全國版2017版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入43平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例課件理

1、第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例 【知識梳理【知識梳理】1.1.向量的夾角向量的夾角定義定義圖示圖示范圍范圍共線與垂直共線與垂直已知兩個非零已知兩個非零向量向量a和和b, ,作作 = =a， = =b, ,則則_就就是是a與與b的夾角的夾角 設(shè)設(shè)是是a與與b的的夾角夾角, ,則則的的取值范圍是取值范圍是_=0=0或或=180180_,_,_abOA OB AOBAOB0 0180180ab=90=902.2.平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積定義定義設(shè)兩個非零向量設(shè)兩個非零向量a, ,b的夾角為的夾角為,則數(shù)量則數(shù)量_叫做叫做a與與b的數(shù)量積的數(shù)量積, ,記作記作ab投影投影_叫做向量叫做向量a

2、在在b方向上的投影方向上的投影, ,_叫做向量叫做向量b在在a方向上的投影方向上的投影幾何幾何意義意義數(shù)量積數(shù)量積ab等于等于a的長度的長度| |a| |與與b在在a的方向的方向上的投影上的投影_的乘積的乘積| |a|b| |cosos| |a|cos|cos| |b|cos|cos| |b|cos|cos3.3.數(shù)量積的性質(zhì)數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)設(shè)a, ,b都是非零向量都是非零向量, ,e是單位向量是單位向量,為為a與與b( (或或e) )的的夾角夾角. .則則(1)(1)ea= =ae=_.=_.(2)(2)cos= .os= .(3)(3)ab_._.| | |aba b| |a| |cosos

3、| |a|b| |4.4.數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的運(yùn)算律(1)(1)交換律交換律: :ab= =ba. .(2)(2)數(shù)乘結(jié)合律數(shù)乘結(jié)合律:(:(a) )b=_=_.=_=_.(3)(3)分配律分配律: :a( (b+ +c)=_.)=_.(ab) )a(b) )ab+ +ac5.5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)向量設(shè)向量a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),向量向量a與與b的夾角為的夾角為,則則數(shù)量積數(shù)量積ab=_=_模模 | |a|=_|=_夾角夾角 c cosos= =向量垂直的向量垂直的充要條件充要條件abab=0=0_

4、2211xy1 21 222221122xxyyxyxyx x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0【特別提醒【特別提醒】1.1.平面向量數(shù)量積的常用結(jié)論平面向量數(shù)量積的常用結(jié)論(1)(1)a與與b為兩非零向量為兩非零向量, ,則則abab=0.=0.(2)(2)當(dāng)當(dāng)a與與b同向時同向時, ,ab=|=|a| | |b|.|.當(dāng)當(dāng)a與與b反向時反向時, ,ab=-|=-|a| | |b|,|,特別地特別地, ,aa=|=|a| |2 2或者或者| |a|= ,|= ,0a=0.=0.aa2.2.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式平面向量

5、數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(1)(a+ +b) )( (a- -b)=)=a2 2- -b2 2. .(2)(2)(a+ +b) )2 2= =a2 2+2+2ab+ +b2 2. .(3)(3)(a- -b) )2 2= =a2 2-2-2ab+ +b2 2. .3.3.兩個注意點兩個注意點(1)(1)ab=0=0不能推出不能推出a= =0或或b= =0. .(2)(2)ab= =ac( (a0) )不能推出不能推出b= =c. .【小題快練【小題快練】鏈接教材練一練鏈接教材練一練1.(1.(必修必修4P1074P107例例6 6改編改編) )設(shè)設(shè)a=( ,1),=( ,1),b= ,= ,

6、則向則向量量a, ,b的夾角為的夾角為( () )A.30A.30B.60B.60C.120C.120D.150D.15033(1,)3【解析【解析】選選B.B.由題意由題意, ,得得| |a|=|=| |b|=|=ab= =設(shè)向量設(shè)向量a與與b的夾角為的夾角為,則則coscos= =因為因為0 0180180, ,所以所以=60=60. .3 1 2, 12 31,3332 33.332 313.| | |22 323aba b2.(2.(必修必修4P1054P105例例4 4改編改編) )已知已知a=(1,2),=(1,2),b=(3,4),=(3,4),若若a+k+kb與與a-k-kb互

7、相垂直互相垂直, ,則實數(shù)則實數(shù)k=k=( () )A. B.5 A. B.5 C. C. D.D.5555【解析【解析】選選D.D.由已知由已知a=(1,2),=(1,2),b=(3,4),=(3,4),若若a+k+kb與與a-k-kb互相垂直互相垂直, ,則則( (a+k+kb)()(a-k-kb)=0,)=0,即即a2 2-k-k2 2b2 2=0,=0,即即5-25k5-25k2 2=0,=0,即即k k2 2= ,= ,所以所以k=k= . .15553.(20153.(2015山東高考山東高考) )已知菱形已知菱形ABCDABCD的邊長為的邊長為a a，ABC=60ABC=60，則

8、，則 =( )=( )BDCD 22223333A.a B.a C. a D. a2442感悟考題感悟考題 試一試試一試【解析【解析】選選D.D.由菱形由菱形ABCDABCD的邊長為的邊長為a,ABCa,ABC=60=60得得BCD=120BCD=120，ABD=30ABD=30，在，在BCDBCD中中, ,由余弦定理由余弦定理得得BD= aBD= a，所以，所以3BDCD BDBA3a acos 30 2333a aa .224.(20144.(2014全國卷全國卷)設(shè)向量設(shè)向量a, ,b滿足滿足| |a+ +b|= ,|= ,| |a- -b|= ,|= ,則則ab= =( () )A.1

9、 B.2 A.1 B.2 C.3 C.3 D.5 D.5【解析【解析】選選A.A.因為因為| |a+ +b|= ,|= ,|a- -b|= ,|= ,所以所以a2 2+ +b2 2+2+2ab=10,=10,a2 2+ +b2 2-2-2ab=6,=6,聯(lián)立方程解得聯(lián)立方程解得ab=1,=1,故選故選A.A.1010665.(20165.(2016武漢模擬武漢模擬) )若若a, ,b滿足滿足| |a|= ,|= ,a( (a+ +b)=1,)=1,| |b|=1,|=1,則則a, ,b的夾角為的夾角為. .【解析【解析】因為因為| |a|= ,|= ,所以所以a(a+ +b)=)=a2 2+

10、+ab=2+=2+ab=1,=1,即即ab=-1.=-1.22設(shè)設(shè)a, ,b的夾角為的夾角為,則則coscos= =因為因為0,0,所以所以= .= .答案答案: : 12.| | |22 1aba b3434考向一考向一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【典例【典例1 1】(1)(2015(1)(2015四川高考四川高考) )設(shè)四邊形設(shè)四邊形ABCDABCD為平為平行四邊形，行四邊形， 若點若點M M，N N滿足滿足 則則 =( )=( )A.20 B.15 A.20 B.15 C.9 C.9 D.6D.6AB6 AD4. ，BM 3MC，DN 2NC ，AMNM (2)(2016(2

11、)(2016蚌埠模擬蚌埠模擬) )已知正方形已知正方形ABCDABCD的邊長為的邊長為1 1，點點E E是是ABAB邊上的動點邊上的動點. . 的最大值為的最大值為_._.DEDC 【解題導(dǎo)引【解題導(dǎo)引】(1)(1)利用數(shù)量積的定義求解利用數(shù)量積的定義求解. .要注意選擇要注意選擇基底，進(jìn)行向量的分解基底，進(jìn)行向量的分解. .(2)(2)結(jié)合已知條件建系，利用坐標(biāo)求解結(jié)合已知條件建系，利用坐標(biāo)求解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選C.C.在平行四邊形在平行四邊形ABCDABCD內(nèi)，易得，內(nèi)，易得，所以所以311AM ABAD,NMABAD,434 311AMNM (ABAD) ( A

12、BAD)434 133(ABAD) (ABAD)344 221913 ABAD 3616 12 3 9.316316 (2)(2)如圖所示，以如圖所示，以ABAB，ADAD所在的直線分所在的直線分別為別為x,yx,y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)E(tE(t，0)0)，0t10t1，則，則D(0,1)D(0,1)，C(1C(1，1)1)， =(t,-1)=(t,-1)， =(1,0)=(1,0)，所以所以 =t1.=t1.答案：答案：1 1DE DC DEDC 【一題多解【一題多解】解答本題，還有以下解法解答本題，還有以下解法: :方法一：選取方法一：選取 作為基底，設(shè)作為基底，設(shè)0

13、t10t1，則，則答案：答案：1 1AB,AD AE tAB ，DE DC (tAB AD) AB t 1. 方法二：設(shè)方法二：設(shè)則則 1 1cosAEDcosAED=| |=|t| |=|t|1.=| |=|t| |=|t|1.答案：答案：1 1AE tAB ，DEDC DEAB |DE| AE AB 【母題變式【母題變式】1.1.在本例題在本例題(2)(2)中，試求中，試求 的取值范圍的取值范圍. .【解析【解析】由本例題由本例題(2)(2)的規(guī)范解答知，的規(guī)范解答知， =(t,-1),=(t,-1), =(t-1,-1),t =(t-1,-1),t0,10,1, ,所以所以 =t(t-1

14、)+1=t=t(t-1)+1=t2 2-t+1=-t+1=因為因為tt0,10,1, ,所以所以即即 的取值范圍為的取值范圍為DECE DE CE DECE 213(t)24 ，3DECE 1,4 DECE 3 ,1.42.2.本例題本例題(2)(2)中，當(dāng)中，當(dāng)E E是是ABAB的中點時，試求的中點時，試求 在在 上的投影上的投影. .【解析【解析】方法一：如圖，方法一：如圖，過點過點E E作作EFDCEFDC，垂足為垂足為F F，由投影的定義知，由投影的定義知， 在在 上的投影是上的投影是 . .DE DC DE DC 12方法二：如圖，向量方法二：如圖，向量 與與 的夾角是的夾角是EDC

15、EDC，所以所以 在在 上的投影是上的投影是DE DC DE DC 1112DEcos EDC1.42114 【規(guī)律方法【規(guī)律方法】向量數(shù)量積的兩種計算方法向量數(shù)量積的兩種計算方法(1)(1)當(dāng)已知向量的模和夾角當(dāng)已知向量的模和夾角時時, ,可利用定義法求解可利用定義法求解, ,即即ab=|=|a|b| |cosos. .(2)(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時, ,可利用坐標(biāo)法求解可利用坐標(biāo)法求解, ,即若即若a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),則則ab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2

16、015(2015全國卷全國卷)已知已知a=(1,-1),=(1,-1),b=(-1,2),=(-1,2),則則(2(2a+ +b) )a= =( () )A.-1 B.0 A.-1 B.0 C.1 C.1 D.2D.2【解析【解析】選選C.C.由題意可得由題意可得a2 2=2,=2,ab=-3,=-3,所以所以(2(2a+ +b)a=2=2a2 2+ +ab=4-3=1.=4-3=1.【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】1.(20161.(2016長沙模擬長沙模擬) )已知向量已知向量a=(1,2),=(1,2),ab=5,=5,| |a- -b|=2 ,|=2 ,則則| |b| |等于等于( () )A.

17、 B.2 C.5 A. B.2 C.5 D.25D.25555【解析【解析】選選C.C.由由a=(1,2),=(1,2),可得可得a2 2=|=|a| |2 2=1=12 2+2+22 2=5.=5.因為因為| |a- -b|=2 ,|=2 ,所以所以a2 2-2-2ab+ +b2 2=20,=20,所以所以5-25-25+5+b2 2=20,=20,所以所以b2 2=25,=25,所以所以| |b|=5.|=5.52.2.已知已知a=(1,2),2=(1,2),2a- -b=(3,1),=(3,1),則則ab= =( () )A.2 B.3 A.2 B.3 C.4 C.4 D.5 D.5【解

18、析【解析】選選D.D.由已知得由已知得a(2(2a- -b)=2)=2a2 2- -ab= =2|2|a| |2 2- -ab=2=25-5-ab=3+2,=3+2,故故ab=10-5=5.=10-5=5.3.3.已知點已知點A(-1,1)A(-1,1)，B(1,2),C(-2,-1),D(3,4)B(1,2),C(-2,-1),D(3,4)，則向量，則向量 在在 方向上的投影為方向上的投影為( )( )【解析【解析】選選A. =(2,1), =(5,5),A. =(2,1), =(5,5),由定義知由定義知 在在 方向上的投影為方向上的投影為AB CD 3 23 153 23 15A. B.

19、 C. D.2222AB CD AB CD ABCD153 2.25 2CD 4.(20164.(2016湛江模擬湛江模擬) )已知等邊三角形已知等邊三角形ABCABC的邊長為的邊長為1,1,設(shè)設(shè) = =a, =, =b, =, =c, ,則則ab+ +bc+ +ca= =. .AB BC CA 【解析【解析】如圖，得如圖，得a與與b, ,b與與c, ,c與與a的夾角都是的夾角都是120120，又又| |a|=|=|b|=|=|c|=1,|=1,所以原式所以原式=1=11 1cos 120cos 120+ +1 11 1cos 120cos 120+1+11 1cos 120cos 120答案

20、：答案：- - 13() 3.22 32考向二考向二平面向量的夾角及模平面向量的夾角及?！究记榭爝f【考情快遞】命題方向命題方向命題視角命題視角平面向量的平面向量的夾角夾角主要考查利用平面向量數(shù)量積公式的變主要考查利用平面向量數(shù)量積公式的變形求平面向量的夾角形求平面向量的夾角, ,屬中檔題屬中檔題平面向量的平面向量的垂直問題垂直問題主要考查向量垂直其數(shù)量積為主要考查向量垂直其數(shù)量積為0,0,由此列由此列方程求參數(shù)的值方程求參數(shù)的值, ,屬容易題屬容易題平面向量的模平面向量的模以求平面向量的模或求模的最值為載體以求平面向量的?；蚯竽５淖钪禐檩d體考查平面向量的數(shù)量積考查平面向量的數(shù)量積, ,屬中檔題

21、屬中檔題【考題例析【考題例析】命題方向命題方向1:1:平面向量的夾角平面向量的夾角【典例【典例2 2】(2015(2015重慶高考重慶高考) )若非零向量若非零向量a, ,b滿足滿足| |a|=|= | |b|，且，且( (a- -b) )( (3 3a+2+2b) )，則，則a與與b的夾角為的夾角為( )( )( (本題源自本題源自A A版必修版必修4P108A4P108A組組T7)T7)3A. B. C. D.4242 23【解題導(dǎo)引【解題導(dǎo)引】根據(jù)垂直條件列式求解，注意模的關(guān)系根據(jù)垂直條件列式求解，注意模的關(guān)系的利用的利用. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】選選A.A.設(shè)設(shè)a與與b的夾角為的夾角

22、為，| |a|= |= |b| |，因為因為( (a- -b)( (3 3a+2+2b) )，所以所以( (a- -b) )( (3 3a+2+2b) )=3=3|a|2 2-2-2|b|2 2- -ab解得解得coscos = = ，因為，因為0,0,，所以，所以= .= .2 2322282 22cos 0,33bbb224命題方向命題方向2 2：平面向量的垂直問題：平面向量的垂直問題【典例【典例3 3】(2015(2015福建高考福建高考) )設(shè)設(shè)a=(1,2),=(1,2),b=(1,1),=(1,1),c= =a+k+kb, ,若若bc，則實數(shù)，則實數(shù)k k的值等于的值等于( )(

23、)( (本題源自本題源自A A版必修版必修4P119A4P119A組組T12)T12)3553A. B. C. D.2332【解題導(dǎo)引【解題導(dǎo)引】由向量垂直，其數(shù)量積為由向量垂直，其數(shù)量積為0 0列方程求解列方程求解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】選選A.A.c= =a+k+kb=(1+k,2+k)=(1+k,2+k)，因為，因為bc，所以所以bc=0=0，即，即1+k+2+k=01+k+2+k=0k=- .k=- .32命題方向命題方向3 3：平面向量的模：平面向量的模【典例【典例4 4】(2015(2015湖南高考湖南高考) )已知點已知點A,B,CA,B,C在圓在圓x x2 2+y+y2 2

24、=1=1上運(yùn)動，且上運(yùn)動，且ABBC.ABBC.若點若點P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2,0)(2,0)，則，則的最大值為的最大值為( )( )A.A. B.B. C.C. D.D.|PA PB PC| 【解題導(dǎo)引【解題導(dǎo)引】根據(jù)已知條件知根據(jù)已知條件知A A與與C C關(guān)于原點對稱，由關(guān)于原點對稱，由此設(shè)各點的坐標(biāo)此設(shè)各點的坐標(biāo), ,建立函數(shù)關(guān)系求解建立函數(shù)關(guān)系求解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】選選B B由題意得，由題意得，ACAC為圓的直徑，為圓的直徑，故可設(shè)故可設(shè)A(mA(m，n)n)，C(-mC(-m，-n)-n)，B(xB(x，y)y)，則則xx-1,1-1,1所以所以 =(x-6=(x-6，

25、y)y)，而而(x-6)(x-6)2 2+y+y2 2=37-12x49=37-12x49，所以所以 的最大值為的最大值為7 7PA PB PC |PA PB PC| 【一題多解【一題多解】解答本題，還有以下解法：解答本題，還有以下解法：方法一：數(shù)形結(jié)合，利用向量加法的幾何意義求解方法一：數(shù)形結(jié)合，利用向量加法的幾何意義求解. .如圖，由題意知，如圖，由題意知，ACAC為圓的直徑，為圓的直徑，即即O O是是ACAC的中點的中點, ,所以所以PA PC 2PO, PA PB PC2PO PB2POPB. 當(dāng)當(dāng)P P，O O，B B三點共線時取等號，即當(dāng)三點共線時取等號，即當(dāng)B B在點在點(-1,

26、0)(-1,0)處處時，時，| | |取得最大值，此時取得最大值，此時| |=2,| |=2,| |=3,| |4+3=7.| |=3,| |4+3=7.即即| | |的最大值為的最大值為7.7.PA PB PC PO PBPA PB PC PA PB PC 方法二：數(shù)形結(jié)合方法二：數(shù)形結(jié)合. .利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積求解利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積求解. .由方法一中的圖形可知，由方法一中的圖形可知，所以所以設(shè)向量設(shè)向量 與與 的夾角為的夾角為,因為因為| |=2,| |=1,| |=2,| |=1,所以所以PA PC 2PO,PB PO OB, PA PB PC2PO PO OB3PO

27、OB. PO OB PO OB 23PO OB3PO OB 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)=0,=0,即即B B在點在點(-1,0)(-1,0)處時，處時，“=”=”成立成立, ,所以所以| | |的最大值為的最大值為7.7.9 4 1 6POOB 37 6 2 1cos 37 12cos 37 127,PA PB PC 【技法感悟【技法感悟】1.1.平面向量夾角的求法平面向量夾角的求法若若a, ,b為非零向量為非零向量, ,則由平面向量的數(shù)量積公式得則由平面向量的數(shù)量積公式得coscos= (= (夾角公式夾角公式),),所以平面向量的數(shù)量積可以所以平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度的問題用來解決有關(guān)角

28、度的問題. .| | |aba b2.2.平面向量垂直問題的解題思路平面向量垂直問題的解題思路解決向量垂直問題一般利用向量垂直的充要條件解決向量垂直問題一般利用向量垂直的充要條件ab=0=0求解求解. .3.3.平面向量的模的解題方法平面向量的模的解題方法(1)(1)若向量若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的, ,求向量求向量a的?？芍苯拥哪？芍苯永美脇 |a|= |= (2)(2)若向量若向量a, ,b是非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的是非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的, ,求向量求向量a的?？蓱?yīng)的模可應(yīng)用公式用公式| |a| |2 2= =a2 2= =aa, ,或或| |ab| |2 2=(=(ab) )2

29、 2= =a2 22 2ab+ +b2 2, ,先求向量模的平方先求向量模的平方, ,再通過向量數(shù)量積的運(yùn)算求解再通過向量數(shù)量積的運(yùn)算求解. .22xy .【題組通關(guān)【題組通關(guān)】1.(20141.(2014山東高考山東高考) )已知向量已知向量a=(1, ),=(1, ),b=(3,m).=(3,m).若向量若向量a, ,b的夾角為的夾角為 ，則實數(shù)，則實數(shù)m=( )m=( )【解析【解析】選選B.B.ab=3+ m,=3+ m,ab=|=|a|b|cos|cosa, ,b= =所以所以 所以所以m= .m= .36A.2 3 B. 3 C.0 D.33232 9 m2，233m3 9 m ,

30、32.(20142.(2014湖南高考湖南高考) )在平面直角坐標(biāo)系中，在平面直角坐標(biāo)系中，O O為原點，為原點，A(-1,0),B(0, ),C(3,0),A(-1,0),B(0, ),C(3,0),動點動點D D滿足滿足| |=1,| |=1,則則| | |的取值范圍是的取值范圍是( )( )A.A.4,64,6 B.B. C.C. D.D. 3CD OA OB OD 2 3,2 719 1, 19 17 1, 7 1【解析【解析】選選D.D.方法一：方法一：|OA OB OD| |(OA OB OC) CD| |OA OB OC| |CD|7 1, |OA OB OC| |CD| 7 1

31、 |(OA OB OC) CD| OA OB OD. 方法二：設(shè)方法二：設(shè)D(x,yD(x,y),),則則 =(x-3,y),=(x-3,y),所以所以 即即(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=1.=1.因為因為=(-1,0)+(0, )+(x,y)=(x-1,y+ ),=(-1,0)+(0, )+(x,y)=(x-1,y+ ),所以所以CD 22|CD|x 3y1, OA OB OD 3322OA OB ODx 1(y3) 點點D(x,yD(x,y) )是以是以M(3,0)M(3,0)為圓心為圓心1 1為半徑的圓上的點，式子為半徑的圓上的點，式子 的幾何意義是點的幾何意義是點D(x,y

32、D(x,y) )到到N(1,- )N(1,- )的距離的距離. .因為因為|MN|=|MN|=所以所以即即22x 1(y3)3223 1(03)7,227 1x 1(y3)7 1, 7 1 |OA OB OD|7 1. 3.(20153.(2015安徽高考安徽高考) )ABCABC是邊長為是邊長為2 2的等邊三角形，的等邊三角形，已知向量已知向量a，b滿足滿足 =2=2a， =2=2a+ +b，則下列結(jié)論正，則下列結(jié)論正確的是確的是( )( )A.|A.|b|=1 B.|=1 B.abC.C.ab=1 D.(4=1 D.(4a+ +b)AB AC BC 【解析【解析】選選D.D.因為因為 =(

33、2=(2a+ +b)-2)-2a= =b，所以所以| |b|=2,|=2,故故A A錯誤；錯誤；由于由于 =2=2a(2(2a+ +b)=4|)=4|a| |2 2+2+2ab=2=22 2 =2 =2，所以所以2 2ab=2-4|=2-4|a| |2 2=-2=-2，所以所以ab=-1=-1，故，故B,CB,C錯誤；錯誤；BC AC AB ABAC 12又因為又因為(4(4a+ +b) ) =(4 =(4a+ +b) )b=4=4ab+|+|b| |2 2=4=41 12 2 +4=0 +4=0，所以所以(4(4a+ +b) ) ，故，故D D正確正確. .BC 1()2BC 4.(2015

34、4.(2015上海高考上海高考) )已知平面向量已知平面向量a, ,b, ,c滿足滿足ab, ,且且|a|,|,|b|,|,|c|=1,2,3,|=1,2,3,則則| |a+ +b+ +c| |的最大值的最大值是是. .【解析【解析】分類討論分類討論: :因為因為ab且且|a|,|,|b|,|,|c|=|=1,2,3.1,2,3.當(dāng)當(dāng)| |c|=1|=1時時,|,|a+ +b|=|=| |a+ +b+ +c|a+ +b|+|+|c|=|=當(dāng)當(dāng)| |c|=2|=2時時,|,|a+ +b|=|=| |a+ +b+ +c|a+ +b|+|+|c|=|=4 913, 13 1;1 910, 10 2;

35、當(dāng)當(dāng)| |c|=3|=3時時,|,|a+ +b|=|=| |a+ +b+ +c|a+ +b|+|+|c|=|=又又所以所以| |a+ +b+ +c| |maxmax= =答案答案: :1 45, 5 3;13 110 25 3, 5 3.5 3考向三考向三平面向量與三角函數(shù)的綜合問題平面向量與三角函數(shù)的綜合問題【典例【典例5 5】(1)(2016(1)(2016德陽模擬德陽模擬) )在在ABCABC中，中，(cos(cos 18 18,sin 18,sin 18), =(2cos 63), =(2cos 63,2cos 27,2cos 27),),則三角形的面積為則三角形的面積為( )( )A

36、B BC 223A. B. C. D. 2422(2)(2015(2)(2015廣東高考廣東高考) )在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy中，已知中，已知向量向量m= = ，n=(sin x=(sin x，coscos x) x)，xx若若mn，求，求tan xtan x的值的值; ;若若m與與n的夾角為的夾角為 ，求，求x x的值的值. .22()22，(0).2，3【解題導(dǎo)引【解題導(dǎo)引】(1)(1)運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和定義，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和定義，結(jié)合同角公式和誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式，即可結(jié)合同角公式和誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式，即可得到得到cos B,sin

37、cos B,sin B, B,再由三角形的面積公式，即可得到再由三角形的面積公式，即可得到所求值所求值. .(2)(2)根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解；根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解；根根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算求解據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算求解. .【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)選選B.B.由于由于 =(cos=(cos 18 18,sin 18,sin 18),), =(2cos 63 =(2cos 63,2cos 27,2cos 27) )，則則 =2cos 18=2cos 18cos 63cos 63+2sin18+2sin18cos 27cos 27=2

38、(cos 18=2(cos 18sin 27sin 27+sin 18+sin 18cos 27cos 27) )AB BC 22ABcos 18sin 181, 2222BC4cos 634cos 274 sin 27cos 272, ABBC =2sin 45=2sin 45= = cos( cos(-B)=-1-B)=-12cos B=-2cos B,2cos B=-2cos B,即有即有coscos B=- ,sin B= , B=- ,sin B= ,則三角形則三角形ABCABC的面積的面積S=S=222,2ABBC |AB|BC| 22221122|AB|BC|sin B1 2.2

39、222 (2)(2)因為因為m= ,= ,n=(sin x,cos=(sin x,cos x) x)且且mn，所以所以mn= = (sin x,cos(sin x,cos x)= sin x x)= sin x- cos x=sin(x- cos x=sin(x- )=0,- )=0,又又xx所以所以 , ,所以所以x- =0 x- =0即即x= x= ，所以所以tan x=tan =1.tan x=tan =1.22(,)2222(,)2222224(0, )2， x(, )44 4 444由由及題意知及題意知所以所以 , ,又又x-x-所以所以x- x- ，所以，所以x=x=cos3| |

40、mnm n2222sin(x)4sin(x),422()()sin x cos x22 1sin(x)42 (, ),44 4 465.12【規(guī)律方法【規(guī)律方法】求解平面向量與三角函數(shù)綜合問題的一求解平面向量與三角函數(shù)綜合問題的一般思路般思路(1)(1)求三角函數(shù)值求三角函數(shù)值, ,一般利用向量的相關(guān)運(yùn)算把向量關(guān)一般利用向量的相關(guān)運(yùn)算把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式系轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式. .利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及利用同角三角函數(shù)關(guān)系式及三角函數(shù)中常用公式求解三角函數(shù)中常用公式求解. .(2)(2)求角時通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題求角時通常由向量轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題, ,先求值再先求值再求角求

41、角. .(3)(3)解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的思想方法是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想與化歸的數(shù)學(xué)思想, ,即通過向量的相關(guān)運(yùn)算把問題轉(zhuǎn)化即通過向量的相關(guān)運(yùn)算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題為三角函數(shù)問題. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知已知a=(=(cos,sin),os,sin),b=(=(cos,sinos,sin),),0.0.(1)(1)若若| |a- -b|= ,|= ,求證求證: :ab. .(2)(2)設(shè)設(shè)c=(0,1),=(0,1),若若a+ +b= =c, ,求求,的值的值. .2【解析【解析】(1)(1)由題意得由題意得| |a- -b| |2

42、 2=2,=2,即即( (a- -b) )2 2= =a2 2-2-2ab+ +b2 2=2.=2.又因為又因為a2 2= =b2 2=|=|a| |2 2=|=|b| |2 2=1,=1,所以所以2-22-2ab=2,=2,即即ab=0,=0,故故ab. .(2)(2)因為因為a+ +b=(cos +cos ,sin +sin=(cos +cos ,sin +sin )=(0,1), )=(0,1),所以所以由此得，由此得，cos =cos(-cos =cos(-) )，由，由0 0，得，得0 0-，又，又0 0，故，故=-=-. .代入代入sin +sin +sin =1sin =1得，得，sin =sin = ,sin =sin = ,而而,所以所以= ,= .= ,= .cos cos 0,sin sin 1,12566【加固訓(xùn)練【加固訓(xùn)練】1.(20161.(2016汕頭模擬汕頭模擬) )若向量若向量a= ,= ,b= = 且且ab，則銳角，則銳角的大小是的大小是_._.【解析【解析】因為因為ab，所以，所以 -sin cos-sin cos =0 =0，所以所以sin 2=1,sin 2=1,又又為銳角，故為銳角，故= .= .答案：答案：