概率論第二章習(xí)題

1、1.1. 一袋中裝有一袋中裝有5只球只球,編號為編號為1,2,3,4,5.在袋中同時取在袋中同時取3只只,以以X表示取表示取出的出的3只球中的最大號碼只球中的最大號碼,寫出隨機(jī)變量寫出隨機(jī)變量X的分布律的分布律. 解解 基本事件是從基本事件是從5只球中同時取只球中同時取3只只,有有 種取法種取法.10! 2! 3! 535 X只能取值只能取值3,4,5.X=3時時,一只球編號為一只球編號為3,另外兩只球編號為另外兩只球編號為1,2,只有一種取法只有一種取法, X=4時時,一只球編號為一只球編號為4,另外兩只球只能從編號為另外兩只球只能從編號為1,2,3的三只球的三只球中取中取,有有 種取法種取

2、法.323 X=5時時,一只球編號為一只球編號為5,另外兩只球只能從編號為另外兩只球只能從編號為1,2,3,4的四只球的四只球 中取中取,有有 種取法種取法.6!2!2!424 1013 XP.1034 XP.1065 XPX的分布律為的分布律為. 5 , 4 , 3,1021 kkkXP也可列表表示也可列表表示X 3 4 5Pk 1/10 3/10 6/10 設(shè)在設(shè)在15只同類型的零件中有只同類型的零件中有2只是次品只是次品,在其中取在其中取3次次,每次任取每次任取1只只,作不放回抽樣作不放回抽樣.以以X表示取出次品的只數(shù)表示取出次品的只數(shù).(1)求求X的分布律的分布律;(2)畫出畫出分布律

3、的圖形分布律的圖形. 解解 法一法一:X可能取值為可能取值為0,1,2. PX=0=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)3522131114121513 PX=1=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)+P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)+P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2131214215133512 PX=2=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)+P(

4、A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)+P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)1313141152 1311413152 1311421513 351 設(shè)事件設(shè)事件Ai表示表示“第第i次取到正次取到正品品”,i=1,2,3.也可由也可由 PX=2=1- -PX=0- -PX=1351351235221 法二法二: 用等可能概型用等可能概型. 基本事件是從基本事件是從15只零件中取只零件中取3只只,有有 種取法種取法.1335!12! 3!15315 X=0時時,取出的取出的3只都是正品只都是正品,有有 種取法種取法.1322!10!3!13313 X=1時時,取出的取出的3只中有只

5、中有2只正品只正品,1只次品只次品,有有 種取法種取法.13122!11! 2!1312213 X=2時時,取出的取出的3只中有只中有1只正品只正品,2只次品只次品,有有 種取法種取法.1322113 故故PX=0=22/35, PX=1=12/35, PX=2=1/35 .X的分布律為的分布律為X 0 1 2Pk 22/35 12/35 1/35其圖形為其圖形為X0 1 2p22/3512/351/35 進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn),設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p,失敗的概率為失敗的概率為q=1- -p(0p1). (1)將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成

6、功為止,以以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù)表示所需的試驗(yàn)次數(shù),求求X的分布律的分布律.(此時稱此時稱X服從以服從以p為參數(shù)的幾何分布為參數(shù)的幾何分布.) 將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止, 所需的試驗(yàn)次數(shù)所需的試驗(yàn)次數(shù)X=1,2,k, X=k時時,前前k-1次試驗(yàn)均未成功次試驗(yàn)均未成功,第第k次試驗(yàn)才成功次試驗(yàn)才成功,由于各次試驗(yàn)相由于各次試驗(yàn)相互獨(dú)立互獨(dú)立,故故PX=k=P(A1A2Ak-1Ak)=P(A1)P(A2)P(Ak-1)P(Ak)=(1-p)k-1pX的分布律為的分布律為 PX=k=p(1-p)k-1 , k=1,2, (3)一籃球運(yùn)動員的投籃命中率為一籃球運(yùn)動員的

7、投籃命中率為45%.以以X表示他首次投中時累計表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù)已投籃的次數(shù),寫出寫出X的分布律的分布律,并計算并計算X取偶數(shù)的概率取偶數(shù)的概率. 解解 這是這是(1)中中p=0.45的情況的情況,故故X的分布律為的分布律為 PX=k=0.45 (0.55)k-1 , k=1,2, 解解 設(shè)設(shè)Ai表示第表示第i次試驗(yàn)成功的事件次試驗(yàn)成功的事件,則則 P(Ai)=p, P(Ai)=1- -p . 但這成功的但這成功的r次試驗(yàn)次試驗(yàn),除最后一次必成功外除最后一次必成功外,另外成功的另外成功的r-1次可以是次可以是總的總的k-1次中的任意次中的任意r-1次次,共有共有 11rk種可能種

8、可能,每一種可能的概率均為每一種可能的概率均為qk-rpr =(1-p)k-rpr.故故Y的分布律為的分布律為 , 1,)1 (11 rrkpprkkYPrkr (2)將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止次成功為止,以以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù)表示所需的試驗(yàn)次數(shù),求求Y的分布律的分布律.(此時稱此時稱Y服從以服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布為參數(shù)的巴斯卡分布.) 解解 將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)將試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止次成功為止, 所需的試驗(yàn)次數(shù)所需的試驗(yàn)次數(shù)Y=r,r+1,Y=k時時,共進(jìn)行了共進(jìn)行了k次試驗(yàn)次試驗(yàn),其中成功其中成功r次次,未成功未成功k-r次次(k r).若后若后r次試驗(yàn)成功次

9、試驗(yàn)成功,則前則前k-r次試驗(yàn)未成功次試驗(yàn)未成功,其概率為其概率為P(A1A2Ak-rAk-r+ 1Ak)=P(A1)P(A2)P(Ak-r)P(Ak-r+ 1)P(Ak)=qk-rprX取偶數(shù)可視為所有取偶數(shù)可視為所有 X=2n (n=1,2,) 事件的總和事件的總和,其概率為其概率為 1121)55. 0(45. 02nnnnXP1)55.0(55.045.002 nn311155. 155. 0)55. 01)(55. 01(55. 045. 0)55. 01(55. 055. 045. 0155. 01155. 045. 0222 設(shè)事件設(shè)事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為在一次試驗(yàn)中發(fā)生

10、的概率為0.3,當(dāng)當(dāng)A發(fā)生不少于發(fā)生不少于3次時次時,指示燈發(fā)出信號指示燈發(fā)出信號.(1)進(jìn)行了進(jìn)行了5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn),求指示燈發(fā)出信號的概求指示燈發(fā)出信號的概率率;(2)進(jìn)行了進(jìn)行了7次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn),求指示燈發(fā)出信號的概率求指示燈發(fā)出信號的概率.解解 設(shè)設(shè)X表示表示n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù),由于事件由于事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p=0.3, 故故 Xb(n,0.3) .X的分布律為的分布律為nkknkXPknk, 1 , 0,7 . 03 . 0 (1) n=5 所求概率為所求概率為PX 3=PX=3

11、+PX=4+PX=554233 . 0557 . 03 . 0457 . 03 . 035 =0.163(2) n=7 所求概率為所求概率為PX 3=PX=3+PX=4+PX=5+PX=6+PX=7=1- -PX3=1- -PX=0+PX=1+PX=252677 . 03 . 0277 . 01 . 0177 . 0071 =0.353求第求第(1)題中的隨機(jī)變量的分布函數(shù)題中的隨機(jī)變量的分布函數(shù).解解 由第由第(1)題的結(jié)果題的結(jié)果, X的分布律為的分布律為X 3 4 5Pk 1/10 3/10 6/10F(x)=PXx xxkkxXPx3F(x)=03 x4F(x)=PX=3=1/104

12、x5F(x)=PX=3+PX=4=4/10=2/5x 5F(x)=PX=3+PX=4+PX=5=1總之總之,X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 5, 154, 5/243,10/13, 0)(xxxxxF 在區(qū)間在區(qū)間0,a上任意投擲一個質(zhì)點(diǎn)上任意投擲一個質(zhì)點(diǎn),以以X表示這個質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)表示這個質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)設(shè)這個質(zhì)點(diǎn)落在這個質(zhì)點(diǎn)落在0,a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成比中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成比例例.試求試求X的分布函數(shù)的分布函數(shù). 解解 由于質(zhì)點(diǎn)只能落在由于質(zhì)點(diǎn)只能落在0,a中中,故故Xa是不可能事件是不可能事件, PXa=0(1)若若x0,xxX0aX x是不可能事件是不

13、可能事件, F(x)=PXx =0 .(2)若若0 xa ,事件事件A表示表示“質(zhì)點(diǎn)落在質(zhì)點(diǎn)落在0,a中小區(qū)間中小區(qū)間0,x內(nèi)內(nèi)”, 則則 P(A)=P0Xx與該小區(qū)間的長度與該小區(qū)間的長度x成比例成比例,令令 P0Xx=kx , (0 xa),則則 1=P- -X=PXa=ka,故故 k=1/a,從而從而 P0Xx=x/a , (0 xa).因此因此 F(x)=PXxxxX0a=PX2, F(x)=PXxxxX0a=PX0+P0Xa+PaXx =1分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)=0, x0 x /a , 0 xa1, x a xF(x)oa1F(x)的圖形如右的圖形如右,設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分

14、布函數(shù)為的分布函數(shù)為 其其它它, 11 ,ln1,0)(exxxxFX(1)求求PX2 ,P0X3,P2X5/2;(2)求概率密度求概率密度 fX(x).解解 (1) PX2=FX(2)=ln2P0X3 =FX(3)-)-FX(0) =1P2X5/2e 2.72=FX(5/2)-)-FX(2) =ln(5/2)- -ln2=ln(5/4)(2) f X(x)=FX /(x) exexxx, 01 ,/11, 0 exxexx,1,01 ,/1x=1處處左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)0100lim1) 1 ()(lim11 xxFxFxXXx右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù)11lim10lnlim1) 1 ()(lim111 xxx

15、xFxFxxXXx x=e處處exexxexeFxFexexXXex11lim1lnlim)()(lim 011lim)()(lim exexeFxFexXXex 設(shè)設(shè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 其其它它, 021),/11(2)()1(2xxxf 其其它它, 021 ,210,)()2(xxxxxf求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x),并畫出并畫出(2)中的中的f(x)及及F(x)的圖形的圖形. 解解 (1) xdxxfxF)()(X1時時, F(x)=0,1 x2時時,dxxdxxFx)11 ( 20)(112 )21(2)1(21 xxxxxx 2時時, xdxdxxdxx

16、F212120)11 ( 20)(1)1(221 xx總之總之, 2, 121),21(21, 0)(xxxxxxFxF(x)211oxf(x)23/21oF(x)和和f(x)的圖形如下的圖形如下: 研究了英格蘭在研究了英格蘭在1875年年1951年期間年期間,在礦山發(fā)生導(dǎo)致在礦山發(fā)生導(dǎo)致10人人或或10人以上死亡的事故的頻繁程度人以上死亡的事故的頻繁程度,得知相繼兩次事故之間的時間得知相繼兩次事故之間的時間T(以日計以日計)服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布,其概率密度為其概率密度為其其它它0 t , 0,2411)(241xTetf求分布函數(shù)求分布函數(shù)FT(t),并求概率并求概率P50T0,dtet

17、t24102411 24102411tttee t 0,0)()( dttftFtTTdttftFtTT )()(總之總之, , 0,1)(241tTetF其其它它0 t也可由指數(shù)分布也可由指數(shù)分布 =241直接得此結(jié)果直接得此結(jié)果.P50T100 =FT(100)-FT(50)24110024150 ee)1 ()1 (24150241100 eedttfT 10050)(dtet 241100502411 10050241te 某種型號的器件的壽命某種型號的器件的壽命X(以小時計以小時計)具有以下的概率密度具有以下的概率密度 其其它它, 01000,1000)(2xxxf現(xiàn)有一大批此種器件

18、現(xiàn)有一大批此種器件(設(shè)各器件損壞與否相互獨(dú)立設(shè)各器件損壞與否相互獨(dú)立),任取任取5只只,問其中問其中至少有至少有2只壽命大于只壽命大于1500小時的概率小時的概率. 解解 設(shè)設(shè)1只器件的壽命大于只器件的壽命大于1500小時的概率為小時的概率為p,而而Y是取出的是取出的5只中只中壽命大于壽命大于1500小時的器件數(shù)小時的器件數(shù),則則 Yb(5,p).由于由于 1500)(1500dxxfXPpdxx 1500210003210001500 xY的分布律為的分布律為5 , 1 , 0,313255 kkkYPkk所求概率為所求概率為 PY 2=1-PY2=1-PY=0-PY/p>

19、1 243232325115 xdxxfxF)()(X 1000, F(x)=0 xxxxdxxxFx10002,10001100010001000)(,1000=1-PX 1500=1-F(1500) 設(shè)設(shè)XN(3, 22),(1)求求P2X 5,P-42,PX3;(2)確確定定c,使得使得PXc=PX c;(3)設(shè)設(shè)d滿足滿足PXd 0.9,問問d至多為多少至多為多少? 解解 (1) P2X 5)5 . 0(1) 1()5 . 0() 1()232()235( =0.8413-1+0.6915=0.5328P-42=PX2X2+PX-2=1-PX 2+PX3 =1-PX 3) 0(1233

20、1 =1-0.5=0.5=1-P|X| 2(3) 要使要使d滿足滿足 PXd 0.9, 即即 1-PX d9 . 0231 d)28.1()28.1(18997.019 .0123 d28. 123 d解得解得d 3-2.56=0.44.(2)由于由于正態(tài)分布的正態(tài)分布的分布曲線即分布曲線即概率密度概率密度曲線以直線曲線以直線x= 為對稱軸為對稱軸.因此因此,PX =PX.本題中本題中 =3, 故只需取故只需取c=3,就可以使就可以使 PXc=PX c. 一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命X(以小時計以小時計)服從參數(shù)為服從參數(shù)為 =160, 的正態(tài)分布的正態(tài)分布.若要求若要求P120X 200 0.80,允許允許 最大為多少最大為多少?解解 P1200, x=h(y)=lny, h/(y)=1/y 由由 0lny1 得到得到 1y0 , 其其它它, 01,1)(ln)(eyyyfyfXY 其其它它, 01,1eyy設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在在(0,1)上服從均勻分布上服從均勻分布,求求Y=-2lnX的概率密度的概率密度;法一法一:FY(y)=PY y=P-2lnX y2yeXP 12yeXP )(12yXeF fY(y)= F