解_直_角_三_角_形_的_應(yīng)_用.

1、解解 直直 角角 三三 角角 形形 的的 應(yīng)應(yīng) 用用中考專題復習中考專題復習 一、利用解直角三角形的知識來解決實際應(yīng)用問題，是一、利用解直角三角形的知識來解決實際應(yīng)用問題，是中考的一大類型題，主要涉及測量、航空、航海、工程等中考的一大類型題，主要涉及測量、航空、航海、工程等領(lǐng)域，解答好此類問題要先理解以下幾個概念：領(lǐng)域，解答好此類問題要先理解以下幾個概念： 1 仰角、俯角；仰角、俯角； 2 方向角；方向角； 3 坡角、坡度；坡角、坡度； 4 水平距離、垂直距離等。水平距離、垂直距離等。 再依據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)條件求解。再依據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)條件求解。 二、解實際問題常用的兩種思維方法：

2、二、解實際問題常用的兩種思維方法： （1）切割法：把圖形分成一個或幾個直角三角形與）切割法：把圖形分成一個或幾個直角三角形與 其他特殊圖形的組合；其他特殊圖形的組合； （2）粘補法：此方法大都通過延長線段來實現(xiàn)。）粘補法：此方法大都通過延長線段來實現(xiàn)。D15例例1 1 要求要求tan30的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進行的值，可構(gòu)造如圖所示的直角三角形進行計算：作計算：作RtABC，使，使C=90，斜邊，斜邊AB=2，直角邊，直角邊AC=1，那么，那么BC= ，tan30= . 在此圖基礎(chǔ)上，通過添加適當在此圖基礎(chǔ)上，通過添加適當?shù)妮o助線，可求出的輔助線，可求出tan15的值。的值。請簡要寫

3、出你添加的輔助線和求出的請簡要寫出你添加的輔助線和求出的tan15的值。的值。 33331BCACACB1230解：延長解：延長CB至至D，使，使BD=AB，連結(jié)，連結(jié)AD，則，則D=15，tan15= 。32DCACACB1230DExx132332例例2 2 如圖，某建筑物如圖，某建筑物BC直立于水平地面，直立于水平地面，AC=9米要建造米要建造階梯階梯AB，使每階高不超過，使每階高不超過20厘米，則此階梯最少要建厘米，則此階梯最少要建 _ 階（最后一階的高不足階（最后一階的高不足20厘米時，按一階計算；厘米時，按一階計算； 取取1.732） 3ACB30解：在解：在RtACB中，中，C=

4、90， BC=ACtan30=9 =3 =5.196 此階梯的階數(shù)此階梯的階數(shù)= 26（階）。（階）。 故填上故填上26。 2 . 0196. 53339米米AOFBC例例3 3 某市在某市在“舊城改造舊城改造”中計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形中計劃在市內(nèi)一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要（元，則購買這種草皮至少需要（ ） A、450a元元 B、225a元元 C、150a元元 D、300a元元 h30米20米150解：如圖所示，作出此三角形的高解：如圖所示，作出此三角形的高

5、h。 則則S= ACBDsin（180150） = 3020 =150（平方米）（平方米） 購買這種草皮至少需要購買這種草皮至少需要150a元。故選（元。故選（C）。）。212121ABCD例例4 在生活中需測量一些球（如足球、籃球在生活中需測量一些球（如足球、籃球）的直徑）的直徑.某某校研究性學習小組，通過實驗發(fā)現(xiàn)下面測量方法：如圖將球放校研究性學習小組，通過實驗發(fā)現(xiàn)下面測量方法：如圖將球放在水平的桌面上，在陽光的斜射下，得到球的影子在水平的桌面上，在陽光的斜射下，得到球的影子AB，設(shè)光，設(shè)光線線DA、CB分別與球相切于點分別與球相切于點E、F，則，則EF即為球的直徑，若即為球的直徑，若測得

6、測得AB的長為的長為41.5cm， ABC=37.請你計算出球的直徑請你計算出球的直徑. (精精確到確到1cm,可用數(shù)據(jù)可用數(shù)據(jù):sin37=0.6,cos37=0.8).DEFACB37G解：過解：過A作作AG CB,垂足為垂足為G,則則AG=EF.在在Rt ABG中中, sinB B= = ,AG=ABsinB=41.5sin37=41.5 0.6=24.9 25(cm),即即EF 25cm.答：球的直徑約為答：球的直徑約為25cm.ABAG例例5 5 為了申辦為了申辦2010年冬奧會，須改變哈爾濱市的交通狀況。年冬奧會，須改變哈爾濱市的交通狀況。在大直街拓寬工程中，要伐掉一棵樹在大直街拓

7、寬工程中，要伐掉一棵樹AB，在地面上事先劃定，在地面上事先劃定以以B為圓心，半徑與為圓心，半徑與AB等長的圓形危險區(qū)?，F(xiàn)在某工人站在等長的圓形危險區(qū)。現(xiàn)在某工人站在離離B點點3米遠的米遠的D處測得樹的頂端處測得樹的頂端A點的仰角為點的仰角為60，樹的底部，樹的底部B點的俯角為點的俯角為30。問距離。問距離 B點點8米遠的保護物是否在危險區(qū)米遠的保護物是否在危險區(qū)內(nèi)？內(nèi)？CDBE3060A73. 13 解：過點解：過點C作作CE AB于于E.在在RtCBE中中,tan30=BE=CE tan30=在在RtCAE中中,tan60=AE=CE tan60=AB=AE+EB= 6.92(米）米） 8(

8、米）米）距離距離 B點點8米遠的保護物不在危險區(qū)米遠的保護物不在危險區(qū).333CEBECEAE34若這艘輪船自若這艘輪船自A處按原速度繼續(xù)航行，在處按原速度繼續(xù)航行，在途中會不會遇到臺風？若會，試求輪船最途中會不會遇到臺風？若會，試求輪船最初遇到臺風的時間；若不會，請說明理由。初遇到臺風的時間；若不會，請說明理由。輪船自輪船自A處立即提高船速，向位于東偏北處立即提高船速，向位于東偏北30方向，相距方向，相距60里的里的D港駛?cè)?。為使臺風港駛?cè)?。為使臺風到來之前到達到來之前到達D港，問船速至少應(yīng)提高多少？港，問船速至少應(yīng)提高多少？（提高的船速取整數(shù)，（提高的船速取整數(shù)， ）？）？ 北北東東DAB

9、30例例6 如圖所示，一艘輪船以如圖所示，一艘輪船以20里里/時的速度由西向東航行，途中時的速度由西向東航行，途中接到臺風警報，臺風中心正以接到臺風警報，臺風中心正以40里里/時的速度由南向北移動，距時的速度由南向北移動，距臺風中心臺風中心20 里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺風區(qū)。當輪船里的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺風區(qū)。當輪船到到A處時，測得臺風中心移到位于點處時，測得臺風中心移到位于點A正南方向正南方向B處，且處，且AB=100里。里。106 . 313 解題點撥：解題點撥：（1）假設(shè)會遇到臺風，設(shè)最初遇到臺風時間為）假設(shè)會遇到臺風，設(shè)最初遇到臺風時間為t小時，此時，輪船在小時，此時，輪船

10、在C處，臺風中心到達處，臺風中心到達E處（如圖），則處（如圖），則有有AC2+AE2=EC2，顯然，顯然，AC=20t里，里，AE=ABBE=10040t，EC=20 ，則（，則（20t）2+（10040t）2=(20 )2， 若若可求出可求出t，則會遇到臺風，若不能求出，則會遇到臺風，若不能求出t，則不會遇到臺風。，則不會遇到臺風。解：（解：（1）設(shè)途中會遇到臺風，且最初遇到臺風的時間為）設(shè)途中會遇到臺風，且最初遇到臺風的時間為t小小時，此時輪船位于時，此時輪船位于C處，臺風中心移到處，臺風中心移到E處，連結(jié)處，連結(jié)CE，則有，則有AC=20t，AE=10040t，EC=20 ，在，在RtA

11、EC中，由勾中，由勾股定理，得股定理，得(20t)2+(10040t)2=(20 )2，整理，得整理，得t24t+3=0 =（4）2413=40, 途中會遇到臺風。途中會遇到臺風。 解解得，得，t1=1,t2=3 最初遇到臺風的時間為最初遇到臺風的時間為1小時。小時。10101010ACEB北北南南西西東東解題點撥：解題點撥： 先求出臺風抵達先求出臺風抵達D港的時間港的時間t t，因，因AD=60，則，則6060 t=t=提高后的船速，減去原來的船速，就是應(yīng)提高的速度。提高后的船速，減去原來的船速，就是應(yīng)提高的速度。 解：解： 設(shè)臺風抵達設(shè)臺風抵達D港時間為港時間為t小時，此時臺風中心至小時，

12、此時臺風中心至M點。點。 過過D作作DFAB，垂足為，垂足為F，連結(jié)，連結(jié)DM。 在在RtADF中，中，AD=60，F(xiàn)AD=60 DF=30 ，F(xiàn)A=30 又又FM=FA+ABBM=13040t，MD=20 （30 ）2+（13040t）2=(20 )2 整理，得整理，得4t2-26t+39=0 解之，得解之，得 臺風抵達臺風抵達D港的時間為港的時間為 小時。小時。 輪船從輪船從A處用處用 小時到達小時到達D港的速度為港的速度為60 25.5。為使臺風抵達為使臺風抵達D D港之前輪船到港之前輪船到D D港，輪船至少應(yīng)提速港，輪船至少應(yīng)提速6 6里里/ /時。時。 341313t ,41313t

13、21310131341313413134DAMB30北北東東10F例例7 7 如圖，公路如圖，公路MN和公路和公路PQ在點在點P處交會，且處交會，且QPN=30，點點A處有處有一所中學，一所中學，AP=160米，（米，（1 1）假設(shè)拖拉機行駛時，周）假設(shè)拖拉機行駛時，周圍圍100米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么拖拉機在公路米以內(nèi)會受到噪聲的影響，那么拖拉機在公路MN上沿上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由（方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由（2 2）如果受影響，已知拖拉機的速度為如果受影響，已知拖拉機的速度為18千米千米/時，那么學校受影響時，那么學校受影響的時間為多

14、少秒？的時間為多少秒？ 解題點撥解題點撥 （1） 作作ABMN于于B，求，求出出AB，若，若AB100米，則受影響，若米，則受影響，若AB100米，則不受影響米，則不受影響. .MPQNAB30160解解（1）作作ABMN，B為垂足。為垂足。 在在RtABP中中 ABP=90，APB=30， AP=160米，米， AB= AP=80米米 點點A到直線到直線MN的距離小于的距離小于100米。米。 這所中學會受到噪聲的影響。這所中學會受到噪聲的影響。21MPQNACDB（2）如圖，如果以點）如圖，如果以點A為圓心，為圓心，100米為半徑畫圓，那么米為半徑畫圓，那么圓圓A和直線和直線MN有兩個交點，

15、設(shè)交點分別為有兩個交點，設(shè)交點分別為C、D，連結(jié)，連結(jié)AC、AD，那么，那么AC=AD=100（米）。（米）。 根據(jù)勾股定理和垂徑定理，根據(jù)勾股定理和垂徑定理，CB=DB = =60（米），（米）， CD=120（米）（米） 學校受噪聲影響的時間學校受噪聲影響的時間t=120米米18千米千米/時時= 時時=24秒。秒。 2280100 1150解題點撥解題點撥 （2 2） 既然受影響，既然受影響，怎樣求受影響的時間呢？因拖拉怎樣求受影響的時間呢？因拖拉機速度已知，故應(yīng)求學校在受噪機速度已知，故應(yīng)求學校在受噪聲影響時拖拉機行駛的路程，即聲影響時拖拉機行駛的路程，即以以A為圓心，為圓心，100米為

16、半徑畫圓米為半徑畫圓A，則則A交交MN于于C、D兩點，弦兩點，弦CD的長為所求的路程，用垂徑定理的長為所求的路程，用垂徑定理可求可求CD。小結(jié)：小結(jié)：1、將實際問題經(jīng)提煉數(shù)學知識，建立數(shù)學模、將實際問題經(jīng)提煉數(shù)學知識，建立數(shù)學模 型轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。型轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。2、設(shè)法尋找或構(gòu)造可解的直角三角形，尤其、設(shè)法尋找或構(gòu)造可解的直角三角形，尤其 是對于一些非直角三角形圖形，必須添加是對于一些非直角三角形圖形，必須添加 適當?shù)妮o助線，才能轉(zhuǎn)化為直角三角形的適當?shù)妮o助線，才能轉(zhuǎn)化為直角三角形的 問題來解決。問題來解決。作業(yè)作業(yè)：如圖，有一位同學用一個有如圖，有一位同學用一個有30角的直角三角板估測他們學角的直角三角板估測他們學校的旗桿校的旗桿AB的高度，他將的高度，他將30角的直角邊水平放在角的直角邊水平放在1.3米高米高的支架的支架CD上，三角板的斜邊與旗桿的頂點在同一直線上，上，三角板的斜邊與旗桿的頂點在同一直線上，他又量得他又量得D、B的距離為的距離為15米。米。 （1）試求旗桿）試求旗桿AB的高度（精確到的高度（精確到0.1米，米， ）；）； （2）請你設(shè)計出一種更簡便的估測方法。）請你設(shè)計出一種更簡便的估測方法。 732. 13 30CDBEA如圖，客輪沿折線如圖，客輪沿折線ABC，從，從A出發(fā)經(jīng)出發(fā)經(jīng)B再到再到C勻速直