矩陣的特征值和特征向量

1、200例 5 已知矩陣 A=002與B：01x一2000y0相似，則x=00-1_2例 6 設n階萬陣A滿足A-3A+2I=0,求A的特征值例 8 設 A 為非零方陣，且Am=0（m 為某自然數(shù)），證明：A 不能與對角陣相似例 9 設n階方陣 A 滿足A2-7A+10I=0,求證：A 相似于一個對角矩陣結(jié)論總結(jié)1n階方陣 A 有n個特征值，它們的和等于 A 的主對角線元素之和（即 A 的逆trA）,它們的乘積等于 A 的行列式 IA2如果人1,，九m是方陣 A 的特征值，R,，Pm是與之對應的特征向量，如九1,，九m互不相等時，PI,，巳線性無關第四章矩陣的特征值和特征向量例 1 求下列矩陣的

2、特征值與特征向量460A=-3-50，并判斷它能否相似對角化。若能,-3-61求可逆陣P,使P,AP=八（對角陣）。例 2 已知三階方陣A的三個特征值為-2,3,4,則A的特征值為,AT的特征值為,A*的特征值為,A2-3A+2E的特征值為00例 3 設矩陣A=x11011y有三個線性無關的特征向量，則0 x,y應滿足條件一2例 7 已知向量U=（1,k,1）T是矩陣A=1111一_1.21的逆矩陣A的特征向量，求常數(shù)k123如果n階方陣A與B相似，則A與B有相同的特征多項式，從而有相同的特征值4如果n階方陣A與對角陣人相似，則人的主對角線元素就是A的n個特征值5n階方陣A與對角陣人相似，即A

3、可相似對角化的充要條件是A有n個線性無關的特征向量6如果n階方陣A的n個特征值互不相等，則A與對角陣相似，即A可相似對角化7實對稱矩陣的特征值全為實數(shù)8實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量相互正交9對實對下矩陣A=AnM,必存在正交矩陣P,使P,AP=A，其中八是以A的n個特征值為主對角線元素的對角陣10 方陣A可逆的充要條件是A的特征值全不為零習題一、單項選擇題901、1.設A=010,則A的特征值是()。U0。(a)-1,1,1(b)0,1,1(c)-1,1,2(d)1,1,21102 .設A=1101，則A的特征值是()。I0(a)0,1,1(b)1,1,2(c)-1,1,2(d)-1,

4、1,13 .設A為n階方陣，慶2=1,則()。(a)|A|=1(b)A的特征根都是1(c)r(A)=n(d)A一定是對稱陣4 .若XI,X2分別是方陣A的兩個不同的特征值對應的特征向量，則k1K+k2X2也是A的特征向量的充分條件是()。(a)k1二0且k2=0(b)k1#0且k2#0(c)k1k2=0(d)30且卜2=05 .設A為n階可逆矩陣，九是A的特征值，則A*的特征根之一是()。(a)|A|n(b)|A|(c)|A|(d)|A|n6 .設2是非奇異陣A的一個特征值，則JA2),至少有一個特征值等于()。3(a)4/3(b)3/4(c)1/2(d)1/47 .設n階方陣A的每一行元素之

5、和均為a(a#0),則2A,+E有一特征值為()。(a)a(b)2a(c)2a+1(d)2+1a8 .矩陣A的屬于不同特征值的特征向量()。(a)線性相關(b)線性無關9 .下列說法不妥的是(a)因為特征向量是非零向量，所以它所對應的特征向量非零(b)屬于一個特征值的向量也許只有一個(c)一個特征向量只能屬于一個特征值(d)特征值為零的矩陣未必是零矩陣23yzA的特征值為1,2,3,則(0122230-一f-5,、已知矩陣有一特征向量，則x=()-12xj4一13若n階可逆陣A的每行元素之和是a(a豐0),則數(shù)一定是2A+E的特征值4設三階矩陣A有 3 個屬于特征值九的線性無關的特征向量，則A

6、=5若A2=E，則A的特征值為(c)兩兩相交(d)其和仍是特征向量110 設矩陣 A=x0A)x=2,y=4,z=8B)x=1,y=4,zRC)x=-2,y=2,zRD)x=1,y=4,z=311126 設n階方陣A的n個特征值為1,2，n,則A+I=1017 設A=021n之2,則An2An=10I口48A=00L三解答題-1211n-0則limA=5口干0161.設三階矩陣 A 的特征值為K1=1,K2=2,?，一3=3,對應的特征向量依次為:W=(1,1,1)T,。=(1,2,4)1%=(1,3,2)T,又向量P=(1,1,3)T1）將P用匕42r3線性表示 2）求AnP（n為自然數(shù)）一

7、2x11已知A=030有 3 個線性無關的特征向量，求A1003-60_一13.設A=2：22212求 A 的特征值與對應的特征向量,21A 是否對角陣相似。若相似，寫出使P,AP=八的矩陣P及對角陣人,并計算A10（1,3,2）T,A52-12._一_.-._*-4.設A=5b3，已知A=-1,A 的伴隨矩陣A的特征值九0對應的特征向量102口=(1,1,1)T,求九0和b的值四、證明題1 設a為n維非零列向量，口=（a1,a2，an）T,A=a3T證明：1）A2=kA（k為某常數(shù)）2）c（是A的一個特征向量。3）A相似于對角陣。2 設n階方陣A有n個對應于特征值K的線性無關的特征向量，則A

8、=九E。3 設n階方陣A的每行元素之和都為常數(shù)a,求證:1 略 2 略 3 略 4 略 5 若AB有特征值0,則AB=0,從而BA=0即BA也有0 為其1）a為A的一個特征值；2）對于任意自然數(shù)m,Am的每行元素之和都為am4 設三階方陣A的三個特征值九1,九2,九3互異，分別對應于特征向量3102P3證明：0tl+ot2,a1+a2+口3都不是A的特征向量。5設A,B為n階方陣，證明：AB,BA都有相同的特征值。6設心，九2是 A 的兩個不同的特征值，1 是對應于i的特征向量，證明：之不是九2的特征向量（即一個特征向量不能屬于兩個不同的特征值）。答案410-1,b-3四、提示1.a2.c3.c4.d5.b6.b7.b8.d9.b10B11B12A13D二、1 一6A的特征值為:；2A23A+E的特征值為:10,6,3；5.2.x=-2,y=-1;3.2一+1；a4.A=-16.(n1)!7.08.02-2：=21-22+4,An-：2-2n1.2-2n3-3n+3n由+3n也A1031101-1001-323100-243100-63100-63100-103100一11-10一500【0一13：2一2父510-112父510-2M5110一1111042-1041104133311041-11042-1104133311041-11041-11042-一333特征值