科學(xué)計(jì)算與Matlab

1、12汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征現(xiàn)實(shí)世界的問題可以歸結(jié)為各種各樣的數(shù)學(xué)問題現(xiàn)實(shí)世界的問題可以歸結(jié)為各種各樣的數(shù)學(xué)問題 方程求根問題方程求根問題 解線性方程組的問題解線性方程組的問題 定積分問題定積分問題 常微分方程初值問題常微分方程初值問題 等等等等汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征在科學(xué)計(jì)算中常要遇到求解各種方程在科學(xué)計(jì)算中常要遇到求解各種方程對于高次代數(shù)方程對于高次代數(shù)方程, 由代數(shù)基本定理知多項(xiàng)式根的個數(shù)和方由代數(shù)基本定理知多項(xiàng)式根的個數(shù)和方程的階相同程的階相同但對超越方程就復(fù)雜的多但對超越方程就復(fù)雜的多, 如果有解如果有解, 其解可能是一個或幾其解可能是一個或幾個個, 也可能是無窮多個。也可能是無窮多個。汪遠(yuǎn)征

2、汪遠(yuǎn)征例如：例如：高次代數(shù)方程高次代數(shù)方程 x5 3x1 = 0超越方程超越方程 e-x cosx = 0看似簡單看似簡單, 但難求其精確解。但難求其精確解。汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征由線性代數(shù)知識可知：當(dāng)線性方程組由線性代數(shù)知識可知：當(dāng)線性方程組Ax = b的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣A非非奇異奇異(即即detA0)時(shí)時(shí), 方程組有唯一解方程組有唯一解, 可用克萊默法則求解可用克萊默法則求解.但它只適合于但它只適合于n很小的情況很小的情況, 而完全不適合于高次方程組。而完全不適合于高次方程組。如用克萊默法則求解一個如用克萊默法則求解一個n階方程組階方程組, 要算要算n+1個個n階行列式階行列式的值的值, 總共需要

3、總共需要n!(n-1)(n+1)次乘法。當(dāng)次乘法。當(dāng)n充分大時(shí)充分大時(shí), 計(jì)算量計(jì)算量是相當(dāng)驚人的是相當(dāng)驚人的.汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征如用克萊默法則求解一個如用克萊默法則求解一個n階方程組階方程組, 要算要算n+1個個n階行列式階行列式的值的值, 總共需要總共需要n!(n-1)(n+1)次乘法。當(dāng)次乘法。當(dāng)n充分大時(shí)充分大時(shí), 計(jì)算量計(jì)算量是相當(dāng)驚人的是相當(dāng)驚人的一個一個20階不算太大的方程組階不算太大的方程組, 大約要做大約要做1021次乘法次乘法, 這項(xiàng)計(jì)算這項(xiàng)計(jì)算即使每秒即使每秒1萬億次浮點(diǎn)數(shù)乘法計(jì)算的計(jì)算機(jī)去做萬億次浮點(diǎn)數(shù)乘法計(jì)算的計(jì)算機(jī)去做, 也要連續(xù)也要連續(xù)工作工作2000萬億年才能完成。萬

4、億年才能完成。當(dāng)然這是完全沒有實(shí)際意義的當(dāng)然這是完全沒有實(shí)際意義的, 故需要尋找有效算法故需要尋找有效算法汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征由微積分知識知由微積分知識知, 定積分的計(jì)算可以使用牛頓定積分的計(jì)算可以使用牛頓萊布尼茲萊布尼茲公式：公式：其中其中F(x)為被積函數(shù)為被積函數(shù)f(x)的原函數(shù)。的原函數(shù)。為何要進(jìn)行數(shù)值積分？為何要進(jìn)行數(shù)值積分？)()()(aFbFdxxfba 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征原因之一：許多形式上很簡單的函數(shù)原因之一：許多形式上很簡單的函數(shù), 例如例如等等, 它們的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示成有限形式。它們的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示成有限形式。 babadxxxdxxsin,sin2汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征原因

5、之二：有些被積函數(shù)的原函數(shù)過于復(fù)雜原因之二：有些被積函數(shù)的原函數(shù)過于復(fù)雜, 計(jì)算不便。例計(jì)算不便。例如如的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是32)(22 xxxf)322ln(216916323432)(2223 xxxxxxxF汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征原因之三：原因之三：f(x)以離散數(shù)據(jù)點(diǎn)形式給出：以離散數(shù)據(jù)點(diǎn)形式給出：汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征對一些典型的微分方程對一些典型的微分方程, 如可分離變量方程、一階線性方程如可分離變量方程、一階線性方程等等, 有可能找出它們的一般解表達(dá)式有可能找出它們的一般解表達(dá)式, 然后用初始條件確定然后用初始條件確定表達(dá)式中的任意常數(shù)表達(dá)式中的任意常數(shù), 這樣即能確定解這樣即能確定解但是對

6、于常微分方程初值問題：但是對于常微分方程初值問題：則無法求出一般解則無法求出一般解 0)0(2yxyy汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征1. 注意掌握各種方法的基本原理注意掌握各種方法的基本原理2. 注意各種方法的構(gòu)造手法注意各種方法的構(gòu)造手法3. 重視各種方法的誤差分析重視各種方法的誤差分析4. 做一定量的習(xí)題做一定量的習(xí)題5. 注意與實(shí)際問題相聯(lián)系注意與實(shí)際問題相聯(lián)系汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征數(shù)值分析實(shí)質(zhì)上是以數(shù)學(xué)問題為研究對象數(shù)值分析實(shí)質(zhì)上是以數(shù)學(xué)問題為研究對象, 不像純數(shù)學(xué)那樣不像純數(shù)學(xué)那樣只研究數(shù)學(xué)本身的理論只研究數(shù)學(xué)本身的理論, 而是把理論與計(jì)算緊密結(jié)合而是把理論與計(jì)算緊密結(jié)合, 著重著重研究數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及理論

7、。研究數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及理論。數(shù)值分析是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個主要部分?jǐn)?shù)值分析是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個主要部分, 計(jì)算數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個分支的一個分支, 它研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計(jì)算它研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論與軟件實(shí)現(xiàn)。方法及其理論與軟件實(shí)現(xiàn)。汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征數(shù)值分析具有的特點(diǎn)數(shù)值分析具有的特點(diǎn), 概括起來有四點(diǎn)。概括起來有四點(diǎn)。(1) 面向計(jì)算機(jī)面向計(jì)算機(jī), 要根據(jù)計(jì)算機(jī)特點(diǎn)提供實(shí)際可行的有效算要根據(jù)計(jì)算機(jī)特點(diǎn)提供實(shí)際可行的有效算法。即算法只能包括加、減、乘、除運(yùn)算和邏輯運(yùn)算法。即算法只能包括加、減、乘、除運(yùn)算和邏輯運(yùn)算, 是計(jì)是計(jì)算機(jī)能直接處理的。算

8、機(jī)能直接處理的。(2) 有可靠的理論分析有可靠的理論分析, 能任意逼近并達(dá)到精度要求能任意逼近并達(dá)到精度要求, 對近似對近似算法要保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性算法要保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性, 還要對誤差進(jìn)行分析。這還要對誤差進(jìn)行分析。這都建立在相應(yīng)數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上。都建立在相應(yīng)數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)上。汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征數(shù)值分析具有的特點(diǎn)數(shù)值分析具有的特點(diǎn), 概括起來有四點(diǎn)。概括起來有四點(diǎn)。(3) 要有好的計(jì)算復(fù)雜性要有好的計(jì)算復(fù)雜性, 時(shí)間復(fù)雜性好是指節(jié)省時(shí)間時(shí)間復(fù)雜性好是指節(jié)省時(shí)間, 空間空間復(fù)雜性好是指節(jié)省存儲量復(fù)雜性好是指節(jié)省存儲量, 這也是建立算法要研究的問題這也是建立算法要研究的問題, 它關(guān)系到算法能否

9、在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。它關(guān)系到算法能否在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。(4) 要有數(shù)值實(shí)驗(yàn)要有數(shù)值實(shí)驗(yàn), 即任何一個算法除了從理論上要滿足上即任何一個算法除了從理論上要滿足上述三點(diǎn)外述三點(diǎn)外, 還要通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明是行之有效的。還要通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明是行之有效的。汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征實(shí)際問題經(jīng)抽象、簡化而產(chǎn)生的一組解析表達(dá)式或原始數(shù)實(shí)際問題經(jīng)抽象、簡化而產(chǎn)生的一組解析表達(dá)式或原始數(shù)據(jù)。據(jù)。汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)之間函數(shù)關(guān)系的一個確定而無歧義的輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)之間函數(shù)關(guān)系的一個確定而無歧義的描述。描述。例：求二次方程例：求二次方程ax2 + bx + c = 0的根的根, 可算作一個數(shù)值問題可算作一個數(shù)值問題.注：數(shù)

10、學(xué)模型并不都是數(shù)值問題注：數(shù)學(xué)模型并不都是數(shù)值問題, 如：常微分方程：如：常微分方程：就不是一個數(shù)值問題就不是一個數(shù)值問題, 其解為函數(shù)其解為函數(shù)y = x2 + 3x。 0)0(, 0 32yaxxy汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征注：數(shù)學(xué)模型并不都是數(shù)值問題注：數(shù)學(xué)模型并不都是數(shù)值問題, 如：常微分方程如：常微分方程要將常微分方程的求解問題變成數(shù)值問題要將常微分方程的求解問題變成數(shù)值問題, 需要進(jìn)行需要進(jìn)行“離散離散化化”。將求函數(shù)轉(zhuǎn)換為求函數(shù)值：將求函數(shù)轉(zhuǎn)換為求函數(shù)值：y(x1), y(x2), , y(xn), 0 x1 x2 0 (2) x的范圍：的范圍：x*- x x* + , 工程上常記為：工程上常

11、記為：x = x* .知道誤差限就可知道精確值的范圍知道誤差限就可知道精確值的范圍汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征【例例3】“四舍五入四舍五入”的絕對誤差限的絕對誤差限設(shè)設(shè)x = 0.a1a2 anan+110m, 十進(jìn)制標(biāo)準(zhǔn)表示式（十進(jìn)制標(biāo)準(zhǔn)表示式（a1 0）。）。四舍五入：四舍五入：此時(shí)此時(shí), 總有總有 5 10)1(. 04 10. 0*121121nmnnmnaaaaaaaax若若nmmnxxe 1021105000. 0|*汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征絕對誤差限不能完全表示近似程度的好壞絕對誤差限不能完全表示近似程度的好壞, 如如 x = 100 2, y = 10 1【定義定義3.2】稱稱 為近似值為近似值x*的相對

12、誤差的相對誤差若若 , 則稱則稱 r為近似值為近似值x*的相對誤差限的相對誤差限注：注：(1) 由于由于 與與 相差很少相差很少, 而前者不易求得而前者不易求得, 故用后者故用后者代替前者。代替前者。xxxxeer *rrxxxe *|xe*xe*2*2*1)()(xexeexxexxexxxexe汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征(2) 絕對誤差和絕對誤差限有量綱絕對誤差和絕對誤差限有量綱, 而相對誤差和相對誤差而相對誤差和相對誤差限無量綱限無量綱, 常用百分?jǐn)?shù)表示。常用百分?jǐn)?shù)表示。仍然考慮：仍然考慮：x = 100 2, y = 10 1：即即x*=100, y*=10的相對誤差限分別是的相對誤差限分別是2%與

13、與10%, 故故x*近似近似x的程度比的程度比y*近似近似y的程度好。的程度好。 %21002)(| )(|*， xxexer%10101)(| )(|* yyeyer汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征(2) 絕對誤差和絕對誤差限有量綱絕對誤差和絕對誤差限有量綱, 而相對誤差和相對誤差而相對誤差和相對誤差限無量綱限無量綱, 常用百分?jǐn)?shù)表示。常用百分?jǐn)?shù)表示。(3) 絕對誤差限與相對誤差限均不唯一。絕對誤差限與相對誤差限均不唯一。上限不唯一上限不唯一越小越好越小越好汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征【例例4】設(shè)設(shè) = 3.14159265, 按四舍五入取五位數(shù)字作為其按四舍五入取五位數(shù)字作為其近似值：近似值：x* = 3.1416, 則則e

14、 = x* - = 0.0000073, 5*102338. 0 xxer 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征【定義定義3.3】若若x*的誤差絕對值不超過某一位數(shù)的半個單位的誤差絕對值不超過某一位數(shù)的半個單位, 而該位數(shù)字到而該位數(shù)字到x*的第的第1位（最左邊）非零數(shù)字共有位（最左邊）非零數(shù)字共有n位位, 則稱則稱x*有有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字這這n個數(shù)字都稱為有效數(shù)字。個數(shù)字都稱為有效數(shù)字。如設(shè)如設(shè)x = = 3.14159265取取x* = 3.14, 則則|x* - x | = 0.00159265 0.005 =（絕對誤差限）（絕對誤差限）有效位有效位301. 021 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征【定義定義3.3】若若x*

15、的誤差絕對值不超過某一位數(shù)的半個單位的誤差絕對值不超過某一位數(shù)的半個單位, 而該位數(shù)字到而該位數(shù)字到x*的第的第1位（最左邊）非零數(shù)字共有位（最左邊）非零數(shù)字共有n位位, 則稱則稱x*有有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字這這n個數(shù)字都稱為有效數(shù)字。個數(shù)字都稱為有效數(shù)字。設(shè)設(shè)x = = 3.14159265取取x* = 3.141, 則則|x* - x | = 0.00059265 0.005 = 有效位有效位301. 021 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征【定義定義3.3】若若x*的誤差絕對值不超過某一位數(shù)的半個單位的誤差絕對值不超過某一位數(shù)的半個單位, 而該位數(shù)字到而該位數(shù)字到x*的第的第1位（最左邊）非零數(shù)字共有位（

16、最左邊）非零數(shù)字共有n位位, 則稱則稱x*有有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字這這n個數(shù)字都稱為有效數(shù)字。個數(shù)字都稱為有效數(shù)字。取取x* = 3.142, 則則|x* - x| = 0.0004073 0.0005 = 有效位有效位4 4注：上述做法其實(shí)就是通常的四舍五入。注：上述做法其實(shí)就是通常的四舍五入。001. 021 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征如何描述有效數(shù)字？如何描述有效數(shù)字？【定義定義3.4】若若x* = 10m 0.a1a2an (a1 0)是對是對x的第的第n+1位數(shù)字進(jìn)行四舍五入后得到的近似值位數(shù)字進(jìn)行四舍五入后得到的近似值, 即即|x* - x| , 則稱則稱x*具有具有n位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。

17、注：注：(1) 稱稱x*具有具有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字, 即即| x* - x| nm 1021nm 1021一般情況下在計(jì)算機(jī)中的數(shù)一般情況下在計(jì)算機(jī)中的數(shù)往往規(guī)格化往往規(guī)格化, 故有必要考察規(guī)故有必要考察規(guī)格化數(shù)。格化數(shù)。汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征注：注：(1) 稱稱x*具有具有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字, 即即| x* - x| (2) 有效數(shù)字位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位置無關(guān)（即上式中的有效數(shù)字位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位置無關(guān)（即上式中的m不不起作用）。起作用）。 只有寫成規(guī)格化數(shù)后只有寫成規(guī)格化數(shù)后, 小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字位數(shù)才有用。小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字位數(shù)才有用。 (3) 4與與4.0具有不同的有效數(shù)位。具有不同的有效數(shù)位。nm

18、1021x* = 10m 0.a1a2an (a1 0)汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征【例例5】設(shè)準(zhǔn)確值為設(shè)準(zhǔn)確值為x = 3.78695, 分析近似值分析近似值x1*= 3.7869, x2*= 3.7870分別具有幾位有效數(shù)字。分別具有幾位有效數(shù)字。解：解：|x1* - x| = 0.00005 = （小數(shù)點(diǎn)后第（小數(shù)點(diǎn)后第4位）位）, 有效位有效位5。|x2* - x| = 0.00005 = （小數(shù)點(diǎn)后第（小數(shù)點(diǎn)后第4位）位）, 有效位有效位5。0001. 021 0001. 021 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征 (4) 一般來說一般來說, 有效位數(shù)越多有效位數(shù)越多, 其誤差值越小其誤差值越小, 但也有例外。但也有例外

19、。（誤差相同（誤差相同, 有效位不同有效位不同, 如下例）如下例）【例例6】設(shè)設(shè)x = 1000 , 它的兩個近似值它的兩個近似值x1*= 999.9和和x2*=1000.1分別有分別有3, 4位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征上面用絕對誤差來描述了有效數(shù)位上面用絕對誤差來描述了有效數(shù)位, 下面考慮相對誤差與有下面考慮相對誤差與有效數(shù)位的關(guān)系。效數(shù)位的關(guān)系?！久}命題】設(shè)設(shè)x*= 10m 0.a1a2an (a1 0)是是x的近似值的近似值若若x*具有具有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字, 則其相對誤差限滿足：則其相對誤差限滿足：111021 nra 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征【命題命題】設(shè)設(shè)x*= 10m 0.a

20、1a2an (a1 0)是是x的近似值的近似值若若x*具有具有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字, 則其相對誤差限滿足：則其相對誤差限滿足：證明：因?yàn)樽C明：因?yàn)閨 x*| 0.a1 10m, 且且x*具有具有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字, 所以所以注：有效數(shù)位越多注：有效數(shù)位越多, 則相對誤差越小則相對誤差越小, 反之亦然。反之亦然。111021 nra 11*101021|axxxemnmr 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中, 為了要使取得的近似數(shù)的相對誤差滿足一定為了要使取得的近似數(shù)的相對誤差滿足一定的要求的要求, 可以用命題中的不等式來確定所取得近似數(shù)應(yīng)具有可以用命題中的不等式來確定所取得近似數(shù)應(yīng)具有

21、多少位有效數(shù)字。多少位有效數(shù)字?！纠?】求求 的近似值的近似值, 使其相對誤差不超過使其相對誤差不超過0.1%解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?, 設(shè)設(shè)x*具有具有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字, 則其相則其相對誤差滿足：對誤差滿足：（命題）。（命題）。624494. 0106 1001 . 0102211 nre111021 nra 滿足此式有滿足此式有n = 4故取故取x*= 2.449。汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征【例例8】確定圓周率確定圓周率 的近似值的近似值 的絕對誤差限、相對誤的絕對誤差限、相對誤差限及有效數(shù)位。差限及有效數(shù)位。解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?* = = 3.141592920 , = 3.1415926535897

22、93 所以所以, | * | = 0.00000026 0.00000027, 且且誤差誤差|e| = | * | 0.0000005= , 11335511335577*109 . 010859437. 014159292. 300000027. 0| | 000001. 021 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征【例例8】確定圓周率確定圓周率 的近似值的近似值 的絕對誤差限、相對誤的絕對誤差限、相對誤差限及有效數(shù)位。差限及有效數(shù)位。解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?* = = 3.141592920 , = 3.141592653589793 所以所以, | * | 0.00000027, 且且誤差誤差|e| = | * |

23、0.0000005 = , 所以有所以有7位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。1133557*109 . 0| | 000001. 021 113355汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征當(dāng)自變量有誤差時(shí)當(dāng)自變量有誤差時(shí), , 計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值也會產(chǎn)生誤差計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值也會產(chǎn)生誤差, , 其其誤差限可由泰勒展式估計(jì)。誤差限可由泰勒展式估計(jì)。(1) (1) 設(shè)設(shè)f具有二階導(dǎo)函數(shù)具有二階導(dǎo)函數(shù), x*為為x的的近似值近似值, , 則則)()()()( )(! 2)()()()(*2*xexfxxxfyexxxxfxxxfxfxfyy 之間、介于之間之間、介于介于*2* )(! 2)()()()(xxxxfxxxfxfxf 汪遠(yuǎn)征汪

24、遠(yuǎn)征(2) (2) 若若f是是n元函數(shù)元函數(shù), 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), xi*為為xi的近似值的近似值, i=1,2,n, 則則)( ),(),(),(*1*2*1*2*121*kknkknnnxxxxxxfxxxfxxxfyy )(),()()(),()(*1*2*1*1*2*1*krnkknkrknkknxexxxxfyxyexexxxxfye 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征(2) (2) 若若f是是n元函數(shù)元函數(shù), 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), xi*為為xi的近似值的近似值, i=1,2,n, 則則)(),()()(),()(*1*2*1*1*2*1*krnkknkrknkknxexx

25、xxfyxyexexxxxfye nixinyixxxf1*1),.,( nirxiniryixxxfyx1*1*)(),.,()( 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征四則運(yùn)算作為二元函數(shù)的特例：四則運(yùn)算作為二元函數(shù)的特例：(1) (1) 加減法：加減法：)(),( )(),( )()(),( )(),( )(*2*2*2*12*1*1*2*11*2*2*12*1*2*11*xeyxxxfxeyxxxfyexexxfxexxfyerrr 1 , 1,),(212121 ffxxxxf*2*1*2*2*1*1*2*1*2*1*2*1)()()()()()(xxxexxexxxexexexxerrr )(),()()(

26、),()(*1*2*1*1*2*1*krnkknkrknkknxexxxxfyxyexexxxxfye 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征四則運(yùn)算作為二元函數(shù)的特例：四則運(yùn)算作為二元函數(shù)的特例：(2) (2) 乘法：乘法：*12*212121 ,),(xfxfxxxxf )()()()()()()()(*2*1*2*2*1*2*1*1*2*1*1*2*2*1*2*1*1*2*2*1xexexexxxxxexxxxxxexexxexxxerrrrr )(),( )(),( )()(),( )(),( )(*2*2*2*12*1*1*2*11*2*2*12*1*2*11*xeyxxxfxeyxxxfyexexxfxex

27、xfyerrr 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征四則運(yùn)算作為二元函數(shù)的特例：四則運(yùn)算作為二元函數(shù)的特例：(3) (3) 除法：除法：2*2*12*212121)( ,1,),(xxfxfxxxxf )()()()()()()()()(1)(*2*1*2*12*2*2*1*1*2*22*2*1*1*2*2*1xexexxexxexxexxexxxexxxerrr )(),( )(),( )()(),( )(),( )(*2*2*2*12*1*1*2*11*2*2*12*1*2*11*xeyxxxfxeyxxxfyexexxfxexxfyerrr 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征(1) (1) 浮點(diǎn)數(shù)及其誤差浮點(diǎn)數(shù)及其誤差二進(jìn)實(shí)數(shù)：二進(jìn)

28、實(shí)數(shù)：x = 2 0. 1 2 t 其中其中 1 1 0 0機(jī)器數(shù)：機(jī)器數(shù)： x* = 2 0. 1 2 t 符號符號 階碼階碼 尾數(shù)尾數(shù)稱稱fl(x)=x*為為x的機(jī)器規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的機(jī)器規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù), 簡稱浮點(diǎn)數(shù)簡稱浮點(diǎn)數(shù). .記記 = 0. 1 2 t, * = 0. 1 2 t, 則則 x = 2 , x* = 2 *尾數(shù)的長度由硬件決定尾數(shù)的長度由硬件決定汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征記記 = 0. 1 2 t, * = 0. 1 2 t, 則則 x = 2 , x* = 2 *顯然顯然, , | | | *| 0.1=2-1, , 所以所以, , 誤差（舍入）：誤差（舍入）：|e| =| x* x |

29、 =| fl(x) x | =2 | *| 2 2-t = 2 t 相對誤差（舍入）：相對誤差（舍入）：t11 . 0|* ttt 200 . 0|1*11*222|2|2| ttrxee 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征(2) (2) 浮點(diǎn)數(shù)的四則運(yùn)算浮點(diǎn)數(shù)的四則運(yùn)算記記fl(x)的相對舍入誤差為的相對舍入誤差為 , 則則fl(x) x = x x, | x| 2t+1. .由此得到浮點(diǎn)數(shù)四則運(yùn)算產(chǎn)生的舍入誤差為：由此得到浮點(diǎn)數(shù)四則運(yùn)算產(chǎn)生的舍入誤差為：fl(x y) = (x y)(1+ 1,2)fl(xy) = (xy)(1+ 3)| u | 2t+1 u=1,2,3,4.xxxflx )( )1)()(4

30、 yxyxflfl(x) = x(1+x)汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征【例例9 9】設(shè)設(shè)x = 2101 0.101101, y = 211 0.111101, 求求fl(xy).解：顯然解：顯然t = 110（6位）位）, 10111=10 2|a2 b2|, 即即1/3 (a/b)2 2|a2 b2|, 即即1/3 (a/b)2 3時(shí)時(shí)算法算法的相對誤差較小的相對誤差較小, , 此時(shí)此時(shí)算法算法比比算法算法在數(shù)值上更在數(shù)值上更可靠可靠, , 而當(dāng)而當(dāng)(a2 + b2) 2|a2 b2|時(shí)時(shí)算法算法比比算法算法在數(shù)值上更可靠。在數(shù)值上更可靠。epsbababary|)|(|1)(222222 epsbaba

31、ry|3)(2222 汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征如如: : a = 0.3237, b = 0.3134, 用用4位有效數(shù)字計(jì)算位有效數(shù)字計(jì)算a2 b2可可得如下結(jié)果：得如下結(jié)果：算法算法 a *a = 0.1048, b *b = 0.9822 101, (a *a) (b *b) = 0.66 102；算法算法 a +*b = 0.6371, a *b = 0.1030 101, (a +*a)(b *b) = 0.6562 102。a2b2的準(zhǔn)確值是的準(zhǔn)確值是0.656213 102, 可見算法可見算法比算法比算法的結(jié)果的結(jié)果可靠。可靠。汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征如如: : a = 0.3237, b = 0.31

32、34, 用用4位有效數(shù)字計(jì)算位有效數(shù)字計(jì)算a2 b2可可得如下結(jié)果：得如下結(jié)果：算法算法 a *a = 0.1048, b *b = 0.9822 101, (a *a) (b *b) = 0.66 102；算法算法 a +*b = 0.6371, a *b = 0.1030 101, (a +*a)(b *b) = 0.6562 102。而而a/b=0.3237/0.3134=1.032865., 有有1/3(a/b)23即由理論分析也知算即由理論分析也知算法法比算法比算法的結(jié)果的結(jié)果可靠。可靠。汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征在在Excel中看差別：中看差別：汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征【例例1313】在在4位有效數(shù)字的精度

33、下求定積分的值：位有效數(shù)字的精度下求定積分的值： n = 0, 1, 2, , 100解：由于解：由于初值初值 10d5xxxynnnxxxxxxyynnnnn1dd5551011011 )2 . 1ln(5ln6lnd51100 xxy汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征【例例1313】在在4位有效數(shù)字的精度下求定積分的值：位有效數(shù)字的精度下求定積分的值： n = 0, 1, 2, , 100解：所以解：所以初值初值于是可建立遞推公式于是可建立遞推公式nyynn151 )2 . 1ln(0 y )100, 2, 1(,51)2 . 1ln(10nynyynn 10d5xxxynn汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征【例例1313】在在4位

34、有效數(shù)字的精度下求定積分的值：位有效數(shù)字的精度下求定積分的值： n = 0, 1, 2, , 100解：建解：建立遞推公式立遞推公式這這是一個數(shù)值穩(wěn)定性不好的是一個數(shù)值穩(wěn)定性不好的算法算法, , y0的舍入誤差傳播到的舍入誤差傳播到y(tǒng)1時(shí)時(shí)增大增大5倍倍, 如此進(jìn)行如此進(jìn)行, 傳播傳播到到y(tǒng)100時(shí)將增大時(shí)將增大5 5100100倍倍。 10d5xxxynnyn yn* = 5(y*n-1 yn-1) )100, 2, 1(,51)2 . 1ln(10nynyynn汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征如果改變計(jì)算公式如果改變計(jì)算公式, , 先取先取一個一個yn的近似值的近似值, 用下面的公式倒用下面的公式倒過來計(jì)算過

35、來計(jì)算yn-1, yn-2, , , 情況就不同了情況就不同了即：即：我們發(fā)現(xiàn)我們發(fā)現(xiàn)Ik的誤差減小到的誤差減小到 后傳給后傳給Ik-1-1因而初值的誤差對以后各步的計(jì)算結(jié)果的影響是隨著因而初值的誤差對以后各步的計(jì)算結(jié)果的影響是隨著n的增的增大而愈來愈小。大而愈來愈小。)1 , 1,(51511 nnkykykk51151 nnyny汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征利用估計(jì)式利用估計(jì)式取取y100的近似值為的近似值為按下式即可求出按下式即可求出101個積分值：個積分值：)1(51d5d5d6)1(61101010 nxxxxxyxxnnnnn2101815. 0)50516061(21 )1,99,100(,51

36、51101815. 012100nynyynn汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征按下式即可求出按下式即可求出101個積分值：個積分值：由于由于y100的誤差在計(jì)算過程中的每一步都被乘以的誤差在計(jì)算過程中的每一步都被乘以1/5, , 所以該所以該算法是一個穩(wěn)定算法。算法是一個穩(wěn)定算法。 )1,99,100(,5151101815. 012100nynyynn汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征在在Excel中看差別：中看差別： )100, 2, 1(,51)2 . 1ln(10nynyynn )1,99,100(,5151101815. 012100nynyynn汪遠(yuǎn)征汪遠(yuǎn)征對于一個穩(wěn)定的計(jì)算過程對于一個穩(wěn)定的計(jì)算過程, , 由于舍入誤差不增大由于舍入誤差不增大, , 因而不因而不具體估計(jì)舍入誤差也是可用的。具體估計(jì)舍入誤差也是可用的。而對于一個不穩(wěn)定的計(jì)算過程而對于一個不穩(wěn)定的計(jì)算過程, , 如計(jì)算步驟太多如計(jì)算步驟太多, , 就可能就可能出現(xiàn)錯誤結(jié)果。出現(xiàn)錯誤結(jié)果。因此因