第2章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的時域分析xin

1、第第2章章 LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域分析連續(xù)系統(tǒng)的時域分析2.1 緒論緒論2.2 LTI系統(tǒng)的響應系統(tǒng)的響應2.3 典型響應典型響應2.4 連續(xù)信號的卷積連續(xù)信號的卷積2.5 小結小結教學目標與要求教學目標與要求v掌握連續(xù)系統(tǒng)微分方程及其解的基本特點。掌握連續(xù)系統(tǒng)微分方程及其解的基本特點。v理解掌握零輸入響應與零狀態(tài)響應的概念與求理解掌握零輸入響應與零狀態(tài)響應的概念與求解方法。解方法。v理解掌握單位沖激響應和單位階躍響應的概念。理解掌握單位沖激響應和單位階躍響應的概念。v掌握沖激響應和階躍響應的求解方法。掌握沖激響應和階躍響應的求解方法。v理解掌握連續(xù)信號卷積的定義。理解掌握連續(xù)信號卷積的定義。v

2、掌握卷積的計算方法。掌握卷積的計算方法。v了解卷積在連續(xù)系統(tǒng)分析中的應用。了解卷積在連續(xù)系統(tǒng)分析中的應用。2.1 2.1 緒論緒論2.1.1 2.1.1 基本概念基本概念2.1.2 2.1.2 經(jīng)典解經(jīng)典解2.1.3 2.1.3 系統(tǒng)的初始值系統(tǒng)的初始值vLTI連續(xù)系統(tǒng)是最常見最有用的一類系統(tǒng)，描述這類系統(tǒng)輸入輸出關系的數(shù)學模型是常系數(shù)線性微分方程。從系統(tǒng)的數(shù)學模型出發(fā)，在時域中研究輸入信號通過系統(tǒng)后響應的變化規(guī)律，是研究系統(tǒng)時域特性的重要方法，這種方法稱為時域分析法。 時域分析法包含兩方面內(nèi)容：v微分方程的求解v將單位沖激響應與輸人激勵信號進行卷積積分，求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應2.1.1 2.1

3、.1 基本概念基本概念v例2.1-1：圖2.1.1是一典型的RLC線性二階電路，求電容兩端輸出電壓 與激勵源 之間的關系。 v 圖2.1.1 RLC線性二階電路解：電路系統(tǒng)建立微分方程的基本依據(jù)是基爾霍夫定律（KCL、KVL）以及元件的電壓-電流關系（VCR）。據(jù)圖可得各元件電壓關系式：電阻：電感：電容：電流關系是為：( )( )RutRi t( )( )Ldi tutLdt( )( )( )CLRututut( )( )( )sci ti ti t( )( )ccdu ti tCdt v按照微分方程的習慣寫法，最高階項系數(shù)一般為1v最后可得v系統(tǒng)的微分方程不但含有輸入信號，而且還含有系統(tǒng)的微

4、分方程不但含有輸入信號，而且還含有的導數(shù)。的導數(shù)。 ( ) ( )( )( ) ( )csccsdu td i tCdu tdtu tLR i tCdtdt( )( )( )( )( )cccssLCutRCututLitRit11( )( )( )( )( )cccssRRututu titi tLLCCLC如果單輸入如果單輸入- -單輸出系統(tǒng)的輸入激勵為單輸出系統(tǒng)的輸入激勵為f f(t)(t)，輸出響應，輸出響應y y(t) , (t) , 描述連續(xù)線性時不變（描述連續(xù)線性時不變（LTILTI）系統(tǒng)的數(shù)學模型為）系統(tǒng)的數(shù)學模型為n n階次的常系數(shù)線性微分方程形式如下階次的常系數(shù)線性微分方程

5、形式如下( )(1)110()(1)110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnmmmmytayta y ta y tb ftbftb f tb f t)()()()()()(011 -m1m011 -n1ntfbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtdammmmnnnn2.1.2 經(jīng)典解na 一般將激勵信號加入的時刻定義為一般將激勵信號加入的時刻定義為t=0 ，響應為，響應為 時的方程的解，時的方程的解， 初始條件初始條件:0t齊次解：齊次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解形式寫出齊次解形式1ekntkkA注意：注意：重根情況處理方法重根情況處

6、理方法特特 解：解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設含待定系根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設含待定系 數(shù)的特數(shù)的特解函數(shù)式解函數(shù)式, 代入原方程代入原方程，比較系數(shù)，比較系數(shù) 定出特解。定出特解。+2+n-1+2n-1dy(0 )d y(0 )dy(0 )y(0 )dtdtdt,經(jīng)典法全全 解：解：齊次解齊次解+特解，由初始條件定出特解，由初始條件定出齊次解系數(shù)齊次解系數(shù)齊次微分方程齊次微分方程1ekntkkA特征方程特征方程特征根特征根0)(.)()(011 -n1ntyatydtdatydtdannnn0.0111aaaannnn齊次解形式：（和特征根有關）齊次解形式：（和特征根有關）n,.,

7、211、齊次解、齊次解特征根特征根齊次解的形式齊次解的形式rtCerrtkkrtrtetCteCeC1211 2 ,ab jbteCbteCatatsincos21btetDbtteDbteDbtetCbtteCbteCatkkatatatkkatatsinsinsincoscoscos121121r單根單根k重實根重實根ajb1,21,2k重復根重復根線性時不變系統(tǒng)經(jīng)典求解1ekntkkAesin()ttecos()tt12cos()B sin()ateBtt激勵函數(shù)激勵函數(shù)e(t)或或f(t)響應函數(shù)響應函數(shù)y(t)y(t)或或 r(t) 的特解的特解EBpt1121ppppBtB tB

8、tBetektBtcos() tsin() t12cos()sin()BtBtesin()ptttecos()pttt11211121()ecos()()esin()pptpppptppBtB tB tBtDtD tD tDt或或12cos()sin()atteBtBt a 是是 k 重特征根重特征根當當ajb不是特征根不是特征根當當ajb是特征根是特征根t21)(eBtB a a 不是特征根不是特征根2、特解、特解3、全解、全解 hpy tytyt22( )6( )5 ( )tddy ty ty tedtdt(0)(0)0yy例：例：求微分方程的完全解求微分方程的完全解2650512( )t

9、thy tC eC e解解: : 齊次方程為齊次方程為 特征方程：特征方程： 特征根：特征根： 該方程的齊次解為：該方程的齊次解為：1251 ，22( )6( )5 ( )0ddy ty ty tdtdt ( )tpytCte激勵函數(shù)中激勵函數(shù)中a = -1= -1，與微分方程的一個特征根相同，因此特解為：，與微分方程的一個特征根相同，因此特解為： t -t -t -t -22)(5)(6)(eCteCtedtdCtedtd代入原微分方程得代入原微分方程得 求得求得 41C所以特解為所以特解為 tptety41)(完全解為完全解為tttphteeCeCtytyty41)()()(251代入初始

10、條件代入初始條件求得求得161,16121CC所以有所以有041161161)(5tteeetyttt0)0()0( yy4. 4. 全解在系統(tǒng)時域分析中的物理意義全解在系統(tǒng)時域分析中的物理意義 齊次解的函數(shù)形式（自由響應的響應形式），只依賴于特征根即系統(tǒng)本身的特性，與激勵 無關。 特征根稱為系統(tǒng)的“固有頻率”或“自然頻率”，它決定了系統(tǒng)自由響應的形式。特解的函數(shù)形式（強迫響應的響應形式）由激勵信號決定。 f t2.2 LTI2.2 LTI系統(tǒng)的響應系統(tǒng)的響應2.2.1 2.2.1 零輸入響應零輸入響應2.2.2 2.2.2 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應系統(tǒng)響應劃分自由響應強迫響應自由響應強迫響應(N

11、atural+forced)零輸入響應零狀態(tài)響應零輸入響應零狀態(tài)響應(Zero-input+Zero-state)暫態(tài)響應暫態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應(Transient+Steady-state) 也稱也稱固有響應固有響應，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵形，由系統(tǒng)本身特性決定，與外加激勵形 式無關。對應于式無關。對應于齊次解齊次解。 形式取決于形式取決于外加激勵外加激勵。對應于。對應于特解特解。 是指激勵信號接入一段時間內(nèi)，完全響應中暫時出現(xiàn)的是指激勵信號接入一段時間內(nèi)，完全響應中暫時出現(xiàn)的 有關成分，隨著時間有關成分，隨著時間t 增加，它將消失。增加，它將消失。 由完全響應中減去暫態(tài)響應分量

12、即得穩(wěn)態(tài)響應分量。由完全響應中減去暫態(tài)響應分量即得穩(wěn)態(tài)響應分量。 沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系沒有外加激勵信號的作用，只由起始狀態(tài)（起始時刻系 統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應。統(tǒng)儲能）所產(chǎn)生的響應。 不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于不考慮原始時刻系統(tǒng)儲能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的響應。零），由系統(tǒng)的外加激勵信號產(chǎn)生的響應。 自由響應：自由響應：暫態(tài)響應：暫態(tài)響應：穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應：強迫響應：強迫響應：零輸入響應：零輸入響應：零狀態(tài)響應：零狀態(tài)響應：各種系統(tǒng)響應定義求系統(tǒng)的零輸入響應( )3 ( )2 ( )( )y ty ty tf t2)0(,

13、1)0(-，yy解：解：特征方程特征方程02322, 121特征根特征根ttzieCeCty221)(零輸入響應零輸入響應1212(0 )1(0 )22yCCyCC 由起始條件由起始條件0,34)(2ziteetytt得零輸入響應為得零輸入響應為零輸入響應例：描述某LTI系統(tǒng)的方程為系統(tǒng)初始狀態(tài)為0)(2)(3)( tytyty零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應 零狀態(tài)響應定義為：系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時，僅由激勵信號( )f t引起的響應。 描述某LTI系統(tǒng)的方程為 ( )3 ( )2 ( )( )y ty ty tf t若系統(tǒng)激勵 ( )( )f tu t，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 zsyt解：由題意得，零狀態(tài)響

14、應 zsyt滿足的方程為( )3( )2( )( )zszszsytytytf t零狀態(tài)響應 zsyt的解仍由齊次解和特解兩部分組成。 （1）齊次解 zshyt齊次方程為 ( )3( )2( )0zszszsytytyt2320121,2 齊次解為 212ttzshytC eC e（2）特解 zspyt當激勵 ( )( )f tu t其特解應為 zspytP12P 全解為 21212ttzsytC eC e 2122ttzsytC eC e （3）確定初始值 ( )( )f tu t代入 zsyt( )3( )2( )( )zszszsytytytu t(0 )(0 )0,(0 )(0 )0z

15、szszszsyyyy1211,2CC 零狀態(tài)響應為 211,022ttzsyteet ( )3( )2( )( )zszszsytytytf t 求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，求解非齊次微分方程是比較煩瑣的工作，所以引出所以引出卷積積分法。卷積積分法。零狀態(tài)響應( )( )( )r te th t 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應系統(tǒng)的零狀態(tài)響應=激勵與系統(tǒng)沖激響應的激勵與系統(tǒng)沖激響應的卷積，即卷積，即 設零輸入響應為設零輸入響應為)(zitr，零狀態(tài)響應為，零狀態(tài)響應為)(zstr，則有則有 31zizs( )( )( )2esin(2 )( )tr tr trttu t32zizs( )( )2(

16、 )e2sin(2 ) ( )tr tr trtt u t解：解：3zizs0( )( )()r tr trtt03()3003e( ) esin(22 ) ()t ttu tttu tt 4zizs( )2( )0.5( )r tr trt332 3e( )0.5esin(2 )( )ttu ttu t解得解得3zi( )3e( )tr tu t3zs( ) esin(2 ) ( )trtt u t 35.5e0.5sin(2 )( )ttu t2.3 2.3 典型響應典型響應2.3.1 2.3.1 單位沖激響應單位沖激響應2.3.2 2.3.2 單位階躍響應單位階躍響應2.3.12.3.1

17、沖激響應沖激響應1 1定義定義 系統(tǒng)在單位沖激信號系統(tǒng)在單位沖激信號 作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應，稱為作用下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應，稱為單位單位沖激響應沖激響應，簡稱，簡稱沖激響應沖激響應，一般用，一般用h(t)表示。表示。 ( ) tH( ) t( )h t說明說明: : 在時域，對于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況下加同樣的激勵在時域，對于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況下加同樣的激勵 看響應看響應 ， 不同，說明其系統(tǒng)特性不同，不同，說明其系統(tǒng)特性不同， 沖激響應沖激響應可以衡量系統(tǒng)的特性?？梢院饬肯到y(tǒng)的特性。( ) t( )h t( )h t響應及其各響應及其各階導數(shù)階導數(shù)(最最高階為高階為n次次)2.沖激響應的數(shù)學模

18、型沖激響應的數(shù)學模型1011110111d( )d( )d ( )( )dddd( )d( )d ( )( )dddnnnnnnmmmmmmr tr tr tCCCC r tttte te te tEEEE e tttt對于線性時不變系統(tǒng)對于線性時不變系統(tǒng),可以用一可以用一高階微分方程高階微分方程表示表示 ( )(1)(1)011()(1)(1)011( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnmmmmC htC htChtC h tEtEtEtEt激勵及其各激勵及其各階導數(shù)階導數(shù)(最高最高階為階為m次次)令令 e(t)=(t) 則則 r(t)=h(t)2.3.2單位階躍響應( )

19、u t g t對于一個LTI系統(tǒng)，由輸入激勵為單位階躍函數(shù)單位階躍響應，簡稱階躍響應，用表示。 時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應稱為( )1,0( )0,0u ttu tt可知，階躍響應 g t解的形式仍由齊次解和特解。2.4 2.4 連續(xù)信號的卷積連續(xù)信號的卷積2.4.1 2.4.1 卷積的定義和圖示卷積的定義和圖示2.4.2 2.4.2 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)2.4.1卷積定義和圖形卷積定義和圖形12( )( )f tf t12( )( )()df tfft1212( )( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf t或或12( )( )f tft主要利用卷積來求解系統(tǒng)的零狀態(tài)

20、響應。主要利用卷積來求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。設有兩個設有兩個 函數(shù)函數(shù) ，積分，積分稱為稱為 的的卷積積分卷積積分，簡稱，簡稱卷積卷積，記為，記為( )( ) ()de tet ( )( )r tH e t( ) ()dHet ( )() deHt( ) ()deh t這就是系統(tǒng)的這就是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。零狀態(tài)響應。zs( )( )( )( )( )rte th te th t若把它作用于沖激響應為若把它作用于沖激響應為h(t)的的LTIS，則響應為，則響應為卷積的計算卷積的計算卷積積分中積分限的確定是非常關鍵的。卷積積分中積分限的確定是非常關鍵的。借助于階躍函數(shù)借助于階躍函數(shù) u (t) 確定

21、積分限確定積分限利用圖解說明確定積分限利用圖解說明確定積分限 用圖解法直觀，尤其是函數(shù)式復雜時，用圖形分段求出定積分限尤為用圖解法直觀，尤其是函數(shù)式復雜時，用圖形分段求出定積分限尤為方便準確，用解析式作容易出錯，最好將兩種方法結合起來。方便準確，用解析式作容易出錯，最好將兩種方法結合起來。 12( )( )()df tff t11( )( )f tf 2222( )( )()()f tfff t 倒置12( )()ff t12( ).()dff t積分變量改為積分變量改為時延3.相乘相乘4.乘積的積分乘積的積分2.1.對對延時延時t，(- t)= t- 積分結果為積分結果為t t 的函數(shù)的函數(shù)

22、例例1：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yf(t)。解解： yf(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt當當t t時，時，(t -) = 0ttttftyd)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e323232當當t ，即，即 t時，時，(t -) = 1yf(t) = f (t) * h(t)=0卷積的圖解法卷積的圖解法dtfftftf)()()(*)(2121卷積過程可分解為卷積過程可分解為四步四步：（1）換元換元： t換為換為得得 f1()， f2()（2）反轉平

23、移反轉平移：由：由f2()反轉反轉 f2()右移右移t f2(t-)（3）乘積乘積： f1() f2(t-) （4）積分積分： 從從 到到對乘積項積分。對乘積項積分。注意：注意：t為參變量。為參變量。th( )f (t - )201321例2 f (t) ,h(t) 如圖所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用圖解法求卷積 。 f ( t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0時時 , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0 0t 1 時時, f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytf

24、 1t 2時時4121d21)(1ttyttf 3t 時時f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函數(shù)形式復雜函數(shù)形式復雜 換元為換元為h()。 f (t)換元換元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 2t 3 時時432141d21)(221tttytf0一代數(shù)性質(zhì)1交換律交換律2分配律分配律3結合律結合律系統(tǒng)并聯(lián)運算系統(tǒng)并聯(lián)運算系統(tǒng)級聯(lián)運算系統(tǒng)級聯(lián)運算1221( )( )( )( )f tf tf tf t1231213( ) ( )

25、( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf tf t1212( )( )( )( ) ( )( )f tf tf tf tf tf t2.4.2 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)系統(tǒng)并聯(lián)12( )( )( )h th th t1231213( ) ( )( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf tf t系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示：系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示： ( )g t( )f t( )h t( )g t( )f t( )f t( )f t( )h t1( )h t2( )h t)()(1thtf )()(2thtf 12( )( )( )( )( )( )f th t

26、f th tf th t結論：結論：子系統(tǒng)并聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響應等于子系統(tǒng)并聯(lián)時，總系統(tǒng)的沖激響應等于各子系統(tǒng)沖激響應之和。各子系統(tǒng)沖激響應之和。系統(tǒng)級聯(lián)1212( )( )( )( ) ( )( )f th th tf th th t( )( )f th t12( )( )( )h th th t系統(tǒng)級聯(lián)，框圖表示：系統(tǒng)級聯(lián)，框圖表示： ( )f t1( )h t2( )h t( )g t1( )( )f th t12( )( )( )f th th t( )g t( )f t( )h t結論：結論：時域中，子系統(tǒng)級聯(lián)時，總的沖激響應等于子系統(tǒng)沖激響應的卷積。時域中，子系統(tǒng)級聯(lián)時，總的沖激

27、響應等于子系統(tǒng)沖激響應的卷積。 二時移性質(zhì)設設則則)()()()()(txththtxtg)()()()()(00tthttxthtxtg)()()()()(000tthtxthttxttg1( )f t2( )f tA BC D A+C B+D( )g t一般規(guī)律：一般規(guī)律：上限上限下限下限三微分積分性質(zhì)( )( )( )( )( )g tf th tf th t( )( )( )( )( )( )( )( )nnngtf thtfth t( 1)( 1)( 1)( )( )( )( )( )gtf thtfth tg(t)的積分的積分tttdxthdhtxdg)()()()()(積分性質(zhì)積分性質(zhì)微分性質(zhì)：微分性質(zhì)：推廣：推廣：()( )()()( )( )( )(