數學研究性學習數學發(fā)展史

1、數學發(fā)展史數學發(fā)展史當對數的認識變得越來越明確時，人們感到有必要以某種方式來表達當對數的認識變得越來越明確時，人們感到有必要以某種方式來表達事物的這一屬性，于是導致了記數。事物的這一屬性，于是導致了記數。 1. 手指計數手指計數：利用兩只手的十個手指。亞里士多德指出：十進制的廣泛采用， 只不過是我們絕大多數人生來具有10個手指這一事實的結果。 2. 石子記數石子記數：在地上擺小石子，但記數的石子堆很難長久保存。 3. 結繩記數結繩記數：在一根繩子上打結來表示事物的多少。比如今天獵到五頭羊，就 以在繩子上打五個結來表示；約定三天后再見面，就在繩子上打三個結，過一天解一個結。4. 刻痕記數刻痕記數

2、：1937年在維斯托尼斯（摩拉維亞）發(fā)現一根40萬年前的幼狼前 肢骨，7英寸長，上面有55道很深的刻痕。這是已發(fā)現的用刻痕方法計數的最早資料。直到今天，在歐、亞、非大陸的某些地方，仍然有一些牧人用在棒上刻痕的方法來計算他們的牲畜。 古中國的數學古中國的數學九章算術九章算術第一章第一章“方田方田”： 主要講述了平面幾何圖形面積的計算方法。包括長方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環(huán)這八種圖形面積的計算方法。另外還系統(tǒng)地講述了分數的四則運算法則，以及求分子分母最大公約數等方法。 第二章第二章“粟米粟米”：谷物糧食的按比例折換；提出比例算法，稱為今有術；衰分章提出比例分配法則，

3、稱為衰分術； 第三章第三章“衰分衰分”：比例分配問題；介紹了開平方、開立方的方法，其程序與現今程序基本一致。這是世界上最早的多位數和分數開方法則。它奠定了中國在高次方程數值解法方面長期領先世界的基礎。 第四章第四章“少廣少廣”：已知面積、體積，反求其一邊長和徑長等； 第五章第五章“商功商功”：土石工程、體積計算；除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法； 第六章第六章“均輸均輸”：合理攤派賦稅；用衰分術解決賦役的合理負擔問題。今有術、衰分術及其應用方法，構成了包括今天正、反比例、比例分配、復比例、連鎖比例在內的整套比例理論。西方直到15世紀末以后才形成類似的全套方法。 第七章第七章“盈不足

4、盈不足”：即雙設法問題；提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題，以及若干可以通過兩次假設化為盈不足問題的一般問題的解法。這也是處于世界領先地位的成果，傳到西方后，影響極大。 第八章第八章“方程方程”：一次方程組問題；采用分離系數的方法表示線性方程組， 相當于現在的矩陣；解線性方程組時使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方，直到17世紀才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。這一章還引進和使用了負數，并提出了正負術正負數的加減法則，與現今代數中法則完全相同；解線性方程組時實際還施行了正負數的乘除法。這是世界數學史上一項重大的成

5、就，第一次突破了正數的范圍，擴展了數系。外國則到7世紀印度的婆羅摩及多才認識負數。 第九章第九章“勾股勾股”：利用勾股定理求解的各種問題。其中的絕大多數內容是與當時的社會生活密切相關的。提出了勾股數問題的通解公式：若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦，則，mn。在西方，畢達哥拉斯、歐幾里得等僅得到了這個公式的幾種特殊情況，直到3世紀的丟番圖才取得相近的結果，這已比九章算術晚約3個世紀了。勾股章還有些內容，在西方卻還是近代的事。例如勾股章最后一題給出的一組公式，在國外到19世紀末才由美國的數論學家迪克森得出。芝諾的四個悖論：芝諾的四個悖論：第一個悖論第一個悖論是運動不存在，理由是運動物體到達目的

6、地之前必須到大半路，而到大半路之前又必須到大半路的半路.如此下去，它必須通過無限多個點，這在有限長時間之內是無法辦到的。第二個悖論第二個悖論是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜，因為烏龜在他前面時，它必須首先到達烏龜的起點，然后用第一個悖論的邏輯，烏龜老在他的前面。這兩個悖論是反對空間、時間無限可分的觀點；而第三、第四悖論是反對空間、時間又不可分的間隔組成。第三個悖論第三個悖論是說：“飛矢不動”，因為在某一時間間隔，飛矢總是在某個空間間隔中確定的位置上，因而是靜止的。第四個悖論第四個悖論是游行隊伍悖論，內容大體相似。這說明希臘人已經看到“無窮小”與“很小很小”的矛盾。歐幾里得歐幾里得幾何原本

7、幾何原本五條公理五條公理 1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等； 3.等量減等量，其差相等； 4.彼此能重合的物體是全等的； 5.整體大于部分。 五條公設五條公設 1.過兩點能作且只能作一直線； 2.線段(有限直線)可以無限地延長； 3.以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓； 4.凡是直角都相等； 5.同平面內一條直線和另外兩條直線相 交，若在直線同側的兩個內角之和小于180，則這兩條直線經無限延長后在這一側一定相交。 阿基米德阿基米德砂粒計算砂粒計算是專講計算方法和計算理論的一本著作。阿基米德要計算充滿宇宙大球體內的砂粒數量，他運用了很奇特的想象，建立了新的量級計數法，確定

8、了新單位，提出了表示任何大數量的模式，這與對數運算是密切相關的。圓的度量圓的度量利用圓的外切與內接邊形，求得圓周率為： 這是數學史上最早的，明確指出誤差限度的值。他還證明了圓面積等于以圓周長為底、半徑為高的正三角形的面積；使用的是窮舉法。 球與圓柱球與圓柱熟練地運用窮竭法證明了球的表面積等于球大圓面積的四倍；球的體積是一個圓錐體積的四倍，這個圓錐的底等于球的大圓，高等于球的半徑。阿基米德還指出，如果等邊圓柱中有一個內切球，則圓柱的全面積和它的體積，分別為球表面積和體積的1.5倍。拋物線求積法拋物線求積法研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這樣的結論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的

9、弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四?！彼€用力學權重方法再次驗證這個結論，使數學與力學成功地結合起來。 論螺線論螺線是阿基米德對數學的出色貢獻。他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法。在同一著作中，阿基米德還導出幾何級數和算術級數求和的幾何方法。 平面的平衡平面的平衡是關于力學的最早的科學論著，講的是確定平面圖形和立體圖形的重心問題。 浮體浮體，是流體靜力學的第一部專著，阿基米德把數學推理成功地運用于分析浮體的平衡上，并用數學公式表示浮體平衡的規(guī)律。 論錐型體與球型體論錐型體與球型體講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉

10、而成的球型體的體積。 阿基米德的理論為幾何和微積分的開創(chuàng)阿基米德的理論為幾何和微積分的開創(chuàng)寫下了不可磨滅的一章寫下了不可磨滅的一章后來，隨著托勒密、尼可馬修斯、丟番圖的突出貢獻，使得初等數學的發(fā)后來，隨著托勒密、尼可馬修斯、丟番圖的突出貢獻，使得初等數學的發(fā)展趨向完善，我們中學階段學習的也就是他們的成果。展趨向完善，我們中學階段學習的也就是他們的成果。自此以后，數學終于成為了一門獨立的學科，并且分為了幾何與代數兩大自此以后，數學終于成為了一門獨立的學科，并且分為了幾何與代數兩大分支，為后人鋪下了一條光明大道。分支，為后人鋪下了一條光明大道。托勒密丟番圖阿基米德 他引入了變量的概念，于是運動進入

11、了數學，微積分的產生也就顯得非常自然。并且現代的他引入了變量的概念，于是運動進入了數學，微積分的產生也就顯得非常自然。并且現代的a,b,ca,b,c與與x,y,zx,y,z等符號也是笛卡爾首先使用。等符號也是笛卡爾首先使用。在笛卡兒時代，代數還是一個比較新的學科，幾何學的思維還在數學家的頭腦中占有統(tǒng)治地位。笛卡爾的思想核心：把幾何學的問題歸結成代數形式的問題，用代數學的方法進行計算、證明，從而達到最終解決幾何問題的目的。依照這種思想他創(chuàng)立了我們現在熟知的“解析幾何學”。1637年，笛卡爾發(fā)表了年，笛卡爾發(fā)表了幾何學幾何學，創(chuàng)立了平面直角坐標系，用平面上的一點到兩條，創(chuàng)立了平面直角坐標系，用平面

12、上的一點到兩條固定直線的距離來確定點的位置，用來描述空間上的點。固定直線的距離來確定點的位置，用來描述空間上的點。歐拉歐拉笛卡爾公式：笛卡爾公式： 在任意凸多面體中，設V為頂點數，E為棱數，F是面數，則V-E+F=2。該公式最早被笛卡爾證明。笛卡爾葉形線：笛卡爾葉形線： 首先由笛卡爾在1638年提出，他從葉形線的隱式方程為極坐標中方程為根據，從自明的直觀公理出發(fā)，運用數學的邏輯演繹，推出結論。這種方法和培根所提倡的實驗歸納法結合起來，經過惠更斯和牛頓等人的綜合運用，成為物理學特別是理論物理的重要方法。 到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來，大約有

13、四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。 十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻。 十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了

14、微積分的創(chuàng)立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題(積分學的中心問題)。 牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現在數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的。艾薩克艾薩克牛頓牛頓 牛頓的一項被廣泛認可的成就是廣義二項式定理，它適用于任何冪。他發(fā)現了牛頓恒等式、牛頓法，分類了立方面曲線（兩變量的三次多項式），為有限差理論作出了重大貢獻，并首次使用了分式指數和坐標幾何學得到丟番圖方程的解。他

15、用對數趨近了調和級數的部分和（這是歐拉求和公式的一個先驅），并首次有把握地使用冪級數和反轉（revert）冪級數。他還發(fā)現了的一個新公式。戈特弗里德戈特弗里德威廉威廉萊布尼茨萊布尼茨萊布尼茨曾討論過負數和復數的性質，得出復數的對數并不存在，共扼復數的和是實數的結論。在后來的研究中，萊布尼茨證明了自己結論是正確的。他還對線性方程組進行研究，對消元法從理論上進行了探討，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理論，此外，萊布尼茨還創(chuàng)立了符號邏輯學的基本概念。萊昂哈德萊昂哈德歐拉歐拉他對微分方程理論作出了重要貢獻。他還是歐拉近似法的創(chuàng)始人，他對微分方程理論作出了重要貢獻。他還是歐拉近似法的創(chuàng)始人，

16、這些計算法被用于計算力學中。此中最有名的被稱為歐拉方法。這些計算法被用于計算力學中。此中最有名的被稱為歐拉方法。在數論里他引入了歐拉函數。在數論里他引入了歐拉函數。自然數的歐拉函數被定義為小于并且與互質的自然數的個數。例自然數的歐拉函數被定義為小于并且與互質的自然數的個數。例如，因為有四個自然數如，因為有四個自然數1，3，5和和7與與8互質?；ベ|。在分析領域，是歐拉綜合了萊布尼茲的微分與牛頓的流數。在分析領域，是歐拉綜合了萊布尼茲的微分與牛頓的流數。他在他在1735年由于解決了長期懸而未決的貝塞爾問題而獲得名聲：年由于解決了長期懸而未決的貝塞爾問題而獲得名聲：其中是黎曼函數。其中是黎曼函數。歐

17、拉將虛數的冪定義為如下公式歐拉將虛數的冪定義為如下公式:這就是歐拉公式，它成為指數函數這就是歐拉公式，它成為指數函數的中心。的中心。在初等分析中，從本質上來說，要么是指數函數的變種，要么是多在初等分析中，從本質上來說，要么是指數函數的變種，要么是多項式，兩者必居其一。被理查德項式，兩者必居其一。被理查德費曼稱為費曼稱為“最卓越的數學公最卓越的數學公”的則是歐的則是歐拉公式的一個簡單推論（通常被稱為歐拉恒等式）：拉公式的一個簡單推論（通常被稱為歐拉恒等式）：在在1735年，他定義了微分方程中有用的歐拉年，他定義了微分方程中有用的歐拉-馬歇羅尼常數：馬歇羅尼常數：他是歐拉他是歐拉-馬歇羅尼公式的發(fā)

18、現者之一，這一公式在計算難于計算的馬歇羅尼公式的發(fā)現者之一，這一公式在計算難于計算的積分、求和與級數的時候極為有效。積分、求和與級數的時候極為有效。十九世紀是數學發(fā)展史上一個偉大轉折的世紀，它突出地表現在兩個方面：十九世紀是數學發(fā)展史上一個偉大轉折的世紀，它突出地表現在兩個方面：一方面是近代數學的主題部分發(fā)展成熟了，經過一個多世紀數學家們的努力，它一方面是近代數學的主題部分發(fā)展成熟了，經過一個多世紀數學家們的努力，它的三個組成部分取得了極為重要的成就：微積分發(fā)展成為數學分析，方程論發(fā)展成為的三個組成部分取得了極為重要的成就：微積分發(fā)展成為數學分析，方程論發(fā)展成為高等代數，解析幾何發(fā)展成為高等幾

19、何，這就為近代數學向現代數學轉變準備了充分高等代數，解析幾何發(fā)展成為高等幾何，這就為近代數學向現代數學轉變準備了充分的條件。的條件。令一方面，近代數學的基本思想和基本概念，在這一時期中發(fā)生了根本的變化：令一方面，近代數學的基本思想和基本概念，在這一時期中發(fā)生了根本的變化：在分析學中，傅立葉級數論的產生和建立，使得函數概念有了重大突破；在代數學中，在分析學中，傅立葉級數論的產生和建立，使得函數概念有了重大突破；在代數學中，伽羅瓦群論的產生，使得代數運算的概念有了重大的突破；在幾何學中，非歐幾何的伽羅瓦群論的產生，使得代數運算的概念有了重大的突破；在幾何學中，非歐幾何的誕生在空間概念方面有了重大的

20、突破，這三項突破促使近代數學迅速向現代數學轉變。誕生在空間概念方面有了重大的突破，這三項突破促使近代數學迅速向現代數學轉變。十九世紀還有一個獨特的貢獻，就是數學基礎的研究形成了三個理論：實數理論、十九世紀還有一個獨特的貢獻，就是數學基礎的研究形成了三個理論：實數理論、集合論和數理邏輯，這三個理論的建立為即將到來的現代數學準備了更為深厚的基礎。集合論和數理邏輯，這三個理論的建立為即將到來的現代數學準備了更為深厚的基礎。三大數學危機的解決第一次數學危機第一次數學危機畢達哥拉斯定理提出后，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為畢達哥拉斯定理提出后，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：

21、邊長為1 1的正方形其的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來對角線長度是多少呢？他發(fā)現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發(fā)現導致了數學史上第一個無理數表示。希帕索斯的發(fā)現導致了數學史上第一個無理數2 2 的誕生。小小的誕生。小小2 2的出現，卻在當時的數的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發(fā)現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。

22、對于當時所有古希臘人的為恐慌。實際上，這一偉大發(fā)現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對于當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確觀念這都是一個極大的沖擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量度的范圍內都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發(fā)展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常技術已經高度發(fā)展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，

23、完全符合常識的論斷居然被小小的識的論斷居然被小小的2 2的存在而推翻了！這應該是多么違反常識，多么荒謬的事！它簡直把以的存在而推翻了！這應該是多么違反常識，多么荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱“第一次數學危機第一次數學危機”。第二次數學危機第二次數學危機 導源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七

24、世紀幾乎導源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發(fā)現。這一在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發(fā)現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具后變得易如翻工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具后變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂都

25、建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。 一直到十九世紀二十年代，一些數學家才開始比較關注于微積分的嚴格基礎。它們一直到十九世紀二十年代，一些數學家才開始比較關注于微積分的嚴格基礎。它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開始，最終由威爾斯特拉斯、戴德從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里克萊等人的工作開始，最終由威爾斯特拉斯、戴德金和康托爾徹底完成，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定金和康托爾徹底完成，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛

26、盾，為數學分析奠定了一個嚴格的基礎。了一個嚴格的基礎。第三次數學危機第三次數學危機 十九世紀下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性十九世紀下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數學家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發(fā)現，從自然數與康托爾集合論出發(fā)可建立起成果就為廣大數學家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發(fā)現，從自然數與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。“一切數學成果可建立在集

27、合論基礎上一切數學成果可建立在集合論基礎上”這一發(fā)現使數學家們?yōu)橹@一發(fā)現使數學家們?yōu)橹兆怼Ｌ兆怼?9001900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“借助集合論概念，我們可借助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈以建造整個數學大廈今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了” 可是，好景不長?？墒牵镁安婚L。19031903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提

28、出的著名的羅素悖論。羅素悖論。 羅素構造了一個集合羅素構造了一個集合S S：S S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S S是否屬于是否屬于S S呢？根據排中律，一個元呢？根據排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S S屬于屬于S S，根據，根據S S的定義，的定義，S S就不屬于就

29、不屬于S S；反之，如果；反之，如果S S不屬于不屬于S S，同樣根據，同樣根據定義，定義，S S就屬于就屬于S S。無論如何都是矛盾的。無論如何都是矛盾的。 危機產生后，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加危機產生后，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容

30、得以保存下來。廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。”19081908年，策梅羅在自己這一原則基礎上提出第一個公理年，策梅羅在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，后來經其他數學家改進，稱為化集合論體系，后來經其他數學家改進，稱為ZFZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除陷。除ZFZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBGNBG系統(tǒng)等。系統(tǒng)等。常微分方程常微分方程柯西在分析方面最深刻的貢獻在?？挛髟诜治龇矫孀钌?/p>

31、刻的貢獻在常微分方程領域。他首先證明了方程解的微分方程領域。他首先證明了方程解的存在和唯一性。在他以前，沒有人提出存在和唯一性。在他以前，沒有人提出過這種問題。通常認為是柯西提出的三過這種問題。通常認為是柯西提出的三種主要方法，即柯西利普希茨法，逐種主要方法，即柯西利普希茨法，逐漸逼近法和強級數法，實際上以前也散漸逼近法和強級數法，實際上以前也散見到用于解的近似計算和估計。柯西的見到用于解的近似計算和估計?？挛鞯淖畲筘暙I就是看到通過計算強級數，可最大貢獻就是看到通過計算強級數，可以證明逼近步驟收斂，其極限就是方程以證明逼近步驟收斂，其極限就是方程的所求解。的所求解。 單復變函數單復變函數柯西最重要和最有首創(chuàng)性的工作是關于單復變函數論的。18世紀的數學家們采用過上、下限是虛數的定積分。但沒有給出明確的定義?？挛魇紫汝U明了有關概念，并且用這種積分來研究多種多樣的問題，如實定積分的計算，級數與無窮乘積的展開，用含參變量的積分表示微分方程的解等等。 分析基礎分析基礎柯西在綜合工科學校所授分析課程及有關教材給數學界造成了極大的影響。自從牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分(即無窮小分析，簡稱分