定積分的幾何應(yīng)用

1、三、已知平行截面面積函數(shù)的三、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積第二節(jié)一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd例例1. 計(jì)算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍圖形的面積 .

2、xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy 22xy 得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxy22oy4 xy例例2. 計(jì)算拋物線xy22與直線的面積 . 解解: 由xy224 xy得交點(diǎn))4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,則有yyyd42A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 abxoyx例例3. 求橢圓12222byax解解: 利用對(duì)稱性 , xyAdd所圍圖形的面積 .

3、有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程cos(0)sin2xattybt 應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxd如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程( )( )xtyt曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積21( )( ).ttAtt dt(思考思考)例例4. 求由擺線)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin4204

4、2)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyoa2二、平行截面面積已知的立體體積二、平行截面面積已知的立體體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xabxxxd)(xA上連續(xù), 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)旋轉(zhuǎn)

5、體的體積xyoabxyoab)(xfy 特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段2)(xf軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí), 有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當(dāng)考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ayxb例例5. 計(jì)算由橢圓12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則xxaabad)(220222(利用對(duì)稱性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x另利用參數(shù)方程求體積（自己驗(yàn)

6、證）方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos則xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)b = a 時(shí), 就得半徑為a 的球體的體積.343a機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,并與底面交成 角,222Ryx解解: 如圖所示取坐標(biāo)系, 則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 oRxyxoRxy思考思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程21d)()(