用射影面積法求二面角在高考中的妙用

1、，1-，BCAD,SBCAD.2)ADcosAD用射影面積法求二面角在高考中的妙用廣西南寧外國語學(xué)校隆光誠（郵政編碼530007）立體幾何中的二面角是一個非常重要的數(shù)學(xué)概念，求二面角的大小更是歷年高考的熱點問題，在每年全國各省市的高考試題的大題中幾乎都出現(xiàn).求二面角的方法很多，但是，對無棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角時，如何求這個二面角的大小呢？用射影面積法是解決這類問題的捷徑，本文以近年高考題為例說明這個方法在解題中的妙用，以饗讀者！7E理已知平面內(nèi)一個多邊形的面積為S,它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為S,平面和平面S所成的二面角的大小為，則cosS.S本文僅對多邊形為三角形為例證明，其

2、它情形請讀者自證證明：如圖，平面內(nèi)的ABC在平面的射影為4AA于A,D,.AD在內(nèi)的射影為AD.又ADBC,BC,ADBC（二垂線定理的逆定理）.'ADA為面角一BC一的平面角.、一一.'一一.一一一,設(shè)4ABC和ABC的面積分別為S和S,ADA1八BCADo,2S1S-BCADS2典題妙解下面以近年高考題為例說明上述結(jié)論在解題中的妙用例1如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E是AA1棱的中點，則A1面BECi與面AC所成的二面角的大小為（A.451B.arctan-2c2.2C.arctan一4D.2arccos3ECBD1解：連結(jié)AC,則EBC1在面AC內(nèi)的射影是面

3、積分力1J為S和S,所成的二面角為設(shè)正方體的棱長為2,則AB=BC=2,BEABC,設(shè)它們的5,BC122EC1(22)2123.cosEBC1222BE2BC1EC12BEBC1110，EBC11cos2EBC1310.A1Ci1S-BE2BC1sinEBC13,S1SABBC2,cos2S2arccos.3故答案選D.例2（04北京）如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形（1）求證:BCXSC;（2）求面ASD與面BSC所成的二面角的大?。籇iEC（3）設(shè)棱SA的中點為M,求異面直線（1）證明:SDXWAC,SC在面AC內(nèi)的射影是SD.又四邊形ABCD是正方形，BC面AC,A

4、DM與SB所成的角的大小.ABBCXSC（三垂線定理）(2)解：SD±mAC,CD面AC,SDCD.又四邊形ABCD是正方形，ADCD.而ADSDD,CD，面ASD.又AB/CD,BA，面ASD.SBC在面SAD的射影是SAD,SCB90,BC1,SB3,SC設(shè)它們的面積分別為BC21.2，1SBCSC,SAD222SD,2,SD.2.故2所以面ASD與面BSC所成的二面角的大小為4(3)解：取AB的中點E,連結(jié)DE、ME.AMMS,AEEB,ME/SB.異面直線DM與SB所成的角就是DME,設(shè)DMES和S,所成的二面角為SC2CDS1.CABE4M1_3MESB,DE22AD2AE

5、2SAAD2SD2、2,MD3A,52，、.2.2_2_22MDMEDEcos2MDME0.所以異面直線DM與SB所成的角的大小為解法二：BA面SAD,SB在面SAD內(nèi)的射影是SA.又AD而DMSD1,AMMS,DMSA.面SAD,DMSB(三垂線定理)所以異面直線DM與SB所成的角的大小為.例3(04浙江)如圖，已知正方形ABCD和矩形互相垂直，AB=.2,AF=1,M是線段EF(2)求證：AM/平面BDE;求證：面AEL平面BDF;求二面角A-DF-B的大小.證明:(1)設(shè)ACBDO,則AO1-AC,連結(jié)OE.2ACEF所在的平面的中點.四邊形ACEF是矩形，EM1EF2EM四邊形又EOA

6、O,EM/AO.AOEM是平行四邊形,平面BDE,從而AM/EO.COAAM/平面BDE.(2)四邊形ABCD是正方形,BDAC.又正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,ECAC,面BD面AE=ACEC面BD,從而ECBD.而ACECC,BD面AE.BD平面BDF,面AE，平面BDF.(3)解：BAAD,BAAF,ADAFA,BA面ADF.一一'一一一一,.BDF在面ADF上的射影是4ADF,設(shè)它們的面積分別為S和S,所成的二面角為AB2,AF=1,AD匿,BD2,FBFD<3.連結(jié)FO,則FOBD,FOvFB2BO2<2.1'12SBDFO.2,SADA

7、F,cos2223所以二面角ADFB的大小為.例4（08天津）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面形，已知AB=3,AD=2,PA=2,PD22,PAB60(1)證明：AD，平面PAB;(2)求異面直線PC與AD所成的角的大??；(3)求二面角P-BD-A的大小.(1)證明：ADPA2,PD2.2,_2_22ADPAPD.PAD90,即DAPA.又四邊形ABCD是正方形，DAAB.而ABPAA,AB、PA面PAB,AD，平面PAB.PC與BC所成的角，即2.2,PAB60,PCB.AD/BC,異面直線PC與AD所成的角就是在4PAB中，AB=3,PA=2,PDPB2PA2AB22PAAB由(1)得

8、，AD，平面PAB.CBPB,即CBP90.又BC=AD=2,7,PB7.tanPCBPBBC.7.PCB2arctan義2所以異面直線7PC與AD所成的角的大小為arctan.2（3）彳PE由（1）知，AB于E,連結(jié)DE.ADPE,而ABADA,PE面ABCD.PBD在面ABCD內(nèi)的射影是AEBD,設(shè)它們的面積分別為S和S',所成的二面角為BD.AB2cosBPDAD213,AE222PB2PD2BD2PAcos601,BEABAE2.1PB2ScosS2PBPD1,sin274BPD.1cos2BPD,552.14PDsin55_'1BPD,SBE224arccos.55A

9、D2.4所以面角PBDA的大小為arccos.55點評：例1和例2中的二面角就是無棱二面角，例3和例4中的二面角雖然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定義法解決這兩類問題就顯得非常繁雜，并且不知如何下手，而另辟溪徑，用射影面積法則是化繁為簡，曲徑通幽！金指點睛1 .(05全國出)如圖，在四錐VABCD中，底面ABCD是正方形,底面ABCD.(1)證明：AB，平面VAD;(2)求面VAD與面VDB所成二面角的大小.2 .(06全國H)如圖，在直三棱柱ABCAiBiCi中，AB=BC,D、(1)證明：ED為異面直線BB1和AC1的公垂線；(2)設(shè)AAACJ2AB,求二面角A1ADC1的

10、大小.3 .(07陜西)如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD/BC,ABC90,PAL平面ABCD,PA=4,AD=2,AB23,BC=6.(1)求證：BD,平面PAC;(2)求二面角A-PC-D的大小.PEC4.(09湖北)如圖，四棱柱S-ABCD的底面是正方形，上的點，且DEa(0<1).(1)求證：對任意0,1,都有AC±BE;(2)若二面角CAED的大小為60,求的值.金指點睛的參考答案1.(05全國出)如圖，在四錐VABCD中，底面ABCD是正方形,底面ABCD.(1)證明：AB，平面VAD;(2)求面VAD與面VDB(1)證明：取AD的中點巳VAVD,

11、AEED,所成二面角的大小.連結(jié)VE又平面VAD，底面ABCD,VE.AD.VE平面VAD,BSDL平面VE，底面ABCD.VA在底面ABCD的射影是AD.AB±AD,AB底面ABCD,AB±VA(三垂線定理)而VAADA,VA、AD平面VAD,故AB，平面VAD.(2)由(1)可知，AB，平面VAD,VBD在平面VAD的射影是4VAD,設(shè)它們的面積分別為S和S,所成的二面角為設(shè)正方形的邊長為1,則BD,2,VB.AB2VA2,2.222BD2BV2VD2cosVBD2BDcos1BD2SSBVsinVBD所以面.217BV4S'4.21arccos73,sinVB

12、D.141VAVDsin602VAD與面VDB所成二面角的大小為.21arccos7cos2VBD.7ACi的中點.2.(06全國H)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC,D、E分別為BB1、(1)證明：ED為異面直線BB1和AC1的公垂線；(2)設(shè)AA1AC42AB,求二面角A1(1)證明：取AC的中點F,連結(jié)EF、BF.ADCi的大小.AFFC,AEEC1,EF/CC1,EFiCC1.在直三棱柱ABCAB1cl中，CC1面ABC,CC1BB1,CC1/BB1,DBEF/DB,EF=DB,EF面ABC.四邊形BDEF是矩形.從而ED在RtAABD和RtAC1B1D中，ABC1B1

13、,ABDC1B1DRtAABDRtC1B1D.ADC1D.而AEEC1,BB1.90,BDBiD.EDAC1所以ED為異面直線BB/口AC1的公垂線.(2)解：連結(jié)AB1.AA1AC2AB,ABBC,AC2AB2BC2.PABCD中，AD/BC,ABC90,PA，平面ABCD,C1B1ACBA90，即C1B1面ABB1AlAC1在面ABB1A1內(nèi)的射影是AB1.AC1D在面ABB1Al內(nèi)的射影是AB1D.設(shè)它們的面積分別為設(shè)AB=BC=1,f-則ACCC12,AC12,B1D-,ADAB2BD22_12、1，2S,SAC1DE,SDB1AB.cos2224S所以二面角AADC1的大小為一.33

14、.(07陜西)如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PA=4,AD=2,AB2v3,BC=6.(1)求證：BD,平面PAC;(2)求二面角A-PC-D的大小.(1)證明：在RtAABD和RtAABC中,ABCBAD90AD=2,AB2.3,BC=6.tanABDABDACBADABACBDBC、.3,tanACBPAL平面ABCD330.而90,即,BDABDBDABBCDBCAC.PAACA,PA、AC平面ABCD,平面PAC,故BD，平面PAC.(2)解：連結(jié)PE.由(1)知，BD,平面PAC.PDC在平面PAC內(nèi)的射影是PAL平面ABCD,PB.PA2AB2PD.PA2AD2BCAB,2/7,從

15、而25,DC,3PABD.PEC,設(shè)它們的面積分別為BCPB(三垂線定理)PC.PB2BC2(BCAD)BECcosCPD90,ACB30,ECBC222PC2PD2CD272PCPD4,511PC2PDsincos3.93314.(09湖北)如圖，四棱柱上的點，且DEa(1)求證：對任意ADECS和S,所成的二面角為8.22.7.cos303.3.sinCPD,1cos2CPDCPD231,S'-ECPA6.3.23.93arccos31CADE31453B93,所以一面角APCD的大小arccos31SABCD的底面是正方形，SDL平面ABCD,SD=AD=(0<1).0,1,都有AC±BE;(2)若二面角CAED的大小為60,求的值.(1)證明：連結(jié)BD.四邊形ABCD是正方形，ACBD.又SDL平面ABCD,SD=a，點E是SD上的點，且DEa(0<1),技點E在線段SD上，且不與點D重合，因而BE在平面ABCD內(nèi)的射影是Bp