工程測量技術第3章誤差理論

1、13 測量誤差理論及測量誤差理論及實驗數據處理實驗數據處理工程測試技術23.1 測量誤差的基本概念n真值：被測參數在一定條件下總有一個客觀存在的量，通常稱之為真值。測量的目的就是求得此真值。n測量誤差：測量值與真值之差稱為測量誤差。n = l -A 測量誤差 l 測量值 A 真值n算術平均值對某參數進行n次測量，得到n個測量值：l1，l2，ln，其算術平均值為n 偏差i為某測量值li與算術平均值之差，即 n注意：注意：n算術平均值不同于真值，偏差不同于誤差。算術平均值不同于真值，偏差不同于誤差。nlllLn/ )(21Llii33.1 測量誤差的基本概念n研究測量誤差理論所要解決的問題：n在實

2、際測量中如何根據測定值獲得近似的真值，如何確定測量誤差。n3.1.2 研究測量誤差理論的意義：n1、尋求正確認識測量誤差的性質與分析測量誤差產生的原因，以及最大限度地消除或減小測量誤差的途徑。n2、尋求正確處理測量數據的理論和方法，以便在同樣條件下，能獲得最精確最可靠地反映真值的測量結果。43.1 測量誤差的基本概念n3.1.3 測量誤差測量誤差產生的原因產生的原因n1、測量、測量方法方法引起的誤差，如：引起的誤差，如：n間接測量中的誤差，近似測量法引起的誤差，測量時不正確間接測量中的誤差，近似測量法引起的誤差，測量時不正確的安裝等。的安裝等。 n2、測量、測量設備設備引起的誤差，如：引起的誤

3、差，如：n標準儀器的誤差，儀器設計，制造及使用中不完善引起的誤標準儀器的誤差，儀器設計，制造及使用中不完善引起的誤差等。差等。n3、環(huán)境環(huán)境條件引起的誤差，如：條件引起的誤差，如：n影響測量誤差的環(huán)境條件影響測量誤差的環(huán)境條件-溫度、濕度、氣壓、光照、振動、溫度、濕度、氣壓、光照、振動、電磁場、空氣中的粉塵等。電磁場、空氣中的粉塵等。n4、測量、測量人員人員引起的誤差。如：引起的誤差。如：n生理特點、固有習慣、工作責任心、測量知識、儀器使用能生理特點、固有習慣、工作責任心、測量知識、儀器使用能力、經驗等。力、經驗等。 53.1 測量誤差的基本概念n3.1.4 測量誤差的測量誤差的分類分類n 按

4、測量的性質，測量誤差可分為三類：n（1）系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差對某一參數進行多次重復測量時，以確定的規(guī)律（定值或線性或周期等）影響各次測量值的誤差。系統(tǒng)誤差越小, 測量準確度越高。n 定值系統(tǒng)誤差定值系統(tǒng)誤差數值和符號始終保持不變的。n 變值系統(tǒng)誤差變值系統(tǒng)誤差其他情況。原因：原因： 如如零位零位的調整，零點校準不好等的調整，零點校準不好等消除方法：消除方法：不能不能用用增加增加測量測量次數次數來減小或消除。需要通過實驗或來減小或消除。需要通過實驗或分析分析的方法查明其產生原因和變化規(guī)律，采取相應措施減小的方法查明其產生原因和變化規(guī)律，采取相應措施減小或消除或消除或或對測量結果對測量結果加以修正加以

5、修正。63.1 測量誤差的基本概念n（2）隨機誤差隨機誤差在一定的測量條件下，對某一參數進行多次重復測量時，所得的各次測量值的誤差無確定的規(guī)律無確定的規(guī)律，符號和數值大小均不定的誤差。（或偶然誤差）特征： a、進行多次重復測量時，誤差有明顯的隨機性而無確定的規(guī)律，但服從一定的統(tǒng)計規(guī)律。 b、隨機誤差表現為測量結果的分散性，隨機誤差越小，測量精密度越高。 c、隨機誤差無法消除或校正，只能用統(tǒng)計的方法對其進行估算。73.1 測量誤差的基本概念原因：多種不顯著的誤差因素綜合作用的結果。例如：測量過程中測量儀器傳動機構的摩擦、間隙等因素造成的誤差;元器件性能的不穩(wěn)定、測量力不穩(wěn)定、零部件的變形;溫度、

6、濕度、光照、電磁場等環(huán)境條件波動引起的誤差;電源電壓波動引起的誤差等。83.1 測量誤差的基本概念n（3）粗大誤差粗大誤差在一定的測量條件下，對某一參數進行測量時，由于測量者的粗心大意或環(huán)境條件的突變等各種原因所造成的使測定值受到顯著歪曲的誤差。在處理測量數據時，這種帶有粗大誤差的測定值應剔除粗大誤差的測定值應剔除。n特征：進行多次重復測量時，具有粗大誤差的數據明顯地比其它數據偏大或偏小，明顯地不合理。這種誤差只有通過比較才能發(fā)現。n原因：n如人員記錄、讀數的粗糙或環(huán)境中沖擊、振動等。93.1 測量誤差的基本概念n3.1.5 測量誤差的表示方法n 絕對絕對誤差測量值與真值之差，單位與被測參數單

7、位相同。n = l -An 相對相對誤差絕對誤差與被測參數的真值A的比值。n =（ / A ）100 n 當誤差當誤差很小時很小時，可用絕對誤差與測量值 l 的比值來計算相對誤差n =（ / l ）100 103.1 測量誤差的基本概念n3.1.6 引用誤差的概念n在直讀式指示儀表中，如電工儀表，常采用“引用誤差”來表示其精確程度，劃分其等級。在這類儀表的整個量程中，各刻度點的在這類儀表的整個量程中，各刻度點的示值和其對應的真值之差（即示值誤差）都示值和其對應的真值之差（即示值誤差）都可能不同可能不同，所以在計算各點示值的相對誤差時很麻煩。為了計算和劃分精度等級，引用了“引用誤差”的概念。n引

8、用誤差引用誤差：將各點示值誤差與滿刻度值之比的百分數稱為該點的“引用誤差”。11n電工儀表的精度等級分為0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5和5.0七級七級，這些等級數字都表示該級儀表所允許的“最大最大引用誤差”的百分數。n例：n檢定測量上限（滿刻度值）為100伏的電壓表時，若在25伏刻度點的示值誤差為1伏，50伏刻度點的示值誤差為2伏，則根據定義算出在25伏刻度點處的引用引用誤差為誤差為1%，在50伏刻度點處的引用誤差為引用誤差為2%。n若在50伏刻度點處的示值誤差是各刻度點示值誤差的最大值，該電壓表的最大引用誤差為2%，它不超過2.5%，因而此電壓表的精度等級為2.5級。3.1

9、測量誤差的基本概念123.1 測量誤差的基本概念n如果儀表為M級，則僅說明合格儀表最大引用誤差不會超過M%，而不能認為它在各刻度點的示值誤差都具有M%的精度。n設儀表的滿刻度值為Xm，測量點為Xi，則該儀表在Xi點鄰近處：n示值誤差的絕對誤差n示值誤差的相對相對誤差n一般地，一般地，Xi越接近越接近Xm，越小，測量精度越高。越小，測量精度越高。因此利用這類儀表進行測量時，要盡可能利用因此利用這類儀表進行測量時，要盡可能利用滿刻度值滿刻度值2/3以上以上的一段量程。的一段量程。%MXm%MXXim13n3.1.6 確定測量誤差的基本方法n 逐項分析法逐項分析法定義？n對測量中可能產生的誤差進行分

10、析，逐項計算它們的誤差值，將其中主要項目，根據其性質不同的規(guī)律綜合成總的極限測量誤差。n優(yōu)點：能反映出各種誤差成分在總誤差中所占的比重，能了解產生誤差的主要原因，并據此提出減小誤差的主要措施。n缺點：有時為分析簡便起見，將復雜問題簡化，計算時按各因素影響最嚴重的情況來考慮，所以極限誤差往往偏大。n適用：擬定測量方案，研制新量儀，研究提高現有測量方法和量儀的精度。3.1 測量誤差的基本概念14n 實驗統(tǒng)計法定義？n應用數理統(tǒng)計方法，對在實際條件下所獲得的測量數據進行分析處理，確定其最可靠的測量結果和估算其極限誤差。 n 特點：能估算各影響因素實際綜合作用下的測量極限誤差，但不能發(fā)現定值系統(tǒng)誤差。

11、n適用：一般測量工作的誤差估算。n實際工作中，兩種方法綜合應用兩種方法綜合應用，相互補充、驗證補充、驗證，對測量誤差做出更全面、更客觀的分析與估算。3.1 測量誤差的基本概念153.1.7 準確度、精密度和精確度比較我們來看以下幾種情況：1、如果在測量誤差中，系統(tǒng)誤差很小，而隨機誤差很大，這時測定值的重復性就很差，圍繞著平均值分布得很分散，而平均值很接近于真值。 2、測定值的平均值遠離真值，即系統(tǒng)誤差較大，但測定值表現出重復性很好，圍繞著平均值很密集。3、如果在測量誤差中系統(tǒng)誤差和隨機誤差都很小，這時平均值很接近于真值，隨機誤差的分布范圍也很小。3.1 測量誤差的基本概念16精密度精密度：反映

12、隨機誤差隨機誤差大小和數據的相對差異和重復性，說明測定值的分散程度分散程度的，它用隨機誤差的分布范圍（極限隨機誤差）或標準誤差來評定。極限隨機誤差小，就是精密度高，反之，就是精密度低。準確度準確度：反映系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差大小和數據的平均準確性，說明這些測定值的分布中心偏離真值的程度的，它用系統(tǒng)誤差的大小來評定。系統(tǒng)誤差小，就是準確度高，反之，就是準確度低。第一種情況就是精密度低而準確度高，第二種情況就是精密度高而準確度低，第三種情況就是精密度和準確度都高，是我們所希望的。精密度和準確度都高，通常稱之為精確度精確度高。所以精確度是反映系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合指標。3.1 測量誤差的基本概念173.

13、2 隨機誤差的估算n3.2.1 隨機誤差的實驗隨機誤差的實驗統(tǒng)計統(tǒng)計規(guī)律規(guī)律n 從任何單獨從任何單獨一次一次測量來看，隨機測量來看，隨機誤差誤差的大小和符號是的大小和符號是不確定不確定的，然的，然而在一定條件下進行而在一定條件下進行大量大量的重復測量的總體來看，卻有一定的規(guī)律，的重復測量的總體來看，卻有一定的規(guī)律，即隨機誤差的即隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律統(tǒng)計規(guī)律。n 實驗統(tǒng)計法實驗統(tǒng)計法，理論基礎是，理論基礎是“概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計”。n 基本概念基本概念n 總體：總體： 一項一項統(tǒng)計工作統(tǒng)計工作中被研究對象的中被研究對象的全體全體。n 個體：個體： 所研究對象的一個單位，如，一個具體的測

14、定值。所研究對象的一個單位，如，一個具體的測定值。n 樣本樣本： n總體中抽出的一部分個體總體中抽出的一部分個體總合總合。樣本所包含的。樣本所包含的個體數目個體數目稱為稱為樣本容樣本容量量(N)。183.2 隨機誤差的估算n隨機誤差的實驗統(tǒng)計規(guī)律n 例如：為研究某種電感比較儀的測量誤差，采用該儀器對100mm高精度量塊進行200次重復測量，得到200個數據，該如何處理和評價這組數據呢？n 實驗統(tǒng)計法：實驗統(tǒng)計法：n（1）將所測數據進行分組統(tǒng)計。按數據的實際分布范圍，即最大值與最小值之差，分成m個相等的間隔，即m組。m取值參考表（P6頁）n分組間距：x(Xmax-Xmin)/m（而且要求x(Xm

15、ax-Xmin)/m）n（2）統(tǒng)計頻數，計算頻率n 統(tǒng)計N個測值分別落在各組內的數目ni，稱為頻數，并計算頻率（相對頻數）fi=ni/N：193.2 隨機誤差的估算n（3）繪制頻率直方圖n 以測值為橫坐標，各組數據頻率為縱坐 標，繪制頻率直方圖。n頻率直方圖反映了樣本數據的 分布特征。數據的密集位置密集位置， 離散程度，數據所在的范圍所在的范圍， 分布的對稱情況對稱情況，是否存在是否存在 偏離中心較遠的數據偏離中心較遠的數據等， 因此，基本給出了測量數據 的統(tǒng)計規(guī)律。n頻率分布圖頻率分布圖：直方圖的長方形頂邊中點連接的折線圖。ksdensity203.2 隨機誤差的估算n（4）樣本均值，樣本方

16、差，樣本標準差樣本均值，樣本方差，樣本標準差n 樣本均值：就是樣本中全部數據的算術平均值。n樣本均值表示樣本分布中心的位置。n 樣本方差： 式中： 稱為剩余誤差（殘差）, N-1 數據的自由度（間隙）。n樣本標準誤差（或標準差）：n樣本方差或標準差的大小反映了樣本數據對其均值的離散程度，即反映了數據的分散程度。 NiiNxNxxxNx1211)(1212)(11 NiixxNSxxi NiixxNS12)(11213.2 隨機誤差的估算n3.2.2 隨機誤差的理論統(tǒng)計規(guī)律n n概率及概率密度概率及概率密度n 概率：在相同條件下所進行的大量重復實驗中，某一隨機概率：在相同條件下所進行的大量重復實

17、驗中，某一隨機事件事件E出現的出現的頻率頻率f = n/N（即頻數即頻數n對樣本容量對樣本容量N 之比），之比），當當N充分大時，趨向于一個穩(wěn)定值，該值就是給定條件下隨充分大時，趨向于一個穩(wěn)定值，該值就是給定條件下隨機事件出現的機事件出現的概率概率。記為。記為P(E)，即，即n P(E)= n/N 式中式中N充分地大充分地大223.2 隨機誤差的估算n頻率頻率直方直方圖，樣本容量增加，圖，樣本容量增加，組距縮小時，形成組距縮小時，形成概率密度曲概率密度曲線線。如右圖如右圖n同一對象多次重復測量，若各同一對象多次重復測量，若各次數據相互獨立，則這組測量次數據相互獨立，則這組測量數據符合數據符合高

18、斯分布高斯分布n正態(tài)分布正態(tài)分布（高斯高斯分布）：通常分布）：通常多種均多種均不占優(yōu)的的獨立隨機因素隨機因素綜合影響下的隨機變量的概率綜合影響下的隨機變量的概率密度函數為密度函數為222)(21)(xexpy x被測數據，被測數據，理論平均值理論平均值標準誤差，標準誤差，e自然對數底自然對數底233.2 隨機誤差的估算n隨機誤差x在（x1，x2）范圍內的概率)()(21212121)()(12020222)(211222212222121zzdzedzedzedxedxxpxxxPzzzzzzzxxxxx ZZdZeZ02221)(n（Z）稱為）稱為拉普拉斯函數拉普拉斯函數，對應于各種，對應于

19、各種Z值的值的（Z）函數可查表）函數可查表2-3。n其中243.2 隨機誤差的估算n隨機變量x的取值在下列范圍內時的概率：%9999. 0)58. 2(2)58. 258. 2( xP%73.999973. 0)3(2)33( xP%959500. 0)96. 1(2)22( xP%26.686826. 0)1(2)( xPxmax1/2yx0y 是曲線最高點故此曲線以故此曲線以x軸為漸近線軸為漸近線。這說明具有正態(tài)分布的隨機變量，其理論分布范圍為無窮大。253.2 隨機誤差的估算n正態(tài)分布的四個特點四個特點：n1、單峰性：n絕對值較小的隨機誤差（xi-)比絕對值較大的隨機誤差出現的可能性大，

20、即出現的次數多。n2、對稱性：n絕對值相等而符號相反的隨機誤差出現的可能性相同。n3、相消性：n隨著測量次數的無限增加，隨機誤差的代數和趨近于零。抵償性。抵償性。n4、有界性：n在一定條件下，隨機誤差的分布實際上有一定的范圍。3。263.2 隨機誤差的估算n若令n即1-表示隨機變量x落在（-t, +t）范圍內的概率，稱為置信概率或或置信度置信度，它表示隨機變量x會落在（-t, +t）范圍內的可靠程度可靠程度。n則稱為顯著水平或信度信度，n它表示x在（-t, n+t）范圍內時所具有n的不可靠程度不可靠程度。（-t, n+t）則稱為置信區(qū)間置信區(qū)間，n t稱為置信限置信限，t稱為置置n信系數信系數

21、。txtP 1)(273.2 隨機誤差的估算 3.2.3 樣本均值的標準差 樣本均值 本身也是一個隨機變量。 若各組數據是高斯分布，其均值也是高斯分布，中心，其標準差 N1 原來總體的標準差，N樣本容量mxxx, 21,), 2 , 1(mjxj jxNx 283.2 隨機誤差的估算 當N增大時， 的比值減小，測量精度提高。但當N20以后， 減小很慢，靠增加測量次數來提高精度效率很低。因此測量次數測量次數N一般一般不超過不超過20。x1/ N1xN293.2 隨機誤差的估算n理論平均值含義n沒有系統(tǒng)誤差時，可認為為真值n樣本樣本均值 可作為的估計值n測量中，設法消除系統(tǒng)誤差后，以 作為真值的估

22、計值xx303.2 隨機誤差的估算 極限誤差：為總體的標準差 用樣本均值 作結果，極限誤差 總體未知時，重復測量次數不多時， 的極限誤差按t分布估算（見P19） t(k， )置信系數，信度， k自由度：自由度：k=N-1，S樣本的標準誤差3lim xNx3lim NSktx)(lim x313.2 隨機誤差的估算n作業(yè)：例2-2、例2-3n 何為置信度？置信度的含義？323.3 系統(tǒng)誤差的發(fā)現與消除n3.3.1 定值系統(tǒng)誤差定值系統(tǒng)誤差的發(fā)現與消除的發(fā)現與消除n 定值系統(tǒng)誤差不影響隨機誤差的剩余誤差(vi=xi-x)及分布規(guī)律，只影響其均值，無法從數據的處理中發(fā)現定值系統(tǒng)誤差，也發(fā)現系統(tǒng)誤差，

23、必須采用其它方法：無法用重復測量的方法n 1）消除產生系統(tǒng)誤差的根源（如零位零位變動）；n 2）測量后對測定值修正（如采用更高精度高精度儀器）；n 3）測量過程中采用適當方法抵消系統(tǒng)誤差（如異號異號法）。 n 3.3.2 變變值系統(tǒng)誤差值系統(tǒng)誤差的影響的影響n 變值系統(tǒng)誤差既影響隨機誤差分布曲線的位置，又影響其分布規(guī)律，必須消除。333.3 系統(tǒng)誤差的發(fā)現與消除n變值系統(tǒng)誤差變值系統(tǒng)誤差的發(fā)現與消除的發(fā)現與消除n1）觀察剩余誤差剩余誤差變化n按測量順序將剩余誤差排序，如大小有規(guī)律地向一個方向變化，其符號：“-+”或“+-”，則有累積系統(tǒng)誤差n若符號有規(guī)律交替變化，則有周期性系統(tǒng)誤差n若符號大體

24、上正負相間，則無變值系統(tǒng)誤差。 n 2）對剩余誤差進行對剩余誤差進行校驗校驗n將前K個剩余誤差相加，后K個剩余誤差相加，其和相減和相減得，若顯著不為零，則有累積系統(tǒng)誤差。n當發(fā)現有顯著系統(tǒng)誤差時，應分析和實驗，查明原因并設法消除。343.4 粗大誤差粗大誤差的剔除n由于粗大誤差粗大誤差會顯著歪曲測量結果，所以在處理測量數據時，應將含有粗大誤差粗大誤差的測定值剔除出去。但是在測定值中剔除可疑的數值，不能不能根據主觀隨意剔除主觀隨意剔除，應依據一定標準。n 3.4.1 3準則準則（來伊達來伊達標準）n具有正態(tài)分布的隨機誤差常以3作為實際分布范圍，超出 3的誤差可能性是很小的（0.27%）。n因此，

25、當某個測定值的誤差誤差（通常用剩余誤差來代替通常用剩余誤差來代替）超過 3（可用測量值的樣本標準誤差S作估計值）時，即 時就應作為粗大誤差予以剔除。 n當測量次數較少時當測量次數較少時， 3標準可靠性較差標準可靠性較差，此時常用其它標準。3xxii35n3.4.2 格拉布斯格拉布斯（Grubbs）標準n多次重復測量，取得N個測量值x1，x2，xN，并假定這些測定值為正態(tài)分布的，計算出：n若測定值中的最大值或最小值的剩余誤差滿足以下關系：n就認為該測定值xi含有粗大誤差，應予以剔除。n式中g0是決定于測量次數N和信度信度的數值，可查表獲得。表示按上式剔除粗大誤差可能錯判的概率，通常=0.05或=

26、0.01。 NiixNx11 NiixxNs12)(11Sgxxii 03.4 粗大誤差的剔除36n g0 數 值 表 NNNN0.050.010.050.010.050.010.050.0131.151.16102.182.41172.482.78242.642.9941.461.49112.232.48182.502.82252.663.0151.671.75122.282.55192.532.85302.743.1061.821.94132.332.61202.562.88352.813.1871.942.10142.372.66212.582.91402.873.2482.032.22

27、152.412.70222.602.94502.963.3492.112.32162.442.75232.622.961003.173.59與表與表2-5不一樣，此表中選用不一樣，此表中選用測量次數測量次數N，而，而非自由度非自由度N-1373.5 函數誤差與誤差傳遞n直接測量與間接測量n直接對所要研究的參數進行測量時稱為直接測量法直接測量法，但在測量工作中，由于各種原因不能或不宜直接測量，而是直接測量與所研究參數有一定函數關系的其它參數（稱為基本參數或原始參數）并根據函數關系計算出所研究參數的大小，這種方法稱為間接測量法間接測量法。n 例如：圖示電路中，如果測得電阻R及R兩端n的電壓U，根據

28、公式可計算出通過R的電流I。n RUI RUI383.5 函數誤差與誤差傳遞n問題：n1、誤差U和誤差R通過公式計算的電流I會產生多大誤差。n2、如果給定電流I的允許誤差，則直接測量U和R時的誤差應如何控制。n這就是這就是函數誤差問題函數誤差問題，實際就是研究，實際就是研究誤差的傳遞問題誤差的傳遞問題，也就，也就是說，基本參數的誤差將以什么樣的關系傳遞到間接測量的是說，基本參數的誤差將以什么樣的關系傳遞到間接測量的參數上去？參數上去？n3.5.1 函數誤差傳遞的基本關系式n設要間接間接測量的參數y與直接直接測量的基本參數 之間的函數關系為：mxxx,21),(21mxxxFy 393.5 函數

29、誤差與誤差傳遞n根據n將上式按泰勒公式展開，并略去二次及二次以上的微量項，可得到近似等式：n實際是函數y 的全微分，令n則可寫成n式中的 稱為誤差傳遞系數誤差傳遞系數，表示第第i個自變量的誤差個自變量的誤差dxi傳給函數傳給函數y時放大或縮小的倍數時放大或縮小的倍數。它反映了某個參數的誤差對間接測量結果影響的大小。 ),(2211mmdxxdxxdxxFdyy mmmdxxFdxxFdxxFxxxFdyy 221121),(mmdxxFdxxFdxxFdy 2211mmdxCdxCdxCdy 2211), 2 , 1(mixFCii iixFC 403.5 函數誤差與誤差傳遞n3.5.2 函數

30、誤差的計算n間接測量時,可根據各基本參數的測量誤差，利用上述關系式，可求間接測量結果的誤差。這類問題稱為第一類第一類問題。n1、函數函數系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的計算的計算設各基本參數 的系統(tǒng)誤差分別為 ，將其代入前面公式中的微分量 ，可得到函數的系統(tǒng)誤差例題：例題：在電流I的間接測量中，設測量U所產生的系統(tǒng)誤差為U，測量R的系統(tǒng)誤差為R，試計算函數I的系統(tǒng)誤差I。mxxx,21mxxx,21mdxdxdx,21 miiimmxCxCxCxCy1221141解：令U的誤差傳遞系數為CU，R的誤差傳遞系數為CR，則因此I的系統(tǒng)誤差n2、函數函數隨機誤差隨機誤差的計算的計算設各基本參數 的隨機誤差分別為

31、將其代入前面公式中的微分量 ，得函數隨機誤差的表達式：函數隨機誤差的標準誤差標準誤差為（各基本參數的隨機誤差是兩兩相互獨立的）： 2 1RURICRUICRU )(12RRUURRRURURCUCIRU mxxx,21m,21mdxdxdx,21 miiimmyCCCC12211 miiimmyCCCC1222222222121423.5 函數誤差與誤差傳遞設各基本參數基本參數的隨機誤差為正態(tài)分布，且相互獨立，它們的極限隨機誤差取為 ，則函數的隨機誤差函數的隨機誤差也為正態(tài)分布，其極限隨機誤差亦取為 ，于是函數的極函數的極限隨機誤差限隨機誤差與各基本參數的極限隨機誤差基本參數的極限隨機誤差的關

32、系為 例題：例題：在所示的電路中，直接測量U時的極限隨機誤差為 ，測量R時的極限隨機誤差為 ，假設都是正態(tài)分布，試計算函數I的極限隨機誤差 及標準誤差 。解：U和R的誤差傳遞系數I的標準誤差I的極限隨機誤差ii3lim yy3lim miiimiiimiiiyyCCC12lim2122122lim)3(33UU3lim RR3lim I limI2 1RURICRUICRU 2422222221RURRUUIRURCC 2lim422lim22lim22lim2lim1RURRUUIRURCC RUI433.5 函數誤差與誤差傳遞n3.5.3 函數誤差的分配誤差的分配n若給定函數誤差，要求確定

33、各個基本參數所允許的測量誤差，這就是函數誤差的分配問題，稱為第二類第二類問題。n目的？目的？在實際測量中，解決這類問題主要是為了確定各基本參數的測量方法及選用測量設備，以保證間接測量結果的精度。n函數系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差應該用消除或修正各基本參數系統(tǒng)誤差的辦法來解決。n本節(jié)主要是研究函數隨機誤差的分配問題。n若給定函數誤差 ，并設各基本參數的隨機誤差相互獨立，為保證間接測量結果的精度，應滿足y2122ymiiiC443.5 函數誤差與誤差傳遞n一般按下列步驟求解：n1、先、先按等作用原則等作用原則分配誤差所謂等作用原則就是認為各個基本參數的誤差對函數的影響相等，即n2、按實際情況調整誤差需要根據實

34、際可能性和經濟性，對每一基本參數的允許測量誤差加以調整，以避免按等作用原則分配誤差可能會出現不合理的情況。n3、調整后的驗算既要能充分擴大各基本參數的允許誤差，又要保證實際總誤差不超過給定的函數誤差。2222222121mmCCC mCyii222 mCyii 1mCyii limlim12122ymiiiC或453.6 不等精度測量n3.6.1 權的概念與確定n 3.6.1.1 不等精度測量的概念n等精度測量等精度測量：n對于單次測量值而言，指測量方法、測量儀器、測量環(huán)境條件及測量人員水平都相同的情況下，對某一參數所進行的任何一次測量任何一次測量，都具有同等的可靠程度具有同等的可靠程度，對于

35、多次重復測量的算術平均值而言，重復測量次數也相同，這樣得到的任何一個算術平均值都具有算術平均值都具有同等的可靠程度同等的可靠程度。n不等精度測量不等精度測量：n為得到更精確更可靠的測量結果，在測量方法、測量儀器、測量環(huán)境條件、測量人員水平以及重復測量次數等諸因素中，改變一個或幾個的情況下進行測量以獲得不同的測量結果。 463.6 不等精度測量n3.6.1.2 權的概念權的概念n在不等精度測量不等精度測量中，各測量結果的可靠程度是不一樣的。所以不能簡單地取各測量結果的算術平均值作最后測量結果，而讓可靠程度大的測量結果在最后結果中占較大比重，可靠程度小的占較小比重。各測量結果的可靠程度或它們在最后

36、結果中應占的比重，可用一數值表示，這就是該測量結果的“權”，通常用p表示。n3.6.1.3 權的確定權的確定n1、在不等精度測量中，權權的大小可根據各組測量值的算術平均值算術平均值的標準誤差來確定。473.6 不等精度測量n設在不等精度測量中，各組測得值的算術平均值 的標準誤差為 而這些平均值的權權為 則它們之間n即每組算術平均值的權算術平均值的權與其相應的標準誤差的平方標準誤差的平方成反比。n2、如果不等精度測量僅僅為測量的次數不同次數不同，而測量方法、儀器、環(huán)境條件及人員等都不變，則可用各組重復測量的次數n來作為各組算術平均值的權。即 。n例如在相同條件下對某量作三組不等精度的測量，第一組

37、測量3次，第二組測量5次，第三組測量2次，則各組算術平均值的權為mxxx,21,21mxxx,21mppp222211:1:1:21mxxxmppp iinp 2 , 5 , 3321 ppp483.6 不等精度測量n3.6.2 加權算術平均值n若對同一參數進行m組不等精度測量，得到m個算術平均值 n 設已知各組的測量次數為 則可確定各組的權 于是各組測量結果的加權算術平均值加權算術平均值為：n簡化計算式n n 為接近 的任意數。,21mnnnmxxx,21,21mppp miimiiimmmpxppppxpxpxpx11212211mmmpppxxpxxpxxpxx 2100220110)(

38、)()(ix0 x493.6 不等精度測量n3.6.3 加權算術平均值的標準誤差n求加權算術平均值的標準誤差有兩種方法。n1、當已知已知各組算術平均值的標準誤差標準誤差 時，各組的權可得出，則加權算術平均值的標準誤差為：n2、當已知已知各組算術平均值的剩余剩余誤差 時，設各組算術平均值的剩余誤差為：n則加權算術平均值的標準誤差標準誤差為n式中m為測量的組數。 miiixmixxppppppii121ixixxxxxxmm , , ,2211)(1(212222211mmmxpppmppp 503.7 誤差的合成n研究誤差的合成“總誤差”的目的：n對一項測量或對一臺儀器進行精度分析時，需要對由各

39、種因素引起的原始誤差逐項研究，通過理論計算或實驗，確定它們的大小，然后按一定的規(guī)律，合成為總誤差，以便對測量結果的精度或儀器的精度作出總的評定?；蛘邔Ω鲉雾椪`差在總誤差中所占的比重加以估算，比較它們的影響程度，從而找出提高測量精度的有效途徑。n測量誤差按其性質不同，有系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差之分，粗大誤差應在測量過程中盡量避免，并在處理測量數據時予以剔除，所以是不應計入總誤差的，而系統(tǒng)誤差和隨機誤差則需要采用不同方法將它們合成總誤差。513.7 誤差的合成n3.7.1 隨機隨機誤差的合成：誤差的合成：n設通過分析已知影響直接測量結果的單項隨機誤差有n個，并通過分析或實驗統(tǒng)計或經驗估計已知各

40、隨機誤差的極限誤差值 ?？偟臉O限隨機誤差是按同等可靠性的原則，即按置信度相等的原則來計算。n在測量中，常用對應于某一給定的置信概率 的極限誤差 來表示隨機誤差的大小。n對于服從某種分布的隨機誤差，在給定置信概率下的極限誤差為n隨機誤差的標準誤差，t在該分布時與給定的置信概率相對應的置信系數。i lim 1limt lim523.7 誤差的合成n例如，服從正態(tài)分布的隨機誤差，當給定置信概率為0.9973時，其對應的置信系數t=3，故極限誤差為n當給定置信概率為0.99時，其對應的置信系數t=2.58，故極限誤差為n當給定置信概率為0.95時，其對應的置信系數t=1.96，故極限誤差為n等概率原則

41、：在隨機誤差合成時，各單項隨機誤差與合成后的總極限隨機誤差對應于同一置信概率，這就是等概率原則。 3lim 58. 2lim 96. 1lim 533.7 誤差的合成n根據給定的置信概率，以及各隨機誤差的分布，就可確定對應的置信系數ti，于是各隨機誤差的標準誤差為：n當各單項隨機誤差為正態(tài)分布，則總誤差也為正態(tài)分布，此時總誤差的置信系數t與各單項隨機誤差的置信系數t取為相等。n根據概率論原理，合成后總的隨機誤差的標準誤差與各單項隨機誤差的標準誤差之間滿足：（各單項隨機誤差相互獨立）n當給定置信概率為0.9973時，則各單項隨機誤差的置信系數ti=3，故總誤差的t=3，則 miiit12lim)

42、( miiittt12limlim)( mii12limlimiiit lim543.7 誤差的合成n3.7.2 相關系數n兩隨機變量與之間線性關聯的緊密程度，用相關系數來表示。n一組實驗數據（i,i)(i=1,2,N)的相關系數（樣本相關系數）的定義：n式中 NiiNiiNiii12121)()()( NiiN11 NiiN11553.7 誤差的合成n的取值范圍為n當 時，表示與正相關，即一個誤差增大時，另一個誤差的取值平均地增大;當 時，表示與負相關，即一個誤差增大時，另一個誤差的取值平均地減小;當 時表示完全正相關，當 時，表示完全負相關，表示表示與與之間存在著確定的之間存在著確定的線線性函數關系性函數關系。當 時表示兩誤差相互獨立或毫無線性關系。愈接近0，兩誤差線性相關程度愈小，愈接近1，則線性相關愈密切。11 01 10 1 1 0 563.7 誤差的合成n3.7.3 系統(tǒng)誤差的合成n系統(tǒng)誤差可分為：1、定值系統(tǒng)誤差：數值、符號一定。2、變值系統(tǒng)誤差：用極限誤差表示，只能或只需估計出其不致超過的極限范圍ei。n1、定值系統(tǒng)誤差的合成設有r個定值系統(tǒng)誤差1,2,r, 則總的系統(tǒng)誤差（代數和代數和）為： r