2016最新北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)第三章《圓》單元導(dǎo)學(xué)案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上3.1車輪為什么做成圓形學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點、難點【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.經(jīng)歷形成圓的概念的過程，經(jīng)歷探索點與圓位置關(guān)系的過程.2.理解圓的概念，理解點與圓的位置關(guān)系.【重點難點】 1.圓及其有關(guān)概念，點與圓的位置關(guān)系.2.用集合的觀念描述圓.知識概覽圖圓圓的定義點與圓的位置關(guān)系點在圓內(nèi)點在圓上點在圓外新課導(dǎo)引 【生活鏈接】 在現(xiàn)實生活中，通過觀察你會發(fā)現(xiàn)，像車輪、齒輪等都做成圓形，家用餐具中，鍋、碗、盆等多數(shù)也是圓形 【問題探究】 在現(xiàn)實生活中，還有許多物品都是做成圓形的那么，你能描述出什么樣的圖形叫做圓嗎? 【點撥】 平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓教材精華

2、知識點1圓的定義 平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓其中，定點稱為圓心，定長稱為半徑的長(通常也稱為半徑)如圖31所示，OA為半徑，以點O為圓心的圓記作“O”，讀作“圓O” 拓展確定一個圓需要兩個要素：一是圓心；二是半徑圓心確定其位置，半徑確定其大小只有圓心沒有半徑，雖然圓的位置固定，但大小不確定，因而圓不確定；只有半徑?jīng)]有圓心，雖然圓的大小固定，但圓心的位置不確定，因而圓也不確定只有圓心和半徑都固定了，圓才被唯一確定探究交流(1)以已知點O為圓心，可以畫 個圓；(2)以已知線段AB的長為半徑，可以畫 個圓 點撥 由于確定一個圓要有兩個條件，即圓心和半徑，而兩個問題中都只有一個

3、條件，這樣的圓不能確定故都應(yīng)填“無數(shù)” 同時要注意到(1)中的圓都有相同的圓心，稱為同心圓；(2)中的圓都有相同的半徑，稱為等圓 知識點2點與圓的位置關(guān)系 點與圓的位置關(guān)系有三種：點在圓外、點在圓上、點在圓內(nèi)，如圖32所示 點在圓外，即這個點到圓心的距離大于半徑(OAr)； 點在圓上，即這個點到圓心的距離等于半徑(OBr)； 點在圓內(nèi)，即這個點到圓心的距離小于半徑(OCr) 拓展點與圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系；反過來，也可以通過這種數(shù)量關(guān)系判斷點與圓的位置關(guān)系即：如果圓的半徑是r，點到圓心的距離為d，那么：(1)點在圓外dr；(2)點在圓上dr；(3)點在圓內(nèi)dr

4、探究交流設(shè)AB3 cm，作圖說明滿足下列要求的圖形(1)到點A和點B的距離都等于2 cm的所有點組成的圖形； (2)到點A和點B的距離都小于2 cm的所有點組成的圖形點撥(1)到點A的距離都等于2 cm的所有點組成的圖形是A，到點B的距離都等于2 cm的所有點組成的圖形是B，同時滿足這兩個條件的點為既在A上，又在B上的點，即為點P、點Q(如圖33所示) (2)滿足條件的點為既在A內(nèi)，又在B內(nèi)的點，即如圖34所示的陰影部分，但要注意不包括陰影的邊界 規(guī)律方法小結(jié)1本節(jié)運用的思想方法有分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想如：在分析點與圓的位置關(guān)系時，運用了分類討論思想，而在判斷點與圓的位置關(guān)系時，把問題轉(zhuǎn)化為用

5、點到圓心的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系來判斷，運用了轉(zhuǎn)化思想 2(1)確定一個圓需要圓心和半徑兩個要素(2)點與圓的位置關(guān)系可由點到圓心的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系來確定課堂檢測基本概念題 1、求證：矩形的四個頂點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上 基礎(chǔ)知識應(yīng)用題 2、兩個圓的圓心都是O，半徑分別為r和R(Rr)，點A滿足rOMR，那么點A在 ( ) A小圓內(nèi) B大圓內(nèi) C小圓外大圓內(nèi) D小圓內(nèi)大圓外 綜合應(yīng)用題 3、如圖36所示，已知矩形ABCD的邊AB3 cm，AD4 cm (1)以點A為圓心，4 cm長為半徑作A，則點B，C，D與A的位置關(guān)系如何? (2)若以點A為圓心作A，使B，C，D三點中

6、至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，則A的半徑r的取值范圍是什么? 4、如圖37所示，O過坐標(biāo)原點O，點O的坐標(biāo)為(1，1)，判斷點P(1，1)，Q(1，0)，R(2，2)和O的位置關(guān)系 探索與創(chuàng)新題 5、爆破時，導(dǎo)火索燃燒時的速度是每秒09厘米，點導(dǎo)火索的人需要跑到離爆破點120米以外的安全區(qū)域如果這根導(dǎo)火索的長度為18厘米，那么點導(dǎo)火索的人每秒跑65米是否安全? 6、已知線段AB4 cm，試用陰影表示到點A的距離不小于3 cm，而到點B的距離小于2 cm的點的集合 體驗中考 1、在平面內(nèi)，O的半徑為5 cm，點P到圓心O的距離為3 cm則點P與O的位置關(guān)系是 2、如圖311所示，AB是O

7、的直徑，AC是弦，若ACO32，則COB的度數(shù)為 學(xué)后反思附： 課堂檢測及體驗中考答案課堂檢測1、已知：如圖35所示，四邊形ABCD為矩形，O是對角線AC和BD的交點 求證：A，B，C，D各點在以O(shè)為圓心的同一個圓上 分析 欲證A，B，C，D各點在以O(shè)為圓心的同一個圓上，需證明OAOBOCOD 證明：因為四邊形ABCD是矩形， 所以ACBD，OAOCAC，OBODBD，所以O(shè)AOBOCOD所以A，B，C，D各點在以O(shè)為圓心的同一個圓上【解題策略】 解此類題要把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，根據(jù)題意畫出圖形，寫出已知、求證，再進行證明，這是解此類問題的一般步驟2、分析由于rOA，所以點A在小圓外，而O

8、AR，所以點A在大圓內(nèi)故選C【解題策略】要判斷平面上一點與圓的位置關(guān)系，只需比較該點到圓心的距離與半徑的大小即可3、分析 要判斷B，C，D與A的位置關(guān)系，只需比較AB，AC，AD的長與半徑4 cm的大小 解：(1)連接ACAB3 cm4 cm，點B在A內(nèi) AD4 cm，點D在A上 在RtABC中，AC5 cm4 cm， 點C在A外 (2)AB3 cm，AD4 cm，AC5 cm， 點B到圓心A的距離3 cm是最短的距離，點C到圓心A的距離5 cm是最長的距離 要使B，C，D三點中至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，則A的半徑r的取值范圍是3 cmr5 cm【解題策略】 要確定A的半徑r的取值

9、范圍，需要知道B，C，D三點到點A的距離，即確定出最短距離和最長距離，才能確定半徑r的取值范圍4、分析解此題的關(guān)鍵是先求出O的半徑，即OO的長，其次要分別求出點P、點Q、點R到圓心O的距離PO，QO和RO的長，再用OO的長與PO，QO和RO的長比較，即可得結(jié)論解：O的半徑rOO，. POr點P在O外； QOr點Q在O內(nèi)； ROr點R在O上【解題策略】 本題在解題中應(yīng)用了平面內(nèi)任意兩點間的距離公式設(shè)平面內(nèi)任意兩點的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則5、分析爆破時的安全區(qū)域是以爆破點為圓心，120米為半徑的圓的圓外部分 解：導(dǎo)火索燃燒的時間為20(秒)，人跑的路程為2065130(米)

10、130米120米，點導(dǎo)火索的人是安全的【解題策略】解此題的關(guān)鍵是求人跑的路程，再與120米相比較6、分析到點A的距離不小于3 cm即所求點應(yīng)在以A為圓心、3 cm長為半徑的A的圓上及其外部；而到點B的距離小于2 cm的點應(yīng)在以B為圓心、2 cm長為半徑的B的內(nèi)部解：根據(jù)題意畫出圖形如圖38所示，其中陰影部分即為所求體驗中考1、分析因為點P到圓心O的距離為3 cm5 cm，所以點P在O內(nèi)故填點P在O內(nèi)2、分析本題比較容易，考查圓的相關(guān)性質(zhì)，根據(jù)ACO32可知CAO32，從而COBACOCAO323264故填3.2圓的對稱性學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點、難點【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1經(jīng)歷探索圓的對稱性及相關(guān)性質(zhì)的過程2理解

11、圓的對稱性及相關(guān)知識3理解并掌握垂徑定理及其逆定理運用垂徑定理及其逆定理進行有關(guān)的計算和證明【重點難點】1.垂徑定理及其逆定理2.垂徑定理及其逆定理的證明.知識概覽圖圓的有關(guān)概念：弧、弦、直徑垂徑定理及其逆定理圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓心角、弦心距等概念圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系圓的對稱性 新課導(dǎo)引 【生活鏈接】對于現(xiàn)實生活中的各種圓形物體，我們可以發(fā)現(xiàn)它們的對稱美教材精華 知識點1圓的軸對稱性 圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線 拓展圓的對稱軸有無數(shù)條不能說每條直徑都是圓的對稱軸，因為圖形的對稱軸是一條直線，應(yīng)該說每條直徑所在的直線都是圓的對稱軸 知識點2與圓有關(guān)的概念 (1)圓上任

12、意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧弧用符號“”表示，如圖313所示，以A，B為端點的弧記作“”讀作“圓弧AB”或“弧AB” (2)圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓大于半圓的弧叫做優(yōu)弧(用三個字母表示，如圖314所示的)；小于半圓的弧叫做劣弧(如圖314所示的) (3)連接圓上任意兩點的線段叫做弦(如圖314所示的線段CD) (4)經(jīng)過圓心的弦叫做直徑(如圖314所示的AB)直徑等于半徑的2倍 拓展(1)直徑是弦，但弦不一定是直徑(2)半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧 知識點3垂徑定理及其逆定理 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧如

13、圖315所示，垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論可用符號語言表示為： 拓展(1)這里的“垂徑”可以是直徑、半徑、過圓心的直線或線段(2)條件中的“弦”可以是直徑，結(jié)論中的“平分弧”既意味著平分弦所對的劣弧，也意味著平分弦所對的優(yōu)弧 垂徑定理的逆定理：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧如圖315所示，垂徑定理的逆定理的題設(shè)和結(jié)論可用符號語言表示為： 拓展一定不能忽略“弦不是直徑”這個條件，因為圓中任意兩條直徑總是互相平分的，但它們未必垂直 由垂徑定理及其逆定理可得的其他結(jié)論 對于一個圓和一條直線來說，如果具備下列五個條件中的任意兩個，那么就可推出其他三個：垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優(yōu)??；

14、平分弦所對的劣弧；過圓心 知識點4圓的旋轉(zhuǎn)不變性 圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形實際上，一個圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能與原來的圖形重合，這種性質(zhì)是圓的旋轉(zhuǎn)不變性圓的中心對稱性是其旋轉(zhuǎn)不變性的特例 如圖316所示，O繞圓心O旋轉(zhuǎn)任意一個角度，O上的任意點A與A重合，即O上的所有點旋轉(zhuǎn)角后，都與O上的點重合 知識點5圓心角、弦心距的概念 頂點在圓心的角叫做圓心角 圓心到弦的距離叫做弦心距如圖317所示，AOB是O的一個圓心角，垂線段OC的長為弦AB的弦心距 知識點6圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 圓的一個特性：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系

15、：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等 如圖318所示，若下列三個等式：AOBCOD，ABCD，中有一個等式成立，則其他兩個等式也成立 拓展(1)不能忽略“在同圓或等圓中”這個前提條件，若丟掉這個前提條件，雖然圓心角相等，但所對的弧、弦不一定相等(2)要結(jié)合圖形深刻理解圓心角、弧、弦這三個概念和“所對”一詞的含義，否則易錯用此關(guān)系(3)上述關(guān)系中的“弧”一般指劣弧(4)在具體運用上述關(guān)系解決問題時，可根據(jù)需要選擇其有關(guān)部分如：在同圓中，相等的弦所對的弧相等；在等圓中，相等的弧所對的圓心角相等(5)上面的定理可以擴充為“圓心角、弧、弦

16、、弦心距之間相等關(guān)系的定理”在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等如圖319所示，OEAB于E，OFCD于F，若下列四個等式：AOBCOD，ABCD，OEOF中有一個等式成立，則其他三個等式也成立探究交流長度相等的弧是等弧點撥 因為在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧，所以等弧必須是在同圓或等圓中的弧，也只有在同圓或等圓中，兩條弧才可能互相重合因此長度相等的弧不一定是等弧 規(guī)律方法小結(jié) 1本節(jié)解決問題的主要思想方法是數(shù)形結(jié)合思想，通過圖形把垂徑定理及其逆定理和圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關(guān)系展現(xiàn)出來，將幾何問題

17、代數(shù)化如垂徑定理的應(yīng)用，解題過程中使用列方程的方法，用代數(shù)方法解決幾何問題2(1)與圓有關(guān)的一些概念的比較概念區(qū)別與聯(lián)系直徑和弦直徑是弦，但弦不一定是直徑半圓和弧半圓是弧，但弧不一定是半圓同心圓、等圓同心圓是指圓心相同、半徑不等的圓；等圓是指半徑相等、圓心不同的圓 (2)垂徑定理及其逆定理和幾個相關(guān)的結(jié)論是證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)在理解定理的前提下，要把垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來，容易得到圓的半徑、弦心距、弦長及弓形的高之間的關(guān)系式 如圖320所示，對于一個圓中的弦長a、弦心距d、半徑r及弓形的高h，我們利用垂徑定理和勾股定理，由a，d，r，h中的任意兩個可求其他兩個

18、若已知r，d，則a2 ；h=rd 若已知r，h，則a2 ；drh 若已知r，a，則； 若已知d，h，則rhd；a=2 若已知a，d，則； 若已知a，h，則； 由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形如圖321所示，弦AB與及組成兩個不同的弓形 弧的中點到弦的距離叫做弓形的高如圖322所示，C為的中點，CDAB于D，則CD為弓形ACB的高 (3)在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦和兩條弦的弦心距四組量之間的相等關(guān)系可以概括為：圓心角相等弧相等弦相等弦心距相等課堂檢測基本概念題 1、下列語句中，不正確的有 ( ) 直徑是弦；弧是半圓；經(jīng)過圓內(nèi)一定點可以作無數(shù)條弦；長度相等的弧是等弧 A B C

19、D 基礎(chǔ)知識應(yīng)用題2、如圖323所示，AB，CD是O的兩條弦，且ABCD，直徑MNAB于E，MN交CD 于F，根據(jù)垂徑定理，請你至少寫出五個結(jié)論 3、如圖325所示，在O中，弦AB的長為8 cm，圓心O到AB的距離為3 cm，則O的半徑長為 cm 4、如圖326所示，在O中，過圓周上一點A作弦AB和AC，且ABAC，M和N分別為弦AB及AC的中點，連接MN并向兩方延長，交圓于P和Q兩點，求證PMNQ 綜合應(yīng)用題 5、如圖327所示O1和O2相交于A和B兩點，過點A作O1O2的平行線交兩圓于C，D兩點，已知O1O220 cm，求CD的長 6、如圖328所示，以ABCD的頂點A為圓心，AB為半徑畫

20、圓，分別交AD，BC于E，F(xiàn)，延長BA交A于G，求證 探索與創(chuàng)新題 7、如圖329所示，在半圓O中，半徑OFAB于O，OF交CD于點E，CDAB，則弦AC與BD是否相等? 8、如圖330所示，APCBPC，PC過圓心O，請判斷PA與PB之間的大小關(guān)系 體驗中考 1、如圖333所示，弦CD垂直于O的直徑AB，垂足為E，且CD，BD，則AB的長為 ( ) A2 B3 C4 D52、如圖334所示，O的直徑CD10，弦AB8，ABCD，垂足為M，則DM的長為 3、如圖335所示，O的直徑AB垂直弦CD于P，且P是半徑OB的中點，CD6 cm，則直徑AB的長是 ( ) Acm Bcm Ccm Dcm

21、學(xué)后反思附： 課堂檢測及體驗中考答案課堂檢測1、分析是正確的；不正確，因為弧不一定是半圓，如優(yōu)弧是弧，但不是半圓；是正確的；不正確，因為等弧是在同圓或等圓中，能夠互相重合的兩條弧所以不正確的有故選D【解題策略】準確理解弦、直徑、弧、半圓、等弧等與圓有關(guān)的概念2、分析由MNABMN為直徑，可得AEBE，由MNAB，ABCD，可得MNCD，CFDF，又由，可得，即解：答案不唯一，如由MNAB，MN為直徑，可得AEBE，由MNAB，ABCD，可得MNCD， 【解題策略】 由本例我們得出垂徑定理的一個重要推論，即圓的兩條平行弦所夾的弧相等如圖324所示，若ABCD，則3、分析 欲求半徑長，可連接OB由

22、垂徑定理可得BCACAB84(cm)在RtOCB中，OB5(cm)即O的半徑長為5 cm故填5 【解題策略】 (1)垂徑定理的應(yīng)用常與勾股定理相聯(lián)系(2)連接半徑是圓中常見的一種輔助線的作法通過連接半徑可構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理求相關(guān)線段的長度4、分析 欲證PMNQ，由PQ為弦，容易聯(lián)想到作弦心距OH，則PHHQ連接OM，ON現(xiàn)只需證MHHN即可又M，N分別為弦AB，AC的中點，易知OMON，所以可證MHNH 證明：作OHPQ于H，則PHHQ連接OM，ON M，N分別是弦AB，AC的中點， OMAB，ONACABAC，OMON OHMN，MHHNPHMHHQHN，PMNQ【解題策略】本

23、例反復(fù)運用垂徑定理及其逆定理和推論來達到證題的目的，要仔細體會遇弦作弦心距這種輔助線作法的應(yīng)用5、分析可過O1作O1ECD于E，過O2作O2FCD于F，這樣就可構(gòu)造出矩形O1O2FE，再利用矩形及垂徑定理的相關(guān)知識求解 解：過O1作O1EAC于E，過O2作O2FAD于F， 由垂徑定理，可得AEEC，AFDF， EFAEAFCD EFO1O2，O1EO2F，O1EAC，O2FAD， 四邊形O1O2FE是矩形 EFO1O220 cm，CD2EF40 cm【解題策略】 本題在解題過程中綜合運用了垂徑定理及矩形的判定和性質(zhì)6、分析 可連接AF，欲證，可證它們所對的圓心角GAE與EAF相等 證明：連接A

24、F，則ABAF，ABFAFB 四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC， DAFAFB，GAEABF，GAEEAF，【解題策略】 在同圓中，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系是證弧相等、角相等、線段相等的依據(jù)，一般在分析時，哪一組量與所證問題聯(lián)系最緊，就應(yīng)構(gòu)造這一組量，再證明相等7、分析由圖形和已知條件不難發(fā)現(xiàn)，半徑OF是弦CD的中垂線，要探求弦AC與BD是否相等，只需判斷圓心角AOC與BOD是否相等即可，可連接OC，OD 解：連接OC，OD，則OCOD 因為OEAB，所以AOEBOE90 又因為ABCD，所以O(shè)ECD，CEDE， 所以COEDOE，所以COABOD，所以ACBD【解題策略】 本題的解題關(guān)鍵

25、是利用垂徑定理和半徑的性質(zhì)求得COEDOE，而不需要由COEDOE來得到COEDOE8、分析 PA，PB既不是弦也不是弧，而是弦上的線段，所以可以過O作兩弦的垂線 解：作OEPA，OFPB，垂足分別為E，F(xiàn)， 則AEGA，BFHB 因為APCBPC，所以O(shè)EOF， 所以GAHB，所以GAHB，所以AEBF 因為OEOF，OPOP，所以RtOPERtOPF， 所以PEPF，所以PEEAPFBF，所以PAPB【解題策略】 (1)圓心到弦的距離叫做弦心距；(2)在同圓或等圓中，若兩條弧、兩個圓心角、兩條弦、兩條弦的弦心距有一組量相等，則其余各組量都相等體驗中考1、分析在O中，AB為直徑，ABCD于E

26、，所以DEB90，所以CEDECD，所以BE1連接OD，則OEODBEOD1，所以在RtOED中，OD2(OD1)2，解得OD15所以AB2OD3故選B2、分析 在O中，CD為直徑，弦AB8ABCD，所以AMBM4，連接OB，則OB5，在RtOBM中，OM3，所以DM538故填83、分析在O中，直徑AB垂直弦CD于P，CD6 cm，所以CPDP3 cm，連接OD，因為P為OB的中點，所以O(shè)POD，所以在RtODP中，(2OP)2OP232，解得OP，因為OP0，所以O(shè)Pcm，故ABcm故選D3.3圓周角和圓心角的關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點、難點【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.了解圓周角的概念2.理解圓周角定理的證明

27、【重點難點】 1.圓周角概念及圓周角定理2.認識圓周角定理需分三種情況證明的必要性知識概覽圖圓周角和圓心角的關(guān)系圓周角的概念圓周角定理圓周角定理的推論新課導(dǎo)引【問題鏈接】 如下圖所示，通過觀察發(fā)現(xiàn)，每一個圖形都是由BAC和O組成的 【問題探究】 通過觀察可知第三個圖中的BAC是O的圓周角那么什么叫做圓周角呢? 【點撥】 頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角教材精華 知識點1圓周角的概念 頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角 拓展圓周角有兩個特征：(1)角的頂點在圓上；(2)兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的兩條弦二者缺一不可 知識點2圓周角定理 定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的

28、一半 拓展(1)定理的要求是同一條弧所對的圓周角和圓心角，從數(shù)值上來看，圓周角是圓心角的一半(2)不能忽略“同一條弧”這個前提條件，不能簡單表述成“圓周角等于圓心角的一半” 關(guān)于這個定理的證明，教材上采用的是分類討論的證明方法，這種方法應(yīng)認真理解其證明要點是：(1)將已知圖形之間的各種可能位置關(guān)系進行分類；(2)先證明特殊位置的情形；(3)利用特殊情形的結(jié)論證明其他情形，即把其他情形轉(zhuǎn)化為已證的特殊情形進行證明；(4)歸納、總結(jié)出一般性結(jié)論這種方法可應(yīng)用于解題之中本定理的證明可以通過畫圖觀察，如圖344所示，以圓上任意一點為頂點的圓周角，雖然有無數(shù)多個，但它們與圓心的位置關(guān)系歸納起來卻只有三種

29、情況：(1)圓心在角的一邊上(如圖344(1)所示)；(2)圓心在角的內(nèi)部(如圖344(2)所示)；(3)圓心在角的外部(如圖344(3)所示)在這三種情況下證明定理成立，進而證明在一般情況下也成立 知識點3圓周角定理的推論 推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等 如圖345所示，所對的圓周角有ACB，ADB，AEB，因此ACBADBAEB拓展(1)若將“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，結(jié)論不成立如圖346所示，ACB，ADB，AEB所時的弦是同一條弦AB，ADBAEB，但ADB與ACB，AEB與ACB卻不相等(2)此推論的逆命題是一個真命題，可以作為圓周角定理的一個推論，其表述為

30、：在同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧也相等如圖347所示如果ACBDFE，那么 推論2：直徑所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑 如圖348所示，若AB為直徑，則ACB90；若ACB90，則AB為直徑 由此得到：如果三角形的一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形 規(guī)律方法小結(jié)1(1)分類討論思想：如本節(jié)中的圓周角定理，是分三種情況進行證明的，但對于各類所要證明的命題，應(yīng)不應(yīng)該分情況討論，主要是看各種情況的證明方法是否相同如果相同，那么不需要分情況證明；如果不同，那么必須分情況證明，而且情況要分得正確，不能重復(fù)或遺漏 (2)轉(zhuǎn)化思想：在圓周角定理的證明過程所分的三種

31、情況中，后兩種情況是通過轉(zhuǎn)化為第一種情況來證明的2圓心角與圓周角的比較定義圖形圓心角與圓周角的關(guān)系圓心角頂點在圓心的角一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半如下圖所示，ACBAOB圓周角(1)頂點在圓上(2)角的兩邊都與圓相交課堂檢測基本概念題1、如圖349所示，判斷哪些角是圓周角 基礎(chǔ)知識應(yīng)用題 2、如圖350所示，在O中，AOC150，求ABC，ADC，EBC的度數(shù)，并判斷ABC和ADC，EBC和ADC的度數(shù)關(guān)系 3、如圖351所示，已知AB為O的直徑，C，D兩點在O上，且ADCD，B50，求BAD，DCB，ADC的度數(shù) 綜合應(yīng)用題 4、如圖352所示，AB，CD是半徑為5的圓內(nèi)互相垂

32、直的兩條直徑，E為AO的中點，連接CE并延長，交O于另一點F，求弦CF的長 5、如圖353所示，已知O的直徑AB為10 cm，弦AC為6 cm，ACB的平分線交O于D，求BC，AD和BD的長 探索與創(chuàng)新題 6、在足球比賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向?qū)Ψ角蜷TMN進攻，當(dāng)甲帶球沖到A點時，乙已跟隨沖到B點(如圖354所示)，此時甲是自己直接射門好還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好呢?(不考慮其他因素) 體驗中考 1、如圖359所示，AB是O的直徑，點C在O上，則ACB的度數(shù)為 ( ) A30 B45 C60 D90 2、如圖360所示，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點A處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控

33、角度是65，為了監(jiān)控整個展廳，最少需在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器 臺 3、如圖361所示，在O中，ABC40，則AOC 度4、如圖362所示，AB為O的直徑，弦CDAB，E為上一點，若CEA28，則ABD 度學(xué)后反思附： 課堂檢測及體驗中考答案課堂檢測1、分析只有(2)具備圓周角的兩個特征(1)(3)的頂點不在圓上，(4)(5)雖然頂點在圓上但角的兩邊不與圓相交，因此(1)(3)(4)(5)都不是圓周角 解：(2)中的角是圓周角【解題策略】正確理解圓周角的概念2、分析 解題的關(guān)鍵是分清同弧所對的圓心角和圓周角，如所對的圓心角是AOC，所對的圓周角是ABC，所對的圓心角是大于平角的，所對的圓周

34、角是ADC 解：AOC150， ABCAOC75(圓周角定理)， 360AOC360150210 ADC105(圓周角定理) EBC180ABC18075105 ABCADC75105180，EBCADC105， ABC和ADC互補，EBC和ADC相等【解題策略】 理解圓周角的概念，分清同弧所對的圓心角和圓周角是熟練運用圓周角定理解題的前提3、分析 由AB是直徑，連接AC，可得ACB90由ADCD可得，連接OD，可得ODAC，ODBC，AODB50由圓周角定理，可得DCADOA25只要求出DCA的度數(shù)，其余的角可以很容易求得解：連接AC，ODAB是直徑，ACB90 ADCD，ODAC ACB9

35、0，BCAC，ODBC， AODB50，DCAAOD25 ，DCADAC25 CAB90B905040， DABDACCAB254065， ADC180DACDCA1802525130， DCBDCAACB2590115【解題策略】運用圓周角定理及其推論解此題4、分析 連接FD，由CD為直徑，可得CFD90，易知OCE與FCD相似，CF的長可由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得 解：連接FDCD為直徑，CFD90 又CDAB，COECFD90 ECODCF，COECFD， ，即 又， 在RtCOE中， 【解題策略】這里構(gòu)造直徑所對的圓周角(直角)是解題的關(guān)鍵，它是一種重要的添加輔助線的方法，應(yīng)注意掌

36、握5、分析BC可直接由勾股定理求出求AD，BD的長，要先利用ACB被CD平分，得，然后再利用勾股定理求解 解：因為AB為O的直徑，所以ACBADB90 在RtACB中，BC8(cm) 因為CD平分ACB，所以，所以ADBD， 所以在RtADB中，ADBD(cm) 【解題策略】 已知條件中若有直徑，則先利用圓周角定理的推論得到直角三角形，然后利用直角三角形的性質(zhì)求解6、分析在真正的足球比賽中，情況會很復(fù)雜，這里僅用數(shù)學(xué)方法從兩點的靜止?fàn)顟B(tài)加以考慮如果兩個點到球門的距離相差不大，要確定較好的射門位置，關(guān)鍵看這兩個點各自對球門MN的張角的大小當(dāng)張角較小時，則球容易被對方守門員攔截 解：連接BM，BN

37、，過M，N，B三點作圓，顯然A點在圓外 連接MA交圓于C，連接NC，NA，則MANMCN MCNMBN，MANMBN， 因此在B點射門較好， 即甲應(yīng)迅速將球回傳給乙，讓乙射門【解題策略】 誰射門更好，關(guān)鍵是看哪一點的射門命中率更高，而射門的命中率的高低與射門點對球門兩個邊框M，N的張角大小有關(guān)，張角越大，命中的機會越大，于是可以考慮過M，N以及A，B中的任意一點作一圓，比較MAN與MBN的大小體驗中考1、分析 AB為O的直徑，ACB為AB所對的圓周角，ACB90故選D2、分析 一臺監(jiān)視器監(jiān)控到的最長弧所對應(yīng)的圓心角為652130，因為，故至少在圓形邊緣上安裝3臺監(jiān)視器，才能監(jiān)控整個展廳故填33

38、、分析 此題考查圓中圓周角與圓心角的關(guān)系，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半故填804、分析 在圓O中，弦CDAB，AB為直徑，所以，所以AECABD因為AEC28，所以ABD28故填283.4確定圓的條件學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點、難點【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解不在同一條直線上的三個點確定一個圓，以及過不在同一條直線上的三個點作圓的方法.2.了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念【重點難點】1.經(jīng)歷不在同一條直線上的三個點確定一個圓的探索過程，并能掌握這個結(jié)論 2.掌握過不在同一條直線上的三個點作圓的方法 3.了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念知識概覽圖確定圓的條件

39、過三點的圓三角形的外接圓與圓的內(nèi)接三角形的概念三角形的外心的概念新課導(dǎo)引 【問題鏈接】 我們知道，經(jīng)過一個點可以作無數(shù)條直線，經(jīng)過兩個點只能作一條直線，圓是由圓心和半徑兩個條件確定的教材精華 知識點1過三點的圓 由圓的定義可知，圓有兩個要素：一個是圓心，另一個是半徑圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小作圓的關(guān)鍵是確定圓心的位置和半徑的大小 例如：作圓，使它經(jīng)過已知點A 分析所求作的圓心和半徑都沒有限制條件，因此，只要以點A以外的任意一點為圓心以這一點(圓心)與點A的距離為半徑，就可以作出要求作的圓，這樣的圓有無數(shù)個(如圖373所示) 又如：作圓，使它經(jīng)過A，B兩點 分析 如果要作經(jīng)過A，B兩點的

40、圓，那么就必須以到點A，B距離相等的點為圓心，因此，以線段AB的垂直平分線上任意一點為圓心，以這一點(圓心)與點A或點B的距離為半徑，就可以作出要求作的圓，這樣的圓有無數(shù)個(如圖374所示) 再如：作圓，使它經(jīng)過不在同一條直線上的三個已知點A，B，C 分析 作圓的關(guān)鍵是確定圓心因為所要求作的圓要經(jīng)過A，B，C三點，所以圓心到這三點的距離相等因此，這個點既要在線段AB的垂直平分線上，又要在線段BC的垂直平分線上顯然，這兩條垂直平分線的交點O到這三點的距離相等以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓就是所要求作的圓這樣的圓有且只有一個(如圖375所示) 定理：不在同一條直線上的三個點確定一個圓 拓展(1)過同一

41、條直線上的三個點不能作圓(2)“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有” 知識點2三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念 三角形的三個頂點確定一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形 拓展(1)“接”說明三角形的頂點與圓的位置關(guān)系，圓經(jīng)過三角形的各頂點，“三角形的外接圓”是以三角形為準，說明圓在它的外部(2)銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心為斜邊的中點，鈍角三角形的外心在三角形的外部無論哪種三角形，它們的外心都是三邊的垂直平分線的交點，另外，只要三角形確定，那么它的外心與外接圓的半徑就確定了規(guī)律方

42、法小結(jié)外心的位置特點如下表所示種類外心的位置銳角三角形在三角形的內(nèi)部直角三角形為斜邊的中點鈍角三角形在三角形的外部課堂檢測基本概念題 1、下列命題中，真命題有 ( ) 經(jīng)過三點一定可以作圓； 任意一個圓一定有一個內(nèi)接三角形，并且只有一個內(nèi)接三角形； 任意一個三角形一定有一個外接圓，并且只有一個外接圓； 三角形的外心到三角形三個頂點的距離都相等 A4個 B3個 C2個 D1個 基礎(chǔ)知識應(yīng)用題2、如圖376所示，點A，B，C表示三個村莊，現(xiàn)要建一座水泵站向三個村莊供水，為使三條輸水管長度相等，水泵站應(yīng)建在何處?請畫出示意圖，并說明理由 綜合應(yīng)用題 3、在RtABC中，C90，直角邊長a，b是方程x

43、24x20的兩個根，求RtABC的外接圓的半徑 4、在ABC中，ABAC10，BC12，求其外接圓半徑 探索與創(chuàng)新題 5、如圖378所示，在銳角三角形ABC中，BD，CE為高，求證B，C，D，E四點在同一個圓上 體驗中考 1、如圖380所示，在RtABC中，ACB90，AC5，CB12，AD是ABC的角平分線過A，C，D三點的圓與斜邊AB交于點E，連接DE (1)求證ACAE； (2)求ACD外接圓的半徑 2、先閱讀，再解答 我們在判斷點(7，20)是否在直線y2x6上時，常用的方法是：把x7代入y2x6中，由2(7)6820，判斷出點(7，20)不在直線y2x6上小明由此方法并根據(jù)“兩點確定

44、一條直線”，推斷出點A(1，2)，B(3，4)，C(1，6)三點可以確定一個圓，你認為他的推斷正確嗎?請你利用上述方法說明理由 3、半徑為R的圓內(nèi)接正三角形的面積是 ( ) A B R2 C D學(xué)后反思附： 課堂檢測及體驗中考答案課堂檢測1、分析 由定理“不在同一條直線上的三個點確定一個圓”可知為假命題為假命題，連接圓上任意三點構(gòu)成的三角形都是圓的內(nèi)接三角形，所以每一個圓都有無數(shù)個內(nèi)接三角形為真命題為真命題故選C【解題策略】 準確掌握不在同一條直線上的三個點確定一個圓，以及三角形外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形等概念2、分析設(shè)水泵站處為點O，則點O到A，B，C三點的距離相等可得點O為ABC

45、的外心 解：如圖376所示，連接AB，BC，分別作AB，BC的垂直平分線MN，EF，直線MN與EF相交于點O，則水泵站應(yīng)建在O處由以上作法知點O為ABC的外心，所以O(shè)到A，B，C三點的距離相等【解題策略】 若要證明某一點為某個三角形的外心，只要證明該點是這個三角形任意兩條邊的垂直平分線的交點就可以了，但在填空題“三角形的外心是 的交點”中，答案應(yīng)為“三角形三邊垂直平分線”3、分析由直角三角形的外心為斜邊的中點可知RtABC的斜邊AB即為其外接圓的直徑，因此只要求出AB的長度即可，而AB可由方程求得 解：由勾股定理，得c2a2b2(ab)22ab a，b是方程x24x20的兩個根， ab4，ab

46、2， c2422212，c 直角三角形的外心是斜邊的中點，RtABC外接圓的半徑為【解題策略】 求直角三角形外接圓的半徑，只要求出直角三角形的斜邊長，再除以2即可4、分析如圖377所示，作ADBC，垂足為D由等腰三角形的性質(zhì)可知ABC的外接圓圓心O必在AD上，欲求外接圓半徑，只要求出OC即可，OC可在RtODC中由勾股定理求得 解：如圖377所示，作ADBC于D 在RtABD中，BDBC6， AD8 又ADBC于D，ABAC， 根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可知ABC的外心O在AD上連接OC，設(shè)OAOCR，則ODADAO8R，CDBC6 在RtODC中，OD2CD2OC2，(8R)262R2，解得R，即三角形的外接圓半徑是【解題策略】 作輔助線構(gòu)造直角三角形，設(shè)出未知數(shù)，利用勾股定理建立關(guān)于未知數(shù)的方程，是解決幾何問題中求線段長的常用方法5、分析利用“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”證明B，C，D，E四點到斜邊的中點的距離相等證明：取BC的中點G，連接EG，DG BDC90，G為BC的中點，DGBGCG 同理，EGBGCG，DGCGBGEG， D，C，B，E四點到點G的距離相等， B，C，D，E四點