量子力學(xué)作業(yè)習(xí)題

1、第1章 量子力學(xué)的誕生1 在宏觀世界里，量子現(xiàn)象常常可以忽略對(duì)下列諸情況，在數(shù)值上加以證明：( l ）長(zhǎng)l=lm ，質(zhì)量M=1kg 的單擺的零點(diǎn)振蕩的振幅；( 2 ）質(zhì)量M=5g ，以速度10cm/s 向一剛性障礙物（高5cm ，寬1cm ）運(yùn)動(dòng)的子彈的透射率；( 3 ）質(zhì)量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 運(yùn)動(dòng)的鋼球被尺寸為1×1.5m2時(shí)的窗子所衍射2 用h,e,c,m（電子質(zhì)量）, M （質(zhì)子質(zhì)量）表示下列每個(gè)量，給出粗略的數(shù)值估計(jì)：( 1 ）玻爾半徑（cm ) ; ( 2 ）氫原子結(jié)合能（eV ) ; ( 3 ）玻爾磁子；( 4 ）電子的康普頓波長(zhǎng)（cm ) ; ( 5

2、 ）經(jīng)典電子半徑（cm ) ; ( 6 ）電子靜止能量（MeV ) ; ( 7 ）質(zhì)子靜止能量( MeV ) ; ( 8 ）精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)；( 9 ）典型的氫原子精細(xì)結(jié)構(gòu)分裂3導(dǎo)出、估計(jì)、猜測(cè)或背出下列數(shù)值，精確到一個(gè)數(shù)量級(jí)范圍內(nèi)，( 1 ）電子的湯姆遜截面；( 2 ）氫原子的電離能；( 3 ）氫原子中基態(tài)能級(jí)的超精細(xì)分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶極矩；( 5 ）質(zhì)子和中子質(zhì)量差；( 6 )4He 核的束縛能；( 7 ）最大穩(wěn)定核的半徑；( 8 ）0介子的壽命；( 9 ）-介子的壽命；( 10 ）自由中子的壽命4指出下列實(shí)驗(yàn)中，哪些實(shí)驗(yàn)表明了輻射場(chǎng)的粒子性？哪些實(shí)驗(yàn)主要證明

3、能量交換的量子性？哪些實(shí)驗(yàn)主要表明物質(zhì)粒子的波動(dòng)性？簡(jiǎn)述理由( 1 ）光電效應(yīng)；( 2 ）黑體輻射譜；( 3 ) Franck Hertz實(shí)驗(yàn)；( 4 ) Davisson -Ger - mer 實(shí)驗(yàn)；( 5 ) Compton 散射5考慮如下實(shí)驗(yàn)：一束電子射向刻有A 、B 兩縫的平板，板外是一裝有檢測(cè)器陣列的屏幕，利用檢測(cè)器能定出電子撞擊屏幕的位置在下列各種情形下，畫出入射電子強(qiáng)度隨屏幕位置變化的草圖，給出簡(jiǎn)單解釋( 1 ) A 縫開(kāi)啟，B縫關(guān)閉；( 2 ) B 縫開(kāi)啟，A 縫關(guān)閉；( 3 ）兩縫均開(kāi)啟6驗(yàn)算三個(gè)系數(shù)數(shù)值：（1）；（2）；（3）hc第二章 波函數(shù)與Schröding

4、er方程1 試用量子化條件,求諧振子的能量諧振子勢(shì)能2 一維運(yùn)動(dòng)的粒子處在的狀態(tài)，其中，求：（1）粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)；（2）粒子動(dòng)量的平均值。3 平面轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,求能量允許值4. 有一帶電荷質(zhì)量的粒子在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng),垂直于平面方向磁場(chǎng)是B,求粒子能量允許值.5 對(duì)高速運(yùn)動(dòng)的粒子(靜質(zhì)量)的能量和動(dòng)量由下式給出 (1) (2)試根據(jù)哈密頓量 (3)及正則方程式來(lái)檢驗(yàn)以上二式.由此得出粒子速度和德布羅意的群速度相等的關(guān)系.計(jì)算速度并證明它大于光速.6. （1）試用Fermat最小光程原理導(dǎo)出光的折射定律 （2）光的波動(dòng)論的擁護(hù)者曾向光的微粒論者提出下述非難： 如認(rèn)為光是粒子，則其運(yùn)動(dòng)遵守最

5、小作用量原理 認(rèn)為則這將導(dǎo)得下述折射定律這明顯違反實(shí)驗(yàn)事實(shí)，即使考慮相對(duì)論效應(yīng)，則對(duì)自由粒子：仍就成立，E是粒子能量，從一種媒質(zhì)到另一種媒質(zhì)E仍不變，仍有，你怎樣解決矛盾？7. 當(dāng)勢(shì)能改變一常量C時(shí),即,粒子的波函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)部分變否?能量本征值變否?8. 試證粒子勢(shì)能的極小值是9. 設(shè)與是薛定諤方程式兩個(gè)解，證明與時(shí)間無(wú)關(guān)。10. 考慮單粒子的薛定諤方程式： V1，V2為實(shí)函數(shù)，證明粒子的幾率不守恒。求出在空間體積內(nèi)，粒子幾率“喪失”或“增加”的速率。11. 對(duì)于一維自由運(yùn)動(dòng)粒子，設(shè)求。12. 證明從單粒子的薛定諤方程式得出的速度場(chǎng)是非旋的，即 第三章 一維定態(tài)問(wèn)題1. 對(duì)于無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)

6、的粒子（見(jiàn)圖3-1）證明 并證明當(dāng)時(shí)上述結(jié)果與經(jīng)典結(jié)論一致。2. 試求在不對(duì)稱勢(shì)力阱中粒子的能級(jí)。3. 設(shè)質(zhì)量為的粒子在下述勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)： 求粒子的能級(jí)。4. 考慮粒子在下列勢(shì)阱壁（）處的反射系數(shù)5. 試證明對(duì)于任意勢(shì)壘，粒子的反射系數(shù)滿足。6. 設(shè)在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子的狀態(tài)用： 描述，求粒子能量的可能植及相應(yīng)的幾率。7. 設(shè)一諧振子處于基態(tài)，求它的并驗(yàn)證測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：8. 設(shè)粒子處于無(wú)限深勢(shì)阱中，狀態(tài)用波函數(shù)描述，是歸一化常數(shù)，求（1）粒子取不同能量幾率分布。（2）能量平均值及漲落。9. 一維無(wú)限深勢(shì)阱中求處于態(tài)的粒子的動(dòng)量分布幾率密度。10. 寫出動(dòng)量表象中諧振子的薛定諤方程式，并求出

7、動(dòng)量幾率分布11. 一維諧振子處在基態(tài)，求： (1)勢(shì)能的平均值； (2)動(dòng)能的平均值； (3)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。12. 氫原子處在基態(tài)，求： (1)r的平均值； (2)勢(shì)能的平均值； (3)最可幾半徑； (4)動(dòng)能的平均值； (5)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。13. 證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是 14. 一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，它的能量的經(jīng)典表示式是，L為角動(dòng)量，求與此對(duì)應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)：(1) 轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：(2) 轉(zhuǎn)子繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：15. 設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為 求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。16. 一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是 其中，

8、求： (1)粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù)； (2)粒子的平均動(dòng)量。第四章 力學(xué)量和表象變化1指出下列算符哪個(gè)是線性的，說(shuō)明其理由。 ； ； 2 指出下列算符哪個(gè)是厄米算符，說(shuō)明其理由。 3 下列函數(shù)哪些是算符的本征函數(shù)，其本征值是什么？ ， ， ，4 試求算符的本征函數(shù)。5 設(shè)波函數(shù)，求6 證明：如果算符和都是厄米的，那么(+)也是厄米的。7 問(wèn)下列算符是否是厄米算符：； 。8 如果算符滿足關(guān)系式，求證9 求 ； ； 10 設(shè)是的可微函數(shù)，證明下述各式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）11 證明以下諸式成立： (1) (2) (3) (4) 12為粒子角動(dòng)量。F為另一力學(xué)量，證明： 其中表示空間

9、坐標(biāo)的梯度，表示動(dòng)量空間的梯度。13 設(shè)算符A，B與它們的對(duì)易式A，B都對(duì)易。證明(1) (2)14 證明 15 證明 是厄密算符16 證 (A 等是實(shí)數(shù))是厄密算符17 證明（實(shí)數(shù)）是厄密算符。18證明，若 當(dāng)大時(shí)并不趨于0，則 不一定是厄密算符。19 證明 其中A(p,q),B(p,q)是正則動(dòng)量和坐標(biāo)的函數(shù)，上式左方是相應(yīng)的算符。A,B是經(jīng)典力學(xué)中的poisson括弧在多變量情形i=1,2,3.i自由度20 設(shè)F(x，p)是xk，pk的整函數(shù)，證明： ; 整函數(shù)是指，是數(shù)值系數(shù)第五章 力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對(duì)稱性1. 證明力學(xué)量（不顯含）的平均值對(duì)時(shí)間的二次微商為：（是哈密頓量）2. 證明

10、，在不連續(xù)譜的能量本征態(tài)（束縛定態(tài)）下，不顯含的物理量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的平均值等于零。3. 設(shè)粒子的哈密頓量為。（） 證明。（） 證明：對(duì)于定態(tài)4. 證明，對(duì)于一維波包：5. 求海森伯表象中自由粒子的座標(biāo)的算符。6. 求海森伯表象中中諧振子的坐標(biāo)與動(dòng)量算符。7. 多粒子系若不受外力，則其哈密頓算符可表成：證明：總動(dòng)量為守恒。8. 多粒子系如所受外力矩為0，則總動(dòng)量為守恒。9. 證明：對(duì)經(jīng)典力學(xué)體系，若A，B為守恒量，則A，B即泊松括號(hào)也為守恒量，但不一定是新的守恒量，對(duì)于量子體系若，是守恒量，則也是守恒量，但不一定是新的守恒量。10. 對(duì)于平面轉(zhuǎn)子（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I），設(shè)：（1） 試求11. 證明周期場(chǎng)

11、中的Bloch波函數(shù) ，是的本征函數(shù)，相應(yīng)的本征值是。第六章 中心立場(chǎng)1 質(zhì)量分別為 m,m的兩個(gè)粒子組成的體系，質(zhì)心座標(biāo)及相對(duì)坐標(biāo)為：= (1) ；r (2)試求總動(dòng)量及總角動(dòng)量在, 表象中的算符表示。2 證明 ，3 中心力場(chǎng)中的經(jīng)典粒子的哈密頓量是其中。當(dāng)過(guò)渡到量子力學(xué)時(shí)，要換為 問(wèn)是否厄米算符？是否厄米算符。4 經(jīng)典力學(xué)中在量子力學(xué)中此式是否成立？在什么條件下此式成立？5 求出氫原子基態(tài)波函數(shù)在動(dòng)量表象中的表示式。利用所得結(jié)果，計(jì)算。用x表象中的氫原子波函數(shù)計(jì)算,并驗(yàn)證測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式。6 在動(dòng)量表象中寫出氫原子的能量本征方程式，并證明角動(dòng)量的各個(gè)分量均為守恒量。7 設(shè)氫原子處于基態(tài)，求電子

12、處于經(jīng)典力學(xué)不允許區(qū)（EV）=T0 的幾率。8 證明，對(duì)于庫(kù)侖場(chǎng)，（是總能量）9 對(duì)于氫原子的，計(jì)算 10 根據(jù)氫原子光譜理論，討論（1）“電子偶素”（指e+e-的束縛態(tài)）的能級(jí)。（2）介原子的能譜。（3）介子素（指+-e-束縛態(tài)）的能譜。11 在（）表象中，的子空間是幾維？求在此子空間的矩陣表示式，再利用矩陣形式求出本征值及征矢。 12 證明能級(jí)上滿布電子的情況下，電荷分布是各向同性的。13 證明一個(gè)球方勢(shì)阱(半徑a,深度V0)恰好具有一條l0的能級(jí)的條件是：V0與a應(yīng)滿足 14 采用平面極座標(biāo)，求出軸對(duì)稱諧振子勢(shì)場(chǎng)中，粒子能量的本征值本征函數(shù)，讀者討論簡(jiǎn)并度。15 設(shè)粒子在無(wú)限長(zhǎng)的園簡(jiǎn)內(nèi)運(yùn)

13、動(dòng)，簡(jiǎn)半徑是a，求粒子的能量。16 粒子在半徑為，高為的圓筒中運(yùn)動(dòng)，在筒內(nèi)粒子是自由的，在筒壁及筒外勢(shì)能是無(wú)限，求粒子能量的本征值。17 設(shè)，求粒子的能量本征值。第七章 粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)1. 證明在磁場(chǎng)中，帶電粒子的速度算符的各分量，滿足下述的對(duì)易關(guān)系： （1） （2） （3）2 利用上述對(duì)易式，求出均勻磁場(chǎng)中，帶電粒子能量的本征值（取磁場(chǎng)方向?yàn)閆軸方向）3. 證明在規(guī)范變換下 （1） （2） （機(jī)械動(dòng)量的平均值）都不變 （3）4 若采用柱座標(biāo)系，求解均勻磁場(chǎng)中帶電粒子的能量本征值。5 設(shè)帶電粒子相互的均勻電場(chǎng)和均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求其能譜及波函數(shù)（取磁場(chǎng)方向?yàn)閦軸，電場(chǎng)方向?yàn)閤軸方向）6 設(shè)

14、帶電粒子在均勻磁場(chǎng)及三維各向同性諧振子場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)，求能譜公式。第八章：自旋1在表象中，求的本征態(tài) 2在表象中，求的本征態(tài)，是方向的單位矢。3在自旋態(tài)下，求和4 一個(gè)具有兩個(gè)電子的原子，處于自旋單態(tài)（s=0）。證明自旋軌道耦合作用 。對(duì)能量無(wú)貢獻(xiàn)。 5 自旋為s的兩個(gè)粒子所具有的，對(duì)稱和反對(duì)稱的自旋波函數(shù)各有幾個(gè)？情況下，對(duì)稱和反對(duì)稱自旋態(tài)各有幾個(gè)？6證明，是與對(duì)易的矢量算符。7證明：（1） （ ） （2） 其中 矢量與對(duì)易, 表示方向的單位矢量。8證明, 是與對(duì)易的任何矢量算符。9設(shè) 證明：（是沿矢量方向的單位矢量）（1） （1）（2） （2）10證明不存在非0的二維矩陣，能和三個(gè)泡利矩陣都反

15、對(duì)易 ，即設(shè) 則11證明找不到一種表象，在其中（1）三個(gè)泡利矩陣均為實(shí)矩陣或（2）二個(gè)是純虛矩陣，另一個(gè)為實(shí)矩陣。12求證與三個(gè)泡利矩陣都對(duì)易的2×2矩陣，只能是常數(shù)矩陣。第九章 力學(xué)量本征值的代數(shù)解法1. 設(shè)非簡(jiǎn)諧振子的哈密頓量為： （為常數(shù)）取 ，試用定態(tài)微擾論求其能量及能量本征函數(shù)。2. 一維無(wú)限深勢(shì)阱（）中的粒子受到微擾： 的作用，求基態(tài)能量的一級(jí)修正。 3. 一維諧振子的哈密頓為假設(shè)它處在基態(tài)，若在加上一個(gè)彈性力作用H=1/2 bx2，試用微擾論計(jì)算H對(duì)能量的一級(jí)修正，并與嚴(yán)格解比較。4. 設(shè)有自由粒子在長(zhǎng)度為L(zhǎng)的一維區(qū)域中運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)滿足周期性邊界條件 波函數(shù)的形式可選作

16、： ， 但 。設(shè)粒子還受到一個(gè)陷阱作用，a<<L。試用簡(jiǎn)并理論計(jì)算能量一級(jí)修正。5. 在一維無(wú)限深勢(shì)阱 中運(yùn)動(dòng)的粒子，受到微擾的作用討論粒子在空間幾率分布的改變。6. 類氫離子中，電子與原子核的庫(kù)侖作用為： Ze為核電荷當(dāng)核電荷增加eZàZ+1，互相作用能增加，試用微擾論計(jì)算它對(duì)能量的一級(jí)修正，并與嚴(yán)格解比較。7. 一個(gè)粒子在二維無(wú)限深勢(shì)阱 中運(yùn)動(dòng)，設(shè)加上微擾 求基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的能量修正8. 設(shè)在H0表象中，的矩陣為： 試用微擾論求能量的二級(jí)修正。9. 設(shè)在H0表象中用微擾論求能量修正量（到二級(jí)近似），嚴(yán)格求解與微擾論計(jì)算值比較。10.一體系在無(wú)微擾時(shí)有兩條能級(jí)，其中一

17、條時(shí)二重簡(jiǎn)并，在表象中 （1）在計(jì)及微擾后哈密頓量表示為： （2）（1） 用微擾論求H本征值準(zhǔn)到二級(jí)近似。（2） 把嚴(yán)格對(duì)角化，求H的精確本征值.第十章：散射問(wèn)題1用玻恩近似法，求在下列勢(shì)場(chǎng)中的散射微分截面：（1） （2） (3) (4) (5) 第十一章 量子躍遷1. 具有電荷的離子，在其平衡位置附近作一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)，在光的照射下發(fā)生躍遷，入射光能量密為，波長(zhǎng)較長(zhǎng)，求：（1）躍遷選擇定則。（2）設(shè)離子處于基態(tài)，求每秒躍遷到第一激發(fā)態(tài)的幾率。2. 設(shè)有一帶電的粒子，質(zhì)量為，在寬度為的一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，它在入射光照射下發(fā)生躍遷，波長(zhǎng)。（1）求躍遷的選擇定則。（2）設(shè)粒子原來(lái)處于基態(tài)，求躍遷速率公式。3. 設(shè)把處于基態(tài)的氫原子放在平行板電容器中，取平行板法線方向?yàn)閦軸方向、電場(chǎng)沿z軸方向可視作均勻