考慮空氣阻力下的自行車擋泥板覆蓋范圍計(jì)算

1、考慮空氣阻力下的自行車擋泥板覆蓋范圍計(jì)算作者：尹達(dá)恒 所屬院系：物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院物聯(lián)網(wǎng)工程系 學(xué)號：1030616134內(nèi)容摘要自行車前后擋泥板在自行車上起到阻擋車輪飛濺泥水打濕騎車人的作用。擋泥板的設(shè)計(jì)制造是自行車設(shè)計(jì)制造的重要一環(huán)。本文在考慮空氣阻力的條件下，對不同車速以及飛濺水滴直徑時(shí)自行車擋泥板最小覆蓋范圍進(jìn)行了研究,主要內(nèi)容如下：（1） 使用常微分方程組建立了空氣相對地面靜止（無風(fēng)），車輪相對地面不打滑滾動(dòng)時(shí)的車輪-水滴飛濺模型。（2） 利用上述模型計(jì)算出了在相同的水滴直徑下兩種不同種類自行車在正常車速情況下?lián)跄喟宓母采w范圍。（3） 利用上述模型進(jìn)一步討論了相同的水滴直徑下一般兩種不同

2、種類自行車擋泥板覆蓋范圍與車速之間的關(guān)系。關(guān)鍵詞自行車擋泥板 數(shù)學(xué)模型 常微分方程組 最小值目錄內(nèi)容摘要II目錄III一、緒論1二、建模2（一）基本假設(shè)2（二）模型分析21、水滴受力分析22、水滴初始狀態(tài)分析3（三）建模31、水滴運(yùn)動(dòng)方程32、水滴初始狀態(tài)方程3（四）模型驗(yàn)證4三、編寫計(jì)算函數(shù)5四、計(jì)算6（一）競速型山地自行車擋泥板位置計(jì)算(以GIANT® ATX850-M型為例)61、數(shù)據(jù)估計(jì)62、前輪計(jì)算63、后輪計(jì)算7（二）競速型山地自行車擋泥板位置與車速關(guān)系計(jì)算(以GIANT® ATX850-M型為例)71、前輪72、后輪8（三）競速型山地自行車擋泥板位置計(jì)算(以G

3、IANT® ATX850-M型為例)91、數(shù)據(jù)估計(jì)92、前輪計(jì)算93、后輪計(jì)算10（四）競速型山地自行車擋泥板位置與車速關(guān)系計(jì)算(以GIANT® ATX850-M型為例)101、前輪102、后輪11五、結(jié)論12六、參考文獻(xiàn)1313考慮空氣阻力下的自行車擋泥板覆蓋范圍計(jì)算一、 緒論自行車在我們的日常生活中起著舉足輕重的作用，尤其在大學(xué)校園，自行車可謂是師生出行的首選交通工具。但是由于騎車時(shí)自行車車輪與騎車人在同一平面上，所以在下雨天，車輪轉(zhuǎn)動(dòng)帶起的泥水很容易飛濺到騎車人身上。為此人們?yōu)樽孕熊囋O(shè)計(jì)了一許多不同形狀不同大小的擋泥板，安裝于前后車輪上方，起到阻擋泥水的作用。這就帶來

4、一個(gè)問題:一般情況下自行車擋泥板至少需要覆蓋車輪多大的范圍，才能正好擋住可能飛濺到騎車人身上的泥水?文獻(xiàn)1使用maple大致計(jì)算了不考慮空氣阻力的情況下自行車擋泥板的覆蓋范圍，但計(jì)算出的前輪擋泥板形狀與現(xiàn)實(shí)生活中的前輪擋泥板有很大出入。對于空中飛行的細(xì)小水滴而言，空氣阻力會(huì)對水滴的飛行軌跡產(chǎn)生較大影響，忽略空氣阻力的近似計(jì)算會(huì)使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大誤差。針對這個(gè)問題，本文建立了考慮空氣阻力的車輪-水滴飛濺模型并使用matlab計(jì)算了考慮空氣阻力的情況下不同自行車擋泥板的覆蓋范圍，獲得了與實(shí)際情況比較接近的結(jié)果。二、 建模（一） 基本假設(shè)為了討論簡單起見，現(xiàn)做如下假設(shè)：1、 假定自行車勻速直線運(yùn)動(dòng)。

5、2、 假定人騎車時(shí)身體與自行車在同一平面內(nèi)。3、 水滴脫離車輪時(shí)與車輪有相同的線速度。4、 空中飛行的水滴視為球體，直徑3mm5、 地面水平。6、 空氣相對地面靜止（無風(fēng)）。7、 車輪不打滑，車輪相對空氣的平動(dòng)速度等于其轉(zhuǎn)速。8、 騎車人等效為一個(gè)矩形區(qū)域，落入此區(qū)域內(nèi)的雨滴皆視為濺到騎車人。9、 覆蓋范圍以車輪擋泥板在車輪上方的覆蓋角度min和max表示, 以車輪圓心為極點(diǎn)，水平向右為極軸，精度0.001rad，范圍-。（二） 模型分析1、 水滴受力分析以在空中飛行的水滴為原點(diǎn)，水平面為x軸，鉛直線向上為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如右圖所示，對水滴進(jìn)行受力分析按照文獻(xiàn)2給出的有空氣阻力的情況下

6、拋體的運(yùn)動(dòng)方程，可進(jìn)一步得到有風(fēng)時(shí)水滴在空中運(yùn)動(dòng)的微分方程組：dxdt=vxdydt=vyv=(vx-vwind)2+vy2mdvxdt=-kv2cos=-kv(vx-vwind)mdvydt=-kv2sin-mg=-kvvy-mgk=12CS(其中k為阻力系數(shù)，v表示水滴相對空氣運(yùn)動(dòng)的速度，vwind表示風(fēng)速，vx和vy分別表示水滴相對自行車的運(yùn)動(dòng)速度在水平和豎直方向上的分量)2、 水滴飛行初始狀態(tài)分析以車輪圓心為原點(diǎn)，平面為x軸，鉛直線向上為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如右圖所示：可知水滴飛行初始狀態(tài)為x0=Rcosy0=Rsinvx0=vcos2+=-vsinvy0=vsin2+=vcos（

7、三） 建模1、 水滴運(yùn)動(dòng)方程(二)-1中給出的常微分方程組在matlab中可以轉(zhuǎn)化為以下函數(shù)：function dot=drdt(,r)m=(pi*r(6)3)/6000000;%m=103*(4/3*pi*(d/2*10-3)3);k=(1293*pi*r(6)2)/16000000000;%k=1/2*0.5*1.293*pi*(d/2*10-3)2;g=9.8;v=sqrt(r(3)-r(5)2+r(4)2);dot=r(3);r(4);-k*v*(r(3)-r(5)/m;-k*v*r(4)/m-g;0;0;%r1=x r2=y r3=vx r4=vy r5=風(fēng)速(m/s) r6=雨滴直

8、徑(mm)end2、 水滴初始狀態(tài)方程結(jié)合(二)-2中給出的初始條件，使用matlab中的ode算法解出常微分方程，可以得到一個(gè)輸入一個(gè)包含車速、水滴直徑、車輪半徑的向量和起飛位置對應(yīng)、飛行時(shí)間，輸出軌跡x,y的函數(shù)：function x,y=xy(env,theta,t)x0=env(3)*cos(theta);y0=env(3)*sin(theta);v0=env(1);rho=pi/2+theta;vx0=v0*cos(rho);vy0=v0*sin(rho);,r=ode45('drdt',0,t,x0;y0;vx0;vy0;env(1);env(2););x=r(:,

9、1);y=r(:,2);end%環(huán)境變量env=vbike,dwater,R（四） 模型驗(yàn)證在matlab中輸入以下語句：for theta=0:0.1:2*pix,y=xy(9,3,0.45,theta,1);hold on,plot(x,y);end所得圖形如右圖所示：基本符合運(yùn)動(dòng)情況下車輪飛濺水滴的飛行軌跡。三、 編寫計(jì)算函數(shù)（一） 編寫函數(shù)判斷ode45算法所得解矩陣是否在range所表示區(qū)域所包含的范圍內(nèi)其中range為一矩陣，表示等效后的騎車人身體的覆蓋范圍function j=judge(xyarry,range) %范圍range=xmin,xmax; ymin,ymax;j=

10、0;f=xyarry(:,1)>=range(1)&xyarry(:,1)<=range(2);if any(f) %如果有x在xmin和xmax之間 f=xyarry(f,2); f=f>=range(3)&f<=range(4); if any(f) %如果在xmin和xmax之間對應(yīng)有y在ymin和ymax之間 j=1; %返回1 endend %否則返回0end（二） 編寫函數(shù)計(jì)算軌跡能穿過range區(qū)域的初始位置對應(yīng)的最大和最小值function thetamin,thetamax=rough(env,range)thetamin=-pi;th

11、etamax=-pi;for theta=-pi:0.001:pi x,y=xy(env,theta,2); if judge(x,y,range) thetamin=theta; break; endendfor theta=pi:-0.001:-pi x,y=xy(env,theta,2); if judge(x,y,range) thetamax=theta; break; endendend四、 計(jì)算（一） 競速型山地自行車擋泥板位置計(jì)算(以GIANT® ATX850-M型為例)1、 數(shù)據(jù)估計(jì)（1） 根據(jù)GIANT官方公布的數(shù)據(jù)3，GIANT ATX850-M型使用18”車架

12、與標(biāo)準(zhǔn)27.5寸車輪，適合身高176cm-190cm的人，考慮到競速型自行車騎行時(shí)一般為匍匐姿勢，可以粗略估計(jì)騎車人上半身范圍在兩車輪中心軸線上方水平高度0.75m到1m范圍內(nèi)，豎直寬度約0.9m,與前輪圓心豎直距離0.2m，與后輪圓心豎直距離0.15m。相對位置如右圖(左邊為前輪)（2） 27.5寸車輪對應(yīng)車輪直徑約為70cm（3） 一般情況下，競速型山地自行車車速可達(dá)9m/s。2、 前輪計(jì)算通過計(jì)算可知前輪對應(yīng)的range矩陣值應(yīng)為:range=0.21.10.751前輪對應(yīng)的env向量值應(yīng)為:env=9 3 0.35在matlab輸入下列語句：env=9,3,0.35;range=0.2

13、,1.1;0.75,1;thetamin,thetamax=rough(env,range)計(jì)算結(jié)果：thetamin = -0.5666thetamax =0.8686計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換為度數(shù)即擋泥板在前輪上應(yīng)覆蓋-32°到50°的區(qū)域。將計(jì)算所得能濺到人身上的水滴軌跡圖像和騎車人等效范圍一并繪出，如上圖所示。3、 后輪計(jì)算通過計(jì)算可知前輪對應(yīng)的range矩陣值應(yīng)為:range=-1.05-0.150.751前輪對應(yīng)的env向量值與前輪相同。在matlab輸入下列語句：env=9,3,0.35;range=-1.05,-0.15;0.75,1;thetamin,thetamax

14、=rough(env,range)計(jì)算結(jié)果：thetamin = 0.6534thetamax =1.1546計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換為度數(shù)即擋泥板在后輪上應(yīng)覆蓋37°到66°的區(qū)域。將計(jì)算所得能濺到人身上的水滴軌跡圖像和騎車人等效范圍一并繪出，如右圖所示。（二） 競速型山地自行車擋泥板位置與車速關(guān)系計(jì)算(以GIANT® ATX850-M型為例)1、 前輪按前述數(shù)據(jù)計(jì)算車速從0m/s增加到10m/s時(shí)前輪擋泥板覆蓋范圍的變化情況。在matlab中輸入:range=0.2,1.1;0.75,1for i=1:100 v(i)=i/10; thetamin(i),thetamax

15、(i)=rough(i/10,3,0.35,range);endplot(v,thetamin);hold on,plot(v,thetamax);得到擋泥板覆蓋角度隨車速變化的圖像2、 后輪按前述數(shù)據(jù)計(jì)算車速從0m/s增加到10m/s時(shí)后輪擋泥板覆蓋范圍的變化情況。在matlab中輸入:range=-1.05,-0.15;0.75,1for i=1:100 v(i)=i/10; thetamin(i),thetamax(i)=rough(i/10,3,0.35,range);endplot(v,thetamin);hold on,plot(v,thetamax);xlabel('v&

16、#39;);ylabel('覆蓋角度');得到擋泥板覆蓋角度隨車速變化的圖像（三） 休閑型家用自行車擋泥板位置計(jì)算(以上海永久® QJ411G-JL型為例)1、 數(shù)據(jù)估計(jì)（1） 根據(jù)上海永久官方公布的數(shù)據(jù)4，上海永久 QJ411G-JL型使用16”車架與標(biāo)準(zhǔn)26寸車輪。普通自行車騎行時(shí)人上半身接近直立，可以粗略估計(jì)騎車人上半身范圍在兩車輪中心軸線上方水平位高度0.4m到1.2m范圍內(nèi)，豎直寬度約0.4m,與前輪圓心豎直距離0.5m，與后輪圓心豎直距離0.2m。相對位置如右圖(左邊為前輪)（2） 26寸車輪對應(yīng)車輪直徑約為65cm（3） 平時(shí)騎車車速一般不超過6m/s左

17、右。2、 前輪計(jì)算通過計(jì)算可知前輪對應(yīng)的range矩陣值應(yīng)為:range=0.50.70.41.2前輪對應(yīng)的env向量值應(yīng)為:env=6 3 0.325在matlab輸入下列語句：env=6,3,0.325;range=0.5,0.9;0.4,1.2;thetamin,thetamax=rough(env,range)計(jì)算結(jié)果：thetamin = -0.5876thetamax =0.4776計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換為度數(shù)即擋泥板在前輪上應(yīng)覆蓋-34°到27°的區(qū)域。將計(jì)算所得能濺到人身上的水滴軌跡圖像和騎車人等效范圍一并繪出，如上圖所示。3、 后輪計(jì)算通過計(jì)算可知前輪對應(yīng)的rang

18、e矩陣值應(yīng)為:range=-0.6-0.20.41.2前輪對應(yīng)的env向量值與前輪相同。在matlab輸入下列語句：env=6,3,0.325;range=-0.6,-0.2;0.4,1.2;thetamin,thetamax=rough(env,range)計(jì)算結(jié)果：thetamin = 0.5804thetamax =1.3366計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)換為度數(shù)即擋泥板在后輪上應(yīng)覆蓋33°到76°的區(qū)域。將計(jì)算所得能濺到人身上的水滴軌跡圖像和騎車人等效范圍一并繪出，如上圖所示。（四） 休閑型家用自行車擋泥板位置與車速關(guān)系計(jì)算(以上海永久® QJ411G-JL型為例)1、 前

19、輪按前述數(shù)據(jù)計(jì)算車速從0m/s增加到10m/s時(shí)前輪擋泥板覆蓋范圍的變化情況。在matlab中輸入:range=0.2,1.1;0.4,1.2for i=1:100 v(i)=i/10; thetamin(i),thetamax(i)=rough(i/10,3,0.325,range);endplot(v,thetamin);hold on,plot(v,thetamax);xlabel('v');ylabel('覆蓋角度');得到擋泥板覆蓋角度隨車速變化的圖像2、 后輪按前述數(shù)據(jù)計(jì)算車速從0m/s增加到10m/s時(shí)后輪擋泥板覆蓋范圍的變化情況。在matlab中輸入:range=-0.6,-0.2;0.4,1.2for i=1:100 v(i)=i/10; thetamin(i),thetamax(i)=rough(i/10,3,0.325,range);e