數(shù)學建模課件綜合評價方法及其應用(2)

1、1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AA成對比較陣成對比較陣A是正互反陣是正互反陣要由要由A確定確定C1, , Cn對對O的權向量的權向量選選擇擇旅旅游游地地C3居住居住C1景色景色C2費用費用C4飲食飲食C5旅途旅途O(選擇旅游地選擇旅游地)nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA21222121211171242/11A成對比較的不一致情況成對比較的不一致情況):(2/ 12112CCa ):(43113CCa ):(83223CCa 一致比較一致比較不一致不一致允許不一致，但要確定不一致的允許范圍允許不一致，但要確定不一致的允許

2、范圍考察完全一致的情況考察完全一致的情況jiijwwa/令權向量),(21Tnwwww成對比較陣和權向量成對比較陣和權向量wAwnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA212221212111成對比較完全一致的情況成對比較完全一致的情況nkjiaaaikjkij, 2 , 1,滿足滿足的正互反陣的正互反陣A稱稱一致陣一致陣，如，如 A的秩為的秩為1，A的唯一非零特征根為的唯一非零特征根為n A的任一列向量是對應于的任一列向量是對應于n 的特征向量的特征向量 A的歸一化特征向量可作為權向量的歸一化特征向量可作為權向量對于不一致對于不一致( (但在允許范圍內但在允許范圍內) )的成對的成

3、對比較陣比較陣A，建議用對應于最大特征根，建議用對應于最大特征根 的特征向量作為權向量的特征向量作為權向量w ，即，即一致陣一致陣性質性質成對比較陣和權向量成對比較陣和權向量一致性檢驗一致性檢驗對對A確定不一致的允許范圍確定不一致的允許范圍1nnCI定義一致性指標定義一致性指標:CI 越大，不一致越嚴重越大，不一致越嚴重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 234567891110為衡量為衡量CI 的大小，引入的大小，引入隨機一致性指標隨機一致性指標 RI隨機模隨機模擬得到擬得到aij , 形成形成A，計算，計算CI 即得即

4、得RI。定義一致性比率定義一致性比率 CR = CI/RI 當當CR0.1時，通過一致性檢驗時，通過一致性檢驗Saaty的結果如下的結果如下“選擇旅游地選擇旅游地”中中準則層對目標的權準則層對目標的權向量及一致性檢驗向量及一致性檢驗1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A準則層對目標的準則層對目標的成對比較陣成對比較陣最大特征根最大特征根 =5.073權向量權向量( (特征向量特征向量) )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指標一致性指標隨機一致性指標隨機一致性指標 RI=1

5、.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通過一致通過一致性檢驗性檢驗“選擇旅游地選擇旅游地”中中準則層對目標的權準則層對目標的權向量及一致性檢驗向量及一致性檢驗1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A準則層對目標的準則層對目標的成對比較陣成對比較陣最大特征根最大特征根 =5.073權向量權向量( (特征向量特征向量) )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T018.0155073.5CI一致性指標一致性指標隨機一致性指標隨機一致性指標 RI=1.12 (查表查表)一致性比

6、率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通過一致通過一致性檢驗性檢驗目標層目標層O(選擇旅游地選擇旅游地)P2黃山黃山P1桂林桂林P3北戴河北戴河準則層準則層方案層方案層C3居住居住C1景色景色C2費用費用C4飲食飲食C5旅途旅途例例. . 選擇旅游地選擇旅游地如何在如何在3 3個目的地中按照景色、個目的地中按照景色、費用、居住條件等因素選擇費用、居住條件等因素選擇. .0.263,0.475,0.055,0.090,0.110層次分析法的基本步驟層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結構模型）建立層次分析結構模型深入分析實際問題，將有關因素自上而下分層（目標深入分析實際問題，將

7、有關因素自上而下分層（目標準則或指標準則或指標方案或對象），上層受下層影響，而層內方案或對象），上層受下層影響，而層內各因素基本上相對獨立。各因素基本上相對獨立。2）構造成對比較陣）構造成對比較陣用成對比較法和用成對比較法和19尺度，構造各層對上一層每一因素的尺度，構造各層對上一層每一因素的成對比較陣。成對比較陣。3）計算權向量并作一致性檢驗）計算權向量并作一致性檢驗對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性對每一成對比較陣計算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗，若通過，則特征向量為權向量。檢驗，若通過，則特征向量為權向量。4）計算組合權向量（作組合一致性檢驗）計算組合權向量（作組合一

8、致性檢驗*）組合權向量可作為決策的定量依據(jù)。組合權向量可作為決策的定量依據(jù)。招聘工作人員招聘工作人員某單位擬從應試者中挑選外銷工作人員若干名，根據(jù)工作需某單位擬從應試者中挑選外銷工作人員若干名，根據(jù)工作需要，單位領導認為招聘來的人員應具備某些必要的素質，由要，單位領導認為招聘來的人員應具備某些必要的素質，由此建立層次結構如下圖所示。此建立層次結構如下圖所示。招聘人員綜合情況招聘人員綜合情況知識知識能力能力外表外表經(jīng)經(jīng)濟濟知知識識外外語語知知識識法法律律知知識識組組織織能能力力公公關關能能力力計計算算機機操操作作氣氣質質身身高高C層層B層層A層層B1B2B3C1C2C3C4C5C6C7C8 20

9、05 2005年中國大學生數(shù)學建模競賽的年中國大學生數(shù)學建模競賽的A A題：題：“長江水質的評長江水質的評價和預測價和預測”問題的第一部份給出了問題的第一部份給出了1717個觀測站（城市）的最個觀測站（城市）的最近近2828個月的實際檢測指標數(shù)據(jù)，包括反映水質污染程度的最個月的實際檢測指標數(shù)據(jù)，包括反映水質污染程度的最主要的四項指標：溶解氧（主要的四項指標：溶解氧（DODO）、高錳酸鹽指數(shù)（）、高錳酸鹽指數(shù)（CODMnCODMn）、）、氨氮氨氮(NH3-N) (NH3-N) 和和PHPH值，要求綜合這四種污染指標的值，要求綜合這四種污染指標的2828個月的個月的檢測數(shù)據(jù)對檢測數(shù)據(jù)對1717個城

10、市的水質情況做出綜合評價。個城市的水質情況做出綜合評價。 1. 動態(tài)加權綜合評價問題的提法動態(tài)加權綜合評價問題的提法 在在以以上上綜綜合合加加權權評評價價方方法法中中，關關于于權權值值(1,2,)jwjm都都是是屬屬于于定定常常權權，即即權權值值均均為為常常數(shù)數(shù)。雖雖然然這這種種方方法法簡簡單單易易行行，對對某某些些較較簡簡單單的的實實際際問問題題也也是是可可行行的的，但但是是主主觀觀性性強強、科科學學性性差差，有有些些時時候候不不能能很很好好地地為為決決策策提提供供有有效效的的依依據(jù)據(jù)。 根據(jù)國標（根據(jù)國標（GB 3838GB 383820022002）的規(guī)定，關于地表水的水）的規(guī)定，關于地

11、表水的水質可分為質可分為類、類、類、類、類、類、類、類、類、劣類、劣類共六個類類共六個類別，每一個類別對每一項指標都有相應的標準值（區(qū)間），別，每一個類別對每一項指標都有相應的標準值（區(qū)間），只要有一項指標達到高類別的標準就算是高類別的水質，所只要有一項指標達到高類別的標準就算是高類別的水質，所以實際中以實際中不同類別的水質有很大的差別不同類別的水質有很大的差別，而且，而且同一類別的水同一類別的水在污染物的含量上也有一定的差別在污染物的含量上也有一定的差別。 在對在對1717個城市的水質做綜合評價時，要充分考慮這些指個城市的水質做綜合評價時，要充分考慮這些指標值不同類別水的標值不同類別水的“質

12、的差異質的差異”和同類別水的和同類別水的“量的差異量的差異”, ,在此簡稱為在此簡稱為“質差質差”和和“量差量差”。因此，這是一個較復。因此，這是一個較復雜的多因素多屬性的綜合評價問題。雜的多因素多屬性的綜合評價問題。 1. 動態(tài)加權綜合評價問題的提法動態(tài)加權綜合評價問題的提法 動態(tài)加權綜合評價問題的一般提法：動態(tài)加權綜合評價問題的一般提法： 現(xiàn)現(xiàn)設設有有n個個被被評評價價對對象象 （或或系系統(tǒng)統(tǒng)） ， 分分別別記記為為12,(1)nS SS n， 每每個個系系統(tǒng)統(tǒng)都都有有m屬屬性性（或或評評價價指指標標） ，分分別別記記為為12,(1)mx xx m，對對于于每每一一個個屬屬性性ix都都可可

13、以以分分為為K個個等等級級，記記為為12,Kp pp (1)K。而而對對于于每每一一個個等等級級kp都都包包含含一一個個區(qū)區(qū)間間范范圍圍，記記為為( )( ),)iikkab，且且( )( )iikkab(1,2, ;1,2, )im kK，即即當當屬屬性性( )( ),)iiikkxab時時，則則屬屬性性ix屬屬于于第第k類類kp(1)kK 。也也就就是是對對于于每每一一個個屬屬性性而而言言， 既既有有不不同同類類別別的的差差異異，同同類類別別的的又又有有不不同同量量值值的的差差異異。對對于于這這種種既既有有“質質差差” ，又又有有 “量量差差” 的的問問題題， 如如果果用用通通常常的的定定

14、常常權權綜綜合合評評價價法法做做綜綜合合評評價價顯顯然然是是不不合合理理的的，然然而而合合理理有有效效的的方方法法是是動動態(tài)態(tài)加加權權綜綜合合評評價價方方法法。 根據(jù)這個問題的實際背景和綜合評價的一般原則，根據(jù)這個問題的實際背景和綜合評價的一般原則，解決問題的解決問題的主要過程分三步完成主要過程分三步完成：將各評價指標作標準化處理；將各評價指標作標準化處理；根據(jù)各屬性的特性構造動態(tài)加權函數(shù)；根據(jù)各屬性的特性構造動態(tài)加權函數(shù)；構建問題的綜合評價模型，并做出評價。構建問題的綜合評價模型，并做出評價。 實際中問題的評價指標可能有極大型的、極小型實際中問題的評價指標可能有極大型的、極小型的、中間型，或

15、區(qū)間型的四種情況，也有時各有不同的、中間型，或區(qū)間型的四種情況，也有時各有不同的量綱，這就需要根據(jù)不同情況分別作標準化處理，的量綱，這就需要根據(jù)不同情況分別作標準化處理，即對三種不同類型指標變換成統(tǒng)一的、無量綱的標準即對三種不同類型指標變換成統(tǒng)一的、無量綱的標準化指標?；笜恕?2. 動態(tài)加權綜合評價的一般方法動態(tài)加權綜合評價的一般方法 考慮到評價指標的考慮到評價指標的“質差質差”與與“量差量差”的關系，的關系，在確定綜合評價指標時，既要能體現(xiàn)不同類型指標在確定綜合評價指標時，既要能體現(xiàn)不同類型指標之間的差異，也要能體現(xiàn)同類型指標的數(shù)量差異。之間的差異，也要能體現(xiàn)同類型指標的數(shù)量差異。 根據(jù)實

16、際問題具體取什么樣的根據(jù)實際問題具體取什么樣的動態(tài)加權函數(shù)動態(tài)加權函數(shù)，主要是從實際問題出發(fā)分析確定。主要是從實際問題出發(fā)分析確定。 對于不同的指標可以取相同的權函數(shù)，也可以對于不同的指標可以取相同的權函數(shù)，也可以取不同的權函數(shù)。取不同的權函數(shù)。 2.2 動態(tài)加權函數(shù)的設定動態(tài)加權函數(shù)的設定 2. 動態(tài)加權綜合評價的一般方法動態(tài)加權綜合評價的一般方法 2.2 動態(tài)加權函數(shù)的設定動態(tài)加權函數(shù)的設定 （1） 分分段段變變冪冪函函數(shù)數(shù) 如如果果某某項項評評價價指指標標ix對對于于綜綜合合評評價價效效果果的的影影響響大大約約是是隨隨著著類類別別(1,2,)kp kK的的增增加加而而按按正正冪冪次次增增

17、加加，同同時時在在某某一一類類中中隨隨著著指指標標值值的的增增加加按按相相應應的的一一個個冪冪函函數(shù)數(shù)增增加加，則則對對指指標標ix可可以以設設定定分分段段 冪冪函函數(shù)數(shù)為為變變權權函函數(shù)數(shù)。即即 1( )( )( ),(1,2,)iikikkw xxxabkK， 其其中中1im 。 2.2 動態(tài)加權函數(shù)的設定動態(tài)加權函數(shù)的設定 （2 2）偏偏大大型型正正態(tài)態(tài)分分布布函函數(shù)數(shù) 如如果果某某項項指指標標ix對對于于綜綜合合評評價價效效果果的的影影響響大大約約是是隨隨著著類類別別(1,2,)kp kK的的增增加加，先先是是緩緩慢慢增增加加，中中間間有有一一個個快快速速增增長長的的過過程程，隨隨后后

18、平平緩緩增增加加趨趨于于最最大大， 相相應應的的圖圖形形呈呈正正態(tài)態(tài)分分布布曲曲線線 （左左側側） 形形狀狀。 那那么么，此此時時對對指指標標ix的的變變權權函函數(shù)數(shù)可可以以設設定定為為偏偏大大型型正正態(tài)態(tài)分分布布函函數(shù)數(shù)。即即 20 ,( )1,iiixiixw xex 當時,當時, 其其中中參參數(shù)數(shù)i可可取取( )( )11,)iiab中中的的某某 定定值值，在在此此不不妨妨取取( )( )11()/2iiiba， i由由( )()0.9(1)iiKw aim 確確定定。 2.2 動態(tài)加權函數(shù)的設定動態(tài)加權函數(shù)的設定 （3 3）S S 型型分分布布函函數(shù)數(shù) 如如果果某某項項指指標標ix對對

19、于于綜綜合合評評價價效效果果的的影影響響大大約約是是隨隨著著類類別別(1,2,)kp kK的的增增加加而而增增加加的的過過程程，呈呈一一條條“S S”曲曲線線，那那么么，此此時時對對指指標標ix的的變變權權函函數(shù)數(shù)可可以以設設定定為為 S S 型型分分布布函函數(shù)數(shù)。即即 2( )( )11( )( )12( )( )( )( )12,( )12,iiiiKiiiKKiiKxaaxcbaw xxbcxbba 其其中中參參數(shù)數(shù)( )( )11(),( )0.52(1)iiKicabw cim 且。 2.3 綜合評價模型的構建綜合評價模型的構建 2. 動態(tài)加權綜合評價的一般方法動態(tài)加權綜合評價的一般

20、方法 根根據(jù)據(jù)標標準準化化后后的的各各評評價價指指標標值值，不不妨妨仍仍用用 ix表表示示，以以及及相相應應的的動動態(tài)態(tài)權權函函數(shù)數(shù)( )(1,2, )iw x im， 建建立立綜綜合合評評價價模模型型來來對對 n個個被被評評價價對對象象做做出出綜綜合合評評價價。在在此此，取取綜綜合合評評價價模模型型為為各各評評價價指指標標的的動動態(tài)態(tài)加加權權和和，即即 1( )miiiiXw xx。 以以此此作作為為問問題題的的綜綜合合評評價價指指標標函函數(shù)數(shù)，如如果果每每個個被被評評價價對對象象的的 m個個屬屬性性都都有有N N 組組樣樣本本觀觀測測值值 (1,2, ;1,2,)ijxim jN，代代入入

21、上上式式計計算算，則則每每一一個個被被評評價價對對象象都都有有N N個個綜綜合合評評價價指指標標值值( )(1,2, ;kXj kn 1,2,)jN。由由此此按按其其大大小小排排序序，可可以以給給出出 n個個被被評評價價對對象象的的N N個個排排序序方方案案。 針針對對長長江江水水質質的的綜綜合合評評價價這這一一問問題題，采采用用動動態(tài)態(tài)加加權權綜綜合合評評價價方方法法來來解解決決。假假設設1 17 7個個城城市市為為被被評評價價對對象象1217,S SS，共共有有四四項項評評價價指指標標（或或屬屬性性）D DO O、C CO OD DM Mn n、N NH H3 3- -N N 和和P PH

22、 H值值，分分別別記記為為321,xxx和和4x，前前三三項項指指標標都都有有 6 6 個個等等級級126,p pp，相相應應的的分分類類區(qū)區(qū)間間值值如如表表（1 1）所所示示，而而P PH H值值沒沒有有等等級級之之分分。 表表（1）: 地地表表水水環(huán)環(huán)境境質質量量標標準準 （G GB B3 38 83 38 82 20 00 02 2）中中 4個個主主要要項項目目標標準準限限值值 單單位位：mg/L 指指 標標 類類 類類 類類 類類 類類 劣劣類類 溶溶解解氧氧( (DO) 7.5,) 6,7.5) 5,6) 3,5) 2,3) 0,2 高高錳錳酸酸鹽鹽指指數(shù)數(shù)( (C CO OD DM

23、 Mn n) ) (0,2 (2,4 (4,6 (6,10 (10,15 (15, ) 氨氨氮氮（N NH H3 3- -N N） (0,0.15 (0.15,0.5 (0.5,1 (1,1.5 (1.5,2 (2, ) P PH H 值值（無無量量綱綱） 6 , 9 1. 指標數(shù)據(jù)的標準化處理指標數(shù)據(jù)的標準化處理（1）溶溶解解氧氧（DO）的的標標準準化化 注注意意到到溶溶解解氧氧（D DO O）為為極極大大型型指指標標，首首先先將將數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)指指標標作作極極小小化化處處理理，即即令令倒倒數(shù)數(shù)變變換換111xx ，相相應應的的分分類類標標準準區(qū)區(qū)間間變變?yōu)闉?1111 11 11 11(0,(,

24、 ,( , ,( , ,( , ,( , )7.57.5 66 55 33 22， 然然后后通通過過極極差差變變換換5 . 011xx 將將其其數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)標標準準化化，對對應應的的分分類類區(qū)區(qū)間間隨隨之之變變?yōu)闉?(0,0.2667,(0.2667,0.3333,(0.3333,0.4,(0.4,0.6667,(0.6667,1,(1, ) 1. 指標數(shù)據(jù)的標準化處理指標數(shù)據(jù)的標準化處理（）高高錳錳酸酸鹽鹽指指數(shù)數(shù)（CODMn）的的標標準準化化 高高猛猛酸酸鹽鹽指指數(shù)數(shù)本本身身就就是是極極小小型型指指標標，即即由由極極差差變變換換將將其其數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)標標準準化化， 即即令令1522xx , , 對對

25、應應的的分分類類區(qū)區(qū)間間隨隨之之變變?yōu)闉?(0,0.1333,(0.1333,0.2667,(0.2667,0.4,(0.4,0.6667,(0.6667,1,(1, ) （）氨氨氮氮（NH3-N）的的標標準準化化 氨氨氮氮也也是是極極小小型型指指標標， 對對指指標標數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)作作極極差差變變換換將將其其數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)標標準準化化，即即令令233xx ，對對應應的的分分類類區(qū)區(qū)間間隨隨之之變變?yōu)闉?(0,0.075,(0.075,0.25,(0.25,0.5,(0.5,0.75,(0.75,1,(1,) 1. 指標數(shù)據(jù)的標準化處理指標數(shù)據(jù)的標準化處理（）PH值值的的處處理理 酸酸堿堿度度（P PH H

26、 值值）的的大大小小反反映映出出水水質質呈呈酸酸堿堿性性的的程程度度，通通常常的的水水生生物物都都適適應應于于中中性性水水質質， 即即酸酸堿堿度度的的平平衡衡值值 （P PH H值值略略大大于于） ， 在在這這里里不不妨妨取取正正常常值值的的中中值值7 7. .5 5。 當當P PH H 7 7. .5 5 時時偏偏酸酸性性，而而偏偏離離值值越越大大水水質質就就越越壞壞，P PH H 值值屬屬于于中中間間型型指指標標。為為此此，對對所所有有的的P PH H 值值指指標標數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)作作均均值值差差處處理理，即即令令 5 . 7325 . 15 . 7444xxx， 則則將將其其數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)標標準準化化

27、。 2. 動態(tài)加權函數(shù)的確定動態(tài)加權函數(shù)的確定 根根據(jù)據(jù)對對這這一一實實際際問問題題的的分分析析，不不妨妨取取動動態(tài)態(tài)加加權權函函數(shù)數(shù)為為偏偏大大型型正正態(tài)態(tài)分分布布函函數(shù)數(shù)，即即 20 ,( )1,iiixiixw xex 當時,當時, 其其中中i在在這這里里取取指指標標ix的的類類水水標標準準區(qū)區(qū)間間的的中中值值，即即( )( )11()/2iiiba，i由由) 3 , 2 , 1( 9 . 0)()(4iawii確確定定。 由由實實際際數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)經(jīng)經(jīng)計計算算可可得得0375. 0,0667. 0,1333. 0321，,2197. 0,1757. 021 3048. 03， 則則代代入入上

28、上式式可可以以得得到到D DO O、 C CO OD DM Mn n和和N NH H3 3- -N N三三項項指指標標的的動動態(tài)態(tài)加加權權函函數(shù)數(shù)。 3.綜合評價指標函數(shù)的確定綜合評價指標函數(shù)的確定 考考慮慮到到對對實實際際評評價價效效果果影影響響差差異異較較大大的的是是前前三三項項指指標標，以以及及指指標標P PH H值值的的特特殊殊性性，這這里里取取前前三三項項指指標標的的綜綜合合影影響響權權值值為為0 0. .8 8，而而P PH H 值值的的影影響響權權值值取取0 0. .2 2。因因此此，根根據(jù)據(jù)綜綜合合評評價價模模型型，某某城城市市某某一一時時間間的的水水質質綜綜合合評評價價指指標

29、標定定義義為為 4312 . 0)(8 . 0 xxxwXiiii。 根根據(jù)據(jù)1 17 7 個個城城市市的的2 28 8 組組實實際際檢檢測測數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)，經(jīng)經(jīng)計計算算可可得得各各城城市市的的水水質質綜綜合合評評價價指指標標值值，即即可可得得到到一一個個17 28階階的的綜綜合合評評價價矩矩陣陣17 28()ijX。 4.各城市水質的綜合評價各城市水質的綜合評價 由由 1717 個城市個城市 2828 個月的水質綜合評價指標個月的水質綜合評價指標(1,2,17;ijXi 1,2,28)j ，根據(jù)其大?。次廴镜某潭龋┻M行排序，數(shù)值越，根據(jù)其大?。次廴镜某潭龋┻M行排序，數(shù)值越大說明水質越差。由此可

30、得反映大說明水質越差。由此可得反映 1717 個城市水質污染程度的個城市水質污染程度的 2828 個排個排序結果， 根據(jù)序結果， 根據(jù)BordaBorda數(shù)的計算方法則得到第數(shù)的計算方法則得到第i個城市個城市( (被評價對象被評價對象) )iS的的 BordaBorda 數(shù)為數(shù)為 281()() (1,2,17)ijijB SB Si。 經(jīng)計算可得到各城市的經(jīng)計算可得到各城市的 BordaBorda 數(shù)及總排序結果如表數(shù)及總排序結果如表(2)(2)所示。所示。 表表( (2 2) )：按按各各城城市市的的水水質質污污染染總總排排序序結結果果 城市 排序 1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S

31、 8S 9S 10S 11S 12S 13S 14S 15S 16S 17S Borda 數(shù) 203 136 143 234 106 139 138 378 232 271 60 357 277 264 438 214 217 總排序 11 15 12 7 16 13 14 2 8 5 17 3 4 6 1 10 9 利利用用決決策策分分析析中中的的 B Bo or rd da a 函函數(shù)數(shù)方方法法來來確確定定綜綜合合排排序序方方案案。記記在在第第j個個排排序序方方案案中中排排在在第第k個個被被評評價價對對象象kS后后面面的的個個數(shù)數(shù)為為()jkB S，則則被被評評價價對對象象kS的的 B B

32、o or rd da a 數(shù)數(shù)為為 1()() (1,2, )NkjkjB SB Skn 由由此此式式的的計計算算結結果果按按其其大大小小排排序序， 就就可可以以得得到到n個個被被評評價價對對象象的的綜綜合合評評價價結結果果，即即總總排排序序結結果果。 表表( (2 2) )：按按各各城城市市的的水水質質污污染染總總排排序序結結果果 城市 排序 1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S 8S 9S 10S 11S 12S 13S 14S 15S 16S 17S Borda數(shù) 203 136 143 234 106 139 138 378 232 271 60 357 277 264 438 2

33、14 217 總排序 11 15 12 7 16 13 14 2 8 5 17 3 4 6 1 10 9 由由表表( (2 2) )可可以以看看出出， 各各觀觀測測城城市市所所在在的的江江段段的的水水質質污污染染的的情情況況， 水水質質最最差差的的是是觀觀測測城城市市是是15S， 即即是是江江西西南南昌昌贛贛江江鄱鄱陽陽湖湖入入口口地地區(qū)區(qū)； 其其次次是是觀觀測測城城市市8S，即即四四川川樂樂山山泯泯江江與與大大渡渡河河的的匯匯合合地地區(qū)區(qū)；第第三三位位的的是是12S，即即湖湖南南長長沙沙湘湘江江洞洞庭庭湖湖地地區(qū)區(qū)；干干流流水水質質最最差差的的是是湖湖南南岳岳陽陽段段（4S） ，主主要要污污

34、染染可可能能是是來來自自于于洞洞庭庭湖湖。干干流流水水質質最最好好的的區(qū)區(qū)段段是是江江西西九九江江( (鄂鄂贛贛交交界界) )段段 （6S） ， 支支流流水水質質最最好好的的是是湖湖北北丹丹江江口口水水庫庫 （11S） 。 4.各城市水質的綜合評價各城市水質的綜合評價 動態(tài)加權綜合評價方法從方法上增加了綜合動態(tài)加權綜合評價方法從方法上增加了綜合評價的客觀性，大大地淡化了評價人的主觀因素評價的客觀性，大大地淡化了評價人的主觀因素對評價結果的影響。這與一般的定常加權法相比對評價結果的影響。這與一般的定常加權法相比其優(yōu)越性是顯而易見的。其優(yōu)越性是顯而易見的。 動態(tài)加權綜合評價方法不僅適用于水質的綜動

35、態(tài)加權綜合評價方法不僅適用于水質的綜合評價這一類問題，而且，類似的可以用來研究合評價這一類問題，而且，類似的可以用來研究解決諸如空氣質量的綜合評價問題，以經(jīng)濟和軍解決諸如空氣質量的綜合評價問題，以經(jīng)濟和軍事等領域的很多綜合評價問題，動態(tài)加權綜合評事等領域的很多綜合評價問題，動態(tài)加權綜合評價方法在實際中非常有推廣應用價值。價方法在實際中非常有推廣應用價值。 四、模糊綜合評判法什么是模糊數(shù)學什么是模糊數(shù)學禿子悖論禿子悖論: 天下所有的人都是禿子天下所有的人都是禿子設頭發(fā)根數(shù)nn=1 顯然若n=k 為禿子n=k+1 亦為禿子模糊概念模糊概念模糊概念：從屬于該概念到不屬于該概念之間模糊概念：從屬于該概

36、念到不屬于該概念之間無明顯分界線。無明顯分界線。共同特點：模糊概念的外延不清楚。共同特點：模糊概念的外延不清楚。Fuzzy: 毛絨絨的，邊界不清楚的模糊數(shù)學的產(chǎn)生與基本思想模糊數(shù)學的產(chǎn)生與基本思想產(chǎn)生產(chǎn)生1965年，L.A. Zadeh（扎德） 發(fā)表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )基本思想基本思想用屬于程度代替屬于或不屬于。用屬于程度代替屬于或不屬于。某個人屬于禿子的程度為某個人屬于禿子的程度為0.8, 另一個人屬于另一個人屬于禿子的程度為禿子的程度為0.3等等.模糊集合論的基礎知識模糊集合論的基礎知識 定義定義1

37、： 從論域U到閉區(qū)間0,1的任意一個映射： ，對任意uU， ， ，那么 叫做U的一個模糊子集模糊子集， 叫做u的隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)，也記做 。例如，U為某公司的全體員工，A為年輕人，A(u)表示u屬于年輕人的程度，:0,1A U AuA u 0,1A u A A u Au 0,1A u 模糊綜合評價的一般步驟如下： （1） 確定評價對象的因素集； （2） 確定評語集； （3） 作出單因素評價； （4） 綜合評價。 例：評價某種牌號的手表Ux1,x2,x3,x4，其中x1表示外觀式樣，x2表示走時準確，x3表示價格，x4表示質量。 評語集為Vy1,y2,y3，其中y1表示很滿意，y2表示滿意，y3

38、表示不滿意。模糊綜合評價模糊綜合評價 假設評價科研成果，評價指標集合U=學術水平，社會效益，經(jīng)濟效益其各因素權重設為 4 . 0 , 3 . 0 , 3 . 0W模糊綜合評價模糊綜合評價 請該領域專家若干位，分別對此項成果每一因素進行單因素評價（one-way evaluation），例如對學術水平，有50%的專家認為“很好”，30%的專家認為“好”，20%的專家認為“一般”，由此得出學術水平的單因素評價結果為 0,2 . 0,3 . 0,5 . 01R1 . 0,2 . 0,4 . 0,3 . 02R2 . 03 . 02 . 02 . 01 . 02 . 04 . 03 . 002 . 0

39、3 . 05 . 0321RRRR模糊關系矩陣模糊關系矩陣ijr 表示第表示第i種評價因子種評價因子被評為第被評為第j級級的可能性的可能性利用適當算子得到模糊評判向量S 其中“ ”為模糊合成算子 nmnmmnnmsssrrrrrrrrrRWS,2121222211121121算子算子 (1) 算子),(Mnkrrsjkjmjjkjmjk,2,1,minmax)(11)4 . 03 . 03 . 0(2 . 03 . 02 . 02 . 01 . 02 . 04 . 03 . 002 . 03 . 05 . 02 . 03 . 03 . 03 . 0算子算子 (2)算子),( M)4 . 03

40、. 03 . 0(2 . 03 . 02 . 02 . 01 . 02 . 04 . 03 . 002 . 03 . 05 . 0nkrrsjkjmjjkjmjk,2,1,max)(1108. 012. 012. 015. 0算子算子 (3)4 . 03 . 03 . 0(2 . 03 . 02 . 02 . 01 . 02 . 04 . 03 . 002 . 03 . 05 . 03 . 07 . 08 . 08 . 0),(Mnkrsmjjkjk,2,1,min,1min1算子算子 (4)4 . 03 . 03 . 0(2 . 03 . 02 . 02 . 01 . 02 . 04 . 0

41、3 . 002 . 03 . 05 . 00.320.290.240.11),(Mnkrsmjjkjk,2,1,1min1模糊綜合評價 以上四個算子在綜合評價中的特點是模糊綜合評價 最后通過對模糊評判向量S的分析作出綜合結論一般可以采用以下三種方法： (1) 最大隸屬原則 (2) 加權平均原則 ),max(21nSSSMnikinikiissu11*)(2 . 0,3 . 0,3 . 0,3 . 0S評價等級集合為=很好，好，一般，差，各等級賦值分別為4，3，2，1 2.642 . 03 . 03 . 03 . 02 . 013 . 023 . 033 . 04(3) 模糊向量單值化模糊向量單

42、值化nikinikiisscc11模糊綜合評價 某地對區(qū)級醫(yī)院20012002年醫(yī)療質量進行總體評價與比較，按分層抽樣方法抽取兩年內某病患者1250例，其中2001年600例，2002年650例患者年齡構成與病情兩年間差別沒有統(tǒng)計學意義，觀察三項指標分別為療效、住院日、費用規(guī)定很好、好、一般、差的標準見表1，病人醫(yī)療質量各等級頻數(shù)分布見表2 指標很好好一般差療效治愈顯效好轉無效住院日151620212525費用（元）140014001800180022002200表2 兩年病人按醫(yī)療質量等級的頻數(shù)分配表指標很好質量好等級一般差療效01年 02年160 170380 41020 1040 60住

43、院日01年 02年180 200 250 310130 12040 20費用01年 02年130 110270 320130 12070 100現(xiàn)綜合考慮療效、住院日、費用三項指標對該醫(yī)院2001與2002兩年的工作進行模糊綜合評價 1)據(jù)評價目的確定評價因素集合 評價因素集合為=療效，住院日，費用 2)給出評價等級集合 如評價等級集合為=很好，好，一般，差 3)確定各評價因素的權重 設療效，住院日，費用各因素權重依次為0.5，0.2，0.3，即 ）（3 . 0,2 . 0,5 . 0W 4)2001年與2002年兩個評價矩陣分別為 600/70600/130600/270600/130600

44、/40600/130600/250600/180600/40600/20600/380600/1601R117. 0217. 0450. 0217. 0067. 0217. 0417. 0300. 0067. 0033. 0633. 0267. 0650/100650/120650/320650/110650/20650/120650/310650/200650/60650/10650/410650/1702R154. 0185. 0492. 0169. 0031. 0185. 0477. 0308. 0092. 0015. 0631. 0262. 0 5)綜合評價 5)綜合評價5)綜合評價例

45、例1：對某品牌電視機進行綜合模糊：對某品牌電視機進行綜合模糊評價評價 設評價指標集合設評價指標集合：U U圖像，聲音，價格；圖像，聲音，價格； 評語集合評語集合：V V很好，較好，一般，不好；很好，較好，一般，不好；首先對圖像進行評價首先對圖像進行評價：假設有假設有30%30%的人認為很好，的人認為很好，50%50%的人認為較好，的人認為較好，20%20%的人認為一般，沒有人認為不好，這樣得的人認為一般，沒有人認為不好，這樣得到圖像的評價結果為到圖像的評價結果為 （0.3, 0.5, 0.2 , 0)0.3, 0.5, 0.2 , 0) 同樣對聲音有：同樣對聲音有：0.4, 0.3, 0.2

46、, 0.1)0.4, 0.3, 0.2 , 0.1)對價格為：（對價格為：（0.1, 0.1, 0.3 , 0.5)0.1, 0.1, 0.3 , 0.5)所以有模糊評價矩陣所以有模糊評價矩陣：5 . 01 . 003 . 02 . 02 . 01 . 03 . 05 . 01 . 04 . 03 . 0P設三個指標的權系數(shù)向量設三個指標的權系數(shù)向量：A A 圖像評價，聲音評價，價格評價圖像評價，聲音評價，價格評價（0.5, 0.3, 0.2)0.5, 0.3, 0.2)應用模型應用模型1 1，bj=max(airij)有綜合評價結果為有綜合評價結果為：B BAPAP（0.3, 0.5, 0.

47、2, 0.2)0.3, 0.5, 0.2, 0.2)歸一化處理歸一化處理：B B（0.25, 0.42, 0.17, 0.17)0.25, 0.42, 0.17, 0.17)所以綜合而言，電視機還是比較好的比重大所以綜合而言，電視機還是比較好的比重大。例例2：對科技成果項目的綜合評價：對科技成果項目的綜合評價 有甲、乙、丙三項科研成果，現(xiàn)要從中有甲、乙、丙三項科研成果，現(xiàn)要從中評選出優(yōu)秀項目。評選出優(yōu)秀項目。 設評價指標集合：設評價指標集合：U U科技水平，實現(xiàn)可能性，經(jīng)濟效益科技水平，實現(xiàn)可能性，經(jīng)濟效益評語集合：評語集合：V V高，中，低高，中，低評價指標權系數(shù)向量：評價指標權系數(shù)向量：A

48、 A（0.20.2，0.30.3，0.50.5）專家評價結果表專家評價結果表由上表，可得甲、乙、丙三個項目各自由上表，可得甲、乙、丙三個項目各自的評價矩陣的評價矩陣P P、Q Q、R R：1 . 06 . 03 . 07 . 02 . 01 . 01 . 02 . 07 . 0P03 . 07 . 00011 . 06 . 03 . 0Q6 . 03 . 01 . 00015 . 04 . 01 . 0R求得：求得：) 3 . 05 . 03 . 0(1， APB) 1 . 03 . 05 . 0(2， AQB)5 . 03 . 03 . 0(R3， AB)27. 046. 027. 0(1，

49、B) 11 . 033. 056. 0(2，B)46. 027. 027. 0(3，B因素集：因素集： U=政治表現(xiàn)及工作態(tài)度，教學水平，科政治表現(xiàn)及工作態(tài)度，教學水平，科研水平，外語水平研水平，外語水平；評判集：評判集： V=好，較好，一般，較差，差好，較好，一般，較差，差；例例3 3：“晉升晉升”的數(shù)學模型，以高校教師晉的數(shù)學模型，以高校教師晉升教授為例升教授為例（1）建立模糊綜合評判矩陣）建立模糊綜合評判矩陣 當學科評審組的每個成員對評判的對象進行評價，假定學科評審組由7人組成，用打分或投票的方法表明各自的評價 例如對王，學科評審組中有4人認為政治表現(xiàn)及工作態(tài)度好，2人認為較好，1人認為

50、一般，對其他因素作類似評價。評判集評判集因素集因素集 好好 較好較好 一般一般 較差較差 差差政治表現(xiàn)及政治表現(xiàn)及 工作態(tài)度工作態(tài)度 4 4 2 2 1 1 0 0 0 0教學水平教學水平 6 6 1 1 0 0 0 0 0 0科研水平科研水平 0 0 0 0 5 5 1 1 1 1外語水平外語水平 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1)543 , 2 , 1; 4 , 3 , 2 , 1()543 , 2 , 1; 4 , 3 , 2 , 1(51，種評價的票數(shù)，令因素為第項表示贊成第，設jiccrjijickikjijiji14. 014. 014. 029. 029. 014. 014. 071. 00000014. 086. 00014. 014. 057. 029. 0R價矩陣：得到模糊綜合評（2）綜合評判）綜合評判以教學為主的教師，權重以教學為主的教師，權重A1=(0.2,0.5,0.1,0.2)以科研為主的教師，權重以科研為主的教師，權重A2=(0.2,0.1,0.5,0.2)計算得用模型),(MB1=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)B2=(0.2,0.2,0.5,0.14,0.1