立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)完整版

1、立體幾何知識(shí)點(diǎn)【考綱解讀】 1、平面的概念及平面的表示法，理解三個(gè)公理及三個(gè)推論的內(nèi)容及作用，初步掌握性質(zhì)與推論的簡(jiǎn)單應(yīng)用。2、空間兩條直線的三種位置關(guān)系，并會(huì)判定。3、平行公理、等角定理及其推論，了解它們的作用，會(huì)用它們來證明簡(jiǎn)單的幾何問題，掌握證明空間兩直線平行及角相等的方法。4、異面直線所成角的定義，異面直線垂直的概念，會(huì)用圖形來表示兩條異面直線，掌握異面直線所成角的范圍，會(huì)求異面直線的所成角。5.理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘;了解空間向量的基本定理，理解空間向量坐標(biāo)的概念，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算;掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)，掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積

2、公式.6.了解多面體、凸多面體、正多面體、棱柱、棱錐、球的概念.掌握棱柱,棱錐的性質(zhì),并會(huì)靈活應(yīng)用,掌握球的表面積、體積公式;能畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)法畫出它們的直觀圖.7.空間平行與垂直關(guān)系的論證. 8. 掌握直線與平面所成角、二面角的計(jì)算方法，掌握三垂線定理及其逆定理，并能熟練解決有關(guān)問題,進(jìn)一步掌握異面直線所成角的求解方法，熟練解決有關(guān)問題.9.理解點(diǎn)到平面、直線和直線、直線和平面、平面和平面距離的概念會(huì)用求距離的常用方法（如：直接法、轉(zhuǎn)化法、向量法）.對(duì)異面直線的距離只要求學(xué)生掌握作出公垂線段或用向量表示的情況）和距離公式計(jì)算距離?！局?/p>

3、識(shí)絡(luò)構(gòu)建】 【重點(diǎn)知識(shí)整合】 1空間幾何體的三視圖(1)正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖；(2)側(cè)視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖；(3)俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖2斜二測(cè)畫水平放置的平面圖形的基本步驟(1)建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox，Oy，建立直角坐標(biāo)系；(2)畫出斜坐標(biāo)系，在畫直觀圖的紙上(平面上)畫出對(duì)應(yīng)的Ox，Oy，使xOy45°(或135°)，它們確定的平面表示水平平面；(3)畫對(duì)應(yīng)圖形，在已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖

4、中畫成平行于x軸，且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形中平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?4)擦去輔助線，圖畫好后，要擦去x軸、y軸及為畫圖添加的輔助線(虛線)3.體積與表面積公式:(1)柱體的體積公式:;錐體的體積公式: ;臺(tái)體的體積公式: ;球的體積公式: . (2)球的表面積公式: .【高頻考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一 空間幾何體與三視圖 1一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在正視圖的 下面，長(zhǎng)度與正視圖的長(zhǎng)度一樣，側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度與正視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣即“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等” 2畫直觀圖時(shí)，與坐標(biāo)軸平行的線段仍平行，與x軸、z軸 平行

5、的線段長(zhǎng)度不變，與y軸平行的線段長(zhǎng)度減半 例1、將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為 ()【方法技巧】該類問題主要有兩種類型：一是由幾何體確定三視圖；二是由三視圖還原成幾何體解決該類問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)投影面及三個(gè)視圖之間的關(guān)系抓住“正側(cè)一樣高，正俯一樣長(zhǎng)，俯側(cè)一樣寬”的特點(diǎn)作出判斷. 考點(diǎn)二 空間幾何體的表面積和體積常見的一些簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積公式： 圓柱的表面積公式：S2r22rl2r(rl)(其中r為底面半徑，l為圓柱的高)； 圓錐的表面積公式：Sr2rlr(rl)(其中r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))； 圓臺(tái)的表面積公式：S(r2r2rlrl)(其中r和r分別

6、為圓臺(tái)的上、下底面半徑，l為母線長(zhǎng))； 柱體的體積公式：VSh(S為底面面積，h為高)；錐體的體積公式：VSh(S為底面面積，h為高)；臺(tái)體的體積公式：V(SS)h(S、S分別為上、下底面面積，h為高)；球的表面積和體積公式：S4R2，VR3(R為球的半徑)例 2、如圖所示，某幾何體的正視圖是平行四邊形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為 () A6 B9C12 D18【方法技巧】1求三棱錐體積時(shí)，可多角度地選擇方法如體積分割、體積差、等積轉(zhuǎn)化法是常用的方法 2與三視圖相結(jié)合考查面積或體積的計(jì)算時(shí)，解決時(shí)先還原幾何體，計(jì)算時(shí)要結(jié)合平面圖形，不要弄錯(cuò)相關(guān)數(shù)量 3求不規(guī)則幾何體的體積常用分

7、割或補(bǔ)形的思想將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解 4對(duì)于組合體的表面積要注意其銜接部分的處理. 考點(diǎn)三 球與空間幾何體的“切”“接”問題1長(zhǎng)方體、正方體的外接球其體對(duì)角線長(zhǎng)為該球的直徑 2正方體的內(nèi)切球其棱長(zhǎng)為球的直徑 3正三棱錐的外接球中要注意正三棱錐的頂點(diǎn)、球心及底面正三角形中心共線 4正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為31. 例3、一個(gè)棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的外接球的表面積為_【方法技巧】1涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問題化歸為平面問題 2若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PAa，PBb，PCc

8、，則4R2a2b2c2(R為球半徑)可采用“補(bǔ)形”法，構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體的外接球去處理 考點(diǎn)四 空間線線、線面位置關(guān)系(1)線面平行的判定定理：a，b，aba. (2)線面平行的性質(zhì)定理：a，a，bab. (3)線面垂直的判定定理： m，n，mnP，lm，lnl. (4)線面垂直的性質(zhì)定理：a，bab. 例4、如圖，在四面體PABC中，PCAB，PABC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是 棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn) (1)求證：DE平面BCP； (2)求證：四邊形DEFG為矩形； (3)是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由 【方法技巧】1證明線線平行常用的兩種方法： (1)

9、構(gòu)造平行四邊形； (2)構(gòu)造三角形的中位線 2證明線面平行常用的兩種方法： (1)轉(zhuǎn)化為線線平行； (2)轉(zhuǎn)化為面面平行 3證明直線與平面垂直往往轉(zhuǎn)化為證明直線與直線垂直而證明直線與直線垂直又需要轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直. 考點(diǎn)五 空間面面位置關(guān)系1面面垂直的判定定理：a，a. 2面面垂直的性質(zhì)定理： ，l，a，ala. 3面面平行的判定定理： a，b，abA，a，b. 4面面平行的性質(zhì)定理： ，a，bab. 5面面平行的證明還有其它方法：，(2)a、a .例5、如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)求證： (1)直線

10、EF平面PCD； (2)平面BEF平面PAD. 【方法技巧】1垂直問題的轉(zhuǎn)化方向 面面垂直線面垂直線線垂直主要依據(jù)有關(guān)定義及判定定理和性質(zhì)定理證明具體如下： (1)證明線線垂直：線線垂直的定義；線面垂直的定義；勾股定理等平面幾何中的有關(guān)定理 (2)證明線面垂直：線面垂直的判定定理；線面垂直的性質(zhì)定理；面面垂直的性質(zhì)定理 (3)證明面面垂直：面面垂直的定義；面面垂直的判定定理 2證明面面平行的常用的方法是利用判定定理，其關(guān)鍵是結(jié)合圖形與條件在平面內(nèi)尋找兩相交直線分別平行于另一平面. 例6、如圖，平面 PAC平面ABC，ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為 PA，PB，AC的中點(diǎn)

11、，AC16，PAPC10. (1)設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG平面BOE； (2)證明：在ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM平面BOE. 【方法技巧】1用向量法來證明平行與垂直，避免了繁雜的推理論證而直接計(jì)算就行了把幾何問題代數(shù)化尤其是正方體、長(zhǎng)方體、直四棱柱中相關(guān)問題證明用向量法更簡(jiǎn)捷但是向量法要求計(jì)算必須準(zhǔn)確無誤 2利用向量法的關(guān)鍵是正確求平面的法向量賦值時(shí)注意其靈活性注意(0,0,0)不能作為法向量. 考點(diǎn)七 利用空間向量求角1向量法求異面直線所成的角：若異面直線a，b的方向向量分別為a，b，異面直線所成的角為，則cos|cosa，b|.2向量法求線面所成的角：求出平面的法向量n，直線的方向向量

12、a，設(shè)線面所成的角為，則sin|cosn，a|.3向量法求二面角：求出二面角l的兩個(gè)半平面與的法向量n1，n2，若二面角l所成的角為銳角，則cos|cosn1，n2|；若二面角l所成的角為鈍角，則cos|cosn1，n2|.例7、如圖，在四棱錐PABCD中， PA平面ABCD，底面ABCD是菱形， AB2，BAD60°. (1)求證：BD平面PAC； (2)若PAAB，求PB與AC所成角的余弦值； (3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng) 考點(diǎn)八 利用空間向量解決探索性問題利用空間向量解決探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜繁難的作圖、論證、推理，只須通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷，在解題過程中

13、，往往把“是否存在”問題，轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，可以使問題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法例8、如圖，在三棱錐 PABC中，ABAC，D為BC的中點(diǎn)， PO平面ABC，垂足O落在線段AD上 已知BC8，PO4，AO3，OD2. (1)證明：APBC； (2)在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角AMCB為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由 【難點(diǎn)探究】難點(diǎn)一空間幾何體的表面積和體積例1、（1）一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A48 B328C488 D80(2)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A12 B1

14、8C942 D3618難點(diǎn)二 球與多面體例 2、已知球的直徑SC4，A，B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB，ASCBSC30°，則棱錐SABC的體積為()A3 B2 C. D1【解題規(guī)律與技巧】【歷屆高考真題】【2012年高考試題】一、選擇題1.【2012高考真題新課標(biāo)理7】如圖，格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ） 2.【2012高考真題浙江理10】已知矩形ABCD，AB=1，BC=。將沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折，在翻折過程中。A.存在某個(gè)位置，使得直線AC與直線BD垂直.B.存在某個(gè)位置，使得直線AB與直線CD垂直.C.存在某個(gè)位置，使

15、得直線AD與直線BC垂直.D.對(duì)任意位置，三對(duì)直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直3.【2012高考真題新課標(biāo)理11】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上，是邊長(zhǎng)為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為（ ） 4.【2012高考真題四川理6】下列命題正確的是（ ）A、若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行B、若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C、若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D、若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行5.【2012高考真題四川理10】如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內(nèi)，過點(diǎn)

16、作平面的垂線交半球面于點(diǎn)，過圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點(diǎn)為，該交線上的一點(diǎn)滿足，則、兩點(diǎn)間的球面距離為（ ）A、 B、 C、 D、6.【2012高考真題陜西理5】如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱，則直線與直線夾角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 【答案】A.【解析】設(shè)，則，故選A.7.【2012高考真題湖南理3】某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是 （ ）9.【2012高考真題廣東理6】某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為A12 B.45 C.57 D.81【答案】C【解析】該幾何體的上部是一個(gè)圓錐，下部是一個(gè)圓柱，根

17、據(jù)三視圖中的數(shù)量關(guān)系，可得故選C10.【2012高考真題福建理4】一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是 （ ）A.球 B.三棱柱 C.正方形 D.圓柱11.【2012高考真題重慶理9】設(shè)四面體的六條棱的長(zhǎng)分別為1，1，1，1，和，且長(zhǎng)為的棱與長(zhǎng)為的棱異面，則的取值范圍是（A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】因?yàn)閯t，選A，12.【2012高考真題北京理7】某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（ ）A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12 【答案】B【解析】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，圖中藍(lán)色數(shù)字所

18、表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長(zhǎng)度，黑色數(shù)字代表通過勾股定理的計(jì)算得到的邊長(zhǎng)。本題所求表面積應(yīng)為三棱錐四個(gè)面的面積之和，利用垂直關(guān)系和三角形面積公式，可得：，因此該幾何體表面積，故選B。13.【2012高考真題全國(guó)卷理4】已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E為CC1的中點(diǎn)，則直線AC1與平面BED的距離為 （ ）A 2 B C D 1二、填空14.【2012高考真題浙江理11】已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該三棱錐的體積等于_cm3.【答案】1【解析】觀察三視圖知該三棱錐的底面為一直角三角形，右側(cè)面也是一直角三角形故體積等于15.【2012

19、高考真題四川理14】如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是_。 16.【2012高考真題遼寧理13】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為_?！敬鸢浮?8【解析】由三視圖可知該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體在中間挖去了一個(gè)等高的圓柱，其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4、3、1，圓柱的底面直徑為2，所以該幾何體的表面積為長(zhǎng)方體的表面積加圓柱的側(cè)面積再減去圓柱的底面積，即為17.【2012高考真題山東理14】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為線段上的點(diǎn)，則三棱錐的體積為_.18.【2012高考真題遼寧理16】已知正三棱錐ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為的求面上，若PA，PB，PC兩

20、兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為_?！敬鸢浮俊窘馕觥恳?yàn)樵谡忮FABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，所以可以把該正三棱錐看作為一個(gè)正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對(duì)角線為球的直徑，球心為正方體對(duì)角線的中點(diǎn)。球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的高。已知球的半徑為，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為19.【2012高考真題上海理8】若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為 。20.【2012高考真題上海理14】如圖，與是四面體中互相垂直的棱，若，且，其中、為常數(shù)

21、，則四面體的體積的最大值是 。【答案】?！窘馕觥窟^點(diǎn)A做AEBC，垂足為E，連接DE，由ADBC可知，BC平面ADE，所以=，當(dāng)AB=BD=AC=DC=a時(shí)，四面體ABCD的體積最大。過E做EFDA，垂足為點(diǎn)F，已知EA=ED，所以ADE為等腰三角形，所以點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，又，EF=，=，四面體ABCD體積的最大值=。21.【2012高考江蘇7】（5分）如圖，在長(zhǎng)方體中，則四棱錐的體積為 cm322.【2012高考真題安徽理12】某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是【答案】92【解析】該幾何體是底面是直角梯形，高為的直四棱柱，幾何體的表面積是23.【2012高考真題天津理10】一個(gè)幾何

22、體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為_m3. 24.【2012高考真題全國(guó)卷理16】三菱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等， BAA1=CAA1=60°則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_.【答案】【解析】如圖設(shè)設(shè)棱長(zhǎng)為1，則，因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等，且所以，所以， ，設(shè)異面直線的夾角為，所以.三、解答題27.【2012高考真題湖北理19】（本小題滿分12分）如圖1，過動(dòng)點(diǎn)A作，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿將折起，使（如圖2所示） （）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐的體積最大；（）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)，分別為棱，的中點(diǎn)，試在棱上確定一

23、點(diǎn)，使得，并求與平面所成角的大小DABCACDB圖2圖1ME.·第19題圖 解法2：同解法1，得 令，由，且，解得Z,xx,k.Com當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)，取得最大值故當(dāng)時(shí), 三棱錐的體積最大 CADB圖aEMxyz圖bCADBEFMN 圖cBDPCFNEBGMNEH圖d第19題解答圖N 故與平面所成角的大小為 解法2：由（）知，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，如圖b，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則.由（）知平面，所以平面.如圖c，延長(zhǎng)至P點(diǎn)使得，連，則四邊形為正方形，所以. 取的中點(diǎn)，連結(jié)，又為的中點(diǎn)，則，所以. 因?yàn)槠矫?，又面，所? 又，所以面. 又面，所以.因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，而點(diǎn)F是唯一的，所以點(diǎn)

24、是唯一的.即當(dāng)（即是的靠近點(diǎn)的一個(gè)四等分點(diǎn)）， 連接，由計(jì)算得，所以與是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形，如圖d所示，取的中點(diǎn)，連接，則平面在平面中，過點(diǎn)作于，則平面故是與平面所成的角 在中，易得，所以是正三角形，故，即與平面所成角的大小為 28.【2012高考真題新課標(biāo)理19】（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，（1）證明：（2）求二面角的大小.29.【2012高考江蘇16】（14分）如圖，在直三棱柱中，分別是棱上的點(diǎn)（點(diǎn) 不同于點(diǎn)），且為的中點(diǎn)求證：（1）平面平面； （2）直線平面【解析】（1）要證平面平面，只要證平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和證得。 （2）要證直線平面

25、，只要證平面上的即可。32.【2012高考真題北京理16】（本小題共14分） 如圖1，在RtABC中，C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DEBC，DE=2，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD,如圖2.(I)求證：A1C平面BCDE；(II)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大??；(III)線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由【答案】解：（1），平面，又平面，又，平面。（2）如圖建系，則，,設(shè)平面法向量為則 又，與平面所成角的大小。33.【2012高考真題浙江理20】(本小題滿分15分)如圖，在四棱

26、錐PABCD中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且BAD120°，且PA平面ABCD，PA，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)()證明：MN平面ABCD；() 過點(diǎn)A作AQPC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角AMNQ的平面角的余弦值【答案】()如圖連接BDM，N分別為PB，PD的中點(diǎn)，在PBD中，MNBD又MN平面ABCD，MN平面ABCD；()如圖建系：A(0，0，0)，P(0，0，)，M(，0)，N(，0，0)，C(，3，0)設(shè)Q(x，y，z)，則，由，得： 即：40.【2012高考真題湖南理18】（本小題滿分12分）如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=A

27、BC=90°，E是CD的中點(diǎn).（）證明：CD平面PAE；（）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.由知，為直線與平面所成的角.由題意，知因?yàn)樗杂伤运倪呅问瞧叫兴倪呅?，故于是在中，所以于是又梯形的面積為所以四棱錐的體積為解法2：如圖（2），以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則相關(guān)的各點(diǎn)坐標(biāo)為：由（）知，由故解得.又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為 .【2011年高考試題】一、選擇題:1. (2011年高考山東卷理科11)下圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形給定下列三個(gè)命題：存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如

28、下圖；存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖；存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如下圖其中真命題的個(gè)數(shù)是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0【答案】A【解析】對(duì)于,可以是放倒的三棱柱；容易判斷可以.4.(2011年高考安徽卷理科6)一個(gè)空間幾何體得三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 （A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80【答案】C【解析】由三視圖可知幾何體是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底為2，下底為4，高為4，。故5.(2011年高考遼寧卷理科8)如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）(A) ACSB (B)

29、 AB平面SCD (C) SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角 (D)AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角8(2011年高考江西卷理科8)已知，是三個(gè)相互平行的平面平面，之間的距離為，平面，之間的距離為直線與，分別相交于，那么“=”是“”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】C【解析】過點(diǎn)作平面的垂線g,交平面，分別于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知,所以,故選C.332正視圖側(cè)視圖俯視圖圖19. (2011年高考湖南卷理科3)設(shè)圖1是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 A. B. C. D. 答案：B解析：由三視

30、圖可以還原為一個(gè)底面為邊長(zhǎng)是3的正方形，高為2的長(zhǎng)方體以及一個(gè)直徑為3的球組成的簡(jiǎn)單幾何體，其體積等于。故選B10.(2011年高考廣東卷理科7)如圖l3某幾何體的正視圖(主視圖)是平行四邊形，側(cè)視圖(左視圖)和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為（ ） A. B. C. D.【解析】B.由題得三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖是如圖所示的直四棱柱，。所以選B11.(2011年高考陜西卷理科5)某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是（A）（B） （C）（D）【答案】A12.(2011年高考重慶卷理科9)高為的四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，點(diǎn)S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD

31、的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為（A） （B） （C）1 （D）解析：選C. 設(shè)底面中心為G，球心為O，則易得，于是，用一個(gè)與ABCD所在平面距離等于的平面去截球，S便為其中一個(gè)交點(diǎn)，此平面的中心設(shè)為H，則，故，故15. (2011年高考全國(guó)卷理科11)已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成，二面角的平面截該球面得圓N，若該球的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為 (A) (B) (c) (D)【答案】D【解析】由圓的面積為得，在 故選D 二、填空題:1.(2011年高考遼寧卷理科15)一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)相等，體積為，它的三視圖中的俯視圖如右圖所示，左視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形的面積

32、是_.2. (2011年高考全國(guó)新課標(biāo)卷理科15)已知矩形的頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，且,則棱錐的體積為 。答案: 解析：如圖，連接矩形對(duì)角線的交點(diǎn)和球心,則，,四棱錐的高為,所以，體積為3(2011年高考天津卷理科10)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則這個(gè)幾何體的體積為_ 4. (2011年高考四川卷理科15)如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，求球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是 . 答案： 解析：時(shí)，則三、解答題:1. (2011年高考山東卷理科19)（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形， ACB=，平面，EF，.

33、=.（)若是線段的中點(diǎn)，求證：平面;（）若=,求二面角-的大小【解析】（)連結(jié)AF,因?yàn)镋F，EF=F,所以平面EFG平面ABCD,又易證,所以,即,即,又M為AD的中點(diǎn),所以,又因?yàn)镈，所以M,所以四邊形AMGF是平行四邊形,故GMFA,又因?yàn)槠矫?FA平面,所以平面.（）取AB的中點(diǎn)O,連結(jié)CO,因?yàn)?所以COAB,又因?yàn)槠矫?，CO平面,所以CO,又AB=A,所以CO平面,在平面ABEF內(nèi),過點(diǎn)O作OHBF于H,連結(jié)CH,由三垂線定理知: CHBF,所以為二面角-的平面角.設(shè)=,因?yàn)?#160;ACB=，=,CO=,連結(jié)FO,容易證得FOEA且,所以,所以O(shè)H=,所以在中,tan 

34、;CHO=,故 CHO=,所以二面角-的大小為.2.(2011年高考浙江卷理科20)（本題滿分15分）如圖，在三棱錐中，D為BC的中點(diǎn)，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（）證明：APBC；（）在線段AP上是否存在點(diǎn)M，使得二面角A-MC-為直二面角？若存在，求出AM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由。平面的法向量 由 得 即 ，可取 由即得可取，由得解得 ，故 綜上所述，存在點(diǎn)M 符合題意，從而，所以綜上所述，存在點(diǎn)M 符合題意，.5. (2011年高考全國(guó)新課標(biāo)卷理科18) (本小題滿分12分)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD. ()證明：PABD；()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。8(2011年高考湖南卷理科19)（本小題滿分12分）如圖5，在圓錐中，已知=，O的直徑,是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)（）證明：平面 平面;（）求二面角的余弦值.解法1：連結(jié)OC，因?yàn)橛值酌鍻，AC底面O，所以，因?yàn)镺D，PO是平面POD