第一章電子線路計(jì)算

1、授課對(duì)象：授課對(duì)象：物理系碩士研究生物理系碩士研究生先修課程：先修課程：微積分，微積分，F(xiàn)ortran語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)，語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)， 計(jì)算方法初步計(jì)算方法初步教學(xué)目的：教學(xué)目的：培養(yǎng)研究生用計(jì)算機(jī)和算法語(yǔ)言培養(yǎng)研究生用計(jì)算機(jī)和算法語(yǔ)言 解決物理學(xué)專題及其應(yīng)用方面的解決物理學(xué)專題及其應(yīng)用方面的 數(shù)值計(jì)算課題方面的能力數(shù)值計(jì)算課題方面的能力 計(jì)算物理計(jì)算物理主要內(nèi)容、基本要求及學(xué)時(shí)分配主要內(nèi)容、基本要求及學(xué)時(shí)分配第一章第一章 電子線路計(jì)算（電子線路計(jì)算（3學(xué)時(shí)）學(xué)時(shí)）第二章第二章 有限差分法初步（有限差分法初步（4學(xué)時(shí)）學(xué)時(shí)）第三章第三章 偏微分方程有限差分解法（偏微分方程有限差分解法（ 2學(xué)時(shí)）學(xué)

2、時(shí)）第六章第六章 蒙特卡羅（蒙特卡羅（M-C）方法（）方法（4學(xué)時(shí)）學(xué)時(shí)）第四章第四章 常微分方程數(shù)值解法（常微分方程數(shù)值解法（4學(xué)時(shí)）學(xué)時(shí)）第五章第五章 薛定諤方程數(shù)值解法（薛定諤方程數(shù)值解法（4學(xué)時(shí)）學(xué)時(shí)）第八章第八章 分叉與混沌問(wèn)題數(shù)值分析（分叉與混沌問(wèn)題數(shù)值分析（24學(xué)時(shí)）學(xué)時(shí)）第九章第九章 分子動(dòng)力學(xué)模擬初步（分子動(dòng)力學(xué)模擬初步（24學(xué)時(shí)）學(xué)時(shí)）第七章第七章 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合（實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合（2學(xué)時(shí)）學(xué)時(shí)） 本課程基本要求：本課程基本要求： 掌握基本的物理問(wèn)題的計(jì)算的初步方法。掌握基本的物理問(wèn)題的計(jì)算的初步方法。 計(jì)算物理計(jì)算物理本課程總學(xué)時(shí)：本課程總學(xué)時(shí)：40其中課內(nèi)講課其中課內(nèi)講課28

3、30學(xué)時(shí)左右。學(xué)時(shí)左右。本課程考試要求：本課程考試要求：-對(duì)于一個(gè)物理問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模，給出數(shù)學(xué)模型對(duì)于一個(gè)物理問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模，給出數(shù)學(xué)模型；-給出計(jì)算方法；給出計(jì)算方法；-給出給出Fortran程序；程序；-給出結(jié)果：圖、表及討論；給出結(jié)果：圖、表及討論；本課程考試方式：本課程考試方式：開(kāi)卷，電子郵件提交；開(kāi)卷，電子郵件提交；考試題目：考試題目：自選。自選?？荚嚧痤}要求：考試答題要求：1、物理問(wèn)題的描述、物理問(wèn)題的描述2、給出物理問(wèn)題數(shù)學(xué)模型、給出物理問(wèn)題數(shù)學(xué)模型3、計(jì)算方法的選擇、計(jì)算方法的選擇4、差分方程、差分方程5、Fortran程序清單，包括程序清單，包括程序注釋程序注釋6、計(jì)算結(jié)果（

4、圖、表格等形式）、計(jì)算結(jié)果（圖、表格等形式）7、討論和結(jié)論、討論和結(jié)論8、電子郵件提交到：、電子郵件提交到： 主要參考書主要參考書2、Computational Physics, Nicholas J. Giordano, Prentice Hall, New Jersey, 1997.1、Numerical Analysis: A Practical Approach, M. J. Maron, Macmillan Publishing co., Inc., 1982.3、計(jì)算物理和計(jì)算機(jī)計(jì)算物理和計(jì)算機(jī), 美美. R. 埃利希著，埃利希著， O411.24、徐崇濟(jì)編著，、徐崇濟(jì)編著，蒙特卡

5、羅方法蒙特卡羅方法，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1985。5、常微分方程數(shù)值解法，南京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，、常微分方程數(shù)值解法，南京大學(xué)數(shù)學(xué)系編，1979， O241.81.3 第一章：電子線路計(jì)算第一章：電子線路計(jì)算1 靜電勢(shì)靜電勢(shì)1.1 兩個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的靜電勢(shì)兩個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的靜電勢(shì)考慮空間有兩個(gè)點(diǎn)電荷，這時(shí)在空間處處存在由點(diǎn)考慮空間有兩個(gè)點(diǎn)電荷，這時(shí)在空間處處存在由點(diǎn)電荷產(chǎn)生的靜電勢(shì)。根據(jù)電磁學(xué)的知識(shí)，電荷產(chǎn)生的靜電勢(shì)。根據(jù)電磁學(xué)的知識(shí)，空間任一點(diǎn)的電勢(shì)為空間任一點(diǎn)的電勢(shì)為:2211RQRQV（1.1）其中其中1Q和和2Q分別代表兩個(gè)點(diǎn)電荷所帶的電量，分別代表兩個(gè)點(diǎn)電荷所帶的電量，1

6、R和和2R分別代表所求的點(diǎn)到兩個(gè)點(diǎn)電荷的距離。分別代表所求的點(diǎn)到兩個(gè)點(diǎn)電荷的距離。1Q所處的所處的 x 坐標(biāo)為坐標(biāo)為A1點(diǎn)，點(diǎn)，2Q處在處在 x 坐標(biāo)的為坐標(biāo)的為A2點(diǎn)。點(diǎn)。Q1Q2A1A2(x1,x2)R1R2xyIJ-101010-10圖圖 1-1 考慮考慮x-y 平面上各點(diǎn)的電勢(shì)。將平面分割成許多平面上各點(diǎn)的電勢(shì)。將平面分割成許多小方格，使小方格，使x 的變化在的變化在-10到到10之間，之間，y 的變化的變化亦在亦在-10到到10之間。之間。設(shè)：設(shè)： 21, 2, 11121, 2, 111JJyIIx（1.2）1Q和和2Q的位置與各個(gè)格點(diǎn)的距離的位置與各個(gè)格點(diǎn)的距離1R和和2R分別為

7、：分別為：22222211)()(yAxRyAxR（1.3）公式（公式（1.2）和（）和（1.3）代入公式（）代入公式（1.1）可以求得各格點(diǎn)的靜電勢(shì)?？梢郧蟮酶鞲顸c(diǎn)的靜電勢(shì)。相應(yīng)的程序?yàn)橄鄳?yīng)的程序?yàn)? DIMENSION V（21，21）10 READ（*，100）A1，A2，Q1，Q2 IF（Q1. EQ. 0. 0. OR. Q2. EQ. 0. 0）STOP WRITE（*，101）A1，A2，Q1，Q2 DO 40 J=1，21 Y=11-J DO 40 I=1，21 X=I-11 R1=SQRT（X-A1）*2+Y*Y） R2=SQRT（X-A2）*2+Y*Y） R1=R1+0.0

8、0001 ! avoid zero R2=R2+0.00001 V（K，J）=Q1/R1+Q2/R240 CONTINUE WRITE（*，102）(V(K，J)，I=1，21）J=1，21） GO TO 10100 FORMAT（4F10.5） 101 FORMAT（3HA1=，F(xiàn)10.5，4H A2=，F(xiàn)10.5， $ 4H Q1=， F10.5，4H Q2=，F(xiàn)10.5）102 FORMAT（21F5.2/1X/） ENDStartQ1, Q2,A1,A2J=1,2,3,.21I=1,2,3,.21Y=11-JX=I-11Cal. R1, R2, VWrite the results 圖

9、圖1-2計(jì)算流程圖計(jì)算流程圖1.2 帶電金屬絲產(chǎn)生的靜電勢(shì)帶電金屬絲產(chǎn)生的靜電勢(shì)定積分的近似計(jì)算定積分的近似計(jì)算一根帶有電荷的金屬絲，它在空間將產(chǎn)生一個(gè)一根帶有電荷的金屬絲，它在空間將產(chǎn)生一個(gè)靜電勢(shì)場(chǎng)，根據(jù)電磁學(xué)知識(shí)，靜電勢(shì)場(chǎng)，根據(jù)電磁學(xué)知識(shí)，空間任一點(diǎn)的電勢(shì)空間任一點(diǎn)的電勢(shì)V 是是:線長(zhǎng)rdqV（1.4）方法：將金屬絲分成方法：將金屬絲分成n段，在第段，在第i段所帶的電量為段所帶的電量為 ，iq， 離開(kāi)所求電勢(shì)點(diǎn)的距離為離開(kāi)所求電勢(shì)點(diǎn)的距離為 。ir 于是該點(diǎn)的電勢(shì)可寫為：于是該點(diǎn)的電勢(shì)可寫為： niiirqV1（1.5） 如果金屬絲分段分得很密，取其極限，（如果金屬絲分段分得很密，取其極限

10、，（1.5）式就變成（式就變成（1.4式）。式）。 為了計(jì)算（為了計(jì)算（1.4）式的電勢(shì)，選一個(gè)坐標(biāo)系，）式的電勢(shì)，選一個(gè)坐標(biāo)系，使金屬絲處在使金屬絲處在x 軸上，并將坐標(biāo)軸的原點(diǎn)取在軸上，并將坐標(biāo)軸的原點(diǎn)取在金屬絲的中點(diǎn)，則金屬絲的一端金屬絲的中點(diǎn)，則金屬絲的一端x= -A，另一端另一端x= A。如圖。如圖1-3所示：所示： XY-AAdx(x0,y0)r圖圖 1-3 求帶電金屬絲的電勢(shì)求帶電金屬絲的電勢(shì) 金屬絲上金屬絲上dx段的電荷段的電荷dq可表示為可表示為dxxdq)(（1.6） 其中其中)(x距離距離r指從點(diǎn)（指從點(diǎn)（x，0）到點(diǎn)（）到點(diǎn)（x0，y0）的間距，即）的間距，即是是x點(diǎn)的

11、線電荷密度。點(diǎn)的線電荷密度。2020)(yxxr（1.7） 將公式（將公式（1.6）和（）和（1.7）代入（）代入（1.4）式，得到）式，得到AAyxxdxxyxV2/1202000)()(),(（1.8） 定積分的近似數(shù)值解定積分的近似數(shù)值解引入符號(hào)引入符號(hào)f(x) 2/12020)()()(yxxxxf（1.9） AAdxxfV)(（1.10） 可畫出可畫出xxf)(圖，如圖圖，如圖1-4所示所示 f(x)xxif(xi)-AA0圖圖1-4 矩形近似矩形近似將將x 的變化區(qū)間的變化區(qū)間-A到到A間隔分成等間隔的間隔分成等間隔的N-1段，段，即即x1，x2，xN，x1= -A，xN =A。于

12、是最簡(jiǎn)單的近似為于是最簡(jiǎn)單的近似為NiiixxfV1)(（1.11） 其中其中xNAxi12 求（求（1.10）式的積分值就是求曲線下的面積。）式的積分值就是求曲線下的面積?？捎媒品椒ㄇ笄€下的面積可用近似方法求曲線下的面積.從幾何角度看，相當(dāng)于圖從幾何角度看，相當(dāng)于圖1-4中用中用矩形矩形面積面積代替代替實(shí)際曲線下的面積實(shí)際曲線下的面積。顯見(jiàn)，這不是一。顯見(jiàn)，這不是一個(gè)很好的近似。將個(gè)很好的近似。將x分段分得細(xì)一些可提高分段分得細(xì)一些可提高近似程度，但是這將加大計(jì)算的工作量。近似程度，但是這將加大計(jì)算的工作量。 矩形近似矩形近似梯形近似梯形近似改進(jìn)的一個(gè)方法是梯形近似改進(jìn)的一個(gè)方法是梯形近

13、似 111)()(21NiiixxfxfVxxfxxfxxfxxfN)(21)()()(21321NiNixxfxfxxf11)()(21)(（1.12） 原來(lái)公式（原來(lái)公式（1.11）中為）中為ix，因?yàn)榈确值脑?，因?yàn)榈确值脑颍瑇用梯形近，似近似程度好一些。用梯形近，似近似程度好一些。與下標(biāo)與下標(biāo)i無(wú)關(guān)，所以省略而變?yōu)闊o(wú)關(guān)，所以省略而變?yōu)?。將公式（將公式（1.12）改寫成）改寫成NiiixxfcV1)(（1.13） 21, 1,21321Ncccc其中其中 拋物線近似拋物線近似=辛普生（辛普生（Smpson）公式）公式 進(jìn)一步改進(jìn)的方法是用拋物線作近似，進(jìn)一步改進(jìn)的方法是用拋物線作近似

14、，用拋物線來(lái)代替實(shí)際的曲線。這時(shí)要將用拋物線來(lái)代替實(shí)際的曲線。這時(shí)要將X 的變化范圍分成的變化范圍分成偶數(shù)偶數(shù)等分。在拋物等分。在拋物線近似下求解電勢(shì)的表達(dá)式可寫為線近似下求解電勢(shì)的表達(dá)式可寫為16 , 4 , 2113)()(4)(NiiiixxfxfxfV（1.14） 其中其中N為奇數(shù)，求和對(duì)為奇數(shù)，求和對(duì)偶數(shù)偶數(shù)進(jìn)行。進(jìn)行。 如果將公式（如果將公式（1.14）稍加整理可得）稍加整理可得 xxfcVNiii1)(（1.15） 其中其中ic的值為的值為31343254323431154321NNccccccc（1.16） 辛普生（辛普生（Smpson）公式推導(dǎo)）公式推導(dǎo)設(shè)曲線上有三點(diǎn)設(shè)曲線上

15、有三點(diǎn) ， ，)(,(11xfx)(,(22xfx)(,(33xfx ，若有一條拋物線通過(guò)這三點(diǎn)，若有一條拋物線通過(guò)這三點(diǎn)，則這條拋物線可表示為：則這條拋物線可表示為：)()()(3121321xxxxxxxxxfy)()()(3212312xxxxxxxxxf)()()(2313213xxxxxxxxxf（1.17） 由于其中的由于其中的)(),(),(321xfxfxf和和x1，x2，x3是已知的常數(shù)值，因此公式（是已知的常數(shù)值，因此公式（1.17）總可以整理成總可以整理成 ：CBxAxy2其中其中A、B 和和C是相應(yīng)的系數(shù)，應(yīng)該有如下性質(zhì)：是相應(yīng)的系數(shù)，應(yīng)該有如下性質(zhì)： 當(dāng)當(dāng)x=x1時(shí)，

16、代入（時(shí)，代入（1.17）式，有）式，有y=f(x1)當(dāng)當(dāng)x=x2時(shí)，代入（時(shí)，代入（1.17）式，有）式，有y=f(x2)當(dāng)當(dāng)x=x3時(shí)，代入（時(shí)，代入（1.17）式，有）式，有y=f(x3)對(duì)（對(duì)（3.17）式進(jìn)行積分，下限取）式進(jìn)行積分，下限取x1，上限取，上限取x3，得到，得到31)()(4)(313212xxxxfxfxfydxV其中其中)(21132312xxxxxxx V2是通過(guò)最初三點(diǎn)的拋物線下面積，是通過(guò)最初三點(diǎn)的拋物線下面積，用來(lái)近似實(shí)際用來(lái)近似實(shí)際曲線下的面積。曲線下的面積。 類似地，對(duì)通過(guò)曲線上三點(diǎn)類似地，對(duì)通過(guò)曲線上三點(diǎn)),(,(33xfx，)(,(44xfx，)(,

17、( ,55xfx的拋物線進(jìn)行積分，的拋物線進(jìn)行積分， 積分限從積分限從x3到到x5，得到，得到 xxfxfxfV)()()(315434依此類推，可以得到任意一項(xiàng)的積分表示為依此類推，可以得到任意一項(xiàng)的積分表示為xxfxfxfViiii)()(4)(3111將全部將全部Vi 相加，得到公式（相加，得到公式（1.14）的普遍表示，即）的普遍表示，即)()(4)(414NNxfxfxf)(2)(4)(3321xfxfxfxVNiiixxfc1)(其中系數(shù)其中系數(shù)ci與（與（1.16）式的表示一樣。）式的表示一樣。帶電金屬絲產(chǎn)生的電勢(shì)的數(shù)值計(jì)算帶電金屬絲產(chǎn)生的電勢(shì)的數(shù)值計(jì)算采用采用拋物線拋物線近似計(jì)

18、算空間電勢(shì)，考慮平面情況，設(shè)近似計(jì)算空間電勢(shì)，考慮平面情況，設(shè)A為金屬絲的半長(zhǎng)度，金屬絲處在為金屬絲的半長(zhǎng)度，金屬絲處在x= -A到到x=A的的X 軸上軸上N為金屬絲的分割數(shù)，為金屬絲的分割數(shù)，N為奇數(shù)，即格點(diǎn)數(shù)目。為奇數(shù)，即格點(diǎn)數(shù)目。x0，y0代表所求電勢(shì)點(diǎn)的坐標(biāo)代表所求電勢(shì)點(diǎn)的坐標(biāo)電荷密度為常數(shù)cyxxcxf,)(2/1202014 , 214 , 2113)()(4)(NiiNiiiiVxxfxfxfV要求電勢(shì)要求電勢(shì)V必須先求一組必須先求一組)(ixf的數(shù)值，然后得到的數(shù)值，然后得到iV值，求和得到值，求和得到V。DIMENSION F（101）10 READ（*，40）A，C，X0，

19、Y0，N IF（N. GT. 101. OR. N. LT. 3）STOP IF(N. EQ. 2*(N/2) STOP ！ 判斷奇、偶數(shù)判斷奇、偶數(shù) H=2.0*A/FLOAT (N-1) ！計(jì)算步長(zhǎng)！計(jì)算步長(zhǎng) X=-A V=0.0 DO 20 I=1, N F(I)=C/SQRT (X-X0) *2+Y0*Y0) ！ 函數(shù)值函數(shù)值20 X=X+H源程序：源程序： DO 30 J=2, N-1, 230 V=V+(F(j-1)+4.0*F(j)+F(j+1)*H/3.0 WRITE (*, 50) V, X0, Y0 GO TO 1040 FORMAT (4F10.5, I4) FORMAT

20、 (8X, 2HV=, 7X, 3HX0=, 7X, ￥ 3HY0=/3F10.5) END討論討論：將積分區(qū)間：將積分區(qū)間2A分成分成N-1等分，等分，每段長(zhǎng)都是每段長(zhǎng)都是2A/（N-1），這種計(jì)算方法），這種計(jì)算方法稱為稱為定步長(zhǎng)定步長(zhǎng)的辛普生方法。根據(jù)實(shí)際問(wèn)的辛普生方法。根據(jù)實(shí)際問(wèn)題對(duì)精度的要求以及計(jì)算所需的時(shí)間，題對(duì)精度的要求以及計(jì)算所需的時(shí)間，可以選擇可以選擇N 及步長(zhǎng)及步長(zhǎng)H 的大小。的大小。 變步長(zhǎng)變步長(zhǎng)辛普生近似計(jì)算辛普生近似計(jì)算計(jì)算步驟：計(jì)算步驟：第一次把區(qū)間第一次把區(qū)間-A，A分成分成2等分，等分，積分得到近似值標(biāo)記為積分得到近似值標(biāo)記為S1；第二次把前面的每等分再分成第二

21、次把前面的每等分再分成2等分，等分，結(jié)果區(qū)間就分成了結(jié)果區(qū)間就分成了 等分，等分，積分得到的近似值標(biāo)記為積分得到的近似值標(biāo)記為S2；即每次把分點(diǎn)加密一倍，計(jì)算積分的近似值。即每次把分點(diǎn)加密一倍，計(jì)算積分的近似值。對(duì)于相鄰相次計(jì)算得到的近似值對(duì)于相鄰相次計(jì)算得到的近似值Sn和和Sn+1，我們，我們考察差值考察差值D：22時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)1111111nnnnnnnSSSSSSSD（1.18） 當(dāng)當(dāng)D的絕對(duì)值小于給定的精確度的絕對(duì)值小于給定的精確度E時(shí)，時(shí)，以以Sn+1作為積分的近似值，把結(jié)果輸出；作為積分的近似值，把結(jié)果輸出；否則，繼續(xù)將分點(diǎn)加密一倍，否則，繼續(xù)將分點(diǎn)加密一倍，計(jì)算積分的近似值，直到滿足

22、計(jì)算積分的近似值，直到滿足ED 為止。為止。1.3 RC回路中電容器放電的研究回路中電容器放電的研究歐勒法應(yīng)用歐勒法應(yīng)用1、可以用計(jì)算機(jī)來(lái)研究計(jì)算、可以用計(jì)算機(jī)來(lái)研究計(jì)算RC 回路中電容器放電情回路中電容器放電情 況?？紤]一個(gè)電路：由電阻況。考慮一個(gè)電路：由電阻R、電容、電容C 和開(kāi)關(guān)和開(kāi)關(guān)S 組成組成 2、開(kāi)始時(shí)電容、開(kāi)始時(shí)電容C上已充有電荷量上已充有電荷量Q 0， 當(dāng)開(kāi)關(guān)當(dāng)開(kāi)關(guān)S 接通以后，電容器接通以后，電容器C 就進(jìn)行放電，就進(jìn)行放電， 我們考察電容器上的電荷隨時(shí)間的變化規(guī)律。我們考察電容器上的電荷隨時(shí)間的變化規(guī)律。 問(wèn)題的描述：?jiǎn)栴}的描述：3、由于電路中沒(méi)有其它外加電壓，所以電阻、由

23、于電路中沒(méi)有其它外加電壓，所以電阻R上的電壓上的電壓 RV和電容器上的電壓和電容器上的電壓CV兩者加起來(lái)為零，即兩者加起來(lái)為零，即0RCVV(1.19) 根據(jù)歐姆定律根據(jù)歐姆定律dtdQRIRVR(1.20) 根據(jù)電容器的定義根據(jù)電容器的定義CQVC(1.21)將將(1.20)式和式和(1.21)式代入式代入(1.19)式，得到式，得到0dQQRdtC(1.22)這是電荷這是電荷Q 隨時(shí)間變化方程式，是一階常微分方程，隨時(shí)間變化方程式，是一階常微分方程，可整理成可整理成dQQdtT (1.23) 其中其中TRC稱為稱為RC回路的回路的時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)， 當(dāng)回路中的電阻當(dāng)回路中的電阻R 和電容和

24、電容C 給定時(shí)，也完全確定了。給定時(shí)，也完全確定了。 直接對(duì)直接對(duì)(1.23)積分，得到積分，得到/0t TQQ e(1.24) 其中其中Q0是是t = 0時(shí)電容器上的電荷。時(shí)電容器上的電荷。 上面的結(jié)果是微分方程的嚴(yán)格解。上面的結(jié)果是微分方程的嚴(yán)格解。微分方程也可以用數(shù)值計(jì)算進(jìn)行近似求解。微分方程也可以用數(shù)值計(jì)算進(jìn)行近似求解。 歐勒法歐勒法類似公式類似公式(1.23)的一階微分方程，在物理學(xué)中經(jīng)常的一階微分方程，在物理學(xué)中經(jīng)常遇到，例如力學(xué)中的方程遇到，例如力學(xué)中的方程:( , )dxV x tdt(1.25) 其中其中 x 表示位置，表示位置，( , )V x t是速度是速度. 對(duì)任意的一

25、階微分方程，都可用對(duì)任意的一階微分方程，都可用歐勒法歐勒法近似求解。近似求解。 (1.23)式一般可寫為式一般可寫為( , )dQQf Q tdtT 1()( )( , )()( )( , )(, )nnnQ ttQ tf Q ttQ ttQ tf Q ttQQf Q tt歐勒法歐勒法的實(shí)質(zhì)是用的實(shí)質(zhì)是用差分差分 ()( )QQ ttQ ttt來(lái)代替微分來(lái)代替微分 dtdQ/于是于是(1.23)式變?yōu)槭阶優(yōu)?()( )QQ ttQ tQtT 或或 ()( )dQQ ttQ ttdt(1.26)( )()( )( )Q tQ ttQ tQQ ttT 具體計(jì)算具體計(jì)算: 設(shè)設(shè) 01,10,1QTR

26、Ct 1nnnQQQtT第一步的計(jì)算第一步的計(jì)算0110.110QQtT 100.9QQQ表示經(jīng)過(guò)時(shí)間表示經(jīng)過(guò)時(shí)間1t以后，電荷量變?yōu)橐院?，電荷量變?yōu)?.9。第二步的計(jì)算第二步的計(jì)算10.90.0910QQtT 210.81QQQ同樣計(jì)算可以得到同樣計(jì)算可以得到Q 隨時(shí)間變化的值。與嚴(yán)格解析解隨時(shí)間變化的值。與嚴(yán)格解析解(1.24)式的計(jì)算結(jié)果比較式的計(jì)算結(jié)果比較:近似近似 1.0 0.9 0.81 0.729 0.656 0.590嚴(yán)格嚴(yán)格 1.0 0.907 0.818 0.740 0.670 0.606通常：通常：t1、 間隔取得越小，兩者越接近，但間隔取得越小，兩者越接近，但 t取小時(shí)

27、要到達(dá)同一時(shí)刻計(jì)算量要加大。取小時(shí)要到達(dá)同一時(shí)刻計(jì)算量要加大。2、隨著時(shí)間增加，歐勒法得到的近似值與精確值、隨著時(shí)間增加，歐勒法得到的近似值與精確值 之間的誤差越來(lái)越大。之間的誤差越來(lái)越大。誤差分析：誤差分析： 將歐勒近似計(jì)算和泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)比將歐勒近似計(jì)算和泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)對(duì)比: 23232311()( )()()23!dQd Qd QQ ttQ ttttdtdtdt (1.27) 從從(1.27)式可得式可得22()( )2QQ ttQ tdQt d Qttdtdt所以，在所以，在t時(shí)間間隔內(nèi)，時(shí)間間隔內(nèi)， 用用Qt代替代替dQdt的誤差是：的誤差是： 22()2QdQt d QEOtdtdt

28、(1.28)對(duì)對(duì)歐勒法歐勒法而言，而言，Q是是()( )dQQ ttQ ttdt 兩者比較可見(jiàn)，由歐勒法計(jì)算得到的結(jié)果其誤差是兩者比較可見(jiàn)，由歐勒法計(jì)算得到的結(jié)果其誤差是2()Ot(1.29) 相對(duì)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)而言，歐勒法的近似計(jì)算是相對(duì)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)而言，歐勒法的近似計(jì)算是一階精度一階精度。 程序注釋：程序注釋：RC為時(shí)間常數(shù)為時(shí)間常數(shù)Q1為電荷量的嚴(yán)格值為電荷量的嚴(yán)格值Q2為電荷量的近似值為電荷量的近似值DT為時(shí)間間隔為時(shí)間間隔N為時(shí)間間隔的數(shù)目為時(shí)間間隔的數(shù)目初始條件初始條件T =0時(shí)，帶電荷時(shí)，帶電荷Q =1。 1 READ（*，100）RC，DT，N IF（N，LE.0）STOP WR

29、ITE（*，101）RC，DT，N T=0 Q1=1 ！ 精確數(shù)值精確數(shù)值 Q2=1 ！近似解！近似解 DO 10 I=1，N T=T+DT DQ=-Q2*DT/RC Q2=Q2+DQ Q1=EXP（-T/RC） WRITE（*，102）T，Q1，Q210 CONTINUE GO TO 1 100 FORMAT（2F10.5，I5） FORMAT（3HRC=，F(xiàn)10.5，4H DT=， ￥ F10.5， 3H N=， I5/ ￥5X, 1HT, 8X, 2HQ1, 8X, 2HQ2/)102 FORMAT (3F10.5) END1.4 RLC電路中的放電現(xiàn)象電路中的放電現(xiàn)象改進(jìn)歐勒法改進(jìn)歐勒

30、法RLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路: 電路由電阻電路由電阻 R、電感、電感 L、電容、電容 C、開(kāi)關(guān)開(kāi)關(guān) S 和外加電壓和外加電壓 , 組成。組成。 aV求：求：當(dāng)開(kāi)關(guān)當(dāng)開(kāi)關(guān)S合上以后電路中的電流將隨時(shí)間發(fā)生變化合上以后電路中的電流將隨時(shí)間發(fā)生變化 解：解： 根據(jù)基爾霍夫第二定律，電路中的外電壓根據(jù)基爾霍夫第二定律，電路中的外電壓aV等于電路內(nèi)各元件的電壓之和，于是有等于電路內(nèi)各元件的電壓之和，于是有 RLCaVVVV(1.30) 其中其中RV為電阻為電阻R上的電壓，上的電壓，RVIRLV為電感為電感L上的電壓，上的電壓，LdIVLdtCV為電容為電容C上的電壓，上的電壓，CQVCI 為電流，為電流，Q

31、 為電容器上的電荷。將這些表示代入為電容器上的電荷。將這些表示代入(1.30)式，得到：式，得到： adIQLIRVdtC(1.31) 據(jù)據(jù)(1.31)及及dQIdt(1.31)式兩邊對(duì)時(shí)間求微商式兩邊對(duì)時(shí)間求微商22adVd IdIILRdtdtCdt(1.33) 它它等價(jià)等價(jià)于兩個(gè)一階的微分方程于兩個(gè)一階的微分方程(1.31)式和式和(1.32)式。式。 (1.32) 初始條件：初始條件： 0t 時(shí)：時(shí)： 0I=0，0Q=1如果用如果用歐勒近似歐勒近似進(jìn)行計(jì)算，則：進(jìn)行計(jì)算，則： 111nnnnnnnntttdQQQtdtdIIItdt(1.34)其中其中ndQdt和和ndIdt的值可應(yīng)用

32、的值可應(yīng)用(1.31)式和式和(1.32)nQ和和nI求得。例如：求得。例如：式由式由已知已知的的(1.34)式表示歐勒法，具體運(yùn)算過(guò)程為：式表示歐勒法，具體運(yùn)算過(guò)程為：設(shè)設(shè) t = 0時(shí)：時(shí)： 000,1,1IQt 運(yùn)用運(yùn)用(1.34)式，當(dāng)式，當(dāng)n = 0時(shí)：時(shí)：0ndtdQ0ndtdI和和 的值由的值由(1.31)式和式和(1.32)式來(lái)確定。式來(lái)確定。10010010 11110() 1aadQQQtdtVVdIIItdtLLCLLC 然后代入然后代入(1.31)式和式和(1.32)計(jì)算出：計(jì)算出：1ndtdQ1ndtdI和和 的值；的值；代入（代入（2-34）計(jì)算出）計(jì)算出Q2和和I

33、2：2111211111111()()aaaaVdQQQtIdtLLCVVVdIRIItdtLLCLCLLLCL 依次類推依次類推.可得任意時(shí)刻可得任意時(shí)刻1nQ和和1nI的值。的值。 計(jì)算流程：計(jì)算流程：1、設(shè)、設(shè) t = 0時(shí)：時(shí)： 000,1,1IQt 2、由、由(1.31)式和式和(1.32)計(jì)算出計(jì)算出,0ndtdQ0ndtdI3、由、由(1.34)計(jì)算出計(jì)算出Q1, I1. 4、然后，回到、然后，回到2、計(jì)算出、計(jì)算出,1ndtdQ1ndtdI歐勒法是一級(jí)精度，為更精確，可采用歐勒法是一級(jí)精度，為更精確，可采用改進(jìn)歐勒法：改進(jìn)歐勒法：討論：討論：1112112nnnnnnnnttt

34、dQQQtdtdIIItdt(1.35)其中其中12ndQdt和和12ndIdt分別為分別為12121nnndtdQdtdQdtdQ12121nnndtdIdtdIdtdI(1.36a)(1.36b)與與(1.34)式的歐勒法比較式的歐勒法比較, 是用是用12ndQ ttdt來(lái)代替來(lái)代替 .( )ndQ tdt12ndQ ttdt是用是用nt時(shí)刻時(shí)刻的微商進(jìn)行平均來(lái)替代。的微商進(jìn)行平均來(lái)替代。ntt時(shí)刻和時(shí)刻和 對(duì)電流對(duì)電流I 的情況也類同。的情況也類同。 可以將可以將(1.34)式和式和(1.35)式寫成統(tǒng)一的形式式寫成統(tǒng)一的形式tttnn1(1.37a)tdtdQdtdQQQnnnn1121tdtdIdtdIIInnnn1121(1.37b)(1.37c)泰