隨機(jī)過程的功率譜密度

1、),(),(1111nnXnnXttxxfttttxxf嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)過程廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程2121),(),(ttRttRXXXXmtm)(平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)相關(guān)函數(shù)示意圖相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)222)()()(XXXXXXmRKr相關(guān)時(shí)間相關(guān)時(shí)間00)(drX05. 0)(0Xr相關(guān)時(shí)間示意圖隨機(jī)過程的遍歷性隨機(jī)過程的遍歷性平穩(wěn)隨機(jī)過程滿足：XPXmm )()(XPXRR1( )2TXTmx t dtT1( )()( )2TXTRx tx t dtT 1111( , , )XYFx y t t1111 ( ), ( )P X tx Y

2、 ty二維聯(lián)合分布函數(shù)：二維聯(lián)合分布函數(shù)：1111( , , )XYfx y t t2111111( , , )XYFx t y tx y 二維聯(lián)合概率密度：二維聯(lián)合概率密度：2.42.4隨機(jī)過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)一、聯(lián)合分布一、聯(lián)合分布1111(, ,)XYnmnmFxxyytt tt)(,)(,)(,)(1111mmnnytYytYxtXxtXPn+mn+m維聯(lián)合分布函數(shù)：維聯(lián)合分布函數(shù)：1111(, ,)XYnmnmfxxyytt tt111111(, ,) n mXYnmnmnmFxxyytt ttxx yyn+mn+m維聯(lián)合概率密度：維聯(lián)合概率密度：

3、2.42.4隨機(jī)過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)一、聯(lián)合分布一、聯(lián)合分布二、兩隨機(jī)過程的相互關(guān)系二、兩隨機(jī)過程的相互關(guān)系121212( , ) ( ) ( )( , , , )XYXYRt tE X t Y txyfx y t t dxdy 互相關(guān)函數(shù)：互相關(guān)函數(shù)：互協(xié)方差函數(shù)：互協(xié)方差函數(shù)：)()()()(),(221121tmtYtmtXEttKYXXY)()(),(2121tmtmttRYXXY2.42.4隨機(jī)過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)若若 ，則，則X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)正交正交；若若 ，則，則X(t)X(t)與與Y(t

4、)Y(t)不相關(guān)不相關(guān)；0),(21ttRXY0),(21ttKXY2.42.4隨機(jī)過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)獨(dú)立獨(dú)立； 1111(, ,)XYnmnmfxxyytt tt1111(,)(, ,)XnnYmmfxx ttfyytt兩隨機(jī)過程的相互關(guān)系：兩隨機(jī)過程的相互關(guān)系：聯(lián)合平穩(wěn)的定義：聯(lián)合平穩(wěn)的定義：2121),(),(ttRttRXYXY2.42.4隨機(jī)過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)()( )()( )XYYXXYYXRRKK性質(zhì)：性質(zhì)：2222( )(0)(0)( )XYXYXYXYRRRK 是

5、平穩(wěn)的。是平穩(wěn)的。 )(tX)(tY)()()(tYtXtZ若若 與與是聯(lián)合平穩(wěn)的，則是聯(lián)合平穩(wěn)的，則YXYXXYYXXYXYmmRKKKr)()0()0()()(互相關(guān)系數(shù)：互相關(guān)系數(shù)：如果隨機(jī)過程如果隨機(jī)過程X(t),Y(t)X(t),Y(t)平穩(wěn)，且滿足平穩(wěn)，且滿足2.42.4隨機(jī)過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程的聯(lián)合分布和互相關(guān)函數(shù) (, ) )sin()(0ttX)cos()(0ttY0 例例1 1、設(shè) 其中為常數(shù)， 在上均勻分布，求互協(xié)方差函數(shù)。dtetsStj)()(dtts )(頻譜：頻譜：221( )( )( )21( )( )21( )2j tj ts t dts tSe

6、 d dtSs t e dtdSd1( )( )2j ts tSed能譜密度：信號的能能譜密度：信號的能量按頻率分布的情況量按頻率分布的情況信號的信號的總能量總能量復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)2.52.5隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度TtTttxtxT0)()(隨機(jī)過程的樣本函數(shù)及其截尾函數(shù) 截取函數(shù)：截取函數(shù)：TTtjtjTTdtetxdtetxX)()()(221( )( )2TTTTx t dtXd211lim( )22TTXdT 1lim2TT1lim2TT時(shí)間平時(shí)間平均功率均功率功率譜密度：信功率譜密度：信號的平均功率按號的平均功率按頻率分布的情況頻率分布的情況EE一、隨機(jī)過程的功率譜密度一

7、、隨機(jī)過程的功率譜密度2.52.5隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度221( )( )2TTTx t dtXd211lim( )22TTXdT 1lim2TT1lim2TT時(shí)間平時(shí)間平均功率均功率功率譜密度：信功率譜密度：信號的平均功率按號的平均功率按頻率分布的情況頻率分布的情況EE22111lim( )lim( )222TTTTTEx t dtEXdTT21( )lim( ) 2XTTGEXT211lim( ) 22TTEXdTP( )XG 隨機(jī)過程的功率譜密度：隨機(jī)過程的功率譜密度：隨機(jī)過程的平均功率隨機(jī)過程的平均功率2.52.5隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程：

8、平穩(wěn)隨機(jī)過程：deRGjXX)()(deGRjXX)(21)(000)(2)(XXGF物理譜定義：物理譜定義：2.52.5隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度維納辛欽定理維納辛欽定理傅里葉傅里葉 變換對變換對)()2sin(2)2sin()(21ttftftx020040060080010001200-505020040060080010001200140016001800200001020300200400600800100012001400160018002000-40-2002040頻譜頻譜功率譜功率譜2.52.5隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機(jī)過程：平穩(wěn)隨機(jī)過程：(

9、 )( )jXXGRed 2.52.5隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度21( )lim( ) 2XTTGEXT0( )cos( )sinXXRdjRd 02( )cosXRd 實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜是實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù)。實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜是實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù)。deGRjXX)(21)(01 1 P例例2 2、已知功率譜密度為已知功率譜密度為 求相關(guān)函數(shù)。求相關(guān)函數(shù)。9104)(242XG例例3 3、若平穩(wěn)過程若平穩(wěn)過程X(t)X(t)的功率譜密度為的功率譜密度為 求相關(guān)函數(shù)。求相關(guān)函數(shù)。221 1)(XG2.52.5隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度二、平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜密

10、度二、平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜密度( )()jmXXmGRm e 對于對于平穩(wěn)隨機(jī)序列平穩(wěn)隨機(jī)序列X(n)X(n)，其功率譜密度，其功率譜密度1()( )2jmXXRmGed 21(0)( )( )2XXRE XnGd傅里葉傅里葉 變換對變換對2.52.5隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度mmXXzmRzG)()(Z Z變換形式：變換形式：DmXXdzzzGjmR1)(21)(jez ()()( )( )XXXXRmRmGG )()(1zGzGXX實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜是實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù)。實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜是實(shí)的、非負(fù)的偶函數(shù)。性質(zhì)：性質(zhì)：( )(cos)XXGG2.52.5隨機(jī)過程的

11、功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度三、互功率譜密度及其性質(zhì)三、互功率譜密度及其性質(zhì))()(21lim)(TTTXYYXTEGTTtjTdtetXX)()(TTtjTdtetYY)()(其中：其中：若若X(t)X(t)及及Y(t)Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，有聯(lián)合平穩(wěn)，有)()(XYXYGR( )( )jXYXYGRed 1( )( )2jXYXYRGed 2.52.5隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度性質(zhì)：性質(zhì)：)()()(*YXYXXYGGG)(ReXYG)(ReYXG)(ImXYG)(ImYXG與是是 的奇函數(shù)的奇函數(shù)；是是 的偶函數(shù)的偶函數(shù)；與若若X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)正交正交，則

12、0)()(*YXXYGG若不相關(guān)，則若不相關(guān)，則)()(*YXXYGG)(2YXmm2( )( )( )XYXYGGG 2.52.5隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度例、例、已知隨機(jī)過程已知隨機(jī)過程Z(t)=aX(t)+bY(t)Z(t)=aX(t)+bY(t)，a a、b b為常數(shù)，為常數(shù)， X(t) X(t)、Y(t)Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，求：各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，求： Z(t) Z(t)的功率譜密度；的功率譜密度； X(t) X(t)、Y(t)Y(t)不相關(guān)時(shí)不相關(guān)時(shí)Z(t)Z(t)的功率譜密度；的功率譜密度；(1)(1) X(t) X(t)、Y(t)Y(t)分別與分別與Z(t

13、)Z(t)的互譜密度。的互譜密度。2.52.5隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的功率譜密度)(,)(),(22112121xtXxtXPttxxFX121212( , ) ( ) ( )( , , , )XYXYRt tE X t Y txyfx t y t dxdy 互相關(guān)函數(shù)：互相關(guān)函數(shù)：互協(xié)方差函數(shù)：互協(xié)方差函數(shù)：121212( , )( , )( )( )XYXYXYKt tRt tmt mt( )( )( )(0)(0)XYXYXYXYXYXYKRm mrKK 互相關(guān)系數(shù)：互相關(guān)系數(shù)：廣義聯(lián)合平穩(wěn)的定義：廣義聯(lián)合平穩(wěn)的定義：( ),( ),XXYYmtmm tm2121),(),(ttRttRXYXY21( )lim( ) 2XTTGEXT功率譜定義：功率譜定義：平穩(wěn)隨機(jī)過程：平穩(wěn)隨機(jī)過程：維納辛欽定理維納辛欽定理( )( )XXRG 性質(zhì)：性質(zhì)：實(shí)平