(完整版)切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理37508

1、文檔切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關的比例線段以及與圓有關的比例線段學習目標學習目標1.1. 切線長概念切線長概念切線長是在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長度，“切線長”是切線上一條線段的長，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長度。（PA 長）2.2. 切線長定理切線長定理對于切線長定理，應明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個切點的連線為直徑；（3）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，連結(jié)兩個切點可得到一個等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線

2、，切線的夾角與過切點的兩個半徑的夾角互補；（5）圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引的兩條切線所夾的角。A6遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長定理。7 7與圓有關的比例線段與圓有關的比例線段定理圖形相交弦定理相交弦定理已知結(jié)論00 中，AB、CD 為弦，交 PAPB=PCPD.于 P.證法連結(jié) AC、BD，證：AAPCDPB.00 中，AB 為直徑，CD 丄 PC2=PAPB.用相交弦定理.AB 于 P.（特殊情況）（特殊情況）直線 AB 切 00 于 P,PC、PD 為弦，圖中幾個弦切角呢？（四個）4.4.弦切角定理：弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角

3、。5.5.弄清和圓有關的角：弄清和圓有關的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。相交弦定相交弦定理的推論理的推論文檔文檔解：解：由切線長定理知：AF=AB=1,EF=CE 設 CE 為 x,在 RtAADE 中，由勾股定理(1+工二(1-x)3+1x=lDE=-=-AE=+-=-4444 55PT2=PAPB連結(jié) TA、TB，證:PTB“PATPB、PD 為 OO 的兩條割線,PAPB=PCPD 交OO 于 A、C過 P 作 PT 切 OO 于 T,用兩次切割線定理（記憶的方法方法（記憶的方法方法）圓幕定理圓幕定理O0 中，割線 PB 交 O0 于 PCPD=r2-0P2 延長 PO 交

4、 OO 于 M,延A,CD 為弦 PAPB=OP2r2 長 OP交 OO 于 N,用相交r 為 OO 的半徑弦定理證；過 P 作切線用切割線定理勾股定理證8 8圓冪定理圓冪定理：過一定點 P 向 OO 作任一直線，交 OO 于兩點，則自定點 P 到兩交點的兩條線段之積為常數(shù)|戸一|（R 為圓半徑），因為OP2-R2叫做點對于 OO 的幕，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓幕定理?！镜湫屠}】【典型例題】切割線定切割線定理理OO 中，PT 切 00 于 T,割線 PB 交 O0 于 An文檔:.DExAE=-.-=3：544文檔解：解：由相交弦定理，得AEBE=CEDETAE=6cm,BE=2cm,CD=7

5、cm,DB=CD-CE=1-CE,心 2 二竺（7-作）即+=Q.CE=3cm 或 CE=4cm。故應填 3 或 4。點撥點撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。即嚴一口口口口例例3 3已知 PA 是圓的切線，PCB 是圓的割線，則解：解：TZPuNPZPAC=ZB，.PACsAPBA,AB_PB，AB2_PB2FEPC5nnAB2：ACA=PB=PC即，故應填 PC。點撥點撥：利用相似得出比例關系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。CD=7cm,那么 CE=又 TPA 是圓的切線,PA1mFCPCB 是圓的割線，由切割線定理，得PB文檔/.PB=4PA又 TPC=12cm_pJtD

6、D由切割線定理，得.12a=FA*APA.M 二充充.PA=6(cm).PB=4X6=24(cm).AB=246=18(cm)設圓心 0 到 AB 距離為 dcm,由勾股定理，得/二 JicP-A 二 7W 陀)故應填倔。例例 5 5. .如圖 4,AB 為 00 的直徑，過 B 點作 00 的切線 BC,Cff2-CD*CBD,(1)求證：；(2)若 AB=BC=2 厘米，求 CE、CD 的長。點悟：點悟：要證證明：證明：連結(jié) BE的切線ZA=CBECM二仙二 Z 百二ZOEAZQEA=ZDSC0C 交 00 于點 E,AE 的延長線交 BC 于點，即要證厶 CEDsCBE。圖4ZU 公煒角

7、文檔證明：證明：連結(jié) BD,/AE 切 00 于 A,/.ZEAD=ZABD.AE 丄 AB,又 ABCD,.AE 丄 CD/AB 為 00 的直徑.ZADB=90.ZE=ZADB=90.ADEsBADADA=AB*DE/CDABnnAD=BCAD=BC,.DE文檔例例 7.7.如圖 6,PA、PC 切 00 于 A、C,PDB 為割線。求證：ADBC=CDAB圖 6點悟：點悟：由結(jié)論 ADBC=CDAB 得藥云，顯然要證PADPBA 和厶 PCDPBC 證明證明: :VPA 切 00于 A,/.ZPAD=ZPBA又 ZAPD=ZBPA,.PADsAPBA出_一上二也和同理可證厶 PCDsPB

8、C二，”TPA、PC 分別切 00 于 A、C/.PA=PC土_匸：二 4 八./.ADBC=DCAB點悟：點悟：由要證結(jié)論易想到應證 0E 是厶 ABC 的中位線。而 0A=0B，只須證 AE=CE。證明：證明：連結(jié)0D。/AC 丄 AB,AB 為直徑/AC 為 00 的切線，又 DE 切 00 于 D./EA=ED,0D 丄 DET0B=0D,/.ZB=Z0DB在 RtAABC 中，ZC=90ZB/Z0DE=90. .GDC=GDC=SB/.ZC=ZEDC./ED=EC./AE=EC./0E 是厶 ABC 的中位線文檔./BC=20E文檔o例 9.如圖 8,在正方形 ABCD 中，AB=1

9、,月口是以點 B 為圓心，AB 長為半徑的圓的一段弧。點 E 是邊 AD 上的任意一點（點 E 與點 A、D 不重合），過 E 作川 D 所在圓的切線，交邊DC于點 F,G 為切點。當 ZDEF=45時，求證點 G 為線段 EF 的中點；解：解：由 ZDEF=45，得DFE=50-/DEF二455/.ZDFE=ZDEF/.DE=DF又 TAD=DC/.AE=FC因為 AB 是圓 B 的半徑，AD 丄 AB,所以 AD 切圓 B 于點 A；同理，CD 切圓 B 于點 C。又因為 EF切圓 B 于點 G,所以 AE=EG,FC=FG。因此 EG=FG，即點 G 為線段 EF 的中點?！灸M試題】【

10、模擬試題】（答題時間：40 分鐘）一、選擇題1已知：PA、PB 切 00 于點 A、B,連結(jié) AB,若 AB=8，弦 AB 的弦心距 3,則 PA=（）20252.下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（）A.平行四邊形 B.矩形A.C.5D.8圖文檔4圓內(nèi)兩弦相交，一弦長 8cm 且被交點平分，另一弦被交點分為 1：4,則另一弦長為（）A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm5在ABC 中，D 是 BC 邊上的點，聊，BD=3cm,DC=4cm，如果 E 是 AD 的延長線與ABC 的外接圓的交點，那么 DE 長等于（）叨B喘CcmD6.PT 切 00 于 T， CT 為直徑， D 為 0C 上一點

11、， 直線 PD 交 00 于 B 和 A， B 在線段 PD 上， 若 CD=2，AD=3，BD=4，則 PB 等于（二、填空題7.AB、CD 是 00 切線，ABCD，EF 是 00 的切線，它和 AB、CD 分別交于 E、F，則 ZE0F=度。8已知：00 和不在 00 上的一點 P，過 P 的直線交 00 于 A、B 兩點，若 PAPB=24,0P=5,則 00 的半徑長為。9若 PA 為 00 的切線，A 為切點，PBC 割線交 00 于 B、C，若 BC=20，刊 i餡，則 PC 的長為。10.正厶 ABC 內(nèi)接于 00,M、N 分別為 AB、AC 中點，延長 MN 交 00 于點

12、D，連結(jié) BD 交 AC 于 P，PC_則啓。三、解答題11如圖 2,ABC 中，AC=2cm，周長為 8cm,F、K、N 是厶 ABC 與內(nèi)切圓的切點，DE 切 00 于點 M,且 DEAC，求 DE 的長。圖2A.20B. 10C.5文檔AE0圖AB0NC圖412如圖ZDCPo13如圖BM=MN=NC,已知 P 為 00 的直徑 AB 延長線上一點，PC 切 00 于 C,CD 丄 AB 于 D,求證：CB 平分已知 AD 為 00 的直徑，AB 是 00 的切線，過 B 的割線 BMN 交 AD 的延長線于 C,且若，求 00 的半徑。文檔二、填空題三、解答題：11由切線長定理得BDE 周長為 4,由厶 BDEsBAC，得 DE=1cm12證明：連結(jié) AC,則 AC 丄 CB/CD 丄 AB,.AACBSACDB,.ZA=Z1PC 為 00 的切線,AZA=Z2,又 Z1=Z2,/.BC 平分 ZDCP13.設 BM=MN=NC=xcm又呂二后胚，占BA=24