矢量分析與場論第4講場

1、第二章第二章 場論場論第第4講講 場場主要內(nèi)容主要內(nèi)容l1. 場的基本概念場的基本概念l2. 數(shù)量場的等值面數(shù)量場的等值面l3. 矢量場的矢量線矢量場的矢量線l4. 平行平面場平行平面場 教材：第教材：第2章章 第第1節(jié)節(jié)l數(shù)學(xué)場數(shù)學(xué)場（Mathematical field）：為了描述某一）：為了描述某一物理對象的特定性質(zhì)或特定狀態(tài)而在特定空間物理對象的特定性質(zhì)或特定狀態(tài)而在特定空間域中定義的一個或一組多元函數(shù)。域中定義的一個或一組多元函數(shù)。l場：場：一個物理量是時間和空間的函數(shù)。一個物理量是時間和空間的函數(shù)。l如果在全部空間或部分空間的每一點，都對應(yīng)如果在全部空間或部分空間的每一點，都對應(yīng)著

2、某個物理量的一個確定的值，就說在這個空著某個物理量的一個確定的值，就說在這個空間確定了該物理量的一個場。間確定了該物理量的一個場。l1.場的基本概念場的基本概念l物理場物理場（Physical field）：某種特殊的）：某種特殊的“物物質(zhì)質(zhì)”，如靜電場、靜磁場、電磁場等。，如靜電場、靜磁場、電磁場等。lMaxwell是第一個明確使用是第一個明確使用“場場”的科學(xué)家。的科學(xué)家。l發(fā)生物理現(xiàn)象的空間部分稱為發(fā)生物理現(xiàn)象的空間部分稱為場場，場是物理量，場是物理量的空間函數(shù)。的空間函數(shù)。l“場場”有有2個顯著特點個顯著特點： （1）場是物理的客觀存在；）場是物理的客觀存在； （2）場可以隨時間和空間

3、發(fā)生變化。）場可以隨時間和空間發(fā)生變化。l1.場的基本概念場的基本概念l根據(jù)物理量的性質(zhì)，分為根據(jù)物理量的性質(zhì)，分為數(shù)量場數(shù)量場和和矢量場矢量場。l數(shù)量場（標量場）數(shù)量場（標量場）：物理量是數(shù)量。如溫度場，：物理量是數(shù)量。如溫度場，電位場，密度場等。電位場，密度場等。l矢量場矢量場：物理量是矢量。比如力場，速度場，：物理量是矢量。比如力場，速度場，電磁場等。電磁場等。l穩(wěn)定場穩(wěn)定場：物理量在各點處的對應(yīng)值不隨時間發(fā)：物理量在各點處的對應(yīng)值不隨時間發(fā)生變化（生變化（穩(wěn)態(tài)場穩(wěn)態(tài)場）。）。l不穩(wěn)定場不穩(wěn)定場：物理量在各點處的對應(yīng)值隨時間發(fā)：物理量在各點處的對應(yīng)值隨時間發(fā)生變化（生變化（瞬態(tài)場瞬態(tài)場）

4、。l1.場的基本概念場的基本概念l2.數(shù)量場的等值面數(shù)量場的等值面l在空間中，數(shù)性函數(shù)在空間中，數(shù)性函數(shù) 是點是點 的函數(shù)，即：的函數(shù)，即：uM)(Muu 則稱則稱 是空間的一個數(shù)量場。是空間的一個數(shù)量場。ul當坐標系選定后，進一步寫出：當坐標系選定后，進一步寫出：),(zyxuu zoyx),(zyxuul一個數(shù)量場可以用一個數(shù)性函數(shù)一個數(shù)量場可以用一個數(shù)性函數(shù) 來表示。通來表示。通常假定數(shù)性函數(shù)常假定數(shù)性函數(shù) 是單值、連續(xù)且有一階連續(xù)的是單值、連續(xù)且有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)。ul2.數(shù)量場的等值面數(shù)量場的等值面l等值面等值面：指數(shù)性函數(shù)：指數(shù)性函數(shù) 取相同值的點連接起來取相同值的點連接起

5、來構(gòu)成的一個曲面，定義為：構(gòu)成的一個曲面，定義為：uCzyxu),(（ 為常數(shù)）為常數(shù)）Cl比如溫度場的等溫面，電位場的等電位面等。比如溫度場的等溫面，電位場的等電位面等。ul由由隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理可知，在函數(shù)可知，在函數(shù) 為單值，且為單值，且各連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)各連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 不全為零時，這種等值不全為零時，這種等值面一定存在。面一定存在。,zyxuuu2.2.數(shù)量場的等值面數(shù)量場的等值面l等值面的兩個性質(zhì)：等值面的兩個性質(zhì)：Czyxuzyxu),(),(000F（1）空間的每一點均屬于一個等值面。）空間的每一點均屬于一個等值面。F（2）不同的等值面不相交。即空間中的每一）不同的等值面不相交

6、。即空間中的每一點只屬于一個等值面。點只屬于一個等值面。l2.數(shù)量場的等值面數(shù)量場的等值面例：求例：求 通過點通過點 的等值面。的等值面。2222zyxRu) 2/, 0 , 0(0RMR解：解：數(shù)量場數(shù)量場 所在的區(qū)域為一個以圓點為中心，所在的區(qū)域為一個以圓點為中心，半徑為半徑為 的球形區(qū)域：的球形區(qū)域：u2222Rzyx等值面為：等值面為：czyxR222222222cRzyx等值面是以圓點為中心的等值面是以圓點為中心的一族一族同心球面。同心球面?；蚧騦2.數(shù)量場的等值面數(shù)量場的等值面例：求例：求 通過點通過點 的等值面。的等值面。2222zyxRu) 2/, 0 , 0 (0RM2222

7、2222)2(00RRzyxR或或42222Rzyx解：解：則過點則過點 的等值面，為其中的一的等值面，為其中的一個球面：個球面：)2/, 0 , 0(0RMl2.數(shù)量場的等值面數(shù)量場的等值面例：求三維靜電場的等位面。例：求三維靜電場的等位面。Q解：解：設(shè)點電荷設(shè)點電荷 位于圓點，靜電位位于圓點，靜電位 可以寫為：可以寫為：u為數(shù)性函數(shù)，其中為數(shù)性函數(shù)，其中222zyxR等位面方程：等位面方程：zoyxQCu RQzyxuu4),(CzyxR2222以圓點為中心的球面。以圓點為中心的球面。l2.數(shù)量場的等值面數(shù)量場的等值面l如果遇到一類柱面問題，即數(shù)量場如果遇到一類柱面問題，即數(shù)量場 與與 無

8、關(guān)，無關(guān)，可以寫為可以寫為 ，稱為，稱為平面數(shù)量場平面數(shù)量場。),(yxuu uzl在平面數(shù)量場中，具有相同數(shù)值的點，組成此在平面數(shù)量場中，具有相同數(shù)值的點，組成此數(shù)量場的數(shù)量場的等值線等值線，即，即 。Cyxu),(l比如地形圖中的等高線，地面氣象圖上的等溫比如地形圖中的等高線，地面氣象圖上的等溫線、等壓線等。線、等壓線等。l2.數(shù)量場的等值面數(shù)量場的等值面例：求二維靜電場的等位面。例：求二維靜電場的等位面。z解：解：研究與研究與 軸重合的無窮長帶電直線，電荷軸重合的無窮長帶電直線，電荷線密度為線密度為 ，則其電位表示為：，則其電位表示為：22yxr這是一個平面數(shù)量場，等這是一個平面數(shù)量場，

9、等位面是圓柱面，即：位面是圓柱面，即：cru)1ln(4Cyxr222zoyxCu l3.矢量場的矢量線矢量場的矢量線l如果在空間中，任何點如果在空間中，任何點 都對應(yīng)一個矢性函數(shù)都對應(yīng)一個矢性函數(shù) M)(MAA則稱則稱 是此空間的一個矢量場。是此空間的一個矢量場。Al當坐標系選定后，進一步寫出：當坐標系選定后，進一步寫出：),(zyxAAzoyx),(zyxAkzyxAjzyxAizyxAAzyx),(),(),(其中其中 為矢量為矢量 的三個坐標函數(shù)，通常假的三個坐標函數(shù)，通常假定它們是單值、連續(xù)且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。定它們是單值、連續(xù)且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。zyxAAA,Al3.矢量場的矢量線

10、矢量場的矢量線l矢量線非常直觀的表示矢量場的分布。矢量線非常直觀的表示矢量場的分布。 l矢量線矢量線：簡稱矢線，指在曲線上的每一點處，：簡稱矢線，指在曲線上的每一點處，曲線都和對應(yīng)于該點的矢量曲線都和對應(yīng)于該點的矢量 相切相切。Al比如：靜電場中的電力線；磁場中的磁力線，比如：靜電場中的電力線；磁場中的磁力線，流速場中的流線等。流速場中的流線等。l物理學(xué)上，物理學(xué)上，F(xiàn)arady從長期的實驗現(xiàn)象中得出明從長期的實驗現(xiàn)象中得出明晰的磁力線概念。晰的磁力線概念。l3.矢量場的矢量線矢量場的矢量線kzjyixrl矢量線的計算矢量線的計算：假設(shè)：假設(shè) 是一條矢量線，則對其是一條矢量線，則對其上的任意一

11、點上的任意一點 ，矢徑方程為：，矢徑方程為：),(zyxMlzoyxAr d/lrkdzjdyidxrdMl導(dǎo)矢為點導(dǎo)矢為點 處與矢量線相切處與矢量線相切的矢量，它必定與該點處的場的矢量，它必定與該點處的場矢量矢量 平行共線平行共線。Al3.矢量場的矢量線矢量場的矢量線則矢量線滿足的微分方程為：則矢量線滿足的微分方程為：kAjAiAAzyxzoyxAr d/lrkdzjdyidxrdzyxAdzAdyAdxzyxAAA,Al在在 不為零的假設(shè)下，由不為零的假設(shè)下，由微分存在定理微分存在定理可以知可以知道：當函數(shù)道：當函數(shù) 為單值、連續(xù)且有一階的為單值、連續(xù)且有一階的偏導(dǎo)數(shù)時，矢量線總是存在，而

12、且互不相交。偏導(dǎo)數(shù)時，矢量線總是存在，而且互不相交。l3.矢量場的矢量線矢量場的矢量線l矢量面：由全體矢量線構(gòu)成的曲面。矢量面：由全體矢量線構(gòu)成的曲面。 （P25圖圖2-4）l矢量管：當矢量面為封閉曲線時，就構(gòu)成一個矢量管：當矢量面為封閉曲線時，就構(gòu)成一個管型曲面。管型曲面。 （P25圖圖2-5）l3.矢量場的矢量線矢量場的矢量線解：解：設(shè)點電荷位于坐標原點處，則電場強度為：設(shè)點電荷位于坐標原點處，則電場強度為：334)(4rkzjyixqrrqE例例1：求解點電荷：求解點電荷 的矢量線方程。的矢量線方程。q222zyxr則電力線微分方程為：則電力線微分方程為：zyxEdzEdyEdxl3.矢

13、量場的矢量線矢量場的矢量線解：解：具體寫為具體寫為: :等價于：等價于：333444rqzdzrqydyrqxdxzdzydyydyxdx,解方程：解方程：yCzxCy21,（ 為常數(shù)）為常數(shù)）21, CCl其圖形為一族從原點出發(fā)的射線，稱電力線其圖形為一族從原點出發(fā)的射線，稱電力線（P27P27圖圖2-62-6）。）。例例1：求解點電荷：求解點電荷 的矢量線方程。的矢量線方程。ql3.矢量場的矢量線矢量場的矢量線解：解：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為：例例2：求矢量場：求矢量場 通過通過點點 的矢量線方程。的矢量線方程。) 1 , 1, 2( MkyxjyzixzA)(2

14、2)(22yxdzyzdyxzdxxCy1由由 解得解得yzdyxzdx將矢量線微分方程寫為：將矢量線微分方程寫為：)(2222yxdzzyydyzxxdxl3.矢量場的矢量線矢量場的矢量線解：解：利用等比定理，有：利用等比定理，有：2222Czyx由此解得由此解得矢量線方程為：矢量線方程為：)()(2)(222222yxdzzyxyxd,1xCy 2222Czyx表示一族以圓點為中心的同心圓。表示一族以圓點為中心的同心圓。例例2：求矢量場：求矢量場 通過通過點點 的矢量線方程。的矢量線方程。) 1 , 1, 2( MkyxjyzixzA)(22l3.矢量場的矢量線矢量場的矢量線6,2121C

15、C,21xy6222zyx解：解：再以點再以點 的坐標代入，得出：的坐標代入，得出：) 1 , 1, 2( M則通過點則通過點 的矢量線方程為：的矢量線方程為：)1 , 1, 2(M例例2：求矢量場：求矢量場 通過通過點點 的矢量線方程。的矢量線方程。) 1 , 1, 2( MkyxjyzixzA)(22l3.矢量場的矢量線矢量場的矢量線解：解：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為：例：求矢量場例：求矢量場 通過通過點點 的矢量線方程（的矢量線方程（習(xí)題習(xí)題2第第5題題）。）。) 1 , 1 , 2(MkzyxjyixA)(22zyxdzydyxdx)(22111cxy由由 解得

16、解得22ydyxdx若若 ，由等比定理可得：，由等比定理可得：yx ,)(22zyxdzyxdydx,zdzyxdydx)(2yxczl3.矢量場的矢量線矢量場的矢量線解：解：矢量線族方程為：矢量線族方程為：例：求矢量場例：求矢量場 通過通過點點 的矢量線方程（的矢量線方程（習(xí)題習(xí)題2第第5題題）。）。) 1 , 1 , 2(MkzyxjyixA)(22)(,1121yxczcxy1,2/112cc由由 代入得代入得) 1 , 1 , 2(M)(,2111yxzxy故故l3.矢量場的矢量線矢量場的矢量線解：解：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為：例：求矢量場例：求矢量場 通過通

17、過點點 的矢量線方程（的矢量線方程（習(xí)題習(xí)題2第第5題題）。）。) 1 , 1 , 2(MkzyxjyixA)(22zyxdzydyxdx)(22也可以變?yōu)橐部梢宰優(yōu)椋河傻缺榷ɡ砜傻茫河傻缺榷ɡ砜傻茫簔yxdzyydxxd)(lnlnzyxdzyxydxd)(lnlnl3.矢量場的矢量線矢量場的矢量線解：解：例：求矢量場例：求矢量場 通過通過點點 的矢量線方程的矢量線方程（習(xí)題習(xí)題2第第5題題）。) 1 , 1 , 2(MkzyxjyixA)(22,lnzdzxydxycz3矢量線族方程為：矢量線族方程為：,111cxyxycz32/1,2/113cc由由 代入得代入得) 1 , 1 , 2(

18、M2,2111xyzxy故故l4.平行平面場平行平面場l平行平面場是一種常見的具有一定幾何特點的平行平面場是一種常見的具有一定幾何特點的場，分為場，分為平行平面數(shù)量場平行平面數(shù)量場和和平行平面矢量場平行平面矢量場。l平行平面矢量場平行平面矢量場的幾何特點：的幾何特點：F 場中的所有矢量都平行于某一個平面場中的所有矢量都平行于某一個平面 ；AF 在垂直于在垂直于 的任意直線的所有點上，對應(yīng)矢的任意直線的所有點上，對應(yīng)矢量量 的大小和方向都相同。的大小和方向都相同。l平行平面矢量場平行平面矢量場可簡化為可簡化為平面矢量場來研究平面矢量場來研究。l4.平行平面場平行平面場rrqE22l通常也叫做點電荷產(chǎn)生的通常也叫做點電荷產(chǎn)生的平面靜電場。平面靜電場。j yi xOMrzoyxl例例3: 無限長的均勻帶電直導(dǎo)線無限長的均勻帶電直導(dǎo)線 ，其上電荷線，其上電荷線密度為密度為 ，則在，則在 周圍空間產(chǎn)生的電場中，其周圍空間產(chǎn)生的電場中，其電場的強度電場的強度 所構(gòu)成的矢量場，便是一個與所構(gòu)成的矢量場，便是