多元函數(shù)微分法

1、第十章多元函數(shù)微分學(xué)一、學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.關(guān)于二元函數(shù)會(huì)求二元函數(shù)的定義域和相應(yīng)的函數(shù)值。求二元函數(shù)定義域及函數(shù)值的方法與一元函數(shù)的方法相似。2.關(guān)于二元函數(shù)微分（1）熟練掌握一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法和復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，尤其是形如z=f（X2y2,exy）等的復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。能熟練地求全微分。偏導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算公式基本與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式相同。求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，對(duì)一個(gè)變量求導(dǎo)時(shí)，將另一變量視為常數(shù)。如求函數(shù)u二In存+y2+z3的偏導(dǎo)數(shù)du_11dx2x+y2+z3(y，z為常數(shù)），du_(x,dy2x+y2+z3z為常數(shù)）復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)是難點(diǎn)。一般用鏈?zhǔn)椒▌t，即z=f（u，v），

2、u=u（x，y），v=v(x，y)，有dzdzdudzdvdzdzdudzdv_+_+dxdudxdvdxdydudydvdy具體情況有兩種：一）全部函數(shù)關(guān)系都給出：這時(shí)可按前邊方法求偏導(dǎo)數(shù)，如求二元函數(shù)z_ln(u+v2)，u_x2+y2,v_exy.的偏導(dǎo)數(shù)字,字dxdy可以把u，v代入z中，再求偏導(dǎo)數(shù),即z=ln(x2+y2+e2xy)，求偏導(dǎo)數(shù)有dz_2x+2ye2xydxx2+y2+e2xydz_2y+2xe2xydyx2+y2+e2xy（二）部分函數(shù)關(guān)系沒(méi)有給出：此時(shí)只有用鏈?zhǔn)椒▌t。如求函數(shù)z=f（xyx2+y3），的一階偏導(dǎo)數(shù)，則不能用如上方法求解.正確求法是記u=xy，v=x2

3、+y3用鏈?zhǔn)椒▌t竺邑du+dzdvJf+df2x,dxdudxdvdxdudv字二f+f3y2dydudv上例也可以用鏈?zhǔn)椒▌t，有導(dǎo)=丄2x+亠yexy,害=dxu+v2u+v2dy12v2y+xexyu+v2u+v2求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，是復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，方法仍然同一元隱函數(shù)的求導(dǎo).如求函數(shù)u=InJx+y2+z3的偏導(dǎo)數(shù).du11du12y=(y,z為吊數(shù))，=(x,z為吊數(shù))dx2x+y2+z3dy2x+y2+z32y(2)知道函數(shù)連續(xù)、可微、偏導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系。3.關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用掌握求曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線的方法.(1)設(shè)空間曲線方程為x=x(t)，y=y(t)

4、，z=z(t)，在t=t處的切線方向?yàn)?I=(x'(t),yf(t),z'(t)，則在t處曲線的0000切線方程為x一x(t°)=y-y(to)=mx'(t)y'(t)z'(t)000法平面方程為(x-x(t)x(t)+(y-y(t)y(t)+(z-z(t)z(t)=0000000曲面F(x,y,z)=0(或z=f(x,y),在曲面上的點(diǎn)P(x,y,z)處的000法方向?yàn)閚=F',F',F'(或f',f',-1)，則在點(diǎn)(x,y,z)xyz(x0,y0,z0)xy(x0,y0,z0)000處的切平面方程為

5、F(x-x)+F(y-y)+F(z-z)=0x0y0z0法線方程為x-xy-yz-z0=0=0FFFxyz注意：點(diǎn)(X,y,z)一定在曲線或曲面上，F(xiàn)',F',F',必須是方向向量在該000xyz點(diǎn)處的值。4. 關(guān)于極值了解二元函數(shù)極值的概念，知道極值存在的必要條件，掌握用拉格朗日乘數(shù)法求較簡(jiǎn)單條件極值應(yīng)用問(wèn)題的方法?？晌⒑瘮?shù)z=f（x,y）在極值點(diǎn)（x,y）處滿足f'（x,y）二f（x,y）二0（極00x00y00值存在的必要條件）.用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值是重點(diǎn)。求函數(shù)z=f（x，y）在條件g（x，y）=0下的條件極值的具體步驟是：（1）引入拉格朗日函數(shù)2

6、）求聯(lián)立方程組：ar一axar一內(nèi)aFa廠F（x，y，九）=f（x，y）+九g（x,y）=0=0=0(即g(x,y)=0)的解；3）若上述方程組的解唯一，則其就是所求函數(shù)的最值點(diǎn)。若該方程組的解不唯一，可通過(guò)代入驗(yàn)證，以確定極大（最大）或極小（最?。┲怠?、練習(xí)題1.函數(shù)z二+arcsin丄的定義域是2.設(shè)函數(shù)z=-y2，則在點(diǎn)D處的偏導(dǎo)數(shù)星=Qz3.設(shè)函數(shù)z=e2x+3y，Q2zQxQy4.如果函數(shù)z=f(x,y)的全微分dz=sinydx+xcosydy,那么QzQxQy5. 點(diǎn)(1，0)是函數(shù)f(x，y)=x22x+y2+9的極點(diǎn).6.函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)滿足條件()，(x,y)

7、稱為f(x,y)的極0000值點(diǎn).A. f二0,f|二0B.f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處沒(méi)有偏導(dǎo)數(shù)dx(x0，y0)dyl(x0，y0)00C. 在點(diǎn)(x,y)的某鄰域內(nèi)，有f(x,y)>f(x,y)0000D. 對(duì)定義域內(nèi)的所有點(diǎn)(x,y)，有f(x,y)>f(x，y)007. 以下結(jié)論正確的是()A. 函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，則f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)00B. 函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則f(x,y)在點(diǎn)(x,y)0000可微C. 函數(shù)f(x,y)連續(xù)，則f(x,y)可微D. 函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則f(x,y)在點(diǎn)

8、(x,y)0000可微8. 設(shè)函數(shù)f(xy)=x2y則f(xyx+y)=()A.x2xyB.x2y2xyC.x+yx2y2D.(x+y)2xy9曲面z=arctg(xy)在點(diǎn)(0,0,0)處的切平面方程是().A.x+y+z=0B.x=0C.y=0D.z=010.設(shè)二元函數(shù)z=f(xy,x/y),dzdz求一,dxdy11.設(shè)隱函數(shù)z=f(x,y)由方程e+cos(yz)+x+y二1確定，求dz。12.求由方程x+y+z-zex2y=1確定的隱函數(shù)z=f(x,y)的全微分.13. 設(shè)z=xf(y2x2),驗(yàn)證z滿足方程+=xdxydyx214. 在曲面z=x2+y2上求一點(diǎn)M,使曲面在M點(diǎn)處的切平面與平面4x+2y一z+6=0平行.t215求曲線x=t，y=刁，z=lnt的平行于平面x+y一2z=5的切線方程.16.求拋物線y二x2到直線x-2y-2二0的最短距離.17求內(nèi)接于橢球面fl+12+寧=1內(nèi)的體積最大的長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng).1111三、練習(xí)題答案1.X2+y2<l且|y|<|x|；小值；6.C7.A2.8.Bxylnxf-上fduy2dv11.dz=；3.6e2x+3y；4.siny，