固體物理第二、四、五章-電子論復(fù)習(xí)與習(xí)題

1、電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)中山大學(xué)中山大學(xué) 物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)第二章第二章 自由電子論自由電子論第五章第五章 半經(jīng)典電子論（外場(chǎng)中電子）半經(jīng)典電子論（外場(chǎng)中電子）第四章第四章 電子能帶論電子能帶論1、Drude假設(shè)與應(yīng)用假設(shè)與應(yīng)用2、Sommerfeld假設(shè)與應(yīng)用假設(shè)與應(yīng)用3、Sommerfeld展開(kāi)的應(yīng)用展開(kāi)的應(yīng)用1、Bloch定理定理2、近自由電子近似以及結(jié)論、近自由電子近似以及結(jié)論3、緊束縛近似以及應(yīng)用、緊束縛近似以及應(yīng)用4、能態(tài)密度、能態(tài)密度1、電子半經(jīng)典論結(jié)論及應(yīng)用、電子半經(jīng)典論結(jié)論及應(yīng)用2、電子在恒定電、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)、電子在恒定電、磁場(chǎng)中的運(yùn)

2、動(dòng)3、導(dǎo)體、半導(dǎo)體、金屬、半金屬的、導(dǎo)體、半導(dǎo)體、金屬、半金屬的能帶解釋能帶解釋4、電子與外場(chǎng)的相互作用效應(yīng)、電子與外場(chǎng)的相互作用效應(yīng)電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)第二章第二章 自由電子論自由電子論1、Drude假設(shè)與應(yīng)用假設(shè)與應(yīng)用1 1）自由電子近似：）自由電子近似：傳導(dǎo)電子由原子的價(jià)電子提供，離子實(shí)對(duì)電子的作用傳導(dǎo)電子由原子的價(jià)電子提供，離子實(shí)對(duì)電子的作用可以忽略不計(jì)，離子實(shí)的作用維持整個(gè)金屬晶體的電中性可以忽略不計(jì)，離子實(shí)的作用維持整個(gè)金屬晶體的電中性, ,與電子與電子發(fā)生碰撞。發(fā)生碰撞。2 2）獨(dú)立電子近似：）獨(dú)立電子近似：電子與電子之間的相互作用可以忽略不計(jì)。外電場(chǎng)為電子與電子之間的相互作用可

3、以忽略不計(jì)。外電場(chǎng)為零時(shí)零時(shí), ,忽略電子之間的碰撞，兩次碰撞忽略電子之間的碰撞，兩次碰撞( (與離子實(shí)碰撞與離子實(shí)碰撞) )之間電子自之間電子自由飛行。由飛行。3） 玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)玻爾茲曼統(tǒng)計(jì): 自由電子氣服從玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)自由電子氣服從玻爾茲曼統(tǒng)計(jì);4）弛豫時(shí)間近似：）弛豫時(shí)間近似：電子在單位時(shí)間內(nèi)碰撞一次的幾率為電子在單位時(shí)間內(nèi)碰撞一次的幾率為1/ ， 稱為稱為弛豫弛豫 時(shí)間時(shí)間(即平均自由時(shí)間即平均自由時(shí)間)。每次碰撞時(shí)。每次碰撞時(shí), 電子失去它在電場(chǎng)作用下獲得的能電子失去它在電場(chǎng)作用下獲得的能量，即電子和周圍環(huán)境達(dá)到熱平衡僅僅是通過(guò)與原子實(shí)的碰撞實(shí)現(xiàn)的。量，即電子和周圍環(huán)境達(dá)到熱平衡僅僅

4、是通過(guò)與原子實(shí)的碰撞實(shí)現(xiàn)的。（1）假設(shè)內(nèi)容）假設(shè)內(nèi)容電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)（2）假設(shè)處理的問(wèn)題）假設(shè)處理的問(wèn)題歐姆定律歐姆定律E= j ，其中，其中E為外加電場(chǎng)強(qiáng)度、為外加電場(chǎng)強(qiáng)度、 為電阻率、為電阻率、j為電流密度。為電流密度。第二章第二章 自由電子論自由電子論1、Drude假設(shè)與應(yīng)用假設(shè)與應(yīng)用電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)（1）假設(shè)內(nèi)容）假設(shè)內(nèi)容第二章第二章 自由電子論自由電子論2、Sommerfeld假設(shè)與應(yīng)用假設(shè)與應(yīng)用v 電子在運(yùn)動(dòng)中存在一定的散射機(jī)制。電子在運(yùn)動(dòng)中存在一定的散射機(jī)制。v 電子在一有限深度的方勢(shì)阱中運(yùn)電子在一有限深度的方勢(shì)阱中運(yùn) 動(dòng)，電子間的相互作用忽略不計(jì)；動(dòng)，電子間的相互作用忽

5、略不計(jì)； v 電子按能量的分布遵從電子按能量的分布遵從Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)；統(tǒng)計(jì)；v 電子的填充滿足電子的填充滿足Pauli不相容原理；不相容原理；得出了得出了費(fèi)米能級(jí)，費(fèi)米面費(fèi)米能級(jí)，費(fèi)米面等重要概念并成功地解決了電子比熱等重要概念并成功地解決了電子比熱比經(jīng)典值小等經(jīng)典模型所無(wú)法解釋的問(wèn)題。比經(jīng)典值小等經(jīng)典模型所無(wú)法解釋的問(wèn)題。提供提供 (k)的計(jì)算依據(jù)的計(jì)算依據(jù)提供提供(E)的計(jì)算的計(jì)算電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)（2）(k)和和(E)第二章第二章 自由電子論自由電子論2、Sommerfeld假設(shè)與應(yīng)用假設(shè)與應(yīng)用2121212122)2()()()2(222)(,222222)(2)(ZEm

6、LdEEdZEEmLmELEZmEkmkEkLkkE代入上式可以有一維：22222222)()(22)(,2242)(2)(ZmSdEEdZEEmSmESEZmEkmkEkSkkE代入上式可以有二維：21322323322332223332)2()()(3)2()2(3)(,22348234)(2)(ZEmVdEEdZEEmVmEVEZmEkmkEkVkkE代入上式可以有三維：注注1:系數(shù)系數(shù)2是因?yàn)榭紤]是因?yàn)榭紤]電子自旋電子自旋注注2：一維是線，有兩個(gè)方向：一維是線，有兩個(gè)方向注注2：二維是圓面：二維是圓面注注2：三維是球體：三維是球體電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)（3）T=0K時(shí)的計(jì)算時(shí)的計(jì)算第二章

7、第二章 自由電子論自由電子論2、Sommerfeld假設(shè)與應(yīng)用假設(shè)與應(yīng)用2323220223322FNEnmVm系統(tǒng)的自由電子總數(shù)為系統(tǒng)的自由電子總數(shù)為 0Nf EE dE系統(tǒng)的總能量：系統(tǒng)的總能量： 00UEf EE dE電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)T0K時(shí)的計(jì)算時(shí)的計(jì)算第二章第二章 自由電子論自由電子論2、Sommerfeld展開(kāi)的應(yīng)用展開(kāi)的應(yīng)用確定一維、二維、三維自由電子氣在有限溫度確定一維、二維、三維自由電子氣在有限溫度T時(shí)得費(fèi)米能級(jí)時(shí)得費(fèi)米能級(jí)這里我只考慮這里我只考慮T0的情況，因?yàn)榈那闆r，因?yàn)門=0估計(jì)你們都清楚，我這里主要是展示如何估計(jì)你們都清楚，我這里主要是展示如何Sommerfeld

8、近似。近似。0)()(FermidEEEfN能，那就是要用：求首先需要明確，一看到 2206FBFf E Q E dEQ Ek TQEN(E)不同維度不一樣，但是不同維度不一樣，但是f(E)都是一樣的，我們都是一樣的，我們Sommerfeld近似就是處理近似就是處理f(E)的。的。 0Nf EE dE Q EE因?yàn)椋焊鶕?jù)根據(jù)Sommerfeld近似：近似：令：電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)第二章第二章 自由電子論自由電子論2、Sommerfeld展開(kāi)的應(yīng)用展開(kāi)的應(yīng)用)( )(6)()()(22000FBEEEETkdEEEdEFFF 2206FBFEE dEk TE上式有：上式有：N)( )(6)(02

9、200FBFFFETkEEENN)( )()(602020FBFFFETkEEE取近似有：取近似有：2321212121)( )2()()(CEECEEmLdEEdZE一維：212121322321)( 2)2()()(CEECEEmVdEEdZE三維：)( )()(602020FBFFFETkEEE)(121 )21()(6)( )()(6202023022102002020FBFFBFFFBFFFETkECETkCEEETkEEE)(121 )21()(6)( )()(6202021022102002020FBFFBFFFBFFFETkECETkCEEETkEEE電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)) 1

10、ln() 1ln(1111)()()(/222202020TkEBBFxBTkExxBTkExBTkEEBFBFBFBFeTmSkTkEeTmSkedxeTmSkeTdxkmSdEemSdEmSEfdEEEfNTkEExBF二維問(wèn)題，根本不需要用二維問(wèn)題，根本不需要用Sommerfeld近似。近似。 1ln1) 1ln(222TmknBFTkETmknTkEBBBFBBFeTkEeeeTmknn=N/S，即為單位面積的電子數(shù)，即為單位面積的電子數(shù)電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)*3109.11 10mmkg341.055 10J s231.38 10/BkJ K2316.022 10Nmol例例: :已知

11、已知NaNa具有體心立方結(jié)構(gòu)，點(diǎn)陣常數(shù)具有體心立方結(jié)構(gòu)，點(diǎn)陣常數(shù)a aNaNa=0.4282 nm=0.4282 nm，試，試求其絕對(duì)零度時(shí)的費(fèi)米能、費(fèi)米速度、費(fèi)米溫度、單位體積求其絕對(duì)零度時(shí)的費(fèi)米能、費(fèi)米速度、費(fèi)米溫度、單位體積的電子氣平均能，的電子氣平均能， 第二章第二章 自由電子論自由電子論二、基本計(jì)算二、基本計(jì)算 第二章第二章 自由電子論自由電子論二、基本計(jì)算二、基本計(jì)算).(896. 15353)(106 . 3).(1005. 121)(16. 332)(1055. 210282. 412123000400160023/2220328310meVnEEEEKkETsmvEmveVn

12、mEmVNnAlNaFFBFFFFFF單位體積電子氣平均能每個(gè)電子的平均能費(fèi)米溫度費(fèi)米速度絕對(duì)零度下的費(fèi)米能自由電子密度個(gè)自由電子，故原子有個(gè)原子，每個(gè)個(gè)晶胞有具有體心立方結(jié)構(gòu)，每電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)第四章第四章 電子能帶論電子能帶論1、Bloch定理定理在周期場(chǎng)中，描述電子運(yùn)動(dòng)的在周期場(chǎng)中，描述電子運(yùn)動(dòng)的Schrdinger方程為方程為 222UEm rrr為格矢為格矢 123123Raaa UUrrR為周期性勢(shì)場(chǎng)，為周期性勢(shì)場(chǎng)，這里，這里，uk(r) = uk(r+Rl) 是以格矢是以格矢Rl為周期的周期函數(shù)。為周期的周期函數(shù)。 ieu kkkrrr波函數(shù)有如下性質(zhì)：波函數(shù)有如下性質(zhì)： k

13、 Rr + Rr ie或或 布洛赫定理說(shuō)明了一個(gè)在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子波函數(shù)為：一個(gè)自由布洛赫定理說(shuō)明了一個(gè)在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子波函數(shù)為：一個(gè)自由電子波函數(shù)電子波函數(shù) 與一個(gè)具有晶體結(jié)構(gòu)周期性的函數(shù)與一個(gè)具有晶體結(jié)構(gòu)周期性的函數(shù) 的乘積。的乘積。rkie)(ruk電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)第四章第四章 電子能帶論電子能帶論1、Bloch定理定理。的簡(jiǎn)約波矢和廣延波矢。試求電子；電子波函數(shù)為，定理，若晶格常數(shù)為應(yīng)當(dāng)滿足數(shù)一維周期場(chǎng)中電子波函lkkklaxfxxaixax)()()2(3cos)() 1 (Bloch)(，有定理解：由)()(Blochxeaxkikak.2 , 1 , 0,20sin;c

14、os1sin3coscos3cos3cos3cos3cos)() 1 (nanakakkaknakaxakaxaixaixaieaxaiaxikak；廣延波矢簡(jiǎn)約波矢.2 , 1 , 0,201)()() 1()()()()()2(nankkelaxfalxfalxflaaxflaxfelaaxfaxikalllllikalk；廣延波矢簡(jiǎn)約波矢電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)第四章第四章 電子能帶論電子能帶論2、近自由電子近似、近自由電子近似v BornOppenheimer絕熱近似：所有離子實(shí)都周期性絕熱近似：所有離子實(shí)都周期性 地靜止排列在其格點(diǎn)位置上，因而忽略了電子與聲子地靜止排列在其格點(diǎn)位置上，因

15、而忽略了電子與聲子 的碰撞。的碰撞。v HatreeFock平均場(chǎng)近似：忽略電子與電子間的相互平均場(chǎng)近似：忽略電子與電子間的相互 作用，用平均場(chǎng)代替電子與電子間的相互作用。作用，用平均場(chǎng)代替電子與電子間的相互作用。v 所有離子實(shí)勢(shì)場(chǎng)和其它電子的平均場(chǎng)是所有離子實(shí)勢(shì)場(chǎng)和其它電子的平均場(chǎng)是周期性勢(shì)場(chǎng)周期性勢(shì)場(chǎng), 電子在固體中將受到周期性勢(shì)場(chǎng)的作用。電子在固體中將受到周期性勢(shì)場(chǎng)的作用。多種粒子問(wèn)題就簡(jiǎn)化成多電子問(wèn)題多種粒子問(wèn)題就簡(jiǎn)化成多電子問(wèn)題多電子問(wèn)題就簡(jiǎn)化成單電子問(wèn)題多電子問(wèn)題就簡(jiǎn)化成單電子問(wèn)題（1）假設(shè)內(nèi)容）假設(shè)內(nèi)容電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)第四章第四章 電子能帶論電子能帶論2、近自由電子近似、近自

16、由電子近似 需要指出的是，在固體物理中，能帶論是從周期性勢(shì)場(chǎng)中推導(dǎo)出來(lái)的。但是，需要指出的是，在固體物理中，能帶論是從周期性勢(shì)場(chǎng)中推導(dǎo)出來(lái)的。但是，周期性勢(shì)場(chǎng)并不是電子具有能帶結(jié)構(gòu)的必要條件周期性勢(shì)場(chǎng)并不是電子具有能帶結(jié)構(gòu)的必要條件，在非晶固體中，電子同樣有，在非晶固體中，電子同樣有能帶結(jié)構(gòu)。能帶結(jié)構(gòu)。1）在零級(jí)近似下，電子被看成自由粒子，能量本征值）在零級(jí)近似下，電子被看成自由粒子，能量本征值Ek(0)為為k的拋物線；的拋物線；2）由于周期勢(shì)場(chǎng)的散射，當(dāng)電子的）由于周期勢(shì)場(chǎng)的散射，當(dāng)電子的Bloch波的波矢為波的波矢為k=2n/a時(shí)，時(shí)，Bloch波的入射波的入射波與反射波形成駐波，無(wú)法傳播

17、；波與反射波形成駐波，無(wú)法傳播；3）從而使得）從而使得E(k)函數(shù)在函數(shù)在k=2n/a處斷開(kāi)，本證能量發(fā)生突變，出現(xiàn)能量間隔處斷開(kāi)，本證能量發(fā)生突變，出現(xiàn)能量間隔2|Vn|；4）間隔內(nèi)不存在允許的電子能級(jí)，稱為禁帶；其余區(qū)域仍基本保持自由電子時(shí)的）間隔內(nèi)不存在允許的電子能級(jí)，稱為禁帶；其余區(qū)域仍基本保持自由電子時(shí)的數(shù)值，形成能帶。數(shù)值，形成能帶。（2）能隙的由來(lái)）能隙的由來(lái)電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)第四章第四章 電子能帶論電子能帶論3、緊束縛近似、緊束縛近似（1）緊束縛與近自由的區(qū)別）緊束縛與近自由的區(qū)別1） 近自由電子模型（近自由電子模型（The Nearly Free Electron Mode

18、l）該模型假設(shè)晶體勢(shì)很弱，晶體電子的行為很像是自由電子，我們可以在自該模型假設(shè)晶體勢(shì)很弱，晶體電子的行為很像是自由電子，我們可以在自由電子模型結(jié)果的基礎(chǔ)上用微擾方法去處理勢(shì)場(chǎng)的影響，這種模型得到的由電子模型結(jié)果的基礎(chǔ)上用微擾方法去處理勢(shì)場(chǎng)的影響，這種模型得到的結(jié)果可以作為簡(jiǎn)單金屬（如：結(jié)果可以作為簡(jiǎn)單金屬（如：Na,K,Al）價(jià)帶的粗略近似。）價(jià)帶的粗略近似。2） 緊束縛模型（緊束縛模型（The Tight-Binding Model） 該模型假定原子勢(shì)很強(qiáng)，晶體電子基本上是圍繞著一個(gè)固定原子運(yùn)動(dòng)，與該模型假定原子勢(shì)很強(qiáng)，晶體電子基本上是圍繞著一個(gè)固定原子運(yùn)動(dòng)，與相鄰原子存在的很弱的相互作用可

19、以當(dāng)作微擾處理，所得結(jié)果可以作為固相鄰原子存在的很弱的相互作用可以當(dāng)作微擾處理，所得結(jié)果可以作為固體中狹窄的內(nèi)殼層能帶的粗略近似，例如，過(guò)渡金屬的體中狹窄的內(nèi)殼層能帶的粗略近似，例如，過(guò)渡金屬的3d能帶。能帶。Schrdinger方程：方程：2222dUxxExm dx電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)第四章第四章 電子能帶論電子能帶論3、緊束縛近似、緊束縛近似（2）緊束縛的計(jì)算）緊束縛的計(jì)算例：用緊束縛方法處理體心立方晶系，求出：例：用緊束縛方法處理體心立方晶系，求出：1）s態(tài)電子能帶；態(tài)電子能帶；2）畫(huà)出第一布里淵區(qū)）畫(huà)出第一布里淵區(qū)111方向的能帶曲線；方向的能帶曲線；)2,2,2(aaa解：對(duì)于體心

20、立方，參考點(diǎn)為（解：對(duì)于體心立方，參考點(diǎn)為（0，0，0），則有），則有8個(gè)最近鄰個(gè)最近鄰電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)2cos2cos2cos82cos2cos)(42cos2cos2cos2cos2)() 1 (22)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2akakakJCEakakeeJCEakeakeakeakeJCEeeeeeeeeJCEeJCEkEzyxssatszykaikaissatszkkaizkkaizkkaizkkaissatskkkaikkkaikkkaikkkaikkkaikkkaikkkaikkkaissatsnRikssatssxxyxyxyxy

21、xzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxnCsEEkaJsEEkkkkatszyx030),63(cos833111)2(其中能帶化為：方向上，在電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)例：用緊束縛發(fā)處理面心立方晶格例：用緊束縛發(fā)處理面心立方晶格s態(tài)電子，試導(dǎo)出其能帶關(guān)系，并求出能帶底的態(tài)電子，試導(dǎo)出其能帶關(guān)系，并求出能帶底的有效質(zhì)量。有效質(zhì)量。nRk issatssneJCEkE)(,2, 0 ,2,2, 0 ,2,2,2, 0,2, 0 ,2,0 ,2,2,2,2, 0,2, 0 ,2,0 ,2,2,0 ,2,2,2,2, 0,2, 0 ,2,0 ,2,2aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

22、aa2cos2cos2cos2cos2cos2cos4)(2cos)(2cos)(2cos)(2cos)(2cos)(2cos2akakakakakakJCEkkakkakkakkakkakkaJCEEzxyzyxssatszxzyyxyzzxyxssatss答：（答：（1）緊束縛近似處理是能帶可以表示為：）緊束縛近似處理是能帶可以表示為：面心立方晶格只取最近鄰格點(diǎn)坐標(biāo)有面心立方晶格只取最近鄰格點(diǎn)坐標(biāo)有12個(gè)：個(gè)：電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)例：用緊束縛發(fā)處理面心立方晶格例：用緊束縛發(fā)處理面心立方晶格s態(tài)電子，試導(dǎo)出其能帶關(guān)系，并求出能帶底的態(tài)電子，試導(dǎo)出其能帶關(guān)系，并求出能帶底的有效質(zhì)量。有效質(zhì)量。

23、2222202222)44(4aJaaJkEmsskxsxxx2222202222)44(4aJaaJkEmsskysyyy2222202222)44(4aJaaJkEmsskzszzzjikkEjis, 02222aJs代入上式可以求的得：代入上式可以求的得：（2）當(dāng)）當(dāng)Es最小時(shí)為能帶底，此時(shí)最小時(shí)為能帶底，此時(shí)x,y,z均為均為0同時(shí)計(jì)算發(fā)現(xiàn)：同時(shí)計(jì)算發(fā)現(xiàn)：因此有效質(zhì)量就可以等于因此有效質(zhì)量就可以等于電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)第四章第四章 電子能帶論電子能帶論4、能態(tài)密度、能態(tài)密度dSdEdkkEdSkEk)(|)()() 1 (kmEkmkEk222,2)(2132232232)2(4)2(

24、2)(2)(EmVkkmVEdSkEk利用自由電子近似驗(yàn)證一下：利用自由電子近似驗(yàn)證一下：2132232)2()()(EmVdEEdZE與第二章結(jié)果一致！與第二章結(jié)果一致?。?）畫(huà)費(fèi)米面：請(qǐng)注意我在第四章復(fù)習(xí)題中提到的兩道題目）畫(huà)費(fèi)米面：請(qǐng)注意我在第四章復(fù)習(xí)題中提到的兩道題目電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)第五章第五章 外場(chǎng)中的電子外場(chǎng)中的電子1、電子半經(jīng)典理論的應(yīng)用、電子半經(jīng)典理論的應(yīng)用1E kv222*d Edkm ddt kF2271( )(coscos2)88E kkakamaaE已知一維晶體的電子能帶可以寫(xiě)為已知一維晶體的電子能帶可以寫(xiě)為，式中，式中為晶格常數(shù)，求：為晶格常數(shù)，求：1）布里淵區(qū)邊

25、界）布里淵區(qū)邊界2）能帶寬度）能帶寬度3）電子在波矢）電子在波矢k狀態(tài)時(shí)的速度狀態(tài)時(shí)的速度4）能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量）能帶底部和頂部電子的有效質(zhì)量 答：（答：（1）1,2,3nkna （2 2）能帶寬度）能帶寬度maxminEEE電子論復(fù)習(xí)電子論復(fù)習(xí)第五章第五章 外場(chǎng)中的電子外場(chǎng)中的電子1、電子半經(jīng)典理論的應(yīng)用、電子半經(jīng)典理論的應(yīng)用（2 2）能帶寬度）能帶寬度maxminEEE2( )1(sinsin2)04dE kkakadkma極值條件：極值條件：0)cos211 (sin2sin41sinkakakaka上式得唯一解是上式得唯一解是sin0ka 在第一布里淵區(qū)的解為在第一布里淵區(qū)的解為0,ka當(dāng)當(dāng)k=0時(shí)，時(shí)，E(k)取極小值，取極小值，Emin=E(0)=0當(dāng)當(dāng)k=/a