框圖的聯(lián)結： )(/ )()(sRsCsG)()()(/ )()(/ )()(/ )()(2121sGsGsRsEsRsEsRsCsG)()(1)()()()(sHsGsGsRsCsGB 并聯(lián)并聯(lián)： )(2)( 1)(sGsGsG移動系統(tǒng)數(shù)學模型：移動系統(tǒng)數(shù)學模型：組成移動系統(tǒng)的基本元件是質量，阻尼彈簧。組成移動系統(tǒng)的基本元件是質量，阻尼彈簧。質量質量的數(shù)學模型為：的數(shù)學模型為： 22tdttxdm

7、F（2-8）式中：F(t)外力； x(t)位移； m 質量。阻尼器阻尼器的數(shù)學模型為：的數(shù)學模型為： dttdxdttdxCF21t（2-9）式中：C粘性阻尼系數(shù)。彈簧彈簧的數(shù)學模型為：的數(shù)學模型為： txtxKtF21（2-10）式中：K彈簧剛度。轉動系統(tǒng)數(shù)學模型：轉動系統(tǒng)數(shù)學模型： 轉動慣量、阻尼器和彈簧是轉動系統(tǒng)的三個基本元件。轉動慣量、阻尼器和彈簧是轉動系統(tǒng)的三個基本元件。 22dttdJtMM(t)外力矩； J轉動慣量； 轉角。粘滯阻尼器粘滯阻尼器的數(shù)學模型為： dttddttdCM21tC粘性轉動阻尼系數(shù)。彈簧彈簧的數(shù)學模型為： ttKtM21K扭轉彈簧剛度。轉動慣量轉動慣量：電路

8、網(wǎng)絡數(shù)學模型：電路網(wǎng)絡數(shù)學模型： 包括無源電路網(wǎng)絡和有源電路網(wǎng)絡。包括無源電路網(wǎng)絡和有源電路網(wǎng)絡。常用復阻抗的概念常用復阻抗的概念來建立電路系統(tǒng)模型，電阻來建立電路系統(tǒng)模型，電阻用用R、電感用、電感用Ls，而電容用，而電容用1/Cs表示，這樣可以用算子為表示，這樣可以用算子為s的代數(shù)方程的代數(shù)方程直接代替復雜的微分方程，得出電路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。直接代替復雜的微分方程，得出電路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 拉氏變換得：拉氏變換得：RC網(wǎng)絡的微分方程組：網(wǎng)絡的微分方程組：tCidtcu01iiRuu0)()()(0sRLsusuiCsslsu/ )()(0故故RC網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為：網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為：)(/ )

9、()(00sURCssUsUi11)()(0RCssUsUi)(/)()(0sLRsUsUi電路網(wǎng)絡數(shù)學模型：電路網(wǎng)絡數(shù)學模型： 包括無源電路網(wǎng)絡和有源電路網(wǎng)絡。包括無源電路網(wǎng)絡和有源電路網(wǎng)絡。RCL網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)為：RCL網(wǎng)絡，由克?；舴蚨杉半姽W基本知識可得：網(wǎng)絡，由克?；舴蚨杉半姽W基本知識可得： CsslUsUsRlsLslsUS00i對于以上兩式兩邊分別進行拉氏變化有：對于以上兩式兩邊分別進行拉氏變化有：dtiCuuRidtdiLui100011120RCsLCSUUi用復阻抗概念直接建立電路網(wǎng)絡數(shù)學模型：用復阻抗概念直接建立電路網(wǎng)絡數(shù)學模型：運算放大器是具有很高

10、放大倍數(shù)的運算放大器是具有很高放大倍數(shù)的電路電路單元，通常結合反饋網(wǎng)絡共單元，通常結合反饋網(wǎng)絡共同組成某種功能模塊。同組成某種功能模塊。將運算放大器的反向輸入端與輸出端連接起來，放將運算放大器的反向輸入端與輸出端連接起來，放大器電路就處在負反饋組態(tài)的狀況，此時通?？梢源笃麟娐肪吞幵谪摲答伣M態(tài)的狀況，此時通?？梢詫㈦娐泛唵蔚胤Q為將電路簡單地稱為閉環(huán)放大器閉環(huán)放大器。閉環(huán)放大器依據(jù)輸入訊號進入放大器的端點，又可閉環(huán)放大器依據(jù)輸入訊號進入放大器的端點，又可分為反相（分為反相（inverting）放大器與非反相（）放大器與非反相（non-inverting）放大器兩種。）放大器兩種。假設這個閉環(huán)放大器

11、使用理想的運算放大器，則因為其開環(huán)增益為無限大，所以運假設這個閉環(huán)放大器使用理想的運算放大器，則因為其開環(huán)增益為無限大，所以運算放大器的兩輸入端為虛接地（算放大器的兩輸入端為虛接地（virtual ground）：）：輸出與輸入電壓的關系式：輸出與輸入電壓的關系式：Vout = -(Rf / Rin) * Vin用復阻抗概念直接建立電路網(wǎng)絡數(shù)學模型：用復阻抗概念直接建立電路網(wǎng)絡數(shù)學模型：圖圖2-20為運算放大器工作原理圖，由于運算放大器為運算放大器工作原理圖，由于運算放大器的開環(huán)增益非常大，輸入阻抗也非常大，所以可把的開環(huán)增益非常大，輸入阻抗也非常大，所以可把A點看成點看成“虛地虛地”，即：，

12、即：0,02iUA同時，由（由（2-41）可見，若系統(tǒng)選擇不同的輸入電路阻抗）可見，若系統(tǒng)選擇不同的輸入電路阻抗 的反饋回路阻抗的反饋回路阻抗 ，就可，就可組成各種不同的傳遞函數(shù)。組成各種不同的傳遞函數(shù)。利用運算放大器這一特性，可以做出各種模擬電路和調節(jié)器的傳遞函數(shù)。利用運算放大器這一特性，可以做出各種模擬電路和調節(jié)器的傳遞函數(shù)。fii1 sZsZUUfi00（2-41）fZuZu001 復阻抗。和sZsZOf0ZfZ對上式兩端進行拉氏變換得運算放大器的傳遞函數(shù)運算放大器的傳遞函數(shù)：采用復阻抗概念直接建立比例采用復阻抗概念直接建立比例-積分（積分（PI）傳遞函數(shù)：）傳遞函數(shù)：比例比例-積分（積

13、分（PI）傳遞函數(shù)）傳遞函數(shù)：sCRsCRRRRsCRsZsZsUsUi1111010110101/1)()()()(令：011/RRK 111CRssKsUsUi11101)()(采用復阻抗概念直接建立比例采用復阻抗概念直接建立比例-微分（微分（PD）傳遞函數(shù)：）傳遞函數(shù)：0R控制電機數(shù)學模型：控制電機數(shù)學模型：式中：電動機轉矩 與電樞電流 成正比，設電機力矩常數(shù) ，則有： tedttdiLtiRtemaaaai 電機感應電動勢。電樞繞組電感；電樞繞組電流；點數(shù)繞組電阻；電機電樞輸入電壓；teLtitRtemaaai tM tiaTK tiKtMaT dttdKteem0 根據(jù)力的平衡原理，

14、有：dttdedttdJtM)()()(0202Je 式中： 電機及負載折算到電機軸上的轉動慣量; 電機及負載折算到電機軸上的阻尼系數(shù)。將前面式聯(lián)立，消去中間變量可得：對上式取歐式變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)：由于La 通常較小，故上式可近似簡化為：式中：若忽略阻尼系數(shù)c的影響時，則傳遞函數(shù)可進一步簡化為傳遞函數(shù)可進一步簡化為：式中： teKtKKcRtJRcLtJLiTeTaaaa&00 eTaaaaTiKKcRsJRcLJsLsKsEs20 110sTsKsKKcRJRsKKcRKsEsmmeTaaeTaTi為電動機的增益常數(shù)。數(shù)；為電動機的機電時間常eTaTmeTaamKKcRKKKKc

15、RJRT 1110sTsKsKKJRsKsEsmmeTaei。eTamemKKJRTKK;1拉氏變換后可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為) 1s( s 1)/( sc/ssmmnnci0TKKcJsKKE）（）（）（）為電動機的時間常數(shù)（nmc/KJT）為電動機的增益常數(shù)（式中：ncmKc/ KK3、直流發(fā)電機傳遞函數(shù)：、直流發(fā)電機傳遞函數(shù)：當發(fā)電機的轉軸恒速轉動時，發(fā)電機輸出電壓 與控制電流 成正比，即： （2-62）式中： 為常數(shù)。 tiKtefg0 te0 tifgK dttdiLtiRteffffi式中： 輸入電壓； 電阻； 輸入回路電流； 電感量。teifR tiffL經(jīng)過拉氏變換后，可得系統(tǒng)傳遞函

16、數(shù)： 11sTKRsLRKsEsmmfffgio式中：。ffmfgmRLTRKK;4、兩相伺服交流電動機傳遞函數(shù)：、兩相伺服交流電動機傳遞函數(shù)：兩相伺服交流電動機傳遞函數(shù)：兩相伺服交流電動機傳遞函數(shù)：根據(jù)牛頓定律，電機軸的動力學方程為：根據(jù)牛頓定律，電機軸的動力學方程為：式中：式中： 轉動慣量；轉動慣量； 阻尼系數(shù)。阻尼系數(shù)。將聯(lián)立前面式，消去中間變量，拉氏變換后可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：將聯(lián)立前面式，消去中間變量，拉氏變換后可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：式中：式中： 為電動機的增益常數(shù)；為電動機的增益常數(shù)； 為電動機的時間常數(shù)。為電動機的時間常數(shù)。 tctJtM00 Jc 110sTsKKcJssKcKsE

17、smmnncincKcKnKcJ數(shù)控伺服系統(tǒng)數(shù)控伺服系統(tǒng)由由伺服電機、機械傳動、反饋傳感器及放大器伺服電機、機械傳動、反饋傳感器及放大器等幾個典型環(huán)節(jié)組成。等幾個典型環(huán)節(jié)組成。1、直流伺服電機：、直流伺服電機：反電動勢反電動勢 與電機的角速度與電機的角速度 成正比，即：成正比，即：式中：式中： 比例系數(shù)。比例系數(shù)。 電機輸出扭矩電機輸出扭矩 與電機電流與電機電流 成正比，即：成正比，即：式中：式中： 比例系數(shù)。比例系數(shù)。 設摩擦轉矩為粘性摩擦，阻尼系數(shù)為設摩擦轉矩為粘性摩擦，阻尼系數(shù)為 ，則摩擦轉，則摩擦轉矩矩 為：為：電機轉矩平衡方程為：電機轉矩平衡方程為：式中：式中： 為負載轉矩，為負載轉矩， 為電機轉動慣量。為電機轉動慣量。負載力矩負載力矩 由電機所驅動的負載決定：由電機所驅動的負載決定：式中：式中： 齒輪傳動比；齒輪傳動比； 絲杠軸傳動力矩，可由下式計算：絲杠軸傳動力矩，可由下式計算： 絲杠等效剛度；絲杠等效剛度； 絲杠導程；絲杠導程； 工作臺位移。工作臺位移。bVdtddtdKVvbvKmTmmikTkfkdtdkTmff22dtdJTTTmfmTmJTikdtdkdtdJVdtdkiRdtdiLmmfmmmmvmmmm22TiTTLiLTLm