八年級上冊教案

1、11.2與三角形有關的角11.2.1三角形的內角【教學目標】知識與技能掌握三角形內角和定理.過程與方法在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中,發(fā)展學生的合情推理能力,逐步養(yǎng)成數學推理的習慣.情感、態(tài)度與價值觀體會數學與現實生活的聯系,增強克服困難的勇氣和信心.【教學重難點】重點:三角形內角和定理.難點:三角形內角和定理的證明.【教學過程】一、導入新課我們在小學就知道三角形內角和等于180°,這個結論是通過實驗得到的,這個命題是不是真命題還需要證明,怎樣證明呢?三角形內角和的證明回顧我們小學做過的實驗,你是怎樣操作的?把一個三角形的兩個角剪下拼在第三個角的頂點處,如圖(1)用量角器量出B

2、CD的度數,可得到A+B+ACB=180°.投影圖(1)想一想,還可以怎樣拼?把B和C剪下按圖(2)拼在一起,可得到A+B+ABC=180°.圖(2)如果把上面移動的角在圖上進行轉移,由圖(1)你能想到證明三角形內角和等于180°的方法嗎?已知ABC,求證:A+B+C=180°.證明:過點C作CMAB,則A=ACM,B=DCM.又ACB+ACM+DCM=180°,A+B+ACB=180°.即:三角形的內角和等于180°.由圖2、圖3你又能想到什么證明方法?請說說證明過程.二、例題例:如圖是A、B、C三島的平面圖,C島在A島的

3、北偏東50°方向,B島在A島的北偏東80°方向,C島在B島的北偏西40°方向,從C島看A、B兩島的視角ACB是多少度?【分析】怎樣能求出ACB的度數?根據三角形內角和定理,只需求出CAB和CBA的度數即可.CAB等于多少度?怎樣求CBA的度數?解:CAB=BAD-CAD=80°-50°=30°.ADBE,BAD+ABE=180°,ABE=180°-BAD=180°-80°=100°,ABC=ABE-EBC=100°-40°=60°,ACB=180°

4、;-ABC-CAB=180°-60°-30°=90°.答:從C島看A、B兩島的視角ACB是90°.三、課堂練習課本13頁練習第1、2題.四、布置作業(yè)課本16頁習題11.2第1、3、4題.11.2.2三角形的外角【教學目標】知識與技能1.理解三角形的外角.2.掌握三角形外角的性質,能利用三角形外角的性質解決問題.過程與方法在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中,發(fā)展學生的合情推理能力,逐步養(yǎng)成數學推理的習慣.情感、態(tài)度與價值觀體會數學與現實生活的聯系,增強克服困難的勇氣和信心.【教學重難點】重點:三角形的外角和三角形外角的性質.難點:理解三角形的外

5、角.【教學過程】一、導入新課投影1如圖,ABC的三個內角是什么?它們有什么關系?是A、B、C,它們的和是180°.若延長BC至D,則ACD是什么角?這個角與ABC的三個內角有什么關系?三角形外角的概念ACD叫做ABC的外角.像這樣,三角形一邊與另一邊的延長線組成的角,叫做三角形的外角.想一想,三角形的外角共有幾個?共有六個.注意:每個頂點處有兩個外角,它們是對頂角.研究與三角形外角有關的問題時,通常每個頂點處取一個外角.三角形外角的性質容易知道,三角形的外角ACD與相鄰的內角ACB是鄰補角,那與另外兩個角有怎樣的數量關系呢?投影2如圖,這是我們證明三角形內角和定理時畫的輔助線,你能就

6、此圖說明ACD與A、B的關系嗎?解:CEAB,A=1,B=2.又ACD=1+2,ACD=A+B.你能用文字語言敘述這個結論嗎?三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.由加數與和的關系你還能知道什么?三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角,即ACD>A,ACD>B.二、例題投影3例:如圖,1、2、3是三角形ABC的三個外角,它們的和是多少?【分析】1與BAC、2與ABC、3與ACB有什么關系?BAC、ABC、ACB有什么關系?解:1+BAC=180°,2+ABC=180°,3+ACB=180°,1+BAC+2+ABC+3+ACB=540

7、76;.又BAC+ABC+ACB=180°,1+2+3=360°.你能用語言敘述本例的結論嗎?三角形外角的和等于360°.三、課堂練習課本15頁練習.四、課堂小結1.什么是三角形外角?2.三角形的外角有哪些性質?五、布置作業(yè)課本16頁5題 、17頁6題.11.3多邊形及其內角和11.3.1多邊形【教學目標】知識與技能(1)了解多邊形及有關概念,理解正多邊形的概念.(2)區(qū)別凸多邊形與凹多邊形.過程與方法在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中,發(fā)展學生的合情推理能力,逐步養(yǎng)成數學推理的習慣.情感、態(tài)度與價值觀體會數學與現實生活的聯系,增強克服困難的勇氣和信心.【教學重

8、難點】重點:多邊形及有關概念、正多邊形的概念.難點:區(qū)別凸多邊形與凹多邊形.【教學過程】一、情景導入投影1看下面的圖片,你能從中找出由一些線段圍成的圖形嗎?多邊形及有關概念這些圖形有什么特點?由幾條線段組成;它們不在同一條直線上;首尾順次相接.這種在平面內,由一些不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.多邊形按組成它的線段的條數分成三角形、四邊形、五邊形、n邊形.這就是說,一個多邊形由幾條線段組成,就叫做幾邊形,三角形是最簡單的多邊形.與三角形類似地,多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內角,如圖中的A、B、C、D、E.多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.如圖中

9、的1是五邊形ABCDE的一個外角.投影2連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段,叫做多邊形的對角線.四邊形有幾條對角線?五邊形有幾條對角線?畫圖看看.你能猜想n邊形有多少條對角線嗎?說說你的想法.n邊形有n(n-3)條對角線.因為從n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線,n個頂點共引n(n-3)條對角線,又由于連接任意兩個頂點的兩條對角線是相同的,所以,n邊形有1/2n(n-3)條對角線.凸多邊形和凹多邊形投影3如圖,下面的兩個多邊形有什么不同?在圖(1)中,畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在的直線,整個圖形都在這條直線的同一側,這樣的四邊形叫做凸四邊形,這樣的多邊形稱為凸多邊形;而圖(2)就不滿

10、足上述凸多邊形的特征,因為我們畫BD所在直線,整個多邊形不都在這條直線的同一側,我們稱它為凹多邊形.注意:今后我們討論的多邊形指的都是凸多邊形.正多邊形的概念我們知道,等邊三角形、正方形的各個角都相等,各條邊都相等,像這樣各個角都相等,各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.投影4下面是正多邊形的一些例子.二、課堂練習課本21頁練習第1、2題.3.有五個人在告別的時候相互各握了一次手,他們共握了多少次手?你能找到一個幾何模型來說明嗎?三、課堂小結1.多邊形及有關概念.2.區(qū)別凸多邊形和凹多邊形.3.正多邊形的概念.4.n邊形對角線有1/2n(n-3)條.四、布置作業(yè)課本24頁習題11.3第1題.11

11、.3.2多邊形的內角和【教學目標】知識與技能1.了解多邊形的內角、外角等概念.2.能通過不同方法探索多邊形的內角和與外角和公式,并會應用它們進行有關計算.過程與方法在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中,發(fā)展學生的合情推理能力,逐步養(yǎng)成數學推理的習慣.情感、態(tài)度與價值觀體會數學與現實生活的聯系,增強克服困難的勇氣和信心.【教學重難點】重點:多邊形的內角和與多邊形的外角和公式. 難點:多邊形的內角和定理的推導.【教學過程】一、復習導入我們已經證明了三角形的內角和為180°,在小學我們用量角器量過四邊形的內角的度數,知道四邊形的內角和為360°,現在你能利用三角形的內角和定理證明

12、嗎?多邊形的內角和投影1如圖,從四邊形的一個頂點出發(fā)可以引幾條對角線?它們將四邊形分成幾個三角形?那么四邊形的內角和等于多少度?可以引一條對角線;它將四邊形分成兩個三角形;因此,四邊形的內角和=ABD的內角和+BDC的內角和=2×180°=360°.類似地,你能知道五邊形、六邊形n邊形的內角和是多少度嗎?投影2觀察下面的圖形,填空:從五邊形一個頂點出發(fā)可以引對角線,它們將五邊形分成三角形,五邊形的內角和等于; 從六邊形一個頂點出發(fā)可以引對角線,它們將六邊形分成三角形,六邊形的內角和等于; 投影3從n邊形一個頂點出發(fā),可以引對角線,它們將n邊形分

13、成三角形,n邊形的內角和等于. n邊形的內角和等于(n一2)·180°.從上面的討論我們知道,求n邊形的內角和可以將n邊形分成若干個三角形來求.現在以五邊形為例,你還有其它的分法嗎?分法一如圖1,在五邊形ABCDE內任取一點O,連結OA、OB、OC、OD、OE,則得五個三角形.分法二如圖2,在邊AB上取一點O,連OE、OD、OC,則可以(5-1)個三角形.如果把五邊形換成n邊形,用同樣的方法可以得到n邊形內角和=(n-2)×180°.二、例題投影6例1:如果一個四邊形的一組對角互補,那么另一組對角有什么關系?如圖,已知四邊形ABCD中,A+C=

14、180°,求B與D的關系.【分析】A、B、C、D有什么關系? 投影7例2:如圖,在六邊形的每個頂點處各取一個外角,這些外角的和叫做六邊形的外角和.六邊形的外角和等于多少?如圖,已知1,2,3,4,5,6分別為六邊形ABCDEF的外角,求1+2+3+4+5+6的值.【分析】多邊形的一個外角同與它相鄰的內角有什么關系?六邊形的外角和是多少度?如果把六邊形換成n邊形可以得到同樣的結果:n邊形的外角和等于360°. 投影8如圖,從多邊形的一個頂點A出發(fā),沿多邊形各邊走過各頂點,再回到A點,然后轉向出發(fā)時的方向,在行程中所轉的各個角的和就是多邊形的外角和,由于走了一周,所得的各個角的

15、和等于一個周角,所以多邊形的外角和等于360°.三、課堂練習課本24頁習題11.3第2、3題.四、課堂小結n邊形的內角和是多少度?n邊形的外角和是多少度?五、布置作業(yè) 課本24頁第2、3題.第十三章軸對稱13.1軸對稱13.1.1軸對稱第1課時【教學目標】知識與技能1.在生活實例中認識軸對稱圖.2.分析軸對稱圖形,理解軸對稱的概念、軸對稱圖形的概念.過程與方法1.在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中,發(fā)展學生的合情推理能力,逐步養(yǎng)成數學推理的習慣.2.在靈活運用知識解決有關問題的過程中,體驗并掌握探索、歸納圖形性質的推理方法,進一步說理和進行簡單推理的能力.情感、態(tài)度與價值觀1.體會

16、數學與現實生活的聯系,增強克服困難的勇氣和信心.2.會應用數學知識解決一些簡單的實際問題,增強應用意識.3.使學生進一步形成數學來源于實踐,反過來又服務于實踐的辯證唯物主義觀點.【教學重難點】重點:理解軸對稱的概念.難點:能夠識別軸對稱圖形并找出它的對稱軸.【教學過程】一、創(chuàng)設情境,引入新課1.舉實例說明對稱的重要性和生活中充滿著對稱.2.對稱給我們帶來多少美的感受!初步掌握對稱的奧秒,不僅可以幫助我們發(fā)現一些圖形的特征,還可以使我們感受到自然界的美與和諧.3.軸對稱是對稱中重要的一種,讓我們一起走進軸對稱世界,探索它的秘密吧!二、導入新課1.觀察:幾幅圖片(出示圖片),觀察它們都有些什么共同

17、特征.強調:對稱現象無處不在,從自然景觀到分子結構,從建筑物到藝術作品,甚至日常生活用品,人們都可以找到對稱的例子.練習:從學生生活周圍的事物中來找一些具有對稱特征的例子.2.觀察:如圖13.1.2,把一張紙對折,剪出一個圖案(折痕處不要完全剪斷),再打開這張對折的紙,就剪出了美麗的窗花.你能發(fā)現它們有什么共同的特點嗎?3.如果一個圖形沿一直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個圖形就叫做軸對稱圖形,這條直線就是它的對稱軸.我們也說這個圖形關于這條直線(成軸)對稱.4.動手操作:取一張質地較硬的紙,將紙對折,并用小刀在紙的中央隨意刻出一個圖案,將紙打開后鋪平,你得到兩個成軸對稱的圖案了嗎?歸

18、納小結:由此我們進一步了解了軸對稱圖形的特征:一個圖形沿一條直線折疊后,折痕兩側的圖形完全重合.5.練習:你能找出它們的對稱軸嗎?分小組討論.思考:大家想一想,你發(fā)現了什么?小結得出:.像這樣,把一個圖形沿著某一條直線折疊,如果它能夠與另一個圖形重合,那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱,這條直線叫做對稱軸,折疊后重合的點是對應點,叫做對稱點.三、隨堂練習課本60頁練習.四、課時小結這節(jié)課我們主要認識了軸對稱圖形,了解了軸對稱圖形及有關概念,進一步探討了軸對稱的特點,區(qū)分了軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱.五、課后作業(yè)課本64頁習題13.1的第1、2題.第2課時【教學目標】知識與技能1.了解兩個圖形

19、成軸對稱性的性質,了解軸對稱圖形的性質.2.探究線段垂直平分線的性質.過程與方法1.在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中,發(fā)展學生的合情推理能力,逐步養(yǎng)成數學推理的習慣.2.在靈活運用知識解決有關問題的過程中,體驗并掌握探索、歸納圖形性質的推理方法,進一步說理和進行簡單推理的能力.情感、態(tài)度與價值觀1.體會數學與現實生活的聯系,增強克服困難的勇氣和信心.2.會應用數學知識解決一些簡單的實際問題,增強應用意識.【教學重難點】重點:軸對稱的性質,線段垂直平分線的性質.難點:1.軸對稱的性質.2.線段垂直平分線的性質.3.體驗軸對稱的特征.【教學過程】一、創(chuàng)設情境,引入新課1.什么樣的圖形是軸對稱圖

20、形呢?2.軸對稱圖形有哪些性質,從圖形中能得到結論?二、導入新課1.如圖,ABC和A'B'C'關于直線MN對稱,點A'、B'、C'分別是點A、B、C對稱點,線段AA'、BB'、CC'與直線MN有什么關系?為什么?(學生思考并做小范圍討論)對稱軸所在直線經過對稱點所連線段的中點,并且垂直于這條線段.我們把經過線段中點并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.2.畫一個軸對稱圖形,并找出兩對稱點,看一下對稱軸和兩對稱點連線的關系.3.對稱軸所在直線經過對稱點所連線段的中點,并且垂直于這條線段.歸納圖形軸對稱的性質:如

21、果兩個圖形關于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線.類似地,軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線.下面我們來探究線段垂直平分線的性質.探究1如圖,木條L與AB釘在一起,L垂直平分AB,P1,P2,P3,是L上的點,分別量一量點P1,P2,P3,到A與B的距離,你有什么發(fā)現?證法一:利用判定兩個三角形全等.如圖,在APC和BPC中,APCBPCPA=PB.證法二:利用軸對稱性質.由于點C是線段AB的中點,將線段AB沿直線L對折,線段PA與PB是重合的,因此它們也是相等的.帶著探究1的結論我們來看下面的問題.探究2如圖,用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋,做

22、一個簡易的“弓”,“箭”通過木棒中央的孔射出去,怎么才能保持出箭的方向與木棒垂直呢?為什么?探究結論:與一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.上述兩個探究問題的結果就給出了線段垂直平分線的性質,即:線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等;反過來,與這條線段兩個端點距離相等的點都在它的垂直平分線上.所以線段的垂直平分線可以看成是與線段兩端點距離相等的所有點的集合.三、隨堂練習如圖,AB=AC,MB=MC.直線AM是線段BC的垂直平分線嗎?四、課時小結這節(jié)課通過探索軸對稱圖形對稱性的過程,了解了線段的垂直平分線的有關性質,同學們應靈活運用這些性質來解決問題.五、課后作業(yè)

23、課本65頁習題13.1的第3、4題.13.1.2線段的垂直平分線的性質【教學目標】知識與技能1.探索作出軸對稱圖形的對稱軸的方法.掌握軸對稱圖形對稱軸的作法.2.在探索的過程中,培養(yǎng)學生分析、歸納的能力.過程與方法1.在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中,發(fā)展學生的合情推理能力,逐步養(yǎng)成數學推理的習慣.2.在靈活運用知識解決有關問題的過程中,體驗并掌握探索、歸納圖形性質的推理方法,進一步說理和進行簡單推理的能力.情感、態(tài)度與價值觀1.體會數學與現實生活的聯系,增強克服困難的勇氣和信心.2.會應用數學知識解決一些簡單的實際問題,增強應用意識.【教學重難點】重點:軸對稱圖形對稱軸的作法.難點:探索

24、軸對稱圖形對稱軸的作法.【教學過程】一、提出問題,引入新課1.有時我們感覺兩個圖形是軸對稱的,如何驗證呢?不折疊圖形,你能比較準備地作出軸對稱圖形的對稱軸嗎?2.軸對稱圖形性質.如果兩個圖形關于某條直線對稱,那么對稱軸是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線.軸對稱圖形的對稱軸,是任何一對對稱點所連線段的垂直平分線.3.找到一對對應點,作出連結它們的線段的垂直平分線,就可以得到這兩個圖形的對稱軸了.4.問題:如何作出線段的垂直平分線?二、導入新課要作出線段的垂直平分線,根據垂直平分線的判定定理,到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上,又由兩點確定一條直線這個公理,那么必須找到兩個到線段兩

25、端點距離相等的點,這樣才能確定已知線段的垂直平分線.例1:如圖(1),點A和點B關于某條直線成軸對稱,你能作出這條直線嗎?已知:線段AB如圖(1).求作:線段AB的垂直平分線.作法:如圖(2)(1)分別以點A、B為圓心,以大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于C和D兩點;(2)作直線CD.直線CD就是線段AB的垂直平分線.例2:圖中的五角星有幾條對稱軸?作出這些對稱軸.作法:1.找出五角星的一對對應點A和A',連接AA'.2.作出線段AA'的垂直平分線L.則L就是這個五角星的一條對稱軸.用同樣的方法,可以找出五條對稱軸,所以五角星有五條對稱軸.三、隨堂練習如圖,與圖形A成軸

26、對稱的是哪個圖形?畫出它們的對稱軸.ABCD答案:與A成軸對稱的是圖形D(或B).四、課時小結本節(jié)課我們探討了尺規(guī)作圖,作出線段的垂直平分線.并據此得到作出一個軸對稱圖形一條對稱軸的方法:找出軸對稱圖形的任意一對對應點,連接這對對應點,作出連線的垂直平分線,該垂直平分線就是這個軸對稱圖形的一條對稱軸.五、課后作業(yè)課本65頁習題13.1的第5、10、11、12題.13.3.1等腰三角形第1課時【教學目標】教學知識點1.等腰三角形的概念.2.等腰三角形的性質.3.等腰三角形的概念及性質的應用.情感與價值觀要求通過學生的操作和思考,使學生掌握等腰三角形的相關概念,并在探究等腰三角形性質的過程中培養(yǎng)學

27、生認真思考的習慣.【教學重難點】重點:1.等腰三角形的概念及性質.2.等腰三角形性質的應用.難點:等腰三角形三線合一的性質的理解及其應用.【教學過程】一、提出問題,創(chuàng)設情境師:在前面的學習中,我們認識了軸對稱圖形,探究了軸對稱的性質,并且能夠作出一個簡單平面圖形關于某一直線的軸對稱圖形,還能夠通過軸對稱變換來設計一些美麗的圖案.這節(jié)課我們就是從軸對稱的角度來認識一些我們熟悉的幾何圖形.來研究:三角形是軸對稱圖形嗎?什么樣的三角形是軸對稱圖形?生有的三角形是軸對稱圖形,有的三角形不是.師:那什么樣的三角形是軸對稱圖形?生滿足軸對稱的條件的三角形就是軸對稱圖形,也就是將三角形沿某一條直線對折后兩部

28、分能夠完全重合的就是軸對稱圖形.師:很好,我們這節(jié)課就來認識一種成軸對稱圖形的三角形等腰三角形.二、導入新課師:同學們通過自己的思考來做一個等腰三角形.,同學們來想一想.1.等腰三角形是軸對稱圖形嗎?請找出它的對稱軸.2.等腰三角形的兩底角有什么關系?3.頂角的平分線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎?4.底邊上的中線所在的直線是等腰三角形的對稱軸嗎?底邊上的高所在的直線呢?師:.現在同學們來歸納等腰三角形的性質.生我沿等腰三角形的頂角的平分線對折,發(fā)現它兩旁的部分互相重合,由此可知這個等腰三角形的兩個底角相等,而且還可以知道頂角的平分線既是底邊上的中線,也是底邊上的高.師:很好,我們來總結等腰

29、三角形的性質:1.等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”).2.等腰三角形的頂角平分線,底邊上的中線、底邊上的高互相重合(通常稱作“三線合一”).師:由上面折疊的過程獲得啟發(fā),我們可以通過作出等腰三角形的對稱軸,得到兩個全等的三角形,從而利用三角形的全等來證明這些性質.同學們現在就動手來寫出這些證明過程).生甲如右圖,在ABC中,AB=AC,作底邊BC的中線AD,因為所以BADCAD(SSS).所以B=C.生乙如右圖,在ABC中,AB=AC,作頂角BAC的角平分線AD,因為所以BADCAD(SAS),所以BD=CD,BDA=CDA=BDC=90°.師:很好,甲、乙兩同學給出了

30、等腰三角形兩個性質的證明,過程也寫得很條理、很規(guī)范.下面我們來看例題.例:如圖,在ABC中,AB=AC,點D在AC上,且BD=BC=AD,求ABC各角的度數.師:同學們先思考一下,我們再來分析這個題.生根據等邊對等角的性質,我們可以得到A=ABD,ABC=C=BDC,再由BDC=A+ABD,就可得到ABC=C=BDC=2A.再由三角形內角和為180°,就可求出ABC的三個內角.師:這位同學分析得很好,對我們以前學過的定理也很熟悉.如果我們在解的過程中把A設為x的話,那么ABC、C都可以用x來表示,這樣過程就更簡捷.師:下面我們通過練習來鞏固這節(jié)課所學的知識.三、隨堂練習課本P56練習

31、1、2、3題.四、課時小結這節(jié)課我們主要探討了等腰三角形的性質,并對性質作了簡單的應用.等腰三角形是軸對稱圖形,它的兩個底角相等(等邊對等角),等腰三角形的對稱軸是它頂角的平分線,并且它的頂角平分線既是底邊上的中線,又是底邊上的高.我們通過這節(jié)課的學習,首先就是要理解并掌握這些性質,并且能夠靈活應用它們.五、課后作業(yè)課本77頁練習.第2課時【教學目標】知識與技能探索等腰三角形的判定定理.過程與方法探索等腰三角形的判定定理,進一步體驗軸對稱的特征,發(fā)展空間觀念.情感、態(tài)度與價值觀通過對等腰三角形的判定定理的探索,讓學生體會探索學習的樂趣,并通過等腰三角形的判定定理的簡單應用,加深對定理的理解.從

32、而培養(yǎng)學生利用已有知識解決實際問題的能力.【教學重難點】重點:等腰三角形的判定定理及其應用.難點:探索等腰三角形的判定定理.【教學過程】一、提出問題,創(chuàng)設情境師:上節(jié)課我們學習了等腰三角形的性質,現在大家來回憶一下,等腰三角形有些什么性質呢?生甲等腰三角形的兩底角相等.生乙等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合.師:同學們回答得很好,我們已經知道了等腰三角形的性質,那么滿足了什么樣的條件就能說一個三角形是等腰三角形呢?這就是我們這節(jié)課要研究的問題.二、導入新課師:同學們看下面的問題并討論、思考:如圖,位于海上A、B兩處的兩艘救生船接到O處遇險船只的報警,當時測得A=B.如果

33、這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā),能不能大約同時趕到出事地點(不考慮風浪因素)?在一般的三角形中,如果有兩個角相等,那么它們所對的邊有什么關系?生甲應該能同時趕到出事地點.因為兩艘救生船的速度相同,同時出發(fā),在相同的時間內走過的路程應該相同,也就是OA=OB,所以兩船能同時趕到出事地點.生乙我認為能同時趕到O點的位置很重要,也就是A如果不等于B,那么同時以同樣的速度就不一定能同時趕到出事地點.師:現在我們把這個問題一般化,在一般的三角形中,如果有兩個角相等,那么它們所對的邊有什么關系?生丙我想它們所對的邊應該相等.師:為什么它們所對的邊相等呢?同學們思考一下,給出一個簡單的證明.生丁我是運用三

34、角形全等來證明的.例1:已知:在ABC中,B=C(如圖).求證:AB=AC.證明:作BAC的平分線AD.在BAD和CAD中BADCAD(AAS).AB=AC.師:太好了.從丁同學的證明結論來看,在一個三角形中,如果有兩個角相等,那么它們所對的邊也相等,也就說這個三角形就是等腰三角形.這個結論也回答了我們一開始提出的問題.也就是如何來判定一個三角形是等腰三角形.等腰三角形的判定定理:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”).師:下面我們通過幾個例題來初步學習等腰三角形判定定理的簡單運用.例2:求證:如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊,那么這個三角形

35、是等腰三角形.【分析】這個題是文字敘述的證明題,我們首先得將文字語言轉化成相應的數學語言,再根據題意畫出相應的幾何圖形.已知:CAE是ABC的外角,1=2,ADBC(如圖).求證:AB=AC.師:同學們先思考,再分析.生要證明AB=AC,可先證明B=C.師:這位同學首先想到我們這節(jié)課的重點內容,很好!生接下來,可以找B、C與1、2的關系.師:我們共同證明,注意每一步證明的理論根據.師:看小黑板,同學們試著完成這個題.已知:如圖,ADBC,BD平分ABC.求證:AB=AD.師:下面來看另一個例題.例3:如圖(1),標桿AB的高為5米,為了將它固定,需要由它的中點C向地面上與點B距離相等的D、E兩

36、點拉兩條繩子,使得D、B、E在一條直線上,量得DE=4米,繩子CD和CE要多長?(1)(2)【分析】這是一個與實際生活相關的問題,解決這類型問題,需要將實際問題抽象為數學模型.本題是在等腰三角形中已知等腰三角形的底邊和底邊上的高,求腰長的問題.三、隨堂練習課本79頁第1、2、3題四、課時小結本節(jié)課我們主要探究了等腰三角形判定定理,并對判定定理的簡單應用作了一定的了解.在利用定理的過程中體會定理的重要性.在直觀的探索和抽象的證明中發(fā)現和養(yǎng)成一定的邏輯推理能力.五、課后作業(yè)課本91頁第3、6題.六、活動與探究探究1等腰三角形兩底角的平分線相等.過程:利用等腰三角形的性質即等邊對等角、全等三角形的判

37、定及性質.結果:已知:如圖,在ABC中,AB=AC,BD、CE是ABC的平分線.求證:BD=CE. 探究2等腰三角形兩腰上的高相等.過程:同探究1.結果:已知:如圖,在ABC中,AB=AC,BE、CF分別是ABC的高.求證:BE=CF.在BFC和CEB中,ABC=ACB,BFC=CEB,BC=CB,BFCCEB(AAS).BE=CF.探究3等腰三角形兩腰上的中線相等.13.3.2等邊三角形第1課時【教學目標】知識與技能經歷探索等腰三角形成為等邊三角形的條件及其推理證明過程.重點:等邊三角形判定定理的發(fā)現與證明.難點:1.等邊三角形判定定理的發(fā)現與證明.2.引導學生全面、周到地思考問題.【教學過

38、程】一、提出問題,創(chuàng)設情境師:我們在前兩節(jié)課研究證明了等腰三角形的性質和判定定理,我們知道,在等腰三角形中有一種特殊的等腰三角形三條邊都相等的三角形,叫等邊三角形.回答下面的三個問題.1.把等腰三角形的性質用到等邊三角形,能得到什么結論?2.一個三角形滿足什么條件就是等邊三角形?3.你認為有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形嗎?你能證明你的結論嗎?把你的證明思路與同伴交流.(教師應給學生自主探索、思考的時間)二、導入新課探索等腰三角形成等邊三角形的條件.今天,我們探索、發(fā)現并證明了等邊三角形的判定定理;有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形,我們在證明這個定理的過

39、程中,還得出了三角形為等邊三角形的條件,是什么呢?生三個角都相等的三角形是等邊三角形.師:下面就請同學們來證明這個結論.已知:如圖,在ABC中,A=B=C.求證:ABC是等邊三角形.等邊三角形的三個內角都相等,并且每一個角都等于60°三個角都相等的三角形是等邊三角形.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.師:有了上述結論,我們來學習下面的例題,體會上述定理.例:如圖,課外興趣小組在一次測量活動中,測得APB=60°,AP=BP=200 m,他們便得出一個結論:A、B之間距離不少于200 m,他們的結論對嗎?【分析】我們從該問題中抽象出APB,由已知條件APB=

40、60°且AP=BP,由本節(jié)課探究結論知APB為等邊三角形.三、隨堂練習(一)課本80頁練習第1、2題.(二)補充練習如圖,ABC是等邊三角形,B和C的平分線相交于D,BD、CD的垂直平分線分別交BC于E、F,求證:BE=CF.BE=CF.四、課時小結這節(jié)課,我們自主探索、思考了等腰三角形成為等邊三角形的條件,并對這個結論的證明有意識地滲透分類討論的思想方法.這節(jié)課我們學的定理非常重要,在我們今后的學習中起著非常重要的作用.五、課后作業(yè)課本83頁第12、14題.六、活動與探究探究:如圖,在等邊三角形ABC的邊AB、AC上分別截取AD=AE.ADE是等邊三角形嗎?試說明理由.過程:通過分

41、析、討論,讓學生進一步了解等邊三角形的性質及判定.結果:已知:三角形ABC為等邊三角形.D、E為邊AB、AC上兩點,且AD=AE.判斷ADE是否是等邊三角形,并說明理由.解:ADE是等邊三角形,第2課時【教學目標】知識與技能1.探索發(fā)現猜想證明直角三角形中有一個角為30°的性質.2.有一個角為30°的直角三角形的性質的簡單應用.過程與方法1.經歷“探索發(fā)現猜想證明”的過程,引導學生體會合情推理與演繹推理的相互依賴和相互補充的辯證關系.2.培養(yǎng)學生用規(guī)范的數學語言進行表達的習慣和能力.情感、態(tài)度與價值觀1.鼓勵學生積極參與數學活動,激發(fā)學生的好奇心和求知欲.2.體驗數學活動中

42、的探索與創(chuàng)新、感受數學的嚴謹性.【教學重難點】重點:含30°角的直角三角形的性質定理的發(fā)現與證明.難點:1.含30°角的直角三角形性質定理的探索與證明.2.引導學生全面、周到地思考問題.【教學過程】一、提出問題,創(chuàng)設情境師:我們學習過直角三角形,今天我們先來看一個特殊的直角三角形,看它具有什么性質.大家可能已猜到,我讓大家準備好的含30°角的直角三角形,它有什么不同于一般的直角三角形的性質呢?問題:用兩個全等的含30°角的直角三角尺,你能拼出一個怎樣的三角形?能拼出一個等邊三角形嗎?說說你的理由.由此你能想到,在直角三角形中,30°角所對的直角

43、邊與斜邊有怎樣的大小關系?你能證明你的結論嗎?二、導入新課(讓學生經歷拼擺三角尺的活動,發(fā)現結論,同時引導學生意識到,通過實際操作探索出來的結論,還需要給予證明)生用含30°角的直角三角尺擺出了如下兩個三角形.(1)(2)其中,圖(1)是等邊三角形,因為ABDACD,所以AB=AC,又因為RtABD中,BAD=60°,所以ABD=60°,有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.生圖(1)中,B=C=60°,BAC=BAD+CAD=30°+30°=60°,所以B=C=BAC=60°,即ABC是等邊三角形.

44、師:同學們從不同的角度說明了自己拼成的圖(1)是等邊三角形.由此你能得出在直角三角形中,30°角所對的直角邊與斜邊的關系嗎?生在直角三角形中,30°角所對直角邊是斜邊的一半.師:我們僅憑實際操作得出的結論還需證明,你能證明它嗎?生可以,在圖(1)中,我們已經知道它是等邊三角形,所以AB=BC=AC.而ADB=90°,即ADBC.根據等腰三角形“三線合一”的性質,可得BD=DC=BC.所以BD=AB,即在RtABD中,BAD=30°,它所對的邊BD是斜邊AB的一半.師生共析這位同學能結合前后知識,把問題思路解釋得如此清晰,很了不起.下面我們一同來完成這個定

45、理的證明過程.定理:在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.已知:如圖,在RtABC中,C=90°,BAC=30°.求證:BC=AB.分析:從三角尺的擺拼過程中得到啟發(fā),延長BC至D,使CD=BC,連接AD.證明:在ABC中,ACB=90°,BAC=30°,則B=60°.延長BC至D,使CD=BC,連接AD(如圖2)ACB=60°,ACD=90°.AC=AC,ABCADC(SAS).AB=AD(全等三角形的對應邊相等).ABD是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等

46、邊三角形).BC=BD=AB.師:這個定理在我們實際生活中有廣泛的應用,因為它由角的特殊性,揭示了直角三角形中的直角邊與斜邊的關系,下面我們就來看一個例題.例1:如圖是屋架設計圖的一部分,點D是斜梁AB的中點,立柱BC、DE垂直于橫梁AC,AB=7.4 m,A=30°,立柱BC、DE要多長?【分析】觀察圖形可以發(fā)現在RtAED與RtACB中,由于A=30°,所以DE=AD,BC=AB,又由D是AB的中點,所以AD=AB.解:因為DEAC,BCAC,A=30°,由定理知BC=AB,DE=AD,所以BD=×7.4=3.7(m).又AD=AB,所以DE=AD=

47、×3.7=1.85(m).答:立柱BC的長是3.7 m,DE的長是1.85 m.師:再看下面的例題.例2:等腰三角形的底角為15°,腰長為2a,求腰上的高.已知:如圖,在ABC中,AB=AC=2a,ABC=ACB=15°,CD是腰AB上的高.求CD的長.【分析】觀察圖形可以發(fā)現,在RtADC中,AC=2a,而DAC是ABC的一個外角,則DAC=15°×2=30°,根據在直角三角形中,30°角所對的邊是斜邊的一半,可求出CD.解:ABC=ACB=15°,DAC=ABC+BCA=30°.CD=AC=a(在直角

48、三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).師:下面我們來做練習.三、隨堂練習(一)課本81頁練習.(二)補充練習1.已知:ABC中,ACB=90°,CD是高,A=30°.求證:BD=AB.證明:在RtABC中,A=30°,BC=AB.在RtBCD中,B=60°,BCD=30°.BD=BC.BD=AB.2.已知直角三角形的一個銳角等于另一個銳角的2倍,這個角的平分線把對邊分成兩條線段.求證:其中一條是另一條的2倍.已知:在RtABC中,A=90°,ABC=2C,BD是ABC的平分線.求證:CD=2A

49、D.證明:在RtABC中,A=90°,ABC=2C,ABC=60°,C=30°.又BD是ABC的平分線,ABD=DBC=30°.AD=BD,BD=CD.CD=2AD.四、課時小結這節(jié)課,我們在上節(jié)課的基礎上推理證明了含30°的直角三角形的邊的關系.這個定理是個非常重要的定理,在今后的學習中起著非常重要的作用.五、課后作業(yè)課本82頁第15題.六、活動與探究在三角形中,如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊所對的銳角等于30°.過程:可以從證明“在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”.從

50、輔助線的作法中得到啟示.結果:已知:在RtABC中,C=90°,BC=AB.求證:BAC=30°.證明:延長BC到D,使CD=BC,連接AD.ACB=90°,ACD=90°.又AC=AC,ACBACD(SAS).AB=AD.CD=BC,BC=BD.又BC=AB,AB=BD.AB=AD=BD,即ABD為等邊三角形.B=60°.在RtABC中,BAC=30°.參考例題已知,如圖,點C為線段AB上一點,ACM、CBN是等邊三角形.求證:AN=BM.證明:ACM與CBN是等邊三角形.ACM=BCN.ACM+MCN=BCN+NCM,即ACN=M

51、CB.在ACN和MCB中,ACNMCB(SAS).AN=BM.13.4課題學習最短路徑問題【教學目標】教學知識點能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題,體會圖形的變化在解決最值問題中的作用;感悟轉化思想.能力訓練要求在將實際問題抽象成幾何圖形的過程中,提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想.情感與價值觀要求通過有趣的問題提高學習數學的興趣.在解決實際問題的過程中,體驗數學學習的實用性,體現人人都學有所用的數學.【教學重難點】重點:利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間,線段最短”問題.難點:如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題.突破難點的方法:利用軸對稱性質,作任意已知點的

52、對稱點,連接對稱點和已知點,得到一條線段,利用兩點之間線段最短來解決.【教學過程】一、創(chuàng)設情景 引入課題師:前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中,線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短”等的問題,我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.現實生活中經常涉及到選擇最短路徑的問題,本節(jié)將利用數學知識探究數學史中著名的“將軍飲馬問題”. (板書)課題學生思考教師展示問題,并觀察圖片,獲得感性認識.二、自主探究 合作交流 建構新知追問1:觀察思考,抽象為數學問題這是一個實際問題,你打算首先做什么? 活動1:思考畫圖、得出數學問題將A,B 兩地抽象為兩個點,將河l 抽象為一條直線.追問2

53、你能用自己的語言說明這個問題的意思, 并把它抽象為數學問題嗎? 師生活動:學生嘗試回答, 并互相補充,最后達成共識:(1)從A 地出發(fā),到河邊l 飲馬,然后到B 地; (2)在河邊飲馬的地點有無窮多處,把這些地點與A,B 連接起來的兩條線段的長度之和,就是從A 地到飲馬地點,再回到B 地的路程之和;(3)現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點.設C 為直線上的一個動點,上面的問題就轉化為:當點C 在l 的什么位置時,AC 與CB 的和最小(如圖).強調:將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”活動2:嘗試解決數學問題問題1 : 如圖,點A,B 在直線l 的同側,點C 是直線上

54、的一個動點,當點C 在l 的什么位置時,AC 與CB 的和最小?追問1你能利用軸對稱的有關知識,找到上問中符合條件的點B'嗎? 問題2如圖,點A,B 在直線l 的同側,點C 是直線上的一個動點,當點C 在l 的什么位置時,AC 與CB的和最小?師生活動:學生獨立思考,畫圖分析,并嘗試回答,互相補充如果學生有困難,教師可作如下提示作法:(1)作點B 關于直線l 的對稱點B'(2)連接AB',與直線l 相交于點C,則點C 即為所求.如圖所示:問題3你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎? 教師展示:證明:如圖,在直線l 上任取一點C'(與點C 不重合),連接AC&#

55、39;,BC',B'C'.由軸對稱的性質知,BC =B'C,BC'=B'C'.AC +BC= AC +B'C = AB',AC'+BC'= AC'+B'C'.在AC'B'中,AC'+B'C'>AB',當只有在C點位置時,AC+BC最短.方法提煉:將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”.問題4練習如圖,一個旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客,然后將游客送往河岸BC 上,再返回P 處,請畫出旅游船的最短路徑.基本思路:由于兩點之間線段最短,所以首先可連接PQ,線段PQ 為旅游船最短路徑中的必經線路.將河岸抽象為一條直線BC,這樣問題就轉化為“點P,Q 在直線BC 的同側,如何在BC上找到一點R,使PR與QR 的和最小”. 問題5造橋選址問題如圖,A和B兩地在一條河的兩岸,現要在河上造一座橋MN.橋建在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直)思維分析:1.如圖假定任選位置造橋M