2019屆總復(fù)習(xí)：專題探究課1

1、專題探究課一 高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題的熱點(diǎn)題型I 熱點(diǎn)訓(xùn)媒M 訓(xùn)茄提升曲(建議用時(shí)：80 分鐘)1 已知函數(shù) f(x) = x2 In x ax, a R.(1) 當(dāng) a= 1 時(shí)，求 f(x)的最小值；(2) 若 f(x)x，求 a 的取值范圍.解(1)當(dāng) a= 1 時(shí)，f(x) = x2 In x x,當(dāng) x (0,1)時(shí)，f (x)0.由 f(x)x，得 f(x)In x (a + 1)x0.In xx a+ 1.x人In x “，令 g(x) = x，則 g (x) x當(dāng) x (0,1)時(shí)，g (x)0.故 g(x)有最小值 g(1) = 1. 故 a + 11, a0,即 a的取值范圍

2、是(一 0).2. (2019 天津卷節(jié)選)設(shè)函數(shù) f(x) = x ax b, x R,其中 a, b R.(1) 求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若 f(x)存有極值點(diǎn) X0,且 f(x1) = f(x0)，其中 X1xo，求證：X1+ 2X0= 0.32(1)解 由 f(x) = x ax b,可得 f (x) = 3x a.下面分兩種情況討論：21當(dāng) a0恒成立，所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(8,+).當(dāng) x 變化時(shí)，f (x) , f(x)的變化情況如下表:x/3aOO,333,33屆+83,+f(x)+0一0+f(x)|z極大值極小值|/所以 f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為3 坦，一

3、3 坦，單調(diào)遞增區(qū)間為8,學(xué)，3 坦,+mf，(x)=2x + 1x 1x所以 f(x)的最小值為 f(1)=0.因?yàn)?x0，所以 f(x)x等價(jià)于2x 1 + In x當(dāng) a0 時(shí)，令 f (x) = 0,解得 x=或x=-證明 因?yàn)?f(x)存有極值點(diǎn)，所以由(1)知 a0,且 XoH0.由題意，得 f (Xo) = 3Xo a= 0，即 Xo=,338a8xo+ 2axo b = wXo+ 2axo b=3Xo b = f(xo) , 且 2Xo Hx o,3由題意及知，存有唯一實(shí)數(shù)X1滿足 f(X1) = f(Xo),且 xiHxo,所以 xi= 2xo,所以 xi+ 2xo= o.1

4、3. (2019 西安質(zhì)檢)已知函數(shù) f(x) = 2x+飛直線 I : y = kx 1. X(1) 求函數(shù) f(x)的極值；(2) 試確定曲線 y = f(x)與直線 I 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.解(1)函數(shù) f(x)定義域?yàn)閤|xH0,求導(dǎo)得 f (x) = 2 2，令 f (x) = 0,解得 x = 1.X當(dāng) X 變化時(shí)，f (x)與 f(x)的變化情況如下表所示:X(8,0)(0,1)1(1,+8)f (X)+一0+f(x)極小值z(mì)所以函數(shù) y= f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(一8,0) , (1,+8)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1), 所以函數(shù) y= f(x)有極小值 f(1) = 3,無(wú)極

5、大值.1“曲線 y = f(x)與直線 I 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”等價(jià)于“方程2x+-2=kx 1 的根的個(gè)數(shù)”，X111由方程2X+P=kx 1,得 k = -3 + + 2.XX X13令 t =-,貝 y k= t3+ t + 2，其中 t R,且 tHo, x考查函數(shù) h(t) = t + t + 2,其中 t R,2因?yàn)?h (t) = 3t + 10 時(shí)，所以函數(shù) h(t)在 R 上單調(diào)遞增，且 h(t) R.而方程 k = t + t + 2 中，t R,且 tH0,所以當(dāng) k = h(0) = 2 時(shí)，方程 k = t3+ t + 2 無(wú)根;進(jìn)而 f(xo) = xo axo b=2a石

6、xob.又 f( 2xo)=當(dāng) k2時(shí)，方程 k=t3+ t + 2 有且僅有一根，故當(dāng) k = 2 時(shí)，曲線 y = f(x)與直線 I 沒有交點(diǎn)，當(dāng) k2時(shí)，曲線 y = f(x)與直線 I 有且僅有一個(gè)交點(diǎn).324.(2019 合肥模擬)已知 f(x) = xlnx , g(x) = x + ax - x + 2.1(1) 如果函數(shù) g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為一 3, 1 ,求函數(shù) g(x)的解析式；(2) 對(duì)任意 x (0 ,+) , 2f(x) g (x) + 2 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.2 212解(1)g (x) = 3x + 2ax 1，由題意 3x + 2ax 10 的

7、解集是 一 3, 1，即卩 3x + 2ax 1 = 0 的兩根分11別是3, 1.將 x = 1 或3 代入方程 3x2+ 2ax 1 = 0,得 a = 1.所以 g(x) = x3 x2 x + 2.332(2)由題意 2xln xw3x + 2ax 1 + 2 在 x (0 ,+)上恒成立，131x 1 3x+1_ _ +2= 2x 2 2x2x令 h (x) = 0,得 x= 1 或1(舍),當(dāng) 0 x0，當(dāng) x1 時(shí)，h (x) 2，所以 a 的取值范圍是2，+).5. (2019 衡水中學(xué)質(zhì)檢)已知函數(shù) f(x)(1)若 f(x)在區(qū)間(一a，2)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a 的取

8、值范圍；若 a= 0，xo0對(duì) x (a，2)恒成立，故 xw1a 對(duì) x(a，2)恒成立， 1a2，. aw1.x證明 a = 0，貝Vf(x) =x.e函數(shù) f(x)的圖像在 x= X0處的切線方程為y = g(x) = f (x)(x x) + f(x0).令 h(x) = f(x) g(x)=f(x) f (x0)(x X。) f(x0)，x R,1 x 1 X0則 h (x) = f (x) f (x0)=e exox1 x ex1 xex+x0可得 aIn2x2x，設(shè) h(x) = In x312x以，則 h (x)e設(shè) $ (x) = (1 x)ex0 (1 X0)ex， x R

9、則$(x)=exo(1X0)ex，TX01， $(x)0，r (x)在 R 上單調(diào)遞減，而o(X0)= 0,當(dāng) X0，當(dāng) XXo時(shí)，0(x)0,當(dāng) X0，當(dāng)XX0時(shí)，h(X)0, h(x)在區(qū)間(一g,X0)上為增函數(shù)，在區(qū)間(X0,+)上為減函數(shù)， x R 時(shí)，h(x) 0,則當(dāng) x(g,1)時(shí)，f(x)0.所以 f(x)在(g，1)上單調(diào)遞減，在(1，+g)上單調(diào)遞增.(ii)設(shè) a-，則 ln(2a)0;當(dāng) x(ln(2a)，1)時(shí)，f (x)0.所以 f(x)在(g，ln( 2a)，(1，+g)上單調(diào)遞增，在(ln( 2a)，1)上單調(diào)遞減.e3右 a1 ，故當(dāng) x(g，1)U(ln(2a)，+g)時(shí)，f(x)0;當(dāng) x (1，ln( 2a)時(shí)，f (x)0，則由(1)知，f(x)在(g，1)上單調(diào)遞減，在(1，+g)上單調(diào)遞增.又 f(1)=e，aa223f(2) = a，取 b 滿足 b0 且 b 2(b 2) + a(b 1) = a b b 0，所以 f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).(i)設(shè) a = 0，則 f(x) = (x 2)ex，所以 f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).e(iii)