自動控制原理課件

1、第四章根 軌 跡 法 第四章 根 軌 跡 法4.1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念 4.2 根軌跡的繪制根軌跡的繪制 4.3 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析 小小 結(jié)結(jié) 第四章根 軌 跡 法 4.1 根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念 所謂根軌跡, 是指當系統(tǒng)的某個參數(shù)(如開環(huán)增益K)由零連續(xù)變化到無窮大時, 閉環(huán)特征根在復平面上形成的若干條曲線。 下面結(jié)合圖4 -1所示的二階系統(tǒng)的例子, 介紹有關(guān)根軌跡的基本概念。 圖 4-1 控制系統(tǒng)框圖 R(s) 150(s.sKC(s)第四章根 軌 跡 法 將圖4-1所示系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為 )2() 15 . 0()(sskssKsG(4.1) 其

2、中, k=2K, 式(4.1)便是繪制根軌跡所用的傳遞函數(shù)的標準形式。 由式(4.1)可得兩開環(huán)極點分別為p1=0, p2=-2, 并且沒有開環(huán)零點。 將這兩個開環(huán)極點繪于圖4-2上, 并用“”表示。由式(4.1)可得閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 0)(1sG即 02)(2ksssD(4.2) 第四章根 軌 跡 法 所以, 閉環(huán)系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點)為 ksks11,1121(4.3) 所以, 閉環(huán)系統(tǒng)極點s1, s2與標準化參數(shù)k之間的關(guān)系可由圖4-2表示。 從圖可以看出: (1) 當k=0時, s1, s2與p1, p2重合, 即開環(huán)極點和閉環(huán)極點重合; (2) 當0k1時, s1, s2均為(

3、-2, 0)區(qū)間內(nèi)的負實數(shù); (3) 當k=1時, s1 = s2=-1, 即兩閉環(huán)極點重合; (4) 當1k時, , 即兩閉環(huán)極點互為共軛; (5) 當k時, s1, s2將沿著直線=-1趨于無窮遠處。 11, 1121kjskjs第四章根 軌 跡 法 由此可見, 通過分析系統(tǒng)的根軌跡圖就可清楚地看出閉環(huán)系統(tǒng)極點隨系統(tǒng)某個參數(shù)變化的關(guān)系。 例如, 從圖4-2可以看出: 無論K取何值, 由圖4-1表示的控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點均位于復平面的左半平面, 因此系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的; 而k=1(K=0.5)是此二階系統(tǒng)由過阻尼狀態(tài)過渡到欠阻尼狀態(tài)的分界點。 并且從圖中可以看出, 根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的,

4、這也是根軌跡的一個特性。 需要指出的是, 繪制根軌跡時選擇的可變參數(shù)可以是系統(tǒng)的任何參量, 但實際中最常用的是系統(tǒng)的開環(huán)增益。另外這里給出的例子是一個簡單的二階系統(tǒng), 其特征方程容易求解, 對于高階系統(tǒng), 其特征根的計算要借助計算機。 第四章根 軌 跡 法 kkk1k0k0120k2k3k2k3js圖4-2 二級系統(tǒng)根軌跡第四章根 軌 跡 法 4.2 根軌跡的繪制根軌跡的繪制 4.2.1 繪制根軌跡的基本條件繪制根軌跡的基本條件 為了繪制根軌跡, 需要從系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程入手。設(shè)負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)H(s), 其中G(s)和H(s)分別為控制系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)和反饋通道傳遞函

5、數(shù), 則反饋系統(tǒng)的特征方程為 1+G(s)H(s)=0 或?qū)懗?G(s)H(s)=-1 第四章根 軌 跡 法 將上式改寫成 )360180()()(1| )()(|ijsHsGjeesHsG(i=0, 1, 2, ) 從而得出繪制根軌跡所依據(jù)的條件是 幅值條件|G(s)H(s)|=1 (4.7) 相角條件G(s)H(s)=argG(s)H(s)=180+i360 (i=0, 1, 2, ) 實際上滿足相角條件的任一點, 一定可以找到相應(yīng)的可變參數(shù)值, 使幅值條件成立。所以, 相角條件式(4.8)也是根軌跡的充要條件。只要利用相角條件就可確定根軌跡的形狀, 但利用幅值條件才可以求得給定閉環(huán)極點所

6、對應(yīng)的增益K。進行相角計算時, 規(guī)定正實軸方向為0, 逆時針方向為相角的正方向。 (4.8)第四章根 軌 跡 法 4.2.2 根軌跡的繪制規(guī)則根軌跡的繪制規(guī)則 繪制系統(tǒng)的根軌跡, 首先寫出系統(tǒng)的特征方程： 0)()(1sHsG然后將此方程中開環(huán)傳遞函數(shù)部分改寫為零極點增益形式, 即特征方程可等價為 0)()()()(12121nmpspspszszszsK(4.9) 式(4.9)為繪制根軌跡的標準形式。并且, 由于閉環(huán)極點或為實數(shù)或為共軛復數(shù), 因此根軌跡是對稱于實軸的。下面給出繪制根軌跡圖的一般規(guī)則。 第四章根 軌 跡 法 1. 確定復平面上確定復平面上G(s)H(s)的零極點位置和根軌跡的

7、分支數(shù)的零極點位置和根軌跡的分支數(shù) 在復平面上標出系統(tǒng)開環(huán)零極點的位置, 系統(tǒng)的根軌跡起點為開環(huán)極點, 終點為開環(huán)零點(或無窮遠處)。由于系統(tǒng)的特征方程有n個根, 所以當可變參數(shù)K由零變化到無窮時, 這n個特征根必然會隨K的變化出現(xiàn)n條根軌跡。因此, 根軌跡在復平面上的分支數(shù)等于閉環(huán)特征方程的階數(shù), 也就是說, 根軌跡的分支數(shù)等于閉環(huán)極點的個數(shù), 也等于開環(huán)極點的數(shù)目。 第四章根 軌 跡 法 2. 確定實軸上的根軌跡確定實軸上的根軌跡 實軸上的根軌跡由位于實軸上的開環(huán)極點和零點確定。 根據(jù)相角條件可以證明, 實軸上根軌跡區(qū)段右側(cè)的開環(huán)零極點數(shù)目之和為奇數(shù)。 例例 4-1 已知一單位負反饋系統(tǒng)的

8、開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1() 1()(TsssKsG其中, T。 試大致繪出其根軌跡。 解解 首先將開環(huán)傳遞函數(shù)化為如下標準形式:)/1()/1()(TsssksG第四章根 軌 跡 法 式中, k=K/T。系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點p1=0、p2=-1/T和一個開環(huán)零點z1=-1/, 所以系統(tǒng)的根軌跡有兩條分支。當k=0時, 兩條根軌跡從開環(huán)極點開始; 當k時, 一條根軌跡終止于開環(huán)零點z1, 另(2-1)=1條趨于無窮遠處。并且根據(jù)開環(huán)零極點的位置, 可知實軸上的(z1,p1)和(-, p2)區(qū)間為根軌跡的區(qū)段。系統(tǒng)的根軌跡圖如圖4-3所示, 其中“”表示開環(huán)極點, “”表示開環(huán)零點。 第四章根 軌

9、跡 法 圖 4-3 例 4-1 根軌跡圖 k0jsp10z11/kp21/ Tk0k0第四章根 軌 跡 法 3. 確定根軌跡的漸近線確定根軌跡的漸近線 如果開環(huán)零點的數(shù)目m小于開環(huán)極點數(shù)n, 即nm, 則有(n-m)條根軌跡沿著某條漸近線終止于無窮遠處。 漸近線的方位可由下面的方程決定。 漸近線與實軸的交點坐標: mnzpnimjjia11(4.10) 漸近線與實軸正方向的夾角: mnka) 12(180(k=0, 1, 2, ) (4.11) 當k=0時, 對應(yīng)與實軸有最小夾角的漸近線。盡管這里假定k可以取無限大, 但隨著k值的增加, 漸近線與實軸正方向的夾角會重復出現(xiàn), 并且獨立的漸近線只

10、有(n-m)條。 第四章根 軌 跡 法 例例 4-2 已知一四階系統(tǒng)的特征方程為 0)4)(2() 1(1)()(12ssssKsHsG試大致繪制其根軌跡。 解解 先在復平面上標出開環(huán)零極點的位置, 極點用“”表示, 零點用“”表示, 并根據(jù)實軸上根軌跡的確定方法繪制系統(tǒng)在實軸上的根軌跡(如圖4-4(a)所示)。 第四章根 軌 跡 法 根據(jù)式(4.10)和(4.11)確定系統(tǒng)漸近線與實軸的交點和夾角如下: 314) 1()4(2)2(aa1=60 (k=0), a2=180 (k=1),a3=300 (k=2) 結(jié)合實軸上的根軌跡, 繪制系統(tǒng)的根軌跡如圖4-4(b)所示。 第四章根 軌 跡 法

11、 圖 4-4 例 4-2 根軌跡圖 js 10 2 40 1 2 4二重極點js(a)(b)第四章根 軌 跡 法 4. 求出分離點求出分離點 兩條或兩條以上的根軌跡分支在復平面上相遇又分開的點稱為分離點。一般常見的分離點多位于實軸上, 但有時也產(chǎn)生于共軛復數(shù)對中。分離點必然是重根點, 如果將系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程寫為 0)()(1)()(1)(sNsKMsHsGsD則根據(jù)分離點必然是重根點的條件, 可以得出分離點的確定公式 (4.12) 0dsdK(4.13) 或 0)()()( )( )()()(2sMsMsNsMsNsMsNdsd(4.14) 第四章根 軌 跡 法 例例 4-3 對于例4-2給

12、出的四階系統(tǒng), 試確定其分離點坐標。 解解利用式(4.13)或(4.14)可以求出分離點為d1=-4, d2=-2.5994, d34=-0.7003j0.7317將這四個值代入閉環(huán)系統(tǒng)方程(4.12), 可知d34對應(yīng)的K不滿足大于零的要求, 所以將其舍去。 另外, 可以發(fā)現(xiàn)d1=-4正是系統(tǒng)的開環(huán)極點(對應(yīng)K0時系統(tǒng)的閉環(huán)極點), 是一個重根。所以此系統(tǒng)的分離點坐標為(-2.5994, j0)和(-4, j0)。 第四章根 軌 跡 法 5. 確定根軌跡與虛軸的交點確定根軌跡與虛軸的交點 根軌跡與虛軸相交, 說明控制系統(tǒng)有位于虛軸上的閉環(huán)極點, 即特征方程含有純虛數(shù)的根。將s=j代入特征方程

13、(4.4), 則有1+G(j)H(j)=0將上式分解為實部和虛部兩個方程, 即 0)()(1Im0)()(1RejHjGjHjG(4.15) 解式(4.15), 就可以求得根軌跡與虛軸的交點坐標, 以及此交點相對應(yīng)的臨界參數(shù)kc。 第四章根 軌 跡 法 例例 4-4 求例4-2所給出的系統(tǒng)根軌跡與虛軸的交點坐標。 解解 將s=j代入例4-2所給出的系統(tǒng)的特征方程, 可得 4-j103-322+j(32+K)+K=0 寫出實部和虛部方程: 4-322+K=0103-(32+K)=0 由此求得根軌跡與虛軸的交點坐標為 2514. 1,5204. 43412因為34對應(yīng)的K小于零,所以舍去。因此,系

14、統(tǒng)根軌跡與虛軸交點坐標為(0,j4.5204)。 第四章根 軌 跡 法 6. 確定根軌跡的入射角和出射角確定根軌跡的入射角和出射角 所謂根軌跡的出射角(或入射角), 指的是根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點處(或進入開環(huán)復數(shù)零點處)的切線方向與實軸正方向的夾角。圖4-5中的 為出射角, 為入射角。 21,pp21,zz圖 4-5 根軌跡出射角和入射角 第四章根 軌 跡 法 由于根軌跡的對稱性, 對應(yīng)于同一對極點(或零點)的出射角(或入射角)互為相反數(shù)。因此, 在圖4-5中有 。 從相角條件, 可以推出如下根軌跡出射角和入射角的計算公式。 根軌跡從復數(shù)極點pr出發(fā)的出射角為 2121,zzppmijrnrj

15、jjrpzpppkr1, 1)arg()arg() 12(180(4.16) 根軌跡到達復數(shù)零點zr的入射角為 mriiirnjjrzzzpzkr, 11)arg()arg() 12(180(4.17) 式中, arg()表示復數(shù)的相角(幅角)。 利用上面提到的六條規(guī)則可以給出根軌跡的大致走向和一些關(guān)鍵點。為了精確繪制根軌跡圖, 可以使用MATLAB實現(xiàn)。 第四章根 軌 跡 法 圖4-5 根軌跡出射角和入射角jsp11z1pz1z22pp22z0第四章根 軌 跡 法 4.2.3 MATLAB繪制根軌跡繪制根軌跡 在MATLAB中提供了繪制系統(tǒng)根軌跡的rlocus( )函數(shù)。已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

16、的形式, 利用此函數(shù)可以方便地繪制出系統(tǒng)的根軌跡。 例例 4-5 設(shè)一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下: ) 3)(2() 1()(ssssKsG試繪制該系統(tǒng)的根軌跡。 第四章根 軌 跡 法 解解 使用MATLAB繪制此根軌跡的程序如下: %ex-45 num=1 1; den=conv(1 0, conv(1 2, 1 3); G=tf(num, den); rlocus(G) title(); xlabel(Re); ylabel(Im); 第四章根 軌 跡 法 圖 4-6 例 4-5 的MATLAB仿真結(jié)果 86420246832.52 1.5 10.50ReIm第四章根 軌 跡 法 例

17、例 4-6 設(shè)單位負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 14 . 1)(6)(4()42()(22sssssssKsG試畫出系統(tǒng)的根軌跡圖。 解解 用MATLAB繪制此系統(tǒng)根軌跡的程序如下: %ex-4-6 num=1 2 4; den=conv(1 0, conv(1 4, conv(1 6, 1 1.4 1); G=tf(num, den); rlocus(G) title(); xlabel(Re); ylabel(Im); 第四章根 軌 跡 法 圖 4-7 例 4-6 根軌跡圖 155ReIm10501015201510505第四章根 軌 跡 法 例例 4-7 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為

18、 DuCxyBuAxx其中, 0,001 1410,1456160100010DCBA試繪制系統(tǒng)根軌跡。 第四章根 軌 跡 法 解解 給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式, 也可以直接用rlocus(A, B, C, D) 繪制出根軌跡。MATLAB程序如下: %ex-4-7 A=0 1 0; 0 0 1; -160 -56 -14; B=0; 1; -14; C=1 0 0; D=0; rlocus(A, B, C, D); title(); xlabel(Re); ylabel(Im); 第四章根 軌 跡 法 圖 4-8 例 4-7 根軌跡圖 Im302010010203010 864202Re第四章根 軌 跡 法 4.3 系統(tǒng)性能的分析系統(tǒng)性能的分析 例例 4-8 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ) 15 . 0()(ssKsG試用根軌跡分析開環(huán)放大倍數(shù)K對系統(tǒng)性能的影響, 并計算K5時, 系統(tǒng)的動態(tài)性能指標。 解解 系統(tǒng)根軌跡如圖4-9所示。 第四章根 軌 跡 法 圖 4-9