同濟(jì)第七版高等數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

1、1一階微分方程一階微分方程第七章第七章 復(fù)復(fù)習(xí)習(xí)高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)（下下）總總2dxxfdyyg)()( 形如形如1 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程 dxxfdyyg)()(分離變量法分離變量法)(xyfdxdy 形如形如2 齊次方程齊次方程xyu 令令dxxuufdu 1)(3)(yxgdydx 對稱情況對稱情況yxv 令令 ydyvvgdv通解通解4)()(xQyxPdxdy 3 一階線性微分方程一階線性微分方程)()()(CdxexQeydxxPdxxP ).()(yQxyPdydx 對稱情況對稱情況)()()(CdyeyQexdyyPdyyP 5高階微分方程高階微分方程1 1、

2、可降階的高階微分方程的解法、可降階的高階微分方程的解法 型型)()1()(xfyn 接連積分接連積分n次，得通解次，得通解. y不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù)),()2(yxfy 型型代入原方程代入原方程, 得得).(,(xPxfP ),(xPy 令令,Py 6.x不不顯顯含含自自變變量量),()3(yyfy 型型代入原方程代入原方程, 得得).,(PyfdydpP ),(xPy 令令,dydpPy 72 2、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1 1）二階齊次）二階齊次線性線性方程解的結(jié)構(gòu)方程解的結(jié)構(gòu): :)1(0)()( yxQyxPy（2 2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)）二階非齊

3、次線性方程的解的結(jié)構(gòu): :)2()()()(xfyxQyxPy 8解的疊加原理解的疊加原理.代入即可證得代入即可證得)()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 902 qprr0 qyypy特征方程為特征方程為3 3、二階常系數(shù)齊次線性方程解法、二階常系數(shù)齊次線性方程解法二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)齊次線性方程1001)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnPrPrPr推廣：推廣： 階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法n特征方程的根特征方程的根通解中的對應(yīng)項通解中的對應(yīng)項rk 重重實實根根若若有有rxkkexCxCC)(

4、1110 ik 復(fù)復(fù)根根重重共共軛軛若若有有xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110114 4、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程型型)()()1(xPexfmx 解法解法待定系數(shù)法待定系數(shù)法., )(xQexymxk 設(shè)設(shè) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根 2,10k)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm )(mkQxxQ 12型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymm

5、xk 設(shè)設(shè)次次多多項項式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的單根時是特征方程的單根時不是特征方程的根時不是特征方程的根時 iik13向量的分解式：向量的分解式：(,)xyzaaaa .,軸上的投影軸上的投影分別為向量在分別為向量在其中其中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三個坐標(biāo)軸上的分向量：在三個坐標(biāo)軸上的分向量：kajaiazyx,向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)表示式：向量的坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)：zyxaaa,1 1、向量的坐標(biāo)表示法、向量的坐標(biāo)表示法（一）向量代數(shù)（一）向量代數(shù)第八章第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代

6、數(shù)14向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標(biāo)表達(dá)式向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標(biāo)表達(dá)式,xyzaaaa （）,xyzbbbb （）,xxyyzzabababab （）,xxyyzzabababab （）,xyzaaaa （）kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 15222|zyxaaaa 向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式222coscoscos116 2122122

7、1221zzyyxxMM 它們距離為它們距離為設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點點兩點間距離公式兩點間距離公式:172 2、數(shù)量積、數(shù)量積 cos|baba 其其中中 為為a與與b的的夾夾角角(點積、內(nèi)積點積、內(nèi)積)zzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式ba 00 xxyyzza ba ba ba b 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式183 3、向量積、向量積 sin|bac 其其中中 為為a與與b的的夾夾角角(叉積、外積叉積、外積)向量積的坐標(biāo)

8、表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式zyxzyxbbbaaakjiba 19方程特點方程特點: 00),(:zyxfL設(shè)有平面曲線設(shè)有平面曲線方程為方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線xL)1(0),(22 zyxf方程為方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線yL)2(0),(22 yzxf1. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面（二）空間解析幾何（二）空間解析幾何20122222 czyax122222 czayx12222 czax旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面21xyzpzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面oyzx22繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)

9、轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面ozyx23（2）圓錐面）圓錐面222zyx （1）球面）球面（3）旋轉(zhuǎn)雙曲面）旋轉(zhuǎn)雙曲面1222222 czayax1222 zyx2202020)()()(Rzzyyxx 242. 柱面柱面定義：定義：平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C移動的直線移動的直線L所形成的曲面稱之所形成的曲面稱之.這條定曲線叫柱面這條定曲線叫柱面的的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線叫，動直線叫柱面的柱面的母線母線.25從柱面方程從柱面方程(的特征的特征:二元方程二元方程)看柱面的看柱面的特征特征：（其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czb

10、y橢圓柱面橢圓柱面 母線母線 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 母線母線 / 軸軸zpxz22 拋物柱面拋物柱面 母線母線/ 軸軸y26拋物柱面拋物柱面xyzxyz橢圓柱面橢圓柱面pxz22 雙曲柱面雙曲柱面xyz12222 czby12222 byax273. 二次曲面二次曲面定義定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面）橢球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2）橢圓拋物面）橢圓拋物面)(同號同號與與qp28特殊地：當(dāng)特殊地：當(dāng) 時，方程變?yōu)闀r，方程變?yōu)閝p zpypx 2222旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面)0( p

11、（由（由 面上的拋物線面上的拋物線 繞它的軸繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）旋轉(zhuǎn)而成的）xozpzx22 29zqypx 2222（3）馬鞍面）馬鞍面)(同號同號與與qp（4）單葉雙曲面）單葉雙曲面1222222 czbyax（5）圓錐面）圓錐面222zyx 304.4.空間曲線空間曲線 0),(0),(zyxGzyxF1 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程31 CCC關(guān)于關(guān)于 的投影柱面的投影柱面 C在在 上的投影曲線上的投影曲線 Oxzy 0),(0),(:zyxGzyxFC設(shè)曲線設(shè)曲線 則則C關(guān)于關(guān)于xoy面的投影柱面的投影柱

12、面方程應(yīng)為消面方程應(yīng)為消z后的方程后的方程：0),( yxH 所以所以C在在xoy面上的投面上的投影曲線的方程為：影曲線的方程為： 00),(zyxH3 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影空間曲線在坐標(biāo)面上的投影325.5.平面平面,CBAn ),(0000zyxMxyzon0MM1 平面的點法式方程平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA2 平面的一般方程平面的一般方程0 DCzByAx1 czbyax3 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc330:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA4 平面的夾角平面的夾角222222212121212121|cosCB

13、ACBACCBBAA 5 兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( 021212121 CCBBAAnn21)2( /1 1n2 2n .21212121CCBBAAnn 重合重合346.6.空間直線空間直線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL1 空間直線的一般方程空間直線的一般方程xyzo1 2 L35xyzosL0M M 3 空間直線的參數(shù)方程空間直線的參數(shù)方程pzznyymxx000 2 空間直線的對稱式方程空間直線的對稱式方程 ptzzntyymtxx000),(0000zyxM,pnms 36直線直線:1

14、L111111pzznyymxx 直線直線:2L222222pzznyymxx 12121212222222111222|cos( ,)m mn np ps smnpmnp 兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式4 兩直線的夾角兩直線的夾角375 兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL 021212121 ppnnmmss21)2(LL/pzznyymxxL000: 0: DCzByAx6 直線與平面的夾角直線與平面的夾角21212121ppnnmmss /38222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式)20( 7 直線與平面的位置關(guān)系直線與平

15、面的位置關(guān)系 L)1(pCnBmAns L)2(/0 CpBnAmns L或或39例例7 7 設(shè)設(shè)),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz外外一一點點，求求0P到到平平面面的的距距離離. 1PNn0P 000222|.AxByCzDdABC 8點到平面距離公式點到平面距離公式比較中學(xué)所學(xué)的點到直線的距離公式比較中學(xué)所學(xué)的點到直線的距離公式:),(000yxP點點0 CByAx直線直線2200|BACByAxd 406.6.平面束平面束定義定義:通過兩相交平面交線的所有平面稱為由這兩個通過兩相交平面交線的所有平面稱為由這兩個平面確定的平面束平面確定的平面束. 設(shè)平面設(shè)平面, 0:1

16、1111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA:,21為為所確定的平面束的方程所確定的平面束的方程由由 0)()(2221111 DzCyBxADzCyBxA . 0:22222 DzCyBxA以上方程不包括平面以上方程不包括平面411 1、偏導(dǎo)數(shù)概念、偏導(dǎo)數(shù)概念第九章第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用42同理可定義函數(shù)同理可定義函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對y的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，

17、00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.43ddd .zzzxyxy2、全微分公式、全微分公式用定義證明可微與不可微的方法用定義證明可微與不可微的方法000000(,)(,)()xyzfxyxfxyy 可微可微000000(,)(,)()xyzfxyxfxyy 不可微不可微44多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)有極限有極限3、關(guān)系、關(guān)系45( ( ),( )zftt 4 4、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理定理1 若函數(shù)若函數(shù)( ),( )utvt( , )zf u

18、 v 在點在點 處偏導(dǎo)連續(xù)處偏導(dǎo)連續(xù), ( , )u v在點在點 t 可導(dǎo)可導(dǎo), ddddddzzuzvtutvt則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌t且有鏈?zhǔn)椒▌t中間變量均為一元函數(shù)的情形中間變量均為一元函數(shù)的情形在點在點t處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，uvtz公式的記憶方法：連線相乘，分線相加公式的記憶方法：連線相乘，分線相加.465 5、全微分形式不變性、全微分形式不變性 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、dddzzzuvuv47定理定理1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)00(,)0;F xy 單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)

19、 y = f (x) ,00(),yf x 并有連續(xù)并有連續(xù)d.dxyFyxF ( (隱函數(shù)求導(dǎo)公式隱函數(shù)求導(dǎo)公式) ) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù); ;的的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個某鄰域內(nèi)可唯一確定一個的某一鄰域內(nèi)滿足的某一鄰域內(nèi)滿足00(,)0yFxy 滿足條件滿足條件導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)( , )F x y在點在點00(,)P xy則方程則方程( , )0F x y 0 x在點在點6 6、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則(1)( , )0F x y 48定理定理2 2 000(,)P xy z,yxzzFFzzxFyF 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ; ;則方程則方程( ,

20、 , )0F x y z 在點在點),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)000(,),zf xy 定一個單值連續(xù)函數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 滿足滿足000(,)0;F xy z 000(,)0,zF xy z 在點在點若函數(shù)若函數(shù) 滿足滿足:( , , )F x y z某一鄰域內(nèi)可唯一確某一鄰域內(nèi)可唯一確0),(. 2 zyxF49定理定理3 30000(,)0,F xy u v 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)0000(,)P xy u v( , , , ),( , , , )F x y u vG x y u v則方程組則方程組

21、( , , , )0,( , , , )0F x y u vG x y u v的單值連續(xù)函數(shù)的單值連續(xù)函數(shù)( , ),( , ),uu x yvv x y 計算偏導(dǎo)數(shù)按直接法求解計算偏導(dǎo)數(shù)按直接法求解. . 在點在點的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足滿足: :(,)0 ,( , )PF GJPu v 0000(,)0;G xy u v 000(,),uu xy 000(,)vv xy 00(,)xy在點在點507 7、微分法在幾何上的應(yīng)用、微分法在幾何上的應(yīng)用切線方程為切線方程為.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程為法平面方程為. 0)

22、()()(000000 zztyytxxt (1)空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面).(),(),(:tztytx 000( ( ),( ),( )Tttt (關(guān)鍵關(guān)鍵: 抓住切向量抓住切向量) 511）空間曲線方程為）空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切線方程為切線方程為特殊地：特殊地：(取取 為參數(shù)為參數(shù))x(1,( ),( )Txx 522）空間曲線方程為）空間曲線方程為,0),(0),( zyxGzyxF(取取 為參數(shù)為參數(shù))xx

23、yzxyzMijkTF F FG G G 取取切線方程為切線方程為000()()()0.yzxyzxzxyzxyMMMFFFFFFxxyyzzGGGGGG法平面方程為法平面方程為000,yzzxxyzxyzMxyMMxxyyzzFFFFFFGGGGGG53()曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線 :( , , )0.F x y z 切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為法線方程為.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 000000000(,),(,),(,)

24、xyznFxyzFxyzF xyz (關(guān)鍵關(guān)鍵: 抓住法向量抓住法向量)54:( , )zf x y曲面在曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令0000(,),(,), 1)xynfxyfxy則則（特殊情形）（特殊情形）558 8、方向?qū)?shù)、方向?qū)?shù).),(),(lim0 yxfyyxxflf 的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)沿方向沿方向則稱這極限為函數(shù)在點則稱這極限為函數(shù)在點在，在，時，如果此比的極限存時

25、，如果此比的極限存趨于趨于沿著沿著當(dāng)當(dāng)之比值，之比值，兩點間的距離兩點間的距離與與函數(shù)的增量函數(shù)的增量定義定義lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為（1）方向?qū)?shù)的定義及存在的充分條件）方向?qū)?shù)的定義及存在的充分條件56.),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義（ 其中其中222)()()(zyx ）方向?qū)?shù)的存在性及其計算方法方向?qū)?shù)的存在性及其計算方法: :00( , )(,),zf x yP xy 若若函函數(shù)數(shù)在在點點處處可可微微定理定理那么那么函數(shù)在函數(shù)在000000(,)(,)cos(,)cos ,

26、xyxyffxyfxyl 該點沿任一方向該點沿任一方向 的方向?qū)?shù)存在的方向?qū)?shù)存在,且有且有 l :cos ,cos .l 其其中中是是方方向向 的的方方向向余余弦弦57說明說明: 可微可微沿任一方向的方向?qū)?shù)存在沿任一方向的方向?qū)?shù)存在.反之不一定成立反之不一定成立.(2) 梯度的概念梯度的概念grad ( , )f x y ffijxy 記為記為 58梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系.maxf=l 59則稱函數(shù)在該點取得極大值則稱函數(shù)在該點取得極大值極大值和極小值極大值和極小值統(tǒng)稱為極值統(tǒng)稱為極值, 使函數(shù)取得極值的使函數(shù)取得極值的00( , )(,)f x yf xy 00(

27、, )(,)f x yf xy 或( (極小值極小值).).定義定義: 若函數(shù)若函數(shù) 在點在點( , )zf x y 的某鄰域內(nèi)有的某鄰域內(nèi)有00(,)xy（1)1)二元函數(shù)極值的定義二元函數(shù)極值的定義點稱為極值點點稱為極值點.9 9、多元函數(shù)的極值、多元函數(shù)的極值60定理定理1 1 ( (必要條必要條件件) )偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), ,0000(,)0 ,(,)0 xyfxyfxy且在該點取得極值且在該點取得極值 , , 則有則有（2 2）多元函數(shù)取得極值的條件）多元函數(shù)取得極值的條件函數(shù)函數(shù) 在點在點 存在存在( , )zf x y 00(,)xy說明說明:駐點駐點極值點極值點(可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù))

28、注意：注意：使偏導(dǎo)數(shù)都為使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點稱為駐點的點稱為駐點 .1.駐點駐點2.偏導(dǎo)中至少有一個不存在的點偏導(dǎo)中至少有一個不存在的點. 61時時, 具有極值具有極值定理定理2 (2 (充分條件充分條件) )一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,且且 令令則則: (1) 當(dāng)當(dāng)A0 時取極小值時取極小值.(2) 當(dāng)當(dāng)(3) 當(dāng)當(dāng)時時, 沒有極值沒有極值.時時, 不能確定不能確定 , 需另行討論需另行討論.0000(,)0 ,(,)0 xyfxyfxy000000(,) ,(,) ,(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy20ACB20ACB20ACB若函數(shù)若函數(shù)00( , )(,)

29、zf x yxy 在在點的某鄰域內(nèi)具有點的某鄰域內(nèi)具有62第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實數(shù)解，得駐點求出實數(shù)解，得駐點.第第二二步步 對對于于每每一一個個駐駐點點),(00yx，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值CBA、.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號，再判定是否是極值的符號，再判定是否是極值.第四步第四步 求出極值求出極值. .63(3)多元函數(shù)的最值多元函數(shù)的最值a.最值的存在性：最值的存在性：.存存在在最最大大值值和和最最小小值值222249:4zxyDxy 在在閉閉域域上上如函數(shù)如函數(shù)b.有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)的最值的求

30、法與步驟：上連續(xù)函數(shù)的最值的求法與步驟： （1）找最值可疑點）找最值可疑點 D內(nèi)的駐點及不可導(dǎo)點內(nèi)的駐點及不可導(dǎo)點邊界上的可能極值點邊界上的可能極值點 （2）比較以上各點處的函數(shù)值，最）比較以上各點處的函數(shù)值，最大大（小?。┱呒矗┱呒礊樗蟮淖顬樗蟮淖畲蟠螅ㄐ⌒。┲担┲?. （假定函數(shù)在（假定函數(shù)在D有有有限個可疑點）有限個可疑點）定理定理：若若 f (P) 在有界閉域在有界閉域 D 上連續(xù)上連續(xù), 則則( )f P在在 D 上可取得最大值上可取得最大值 M 及最小值及最小值 m .64特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個極值點且只有一個極值點P 時時, )(Pf為

31、極小值為極小值)(Pf為最小值為最小值(大大)(大大) 求二元函數(shù)在閉區(qū)域求二元函數(shù)在閉區(qū)域D上的最值上的最值,往往比較復(fù)雜往往比較復(fù)雜.但如果根據(jù)問題的實際意義但如果根據(jù)問題的實際意義,知道函數(shù)在知道函數(shù)在D內(nèi)存在最值內(nèi)存在最值,又知函數(shù)在又知函數(shù)在D內(nèi)可微內(nèi)可微,且只有唯一駐點且只有唯一駐點,則該點處的函數(shù)則該點處的函數(shù)值就是所求的最值值就是所求的最值.函數(shù)的最值應(yīng)用問題的解題步驟：函數(shù)的最值應(yīng)用問題的解題步驟：第二步第二步 判別判別 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實際意義確定最值根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步第一步 找目標(biāo)函數(shù)找目標(biāo)函數(shù),確定定

32、義域確定定義域(及約束條件及約束條件)65（4）條件極值）條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值66則則 （ ）00(1) ( , ) ( ,)f x yx y在在處連續(xù)；處連續(xù)；例例 設(shè)設(shè) 處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，00( , )(,)zf x yxy 在在00(2) ( , )(,)f x yx y在在可可微微；0000(3)lim( ,)lim(, )xxyyf x yf x y及及都都存存在在; ;00( , )(,)(4)lim( , ).x yxyf x y存存在在(3)67、二重積分的幾何意義、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分

33、是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負(fù)值當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負(fù)值當(dāng)被積函數(shù)有正有負(fù)時，二重積分是柱體體積的代數(shù)和當(dāng)被積函數(shù)有正有負(fù)時，二重積分是柱體體積的代數(shù)和.( , )dDf x y iiniif ),(lim101 1、二重積分的定義、二重積分的定義第十章第十章683 3、二重積分的計算、二重積分的計算,:bxaD ).()(21xyx X型型21()()( ,)dd( ,)d .bxaxDf x yxf x yy X-型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點： 穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于

34、兩個交點軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.（）直角坐標(biāo)系下（）直角坐標(biāo)系下69 Y型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x軸軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.21()()( , )dd( , )d .dycyDf x yyf x yx ,:dycD ).()(21yxy Y型型70求二重積分的方法步驟求二重積分的方法步驟:1.作圖求交點；作圖求交點；2.選擇積分次序；選擇積分次序；4.計算計算.(先內(nèi)積分后外積分先內(nèi)積分后外積分;計算內(nèi)積分時把計算內(nèi)積分時把在累次積分不易積或不能積時在累次積分不易積或不能積時,應(yīng)考慮交換積分次序應(yīng)考

35、慮交換積分次序.(把把D寫成不等式形式寫成不等式形式)；外積分變量看成常數(shù)外積分變量看成常數(shù))3.確定積分限確定積分限711、選擇積分次序、選擇積分次序 (1)首先被積函數(shù)要易積分，能積分；首先被積函數(shù)要易積分，能積分；(2)積分區(qū)域積分區(qū)域D盡量少分塊盡量少分塊.2、確定積分限、確定積分限計算二重積分的兩個關(guān)鍵：計算二重積分的兩個關(guān)鍵：內(nèi)限內(nèi)限平行線穿越法平行線穿越法. 外限外限 投影法；投影法；72 xDo1( ) 2( ) xoD( ) Dox() ( , )d dDf x yx y 21( )( )d( cos ,sin ) d .f ( )0d(cos ,sin ) d .f 2(

36、)00d(cos ,sin ) d .f （2）極坐標(biāo)系下）極坐標(biāo)系下732、定限方法、定限方法 內(nèi)限（內(nèi)限（ 的限）的限）射線穿越法射線穿越法. 外限（外限（ 的限）的限）看看 夾在那兩條射線之間；夾在那兩條射線之間； 利用極坐標(biāo)計算二重積分應(yīng)注意：利用極坐標(biāo)計算二重積分應(yīng)注意：積分次序積分次序先先后后. 1、何時用極坐標(biāo)？何時用極坐標(biāo)？1、當(dāng)積分區(qū)域為圓域或其一部分時、當(dāng)積分區(qū)域為圓域或其一部分時 ；2、被積函數(shù)中含有、被積函數(shù)中含有 或或 時時.22xy xy3、用直角坐標(biāo)求不出的積分、用直角坐標(biāo)求不出的積分.744 4、二重積分的應(yīng)用、二重積分的應(yīng)用(1) 體積體積( , )d dDV

37、f x yx y 曲曲柱柱設(shè)設(shè)S曲面的方程為：曲面的方程為：).,(yxfz 曲面曲面S的面積為的面積為 221d dxyzzxyDAx y (2) 曲面積曲面積( , )0,f x y 且且( , )Df x y 在在設(shè)設(shè) 上連續(xù)，上連續(xù)， 曲頂柱體曲頂柱體 頂頂被積函數(shù)；被積函數(shù)；底底積分區(qū)域積分區(qū)域.(3)求質(zhì)量求質(zhì)量( , )d dDmx yx y 756、三重積分的幾何意義、三重積分的幾何意義表示空間區(qū)域的體積表示空間區(qū)域的體積時時當(dāng)當(dāng) Vdvzyxf,1),(7 7、三重積分的性質(zhì)、三重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)類似于二重積分的性質(zhì)5 5、三重積分的定義、三重積分的定義768

38、8、三重積分的計算、三重積分的計算.);()();,(),(:2121bxaxyyxyyxzzyxz 2211( )( , )( )( , )( , , )ddd( , , )d .byxzx yayxzx yf x y zvxyf x y zz .,),( ),(21czcDyxzyxz 21( , , )dd( , , )d d .zccDf x y zvzf x y zx y () 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)dd d dvx y z （截面法）（截面法）（先一后二法）（先一后二法）77cos ,sin ,.xyzz () 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)( , , )d(cos ,sin , ) d d d .f

39、 x y zvfzz dd d d ,vz 78積分次序：積分次序：.z 21(cos,sin)(cos,sin)d d(cos ,sin , )dzzDfzz ( , , )df x y zv 定限方法定限方法內(nèi)限內(nèi)限平行線穿越法；平行線穿越法；外積分區(qū)域外積分區(qū)域投影法投影法. （ 可用極坐標(biāo)計算時的定限法）可用極坐標(biāo)計算時的定限法） 、799 9、三重積分的應(yīng)用、三重積分的應(yīng)用d .Mv 其其中中1d ,xxvM (3) (3) 質(zhì)心質(zhì)心1d ,yyvM 1d .zzvM (1)求體積求體積d d dVx y z (2)求質(zhì)量求質(zhì)量( , , )d d dmx y zx y z 80(

40、),( ),xtytt 22( , )( ),( )( )( ),Lf x y dsftttt dt 22( )( ),dstt dt 弧微分弧微分設(shè)設(shè)L：（1）對弧長（第一類）對弧長（第一類）1.曲線積分的計算曲線積分的計算化為定積分計算化為定積分計算 第十一章曲線、曲面積分第十一章曲線、曲面積分81（2）對坐標(biāo)（第二類）對坐標(biāo)（第二類）( ),( ),xtyt ( , )( , )( ),( )( )( ),( )( )LP x y dxQ x y dyPtttQttt dt 設(shè)設(shè)L： ,AB 從從到到有方向有方向822曲面積分的計算曲面積分的計算（化為二重積分）（化為二重積分）( , ,

41、 )f x y z dS :( , ),zz x y 22:( , ),1,yzxx y z dSxx dydz 22:( , ),1,xzyy x z dSyy dxdz 若若（1）對面積（第一類）的曲面積分）對面積（第一類）的曲面積分 22 , , ( , )1( , )( , )xyxyDf x y z x yzx yzx y dxdy 向向xoy面的投影為面的投影為 則則,xyDyzD投影投影xzD投影投影83（2）對坐標(biāo)（第二類）的曲面積分）對坐標(biāo)（第二類）的曲面積分 ( , , ), , ( , )xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy 若若 上側(cè)，則上側(cè)，

42、則:( , )zz x y ( , , ), , ( , )xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy ( , , )( , ), ,yzDP x y z dydzP x y zy z dydz :( , ),xx y z :( , ),yy x z ( , , ). ( , ),zxDQ x y z dzdxQ x y z xz dzdx 若若 下側(cè)，則下側(cè)，則:( , )zz x y 有方向有方向84()DLQPdxdyPdxQdyxy 3.格林公式格林公式 - 平面上曲線積分與二重積分的關(guān)系平面上曲線積分與二重積分的關(guān)系4.曲線積分與路徑無關(guān)的條件曲線積分與路徑無關(guān)的

43、條件L取正向取正向.以及等價關(guān)系以及等價關(guān)系.QPxy 設(shè)有界閉區(qū)域設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑的曲線由分段光滑的曲線L圍成圍成, ,P x yQ x yD函函數(shù)數(shù)在在 上上有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有855. .高斯公式高斯公式 曲面積分與三重積分的關(guān)系曲面積分與三重積分的關(guān)系()PQRdvPdydzQdzdxRdxdyxyz . 為為外外側(cè)側(cè) ()( , , )( , , )( , , )P x y zQ x y zR x y z 設(shè)設(shè)空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域是是由由光光滑滑 或或分分片片光光滑滑曲曲面面 所所圍圍成成，函函數(shù)數(shù)、在在上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則

44、有有866.兩類積分之間的關(guān)系：兩類積分之間的關(guān)系： =coscosLLPdxQdyPQdscos,dxds cos.dyds PdydzQdzdxRdxdy =coscoscosPQRdS cos,dydzdS cos,dzdxdS cos,dxdydS (cos ,cos,cos )n 的法向量的法向量(cos ,cos)t L的切向量的切向量曲線曲線:曲面曲面:87三三.兩類曲線兩類曲線( (曲面曲面) )積分的典型問題積分的典型問題一般曲線積分化成定積分計算，一般曲線積分化成定積分計算，一般曲面積分化成二重積分計算，一般曲面積分化成二重積分計算，封閉曲線的積分利用格林公式化為二重積分封

45、閉曲線的積分利用格林公式化為二重積分.封閉曲面的積分利用高斯公式化為三重積分封閉曲面的積分利用高斯公式化為三重積分.88第一類曲線積分的求法第一類曲線積分的求法1.基本方法：基本方法：由積分曲線的表達(dá)式求出由積分曲線的表達(dá)式求出弧微分元素弧微分元素，定積分定積分定限定限：下限小于上限：下限小于上限. 22 ( ), ( )( )( ) ,ftttt dt ( , )Lf x y ds ( ),:(),( ),xtLtyt 將積分曲線將積分曲線代入代入被積函數(shù)，被積函數(shù)，892.利用積分性質(zhì)利用積分性質(zhì):LdsL 的的長長度度 2222, :nLxydsLyax 例例求求下下半半圓圓周周 222

46、nnLLxydsads解解 221nnLadsa 3.計算中注意利用對稱性計算中注意利用對稱性:奇偶性、輪換性奇偶性、輪換性90因為積分曲線因為積分曲線L關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱，函數(shù)，函數(shù) 2xcosy是是221,43xy 22(2 cos34)dLxyxys 222 cos d(34)dLLxy sxys 2 cos d0Lxy s 22(34)d12d12LLxyssa 22(2 cos34)d12Lxyxysa 例例 設(shè)設(shè)L為橢圓為橢圓其周長為其周長為a，求，求解解 原式原式=x的奇函數(shù)的奇函數(shù)，因此有，因此有而而所以所以 91第二類曲線積分的求法第二類曲線積分的求法1.基本方法：基本方

47、法：由積分曲線的表達(dá)式確定定積分的由積分曲線的表達(dá)式確定定積分的積分變量積分變量，將積分曲線將積分曲線代入代入被積表達(dá)式，被積表達(dá)式，定積分定積分定限定限：起點對應(yīng)下限，終點對應(yīng)上限：起點對應(yīng)下限，終點對應(yīng)上限. ( ), ( ) ( ) ( ), ( )( )P x ty t x tQ x ty ty t dt ( , )( , )LP x y dxQ x y dy :( ),( ),L xx tyy t:t從從 變變到到922.利用格林公式利用格林公式(1)積分曲線為封閉曲線積分曲線為封閉曲線,直接化為二重積分直接化為二重積分（滿足定理條件）（滿足定理條件）(2)積分曲線為非封閉曲線積分曲

48、線為非封閉曲線,添加曲線添加曲線(較簡單較簡單)使之成為封閉曲線使之成為封閉曲線, 原曲線積分化為一個原曲線積分化為一個二重積分減去在添加曲線上的曲線積分二重積分減去在添加曲線上的曲線積分.()LDQPPdxQdydxdyxy.L其其中中 取取正正向向931xy2(2)d()dyxLxyeyyyex 記記L所圍的區(qū)域為所圍的區(qū)域為D，易知，易知D是邊長為是邊長為 的正方形區(qū)域的正方形區(qū)域.22211.QPyyxy2(2)()12.yxLDxyedyyyedxdxdy 例例1 1 設(shè)設(shè)L L為為 的反時針方向，則的反時針方向，則 (A)0； (B)2； (C)4； (D)1解解由已知，由已知，則

49、則由格林公式，得由格林公式，得B94yA xoL si2ncos1xxLeyxy dxeydy 計計算算例例 22(0)0,01,0Lxyx yOA其其中中 ：從從到到的的上上半半圓圓周周. .解解 為用格林公式為用格林公式, :0,(:10)AOyx它與它與L所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為D , 則則原式原式(sin)d(cos1)dxxL AOeyxyxeyy (sin)d(cos1)dxxAOeyxyxeyy D添加輔助線段添加輔助線段95原式原式(e sin)d(e cos1)dxxL AOyxyxyy d dDx y 01dxx (e sin)d(e cos1)dxxAOyxyxyy 182

50、yA xoLD1cose,cose yyPyxQxx:0,:10AOyx963.利用曲線積分與路徑無關(guān)的條件利用曲線積分與路徑無關(guān)的條件(1)改變原積分路徑，使得原積分簡化改變原積分路徑，使得原積分簡化.(2)已知已知 是某函數(shù)的全微分，是某函數(shù)的全微分，PdxQdy 求出該函數(shù)，即求出該函數(shù)，即00( , )(,)( , )x yxyu x yPdxQdy 000, )0,)( ,)( , )x yyxyyP x y dxQ x y dy00(,)xy( , )x yxyo97cossinxxLeydxeydy 計計例例3 3算算 22(0)1,00,0Lxyx yAO其其中中 ：從從到到的

51、的上上半半圓圓周周. .Asin,xQPeyxx 解解積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān):0,:10AOyx另選直線另選直線cossinxxLeydxeydy 01cos01xedxe oxy984. 有奇點的曲線積分有奇點的曲線積分222:4Lxya22()().Lxy dxxy dyxy 例例4 設(shè)設(shè)取逆時針方向，取逆時針方向，求求解解 取取222,xyr構(gòu)造構(gòu)造l：順時針順時針已知已知2222,xyxyPQxyxy 22222,PxyxyQyxyx220,xyxroy:0,2arr99于是，于是，22()()Lxy dxxy dyxy 2222()()()()L llxy dxxy dyxy

52、dxxy dyxyxy 22()()0lxy dxxy dydxdyxy :cos ,sin , :20lxrt yrt t 20( 1)2dt 由格林公式由格林公式100第一類曲面積分的求法第一類曲面積分的求法 22, , ,1xyxyDfx y z dSfx y z x yzz d :,zz x y由積分曲面表達(dá)式確定曲面向一坐標(biāo)面由積分曲面表達(dá)式確定曲面向一坐標(biāo)面投影投影，將積分曲面將積分曲面代入代入被積函數(shù)，被積函數(shù)，求出求出曲面面積元素曲面面積元素向向xoy面面投影：投影：xyD1.基本方法：基本方法：1012.計算中注意利用對稱性計算中注意利用對稱性:奇偶性、輪換性奇偶性、輪換性2

53、 x dS 例例5 5 求求22220,0 xyzRxy：，. .2221:0,0.zRxyxy，解解設(shè)設(shè)1222x dSx dS 關(guān)于關(guān)于xoy面對稱面對稱，被積函數(shù)，被積函數(shù)是是z的偶函數(shù)的偶函數(shù). 102 222222222:,0,0 xyxyDRx dxdyDxyR xyRxy 324222002cos3RRddRR 222221xyRdxdydSzzdxdyRxy1222x dSx dS 103解解 由對稱性（輪換性）由對稱性（輪換性）222x dSy dSz dS 222213x dSxyzdS22241143386RR dSRR 2 x dS 例例5 5求求22220,0,0 x

54、yzRxyz：，. .104 222222()3xy dSxyzdS22(),xy dS 2222xyzR：. .問題：問題： 22242284333RR dSRR 105 , , ( , )xyDR x y z x y dxdy 第二類曲面積分的求法第二類曲面積分的求法( , , )R x y z dxdy :,zz x y上側(cè)取上側(cè)取“+”,下側(cè)取下側(cè)取“ ” 對坐標(biāo)對坐標(biāo) x,y 的積分：的積分：積分曲面向積分曲面向xoy坐標(biāo)面坐標(biāo)面投影投影，將積分曲面將積分曲面代入代入被積函數(shù)，被積函數(shù)，由積分曲面的側(cè)確定二重積分的由積分曲面的側(cè)確定二重積分的符號符號.PdydzQdzdxRdxdy 分三項計算分三項計算1.106:( , ),xx y z yzDdydzzyzyxPdydzzyxP,),(),(:( , ),yy z x zxDdzdxzxzyxQdzdxzyxQ),(,),(前側(cè)取前側(cè)取“+”,后側(cè)取后側(cè)取