靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算.

1、第第 四四 章章 第四章 靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算 本本 章章 學(xué)學(xué) 習(xí)習(xí) 指指 導(dǎo)導(dǎo) 本章在變形體虛功原理的基礎(chǔ)上，講述靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算。位移計(jì)算是解算超靜定結(jié)構(gòu)和驗(yàn)算結(jié)構(gòu)剛度所必需的，是本章的重點(diǎn)。 實(shí)功、虛功、廣義力、廣義位移是本章的基本概念，必須牢固掌握。變形體虛功方程要求理解。荷載所產(chǎn)生的位移的算式一定要掌握。用圖乘法求位移是本章的主要內(nèi)容，應(yīng)該熟練掌握。同時(shí)，支座位移產(chǎn)生的位移的計(jì)算、溫度改變產(chǎn)生的位移的計(jì)算、功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理等也要求掌握、理解或了解。 4-1 實(shí)功與虛功、廣義力與廣義位移、變形體虛功方程 一、實(shí)功與虛功： 1、實(shí)功： 力在其本身引起的位移上所做的

2、功，稱為實(shí)功。 如圖4-1(a)所示，在梁上平穩(wěn)地、緩慢地加載，當(dāng)荷載由零增至 p1 時(shí)，在其 作用點(diǎn)產(chǎn)生的位移為11，則此過程中變力p1所做的功 T11=(1/2)p111 即是實(shí)功（圖b）。(b)p1p1111p1OBA圖4-1 一、實(shí)功與虛功： 2、虛功： 如果位移與做功的力無關(guān)，則力在此位移上所做的功稱為虛功。例如力在另外一組力或其他原因產(chǎn)生的位移上所做的功，就是虛功。 如圖4-2(a)，在梁上A處加完 p1之后，又在 B 處逐漸加上 p2，梁的撓曲線由移至 ，則力 p1在位移12（由力p2在A處產(chǎn)生的位移）上所做的功，就是虛功。且由于 p2 加載過程中 p1 的大小不變，因此該虛功：

3、T12=p112 。22p111p21222ABp1Ap2B1212圖4-2 一、實(shí)功與虛功： 3、實(shí)功與虛功在算式上的區(qū)別： 如上所述，p1在位移 12 上所做的虛功：T12=p112。p1在11上所做的功，p2在22上所做的功，都是實(shí)功，表達(dá)式分別是：T11=(1/2)P111 T22=(1/2)p222。 由此可見，在靜力加載過程中，實(shí)功和虛功在算式上的區(qū)別是：實(shí)功算式有系數(shù)“1/2”，虛功沒有系數(shù)“1/2”。 4、位移 ik 腳標(biāo)的含義： 腳標(biāo)中頭一個(gè)字母 i 表示位移的地點(diǎn)和方向，第二個(gè)字母 k 表示引起位移的原因。例如 12 中，字母“1”表示這個(gè)位移是發(fā)生在 p1 的作用點(diǎn)且沿p

4、1 作用方向的位移；而字母“2”則表示這個(gè)位移是由力 p2 所引起的。同理，22是 發(fā)生在p2 的作用點(diǎn)沿p2 的作用方向且由p2 引起的位移。 今后，在研究p1在12上所做的虛功時(shí)，可如圖4-2(b)把做虛功的p1和虛位移12畫在兩個(gè)圖上，分別稱為狀態(tài)1、狀態(tài)2。p1也可以是一組力，12也可是溫度等改變所致。 二、廣義力與廣義位移： 1、廣義力： 工程實(shí)踐中，不僅單個(gè)力可以做功，單個(gè)力偶、一組力、或一組力偶都可以做功，為了簡便，今后把這些可以做功的與力有關(guān)的因素，統(tǒng)稱為廣義力。 2、廣義位移： 凡能夠使廣義力產(chǎn)生虛功的位移因素，統(tǒng)稱為廣義位移。常見的廣義位移有：線位移、角位移、相對角位移等。

5、它們可以是由力或力偶矩的作用產(chǎn)生的，也可以是由溫度改變、支座位移、安裝誤差等因素引起的。 3、廣義力與廣義位移的關(guān)系： 廣義力與相應(yīng)的廣義位移，或廣義位移與相應(yīng)的廣義力的關(guān)系是：它們的乘積為虛功，即： T=S 當(dāng)廣義位移 與廣義力S 方向一致時(shí)，虛功為正，相反時(shí)虛功為負(fù)值。 二、廣義力與廣義位移： 4、常見情況舉例： 若廣義力為單個(gè)力p，則相應(yīng)的廣義位移為該力作用點(diǎn)的全位移在該力方向上的投影(圖4-3a)。（b）p全位移（a）M圖4-3 若廣義力為單個(gè)力偶M，則相應(yīng)的廣義位移為該力偶作用截面的轉(zhuǎn)角 (圖4-3b)。 二、廣義力與廣義位移： 4、常見情況舉例(續(xù))： 若有大小相等，方向相反的一對

6、力p作用于桿AB兩端，由于某種原因，A、B兩點(diǎn)分別發(fā)生位移A、B，則這一對力p在此位移上所做的虛功為： T=pA+pB =p（A+B）=pAB式中AB為A、B兩點(diǎn)的相對位移，p為廣義力，AB為廣義位移。(圖4-4)圖 4-5圖 4-4 若有一對方向相反的力偶M作分別用于桿A、B截面上(圖4-5)，由于某種原因二截面發(fā)生轉(zhuǎn)角A、B，則在此位移上這一對力偶所做的虛功為： T=MA+MB =M(A+B)=MAB式中AB為A、B兩截面的相對轉(zhuǎn)角，一對力偶M為廣義力，AB為廣義位移。BAABABABABMMABpp 三、變形體虛功方程： 按照工程力學(xué)中學(xué)過的剛體虛功原理，當(dāng)給平衡的剛體體系以任意的虛位移

7、時(shí)，作用于體系上的外力之功的總和等于零。這里的虛位移是約束所容許的微小剛性位移。 例如，設(shè)有一簡支梁在外力作用下處于平衡(圖4-6a)，當(dāng)使其支座發(fā)生某一微小位移時(shí)(圖4-6b)，梁上的外力(包括支座反力)在此位移上要做虛功，其總和等于零。這個(gè)功的方程可以概括地寫為： T12=0即狀態(tài) 1 上的外力在狀態(tài)2 的位移(剛性位移)上所做之功總和等于零。這就是剛體的虛功方程。 Rp12圖4-6 三、變形體虛功方程(續(xù))： 若所給的虛位移不是剛性位移，而是變形曲線，例如某一組力所引起的彈性曲線(圖4-7b)，則狀態(tài) 1 上的外力在此位移上所做虛功的總和顯然不等于零。以后將證明，狀態(tài) 1 上的外力在狀態(tài)

8、 2 位移上所做的虛功T12等于狀態(tài) 1 各微段外力(圖4-7c)在狀態(tài) 2 各微段變形(圖4-7d)上所做虛功之和V變12，即： T12= V變12 這就是變形體虛功方程。用文字表述如下： MMdsd222d2N2N2Q2Q2dh2（c）（d）pdsaabbMM11+dM1N1+dN1Q1+dQ1Q1N1dsM 當(dāng)給平衡的變形體(狀態(tài)1)任意的虛位移(狀態(tài)2)時(shí)，變形體上外力之功等于各微元體 (微段)外力在變形體上之功 (變形功)的和。圖4-7 三、變形體虛功方程(續(xù))： 下面研究 V變12 的表達(dá)式。 虛位移(狀態(tài)2)中微段的變形 ( 圖b )可以分為彎曲變形d2(相對轉(zhuǎn)角)、軸向變形 d

9、2(軸向位移)和剪切變形 dh2(切向位移)，如圖(d)，其中腳標(biāo) 2 表示是狀態(tài) 2 中的變形。 狀態(tài) 1 中微段外力（圖c）在狀態(tài) 2 中微段變形 (圖d)上所做的功以 d V變12 表示，它等于： d V變12=M1d2+N1d2+Q1dh2 （A） 這里： 1 、略去了dM1 、dQ1 、dN1在變形上所做的功，因其與M1 、Q1 、N1 所做的功相比是高階微量。 2 、略去了分布荷載在變形上所做的功，近似地視其為集中力。集中力在變形上所做的功沒有略去，隱含在公式中。 3 、假定了剪應(yīng)力（剪應(yīng)變）沿截面高度不變。 4 、假定桿的曲率不大。 三、變形體虛功方程(續(xù))： 若虛位移(狀態(tài)2)

10、是一組力引起的(圖4-7b)，則式（A）中 3 種變形可分別由狀態(tài) 2 中內(nèi)力M2 、N2 、Q2來表達(dá)： 這時(shí)，式（A）變?yōu)椋簊sssssssdGAQdGddhdEANdddEIMdkdd222222222221GAdQQEAdNNEIdMMdVsss21212112變GAdQQEAdNNEIdMMdVsss21212112變考慮到在剪切彎曲變形中剪應(yīng)力非均勻分布，引入系數(shù)GAdQQEAdNNEIdMMVsss21212112變將此式代入虛功方程 T12=V變變12 即得虛功方程的展開式:GAdQQEAdNNEIdMMTsss21212112 將各個(gè)微段外力在變形上之功 dV變12加起來(積

11、分)，再對體系中各桿求和，即得 V變12。 這就是變形體虛功方程的基本形式。三、變形體虛功方程(續(xù))：4-2 靜定結(jié)構(gòu)由于荷載作用產(chǎn)生的位移計(jì)算 如圖4-10(a)，設(shè)一簡支梁在圖示荷載做作用下發(fā)生彎曲，現(xiàn)欲求軸上任一點(diǎn) K 的位移 ip，這是產(chǎn)生位移的實(shí)際狀態(tài)，稱為狀態(tài) p。為求此位移，假想一個(gè)虛擬狀態(tài) i，并在欲求位移的點(diǎn)上，沿所求位移的方向加一個(gè)單位力 p=1 。它是一個(gè)無名數(shù)，如圖4-10(b)。 現(xiàn)將狀態(tài) i 中的力 pi=1 視為做功的力，則該力在狀態(tài)p 的位移 ip上做虛功，其虛功方程為：Tip=V變ip ipkpi=1pik 又因?yàn)闋顟B(tài) i上的力 p i=1在狀態(tài) p 的位移i

12、p 上的虛功： Tip=1ip=ip 把這一結(jié)果代入虛功方程的展開式，即可得： 圖4-104-2 靜定結(jié)構(gòu)由于荷載作用產(chǎn)生的位移計(jì)算GAdsQQEAdsNNEIdsMMpipipiip式中 、 、 為狀態(tài) i 上單位廣義力 pi=1 所產(chǎn)生的彎矩、軸力和剪力。MpMp、NpNp、Qp Qp 為狀態(tài) p 上實(shí)際荷載產(chǎn)生的彎矩、軸力和剪力。 這就是求彈性桿件結(jié)構(gòu)位移的公式。它適用于靜定結(jié)構(gòu)，也適用于超靜定結(jié)構(gòu)。 狀態(tài) i 的確定 ： 在狀態(tài) i 上應(yīng)作用一個(gè)與所求位移相對應(yīng)的單位廣義力。這個(gè)廣義力在而且只在所求的位移上做功。它沒有量綱。因此，這個(gè)單位廣移力在狀態(tài) p 位移上的功 1p ，不僅在數(shù)值

13、上，而且在量綱上，就等于所求的位移 ip 。 iMiNiQ 4-3 圖乘法 位移計(jì)算舉例 對于通常的梁和剛架（細(xì)長桿），彎曲變形是主要的，軸向變形和剪切變形產(chǎn)生的位移可以忽略不計(jì)，同時(shí)，對于等截面直桿體系，EI 可以提到積分號外面，且 ds=dx， 則位移算式可改寫為：其中：Mp 是荷載產(chǎn)生的彎矩圖的表達(dá)式， 是單位力產(chǎn)生的彎矩圖的表達(dá)式。實(shí)際荷載是分布荷載時(shí)，Mp圖是曲線，是集中力或力偶時(shí)，Mp圖是直線，它們可用曲線圖形來概括。但 圖一定是直線或折線圖形，且折線可分解為直線。據(jù)此，我們可將上述積分轉(zhuǎn)換為兩個(gè)量的乘積，叫作圖乘： ip= = yodxMMEIEIdsMMpipiip1iMiMd

14、xMMEIEIdsMMpipiip1dxMMEIEIdsMMpipiip1 4-3 圖乘法 位移計(jì)算舉例 上式中， 可是曲線、直線、或折線圖形的面積，而 Y0 一定是被選為面積的圖形的形心所對應(yīng)的直線圖形（且只能是直線圖形）的縱標(biāo)。 與 y0 在桿軸的同一側(cè)時(shí)，乘積 y0 取正號，反之取負(fù)號。 一、圖形的面積及其形心位置： 曲線圖形的面積和形心位置則要用積分的方法求出，為計(jì)算方便，現(xiàn)給出幾種常見曲線圖形的面積和形心位置。 1、均布荷載在簡支梁上產(chǎn)生的彎矩圖： 彎矩圖面積： =（2/3）b其中： 為梁的跨度； b=（1/8）q2形心位置在圖形中央。如圖4-11 圖4-11形心位置在圖形中央/2b

15、=23b. 2 、分布荷載在一端彎矩為零，另一端剪力為零的桿件上產(chǎn)生的彎矩圖：(如圖4-12a） 這種彎矩圖在剪力為零端的切線平行于桿軸線，其面積正好是簡支梁在均布荷載作用下的彎矩圖面積的一半，即： =（2/3）ab 其中：a 為該桿的長度，b 為其最大彎矩值，其形心在距離零彎矩端 5a/8 處。 但是對于彎矩圖不與軸線相切的情況(如圖b)，不能用該公式，而應(yīng)該用三角形和標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線的面積相加求面積。qqqABCq3/2q22b=23b.a5/8aaCAB(a)(b)qqqABCq3/2q22b=23b.a5/8aaCAB(a)(b)圖4=12 3、分布荷載在懸臂梁上的彎矩圖，如圖4-13。

16、 = a b /3，形心在距最大彎矩端 a/4 處。aql /22ca/4b=ab/3=2ab/3 分布荷載在懸臂梁上的彎矩圖正好與半個(gè)標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形構(gòu)成一個(gè)矩形，標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形的面積是矩形面積的三分之二，分布荷載在懸臂梁上的彎矩圖的面積則是矩形面積的三分之一，如圖4-13。 =ab/3其形心在距最大值一端為其長度 1/3 的地方。圖4-13 二、圖乘法在靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算中的應(yīng)用舉例：4-4 靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移產(chǎn)生的位移計(jì)算 支座位移時(shí)，靜定結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力和變形，只產(chǎn)生剛性位移。這種位移，對于簡單結(jié)構(gòu)，可用幾何方法求解，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，則宜用虛功方程來求。 設(shè)圖4-38(a)所示靜定梁

17、的右支座 B 發(fā)生了豎向位移 C，求由此因起的 K點(diǎn)的位移 ic。為此，設(shè)原狀態(tài)（圖a）為狀態(tài) c，并設(shè)一虛擬狀態(tài) i（圖b），在欲求位移的 K 點(diǎn)加一單位廣義力pi=1，其在支座 B 產(chǎn)生的支反力為 。由于狀態(tài) c 是剛性位移，有剛體虛功方程： Tic=0icKcipi=1C-R圖4-38RR4-4 靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移產(chǎn)生的位移計(jì)算 這就是說，狀態(tài) i 上的外力在狀態(tài) C 位移上做功之和等于零。這里，做功的力，除了 pic=1，還有支座反力 ，即 Tic=1ic+ c=0 ic=- c對于多根支桿，則有： ic= - c 式中：c 為支桿位移的絕對值， 為單位力產(chǎn)生的支桿反力(c 為轉(zhuǎn)角時(shí)

18、為反力矩)，與位移方向一致時(shí)取正號。RRRRR1M(b)(a)12K1/2hhh/2/2圖4-39 例4-16 三鉸剛架右支座發(fā)生水平位移 1 和豎向位移 2。求由此產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)K 的轉(zhuǎn)角k。 解：在 K點(diǎn)加單位力偶1 并求支座反力如圖(b)。4-4 靜定結(jié)構(gòu)由于支座位移產(chǎn)生的位移計(jì)算 k= ic =- c=-(1/2h)1+(-1/）2 =2/ -1/2h 例4-17 圖4-40(a)所示結(jié)構(gòu)的支座 A 發(fā)生轉(zhuǎn)角，支座 B 下沉 ，求由此產(chǎn)生的 A、B 二截面的相對豎向位移。 解 在狀態(tài) i上加一對方向相反的單位力并計(jì)算與支座位移相對應(yīng)的支座反力如圖(b)。A、B 豎向相對位移是： ic=-

19、c =-(-)+1 = - ABAB111ic(a)(b)RR圖4-404-5 靜定結(jié)構(gòu)由于溫度改變產(chǎn)生的位移計(jì)算 靜定結(jié)構(gòu)由于溫度改變只產(chǎn)生位移，而不產(chǎn)生內(nèi)力。位移的產(chǎn)生是由于結(jié)構(gòu)的各個(gè)微段發(fā)生了“溫度變形”的結(jié)果。 為計(jì)算溫度變形時(shí)簡便引入一個(gè)假設(shè)：溫度沿截面高度線性變化。在此前提下各個(gè)纖維可以自由伸長，不發(fā)生剪切變形。微段只發(fā)生：溫度彎曲變形dt 和溫度軸向變形dt（圖4-41）。dsdtdt2.ds1t1t0t2t1t2t圖4-41 圖中 t1、t2 分別為上、下邊纖維的溫升值，并由此可算出對稱截面桿中性層的溫升值： t0=(t1+t2)/2因而溫度軸向變形： dt=t0ds4-5 靜

20、定結(jié)構(gòu)由于溫度改變產(chǎn)生的位移計(jì)算 上式中： 為材料線膨脹系數(shù)，ds為微段的長度。 由于變形很小，溫度彎曲變形dt(微段左右兩截面的相對轉(zhuǎn)角)可用角的正切來代替，即：若桿件上、下兩側(cè)溫差的絕對值以 t表示，則有： 當(dāng)微段兩端截面發(fā)生相對轉(zhuǎn)角 時(shí)，微段要彎曲。這是因?yàn)闇囟茸兓粫鸺羟凶冃?，桿件的縱向纖維永遠(yuǎn)垂直于截面（為簡便，圖4-41未畫成彎曲形狀）。 這樣變形就求出來了。 欲求溫度位移 it ，仍然利用變形體虛功方程（略）。dshtthdstdstdt1212hdstdttd4-6 1. 功的互等定理功的互等定理:方法一方法一22212111112121 PPPW11 11 2P12 22 2第第 I 狀態(tài)狀態(tài)12 2P11 21 222 12 2P22 2第第 狀態(tài)狀態(tài)11121222222121 PPPW由由W1=W 2212121 PP先加廣義力先加廣義力P1后再加廣義力后再加廣義力P2先加廣義力先加廣義力P2后再加廣義力后再