傅里葉級(jí)數(shù)課程及習(xí)題講解

1、第15章 傅里葉級(jí)數(shù)§15.1 傅里葉級(jí)數(shù)一基本內(nèi)容一、傅里葉級(jí)數(shù)在冪級(jí)數(shù)討論中，可視為經(jīng)函數(shù)系線(xiàn)性表出而得不妨稱(chēng)為基，則不同的基就有不同的級(jí)數(shù)今用三角函數(shù)系作為基，就得到傅里葉級(jí)數(shù)1 三角函數(shù)系函數(shù)列稱(chēng)為三角函數(shù)系其有下面兩個(gè)重要性質(zhì)(1) 周期性 每一個(gè)函數(shù)都是以為周期的周期函數(shù)；(2) 正交性 任意兩個(gè)不同函數(shù)的積在上的積分等于零，任意一個(gè)函數(shù)的平方在上的積分不等于零對(duì)于一個(gè)在可積的函數(shù)系，定義兩個(gè)函數(shù)的內(nèi)積為，如果，則稱(chēng)函數(shù)系為正交系由于 ；，所以三角函數(shù)系在上具有正交性，故稱(chēng)為正交系利用三角函數(shù)系構(gòu)成的級(jí)數(shù)稱(chēng)為三角級(jí)數(shù)，其中為常數(shù)2 以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)定義1 設(shè)函數(shù)在上可

2、積， ； ，稱(chēng)為函數(shù)的傅里葉系數(shù)，而三角級(jí)數(shù)稱(chēng)為的傅里葉級(jí)數(shù)，記作這里之所以不用等號(hào)，是因?yàn)楹瘮?shù)按定義1所得系數(shù)而獲得的傅里葉級(jí)數(shù)并不知其是否收斂于二、傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理定理1 若以為周期的函數(shù)在上按段光滑，則，其中為的傅里葉系數(shù)定義2 如果，則稱(chēng)在上光滑若存在；，存在，且至多存在有限個(gè)點(diǎn)的左、右極限不相等，則稱(chēng)在上按段光滑幾何解釋如圖按段光滑函數(shù)圖象是由有限條光滑曲線(xiàn)段組成，它至多有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)與角點(diǎn)推論 如果是以為周期的連續(xù)函數(shù)，且在上按段光滑，則，有 定義3 設(shè)在上有定義，函數(shù)稱(chēng)為的周期延拓二習(xí)題解答1 在指定區(qū)間內(nèi)把下列函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)(1) ；解：、，作周期延拓的圖象如下其

3、按段光滑，故可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，所以，為所求、，作周期延拓的圖象如下其按段光滑，故可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，所以，為所求(2) ；解：、，作周期延拓的圖象如下其按段光滑，故可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，所以，為所求解：、，作周期延拓的圖象如下其按段光滑，故可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，所以，為所求(3) 解：函數(shù)，作周期延拓的圖象如下其按段光滑，故可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，所以，為所求2 設(shè)是以為周期的可積函數(shù)，證明對(duì)任何實(shí)數(shù)，有，證：因?yàn)?，都是以為周期的可積函數(shù)，所以令有從而同理可得3 把函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，并由它推出(1) ；(2) ；(3

4、) 解：函數(shù)，作周期延拓的圖象如下其按段光滑，故可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，故為所求(1) 取，則；(2) 由得，于是；(3) 取，則，所以4 設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足條件，問(wèn)此函數(shù)在內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)具有什么特性解：因?yàn)闈M(mǎn)足條件，所以，即是以為周期的函數(shù)于是由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)的特性是，5 設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足條件：，問(wèn)此函數(shù)在內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)具有什么特性解：因?yàn)闈M(mǎn)足條件，所以，即是以為周期的函數(shù)于是由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)的特性是，6 試證函數(shù)系和都是上的正交函數(shù)系，但他們合起來(lái)的卻不是上的正交函數(shù)系證：就函數(shù)系，因?yàn)?，又；，時(shí)，所以在上是正交系就函數(shù)系，因?yàn)?，?/p>

5、，時(shí)，所以在上是正交系但不是 上的正交系實(shí)因：7 求下列函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式 (1) ；解：作周期延拓的圖象如下其按段光滑，故可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，所以，為所求(2) ；解：作周期延拓的圖象如下其按段光滑，故可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)因?yàn)椋杂上禂?shù)公式得當(dāng)時(shí)，所以， 而時(shí)，故，為所求(3) ；解：由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，故為所求由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，故為所求(4) ；解：由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，所以，所以，故，為所求 (5) 解：由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，所以，故，為所求8 求函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式并應(yīng)用它推出解：由得 ，而，故由收斂定理得9 設(shè)為上光滑函數(shù)，且為的傅里葉系數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)的傅里葉系數(shù)證明證：

6、因?yàn)闉樯瞎饣瘮?shù)，所以為上的連續(xù)函數(shù)，故可積由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，故結(jié)論成立10 證明：若三角級(jí)數(shù)中的系數(shù)滿(mǎn)足關(guān)系，為常數(shù)，則上述三角級(jí)數(shù)收斂，且其和函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)證：設(shè)，則，在上連續(xù)，且，亦在上連續(xù)又，而收斂，所以在上一致收斂故設(shè)，則且在上連續(xù)§15. 2 以為周期的函數(shù)的展開(kāi)一基本內(nèi)容一、以為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)是以為周期的函數(shù)，作替換，則是以為周期的函數(shù)，且在上可積在上可積于是 ，其中 令得，從而 其中 上式就是以為周期的函數(shù)的傅里葉系數(shù)在按段光滑的條件下，亦有其只含余弦項(xiàng)，故稱(chēng)為余弦級(jí)數(shù)同理，設(shè)是以為周期的奇函數(shù)，則奇，偶于是 ，從而其只含正弦項(xiàng)，故稱(chēng)為正弦級(jí)數(shù)由此可知

7、，函數(shù)要展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)必須作偶延拓偶延拓，函數(shù)要展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)必須作奇延拓奇延拓二習(xí)題解答1 求下列周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式(1) (周期)；解：函數(shù)，延拓后的函數(shù)如下圖由于按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù)因，所以由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，故，為所求(2) (周期1)；解：函數(shù)，延拓后的函數(shù)如下圖由于按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)因，所以由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，故，為所求(3) (周期)； 解：函數(shù)，延拓后的函數(shù)如下圖由于按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù)因，所以由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，故，為所求(4) (周期)解：函數(shù)，延拓后的函數(shù)如下圖由于

8、按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù)因，所以由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，故，2 求函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)并討論其收斂性解：函數(shù)，延拓后的函數(shù)如下圖由于按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù)因，所以由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，故，為所求3 將函數(shù)在上展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)解：函數(shù)，作偶延拓后的函數(shù)如下圖由于按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，故4 將函數(shù)在上展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)解：函數(shù)，作偶延拓后的函數(shù)如下圖由于按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又是奇函數(shù)，故其展開(kāi)式為正弦級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得故在上為所求5 把函數(shù)在上展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)解

9、：函數(shù)，延拓后的函數(shù)如下圖由于按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù)因，所以由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，所以為所求6 把函數(shù)在上展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)，并推出解：函數(shù)，延拓為以為周期的函數(shù)如下圖由于按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù)因，所以由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，所以令得，即7 求下列函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式(1) ；解：函數(shù)是以為周期的函數(shù)如下圖由于按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又是奇函數(shù)，故其展開(kāi)式為正弦級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得所以，(2) 解：函數(shù)是以為周期的函數(shù)如下圖由于按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得，當(dāng)時(shí)，

10、所以，8 試問(wèn)如何把定義在上的可積函數(shù)延拓到區(qū)間內(nèi)，使他們的傅里葉級(jí)數(shù)為如下的形式(1) ； (2) 解：(1)先把延拓到上，方法如下：；再把延拓到上，方法如下：其圖象如下 由于按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得，當(dāng)時(shí)，所以(2) 先把延拓到上，方法如下；再把延拓到上，方法如下其圖象如下 由于按段光滑，所以可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，又是偶函數(shù)，故其展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得，當(dāng)時(shí)，所以§15. 3 收斂定理的證明一基本內(nèi)容一、貝塞爾不等式定理1設(shè)在上可積，則,其中為的傅里葉系數(shù)推論1 設(shè)在上可積，則,推論2 設(shè)在上可積，則，定理2 設(shè)以為周期的

11、函數(shù)在上可積，則，此稱(chēng)為的傅里葉級(jí)數(shù)的部分和的積分表達(dá)式二、收斂性定理的證明定理3 (收斂性定理)設(shè)以為周期的函數(shù)在上按段光滑，則 ，定理4 如果在上有有限導(dǎo)數(shù)，或有有限的兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)，則定理5 如果在按段單調(diào)，則二習(xí)題解答1 設(shè)以為周期且具有二階連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，證明的傅里葉級(jí)數(shù)在上一致收斂于證：由題目設(shè)知與是以為周期的函數(shù)，且光滑，故，且當(dāng)時(shí)，于是由貝塞爾不等式得收斂，又收斂，從而收斂，故在上一致收斂2 設(shè)為上可積函數(shù)，證明：若的傅里葉級(jí)數(shù)在上一致收斂于，則成立貝塞爾(Parseval)等式，這里為的傅里葉系數(shù)證：設(shè)，因?yàn)榈母道锶~級(jí)數(shù)在上一致收斂于，所以，于是而所以時(shí)，故 3 由于貝塞爾等式對(duì)

12、于在上滿(mǎn)足收斂定理?xiàng)l件的函數(shù)也成立請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)結(jié)果證明下列各式(1) ；(2) ； (3) 解：(1)取，由§1習(xí)題3得由貝塞爾等式得，即 (2)取，由§1習(xí)題1 (1)得由貝塞爾等式得，故(3) 取，由§1習(xí)題1 (2)得由貝塞爾等式得，故4 證明：若均為上可積函數(shù)，且他們的傅里葉級(jí)數(shù)在上分別一致收斂于和，則其中為的傅里葉系數(shù)，為的傅里葉系數(shù)證：由題設(shè)知，于是而，所以5 證明若及其導(dǎo)函數(shù)均在上可積,，且成立貝塞爾等式，則證：因?yàn)椤⒃谏峡煞e，設(shè)，由系數(shù)公式得當(dāng)時(shí)，于是由貝塞爾等式得總練習(xí)題151 試求三角多項(xiàng)式 的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式解：因?yàn)槭且詾橹芷诘墓饣瘮?shù)，所以可展為傅里葉級(jí)數(shù)，由系數(shù)公式得，當(dāng)時(shí)，故在，的傅里葉級(jí)數(shù)就是其本身2 設(shè)為上可積函數(shù)，為的傅里葉系數(shù)，試證明，當(dāng)時(shí)，積分取最小值，且最小值為上述是第1題中的三角多項(xiàng)式,為它的傅里葉系數(shù)證：設(shè)，且，因?yàn)?，而，所以故?dāng)時(shí)，積分取最小值，且最小值為3 設(shè)為以周期，且具有二階連續(xù)可微的函數(shù)，若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則證：因?yàn)闉橐灾芷?，且具有二階連續(xù)可微