選修3-1的3.6帶電粒子在勻強磁場中的運動

1、第六節(jié)第六節(jié)帶電粒子在勻強磁場帶電粒子在勻強磁場中的運動中的運動電子束由電子槍產(chǎn)生，玻璃泡內(nèi)充有稀薄的氣體，電子束由電子槍產(chǎn)生，玻璃泡內(nèi)充有稀薄的氣體，在電子束通過時能顯示出電子的徑跡在電子束通過時能顯示出電子的徑跡; ;勵磁線圈能勵磁線圈能夠在兩個線圈之間產(chǎn)生勻強磁場，磁場方向和紙夠在兩個線圈之間產(chǎn)生勻強磁場，磁場方向和紙面垂直，電子的速度和磁感應(yīng)強度可以通過電子面垂直，電子的速度和磁感應(yīng)強度可以通過電子槍和勵磁線圈調(diào)節(jié)槍和勵磁線圈調(diào)節(jié)洛倫茲力演示儀洛倫茲力演示儀無磁場，運動軌跡是直線無磁場，運動軌跡是直線有磁場，運動軌跡是圓周有磁場，運動軌跡是圓周一、帶電粒子在勻強磁場中的運動一、帶電粒子

2、在勻強磁場中的運動1 1運動規(guī)律運動規(guī)律1)1)若帶電粒子只受洛倫茲力的作用，若帶電粒子只受洛倫茲力的作用，當(dāng)帶電粒當(dāng)帶電粒子垂直于磁場方向射入時，由于洛倫茲力總與子垂直于磁場方向射入時，由于洛倫茲力總與速度方向垂直，起到向心力的作用，所以帶電速度方向垂直，起到向心力的作用，所以帶電粒子在勻強磁場中以射入速度粒子在勻強磁場中以射入速度v v做勻速圓周運做勻速圓周運動動2)2)當(dāng)帶電粒子平行于當(dāng)帶電粒子平行于磁場方向射入時，以磁場方向射入時，以射入速度射入速度v v做勻速直做勻速直線運動線運動2.2.帶電粒子做勻速圓周運動的帶電粒子做勻速圓周運動的三個基本公式三個基本公式: :向心力公式向心力公

3、式: : qv qvB=B=軌道半徑公式軌道半徑公式: : 周期公式周期公式: : 說明說明:T:T的大小與運行速率的大小與運行速率v v無關(guān)無關(guān), ,只與磁場的磁只與磁場的磁感應(yīng)強度感應(yīng)強度B B和粒子的比荷和粒子的比荷 有關(guān)有關(guān). .RmRTmRvm222)2(qBpqBmvRqBmvRT22mq= =maman n例例: :在勻強磁場中，一個帶電粒子做勻速圓周運在勻強磁場中，一個帶電粒子做勻速圓周運動，如果又垂直進入另一磁感應(yīng)強度是原來磁感動，如果又垂直進入另一磁感應(yīng)強度是原來磁感應(yīng)強度應(yīng)強度2 2倍的勻強磁場，則倍的勻強磁場，則( () )A A粒子的速率加倍，周期減半粒子的速率加倍，

4、周期減半B B粒子速率不變，軌道半徑減半粒子速率不變，軌道半徑減半C C粒子的速率減半，軌道半徑變?yōu)樵瓉淼牧Ｗ拥乃俾蕼p半，軌道半徑變?yōu)樵瓉淼?/41/4D D粒子速率不變，周期減半粒子速率不變，周期減半BDBDqBpqBmvRqBmvRT22例例: :已知氫核與氦核的質(zhì)量之比已知氫核與氦核的質(zhì)量之比m m1 1m m2 21 14 4，電荷量之比電荷量之比q q1 1q q2 21 12 2，當(dāng)氫核與氦核以，當(dāng)氫核與氦核以v v1 1v v2 24 41 1的速度，垂直于磁場方向射入磁的速度，垂直于磁場方向射入磁場后，分別做勻速圓周運動，則氫核與氦核半場后，分別做勻速圓周運動，則氫核與氦核半徑

5、之比徑之比r r1 1r r2 2_，周期之比，周期之比T T1 1T T2 2_ 解析：兩種原子核垂直射入磁場均做勻速圓周解析：兩種原子核垂直射入磁場均做勻速圓周運動，所以根據(jù)運動，所以根據(jù) 得：得： 根據(jù)根據(jù) 得：得：21211212qBmvr 1:2:22211121BqvmBqvmrrqBmT22:12:2:221121BqmBqmTT3.3.帶電粒子在帶電粒子在有界磁場有界磁場中運動的求解方法中運動的求解方法有界勻強磁場有界勻強磁場是指只在局部空間存在著的勻強磁是指只在局部空間存在著的勻強磁場場, ,帶電粒子從磁場區(qū)域外垂直磁場方向射入磁帶電粒子從磁場區(qū)域外垂直磁場方向射入磁場，在磁

6、場區(qū)域內(nèi)經(jīng)歷一段勻速圓周運動，也就場，在磁場區(qū)域內(nèi)經(jīng)歷一段勻速圓周運動，也就是是通過一段圓弧軌跡后離開磁場區(qū)域通過一段圓弧軌跡后離開磁場區(qū)域由于帶電粒子垂直進入磁場的方向不同，或者由由于帶電粒子垂直進入磁場的方向不同，或者由于磁場區(qū)域邊界不同，造成它在磁場中運動的圓于磁場區(qū)域邊界不同，造成它在磁場中運動的圓弧軌跡各不相同弧軌跡各不相同圖中舉出了沿不同圖中舉出了沿不同方法垂直進入磁場方法垂直進入磁場后的運動軌跡的情后的運動軌跡的情況況(1)(1)帶電粒子做勻速圓周運動的圓心的確定帶電粒子做勻速圓周運動的圓心的確定: :因為因為洛倫洛倫茲力茲力F F指向圓心指向圓心, ,根據(jù)根據(jù)Fv,Fv,畫出粒

7、子畫出粒子運動軌跡中任意兩點運動軌跡中任意兩點( (一般是射入和射出磁場的一般是射入和射出磁場的兩點兩點，并且射入和射出兩點的速度方向已知，并且射入和射出兩點的速度方向已知) )的的F F的方向的方向, ,其延長線的交點即為圓心其延長線的交點即為圓心( (圖甲圖甲) ). .F F洛洛F F洛洛已知入射方向和入射點及出射點的位置時已知入射方向和入射點及出射點的位置時, ,可可以通過入射點作入射方向的以通過入射點作入射方向的力力, ,連接入射點和連接入射點和出射點出射點, ,作其中垂線作其中垂線, ,力的延長線和中力的延長線和中垂線的交垂線的交點就是圓弧軌道的圓心（圖乙）點就是圓弧軌道的圓心（圖

8、乙）. .F F洛洛M(2)(2)半徑的確定和計算半徑的確定和計算. .半徑的計算一般是利用幾半徑的計算一般是利用幾何知識何知識, ,常用的幾何知識有常用的幾何知識有: :粒子速度的偏向角等于圓心粒子速度的偏向角等于圓心角角, ,并等于弦切角并等于弦切角的的2 2倍倍, ,即即22TttM注意圓周運動中有關(guān)對稱規(guī)律注意圓周運動中有關(guān)對稱規(guī)律: : 如從同一邊界射入的粒子如從同一邊界射入的粒子, ,從同一邊界射出時從同一邊界射出時, ,速度與邊界的夾角相等速度與邊界的夾角相等; ; 在圓形磁場區(qū)域內(nèi)在圓形磁場區(qū)域內(nèi), ,沿徑向射入的粒子沿徑向射入的粒子, ,必沿徑必沿徑向射出向射出. . M M

9、N NB Bv vv vv v v vR R v vO O/ /O Oo or rR Ro o(3)(3)帶電粒子在有界磁場帶電粒子在有界磁場中運動中運動, ,剛好穿出邊界剛好穿出邊界的條件是軌跡與邊界相的條件是軌跡與邊界相切切, ,也可以理解為剛好也可以理解為剛好未穿出磁場的臨界條件未穿出磁場的臨界條件R+Rcos=LR+Rcos=Lv vRoR(4)(4)帶電粒子帶電粒子在磁場中運動時間的確定在磁場中運動時間的確定: :利用圓心角利用圓心角等于弦切角的兩倍關(guān)系等于弦切角的兩倍關(guān)系, ,或者是四邊或者是四邊形內(nèi)角和等于形內(nèi)角和等于 計算出圓心角計算出圓心角的大小的大小, ,由公式由公式 (

10、(角的單位要取角的單位要取弧度弧度) )可求出運動時間可求出運動時間. .22Tt 22Ttt例：一磁場寬度為例：一磁場寬度為L L，磁感應(yīng)強度為，磁感應(yīng)強度為B B，如圖所示，如圖所示，一電荷質(zhì)量為，一電荷質(zhì)量為m m，帶電荷量為，帶電荷量為q q，不計重力，不計重力，以一速度以一速度v(v(方向如圖所示方向如圖所示) )射入磁場若要粒子射入磁場若要粒子恰不能從磁場右邊界飛出，則電荷的速度應(yīng)為多恰不能從磁場右邊界飛出，則電荷的速度應(yīng)為多大？大？解析：電荷不從右邊界飛出的臨界解析：電荷不從右邊界飛出的臨界條件是粒子到達右邊界時軌跡恰好條件是粒子到達右邊界時軌跡恰好與右邊界相切與右邊界相切v v

11、rr+rcos=Lr+rcos=L, ,得：得：cos1LrrvmqvB2)cos1 (mqBLv根據(jù)根據(jù)得：得：or例例: :如圖所示，一束電子的電荷量為如圖所示，一束電子的電荷量為e e，以速度，以速度v v垂直射入磁感應(yīng)強度為垂直射入磁感應(yīng)強度為B B、寬度為、寬度為d d的有界勻強磁的有界勻強磁場中，穿過磁場時的速度方向與原來電子的入射場中，穿過磁場時的速度方向與原來電子的入射方向的夾角方向的夾角是是3030，則電子的質(zhì)量是多少？電，則電子的質(zhì)量是多少？電子穿過磁場的時間又是多少？子穿過磁場的時間又是多少？解析：圓心角解析：圓心角則則根據(jù)根據(jù) 得：得： 6ddr2sinr rrvmev

12、B2vdeBveBrm2r帶電粒子通過圓弧所用的帶電粒子通過圓弧所用的時間，即就是穿過磁場所用的時間，即就是穿過磁場所用的時間。時間。vdBemeBmTt362262例例: :如圖所示，一束電子的電荷量為如圖所示，一束電子的電荷量為e e，以速度，以速度v v垂直射入磁感應(yīng)強度為垂直射入磁感應(yīng)強度為B B、寬度為、寬度為d d的有界勻強磁的有界勻強磁場中，穿過磁場時的速度方向與原來電子的入射場中，穿過磁場時的速度方向與原來電子的入射方向的夾角方向的夾角是是3030，則電子的質(zhì)量是多少？電，則電子的質(zhì)量是多少？電子穿過磁場的時間又是多少？子穿過磁場的時間又是多少？二速二速度選擇器度選擇器: :

13、正交正交的勻強磁場和勻強電場組成速度選擇器的勻強磁場和勻強電場組成速度選擇器帶電粒子必須以帶電粒子必須以唯一確定的速度唯一確定的速度（包括大小、方（包括大小、方向）才能勻速（或者說沿直線）通過速度選擇器向）才能勻速（或者說沿直線）通過速度選擇器, ,否則將發(fā)生偏轉(zhuǎn)。這個速度的大小可以由洛倫否則將發(fā)生偏轉(zhuǎn)。這個速度的大小可以由洛倫茲力和電場力的平衡得出：茲力和電場力的平衡得出：qvB=EqqvB=Eq， . .在本在本圖中，速度方向必須圖中，速度方向必須向右向右 vBEv 三、質(zhì)譜儀三、質(zhì)譜儀1 1質(zhì)譜儀主要用于分析同位素質(zhì)譜儀主要用于分析同位素, ,測定其質(zhì)量、測定其質(zhì)量、比荷和含量比比荷和含

14、量比. .圖為一種常用的質(zhì)譜儀圖為一種常用的質(zhì)譜儀, ,由離子由離子源源A A、加速電場、加速電場U U、速度選擇器、速度選擇器(E(E、B B1 1) )、偏轉(zhuǎn)磁、偏轉(zhuǎn)磁場場(B(B2 2) )和核乳膠片組成和核乳膠片組成. .EB12粒子通過加速電場粒子通過加速電場, ,根據(jù)動能定理有根據(jù)動能定理有: : 粒子通過速度選擇器粒子通過速度選擇器, ,根據(jù)勻速運動條件有根據(jù)勻速運動條件有: : ( ( ) )若測出粒子在偏轉(zhuǎn)磁場中的軌道直徑為若測出粒子在偏轉(zhuǎn)磁場中的軌道直徑為d,d,則又有則又有: : 所以所以, ,同位素的比荷和質(zhì)量同位素的比荷和質(zhì)量分別為分別為: :qUmv2211BEv

15、qEqvB 1qBBmEqBmvRd212222dBBEmq212EqdBBm2212EB1vv四、回旋加速器四、回旋加速器: :1 1工作原理工作原理: :如圖所示，如圖所示，D D1 1和和D D2 2是兩個中空的半圓金屬盒，它是兩個中空的半圓金屬盒，它們之間有一定的電勢差們之間有一定的電勢差U U，A A處的粒子源產(chǎn)生的帶處的粒子源產(chǎn)生的帶電粒子在兩盒之間被電場加速電粒子在兩盒之間被電場加速D D1 1、D D2 2處于與盒處于與盒面垂直的勻強磁場面垂直的勻強磁場B B中，粒子將在磁場中做勻速圓中，粒子將在磁場中做勻速圓周運動，經(jīng)半個圓周周運動，經(jīng)半個圓周( (半個周期半個周期) )后，

16、后，再次到達兩盒間的縫隙，控再次到達兩盒間的縫隙，控制兩盒間電勢差，使其恰好改制兩盒間電勢差，使其恰好改變正負(fù)，于是粒子在盒縫間再變正負(fù)，于是粒子在盒縫間再次被加速，如果粒子每次通過次被加速，如果粒子每次通過盒間縫隙均能被加速，粒子速度盒間縫隙均能被加速，粒子速度就能夠增加到很大就能夠增加到很大A A電場加速電場加速: : 磁場約束偏轉(zhuǎn)磁場約束偏轉(zhuǎn): : , , , ,但也但也要要注意其半徑不能無限注意其半徑不能無限制的增大制的增大, ,最大為最大為D D形盒的半徑形盒的半徑加速條件加速條件: :高頻電源的周期與帶電粒子在高頻電源的周期與帶電粒子在D D形盒中運動的周形盒中運動的周期相同期相同

17、, ,即即 T T電電源源=T=T回旋回旋= =kEqUrvmqvB2qBmvr qBm2( (初速度為零，則初速度為零，則qU= qU= ) )221mv2.2.周期：周期： 粒子每經(jīng)過一次加速，其軌道半徑就大一粒子每經(jīng)過一次加速，其軌道半徑就大一些，但粒子做圓周運動的周期不變些，但粒子做圓周運動的周期不變3.3.最大動能：最大動能：由由 和和 得得 ，即粒子在回旋加速器中獲得的最大動能與即粒子在回旋加速器中獲得的最大動能與q q、m m、B B、r(r(是回旋加速器的最大半徑是回旋加速器的最大半徑) )有關(guān)，與有關(guān)，與加速電壓無關(guān)加速電壓無關(guān)rvmqvB2221mvEKmrBqEK2222

18、五霍爾效應(yīng)五霍爾效應(yīng) 如圖所示，厚度為如圖所示，厚度為h,h,寬度為寬度為d d的導(dǎo)體放在垂直于它的磁感應(yīng)強度為的導(dǎo)體放在垂直于它的磁感應(yīng)強度為B B的勻強磁場中，當(dāng)電流通過導(dǎo)體板時，在導(dǎo)體板的下側(cè)面的勻強磁場中，當(dāng)電流通過導(dǎo)體板時，在導(dǎo)體板的下側(cè)面a a和上和上側(cè)面?zhèn)让鎎 b之間會產(chǎn)生電勢差。這種現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)?；魻栃?yīng)可解之間會產(chǎn)生電勢差。這種現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)?；魻栃?yīng)可解釋如下：外部磁場的洛釋如下：外部磁場的洛倫茲力使運動電子聚集倫茲力使運動電子聚集在導(dǎo)體的一側(cè)，在導(dǎo)體在導(dǎo)體的一側(cè)，在導(dǎo)體板的另一側(cè)會出現(xiàn)多余板的另一側(cè)會出現(xiàn)多余的正電荷，從而形成豎的正電荷，從而形成豎向電場，豎向電場對

19、電向電場，豎向電場對電子施加與洛倫茲力相反子施加與洛倫茲力相反的電場力，當(dāng)?shù)碾妶隽Γ?dāng)電場力與電場力與洛倫茲力達到平衡洛倫茲力達到平衡時，時，導(dǎo)體板上下兩側(cè)之間就導(dǎo)體板上下兩側(cè)之間就會形成穩(wěn)定的電勢差。會形成穩(wěn)定的電勢差。qU/d=qvBqU/d=qvBU=dvBU=dvB電電 六六電磁流量計電磁流量計: :流量流量: :在單位時間內(nèi)通過管內(nèi)橫截面的流體的體積在單位時間內(nèi)通過管內(nèi)橫截面的流體的體積電磁流量計原理可解釋為電磁流量計原理可解釋為: :如圖所示如圖所示, ,一圓形導(dǎo)管一圓形導(dǎo)管直徑為直徑為d,d,用非磁性材料制成用非磁性材料制成, ,其中有可以導(dǎo)電的其中有可以導(dǎo)電的液體向左流動液體向

20、左流動. .導(dǎo)電液體中的自由電荷導(dǎo)電液體中的自由電荷( (正負(fù)離子正負(fù)離子) )在洛侖茲力作用下橫向偏轉(zhuǎn)在洛侖茲力作用下橫向偏轉(zhuǎn),a,a、b b間出現(xiàn)電勢差間出現(xiàn)電勢差. .當(dāng)自由電荷所受電場力和洛侖茲力平衡時當(dāng)自由電荷所受電場力和洛侖茲力平衡時,a,a、b b間的電勢差就保持穩(wěn)定間的電勢差就保持穩(wěn)定. .由由 , ,可得可得 . .則則: :流量流量 Q=Sv=Q=Sv=BdUBdUd442qdUqEqvBBdUv dvBUqvBdUq,七磁流體發(fā)電機七磁流體發(fā)電機: :將一束將一束等離子體等離子體（帶有帶有等量異種電荷的粒子流等量異種電荷的粒子流）噴射入場，等離子體在磁噴射入場，等離子體在

21、磁場力的作用下偏轉(zhuǎn)，金屬場力的作用下偏轉(zhuǎn)，金屬板、上就聚集電荷，板、上就聚集電荷，產(chǎn)生電壓，電路中就有了產(chǎn)生電壓，電路中就有了電流。電流。、間的空間、間的空間相相當(dāng)于當(dāng)于“電源電源”的內(nèi)電路的內(nèi)電路，、產(chǎn)生的、產(chǎn)生的電壓電壓就相當(dāng)就相當(dāng)于電源的于電源的電動勢電動勢，積累正，積累正電荷的極板就相當(dāng)于電源電荷的極板就相當(dāng)于電源正極，積累負(fù)電荷的極板正極，積累負(fù)電荷的極板就相當(dāng)于電源負(fù)極就相當(dāng)于電源負(fù)極八多級加速器八多級加速器帶電粒子在一條帶電粒子在一條直線形裝置上被加直線形裝置上被加速，長度達幾公里速，長度達幾公里到幾十公里。如圖到幾十公里。如圖，電荷量為，電荷量為q q的粒的粒子經(jīng)子經(jīng)n n級加

22、速后，級加速后，根據(jù)動能定理得：根據(jù)動能定理得：U1=U2=U3=Un=UkEnqU九帶電粒子在復(fù)合場中的運動規(guī)律九帶電粒子在復(fù)合場中的運動規(guī)律1 1受力及運動分析受力及運動分析正確分析帶電粒子的受力及運動特征是解決問正確分析帶電粒子的受力及運動特征是解決問題的前提，題的前提，帶電粒子在復(fù)合場中做什么運動，帶電粒子在復(fù)合場中做什么運動，取決于帶電粒子所受的合外力及其初始狀態(tài)的取決于帶電粒子所受的合外力及其初始狀態(tài)的速度，速度，因此應(yīng)把帶電粒子的運動情況和受力情因此應(yīng)把帶電粒子的運動情況和受力情況結(jié)合起來進行分析況結(jié)合起來進行分析(1)(1)當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場中所受合外力為零時，當(dāng)帶電粒子在復(fù)合

23、場中所受合外力為零時，做勻速直線運動做勻速直線運動( (如速度選擇器如速度選擇器) )(2)(2)當(dāng)帶電粒子所受重力與電場力是一對平衡力當(dāng)帶電粒子所受重力與電場力是一對平衡力時，此時洛倫茲力提供向心力，帶電粒子在垂時，此時洛倫茲力提供向心力，帶電粒子在垂直于磁場的平面內(nèi)做勻速圓周運動直于磁場的平面內(nèi)做勻速圓周運動(3)(3)當(dāng)帶電粒子所受合外力是變力，且與初速度當(dāng)帶電粒子所受合外力是變力，且與初速度方向不在一條直線上時，粒子做非勻變速曲線運方向不在一條直線上時，粒子做非勻變速曲線運動，動，這時粒子的運動軌跡既不是圓弧，也不是拋這時粒子的運動軌跡既不是圓弧，也不是拋物線，由于帶電粒子可能連續(xù)通過

24、幾個情況不同物線，由于帶電粒子可能連續(xù)通過幾個情況不同的復(fù)合場區(qū)，因此粒子的運動情況也發(fā)生相應(yīng)的的復(fù)合場區(qū)，因此粒子的運動情況也發(fā)生相應(yīng)的變化，其運動過程可能由幾種不同的運動階段所變化，其運動過程可能由幾種不同的運動階段所組成組成 此類問題一般用功能關(guān)系解決較簡單。此類問題一般用功能關(guān)系解決較簡單。2 2解決帶電粒子在復(fù)合場中運動問題的基本思路解決帶電粒子在復(fù)合場中運動問題的基本思路(1)(1)當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場中做當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場中做勻速直線運動勻速直線運動時，可時，可根據(jù)根據(jù)平衡條件平衡條件列方程求解列方程求解(2)(2)當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場中做當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場中做勻速圓周運動勻速圓周運

25、動時，往時，往往同時應(yīng)用往同時應(yīng)用向心力方程式和平衡條件向心力方程式和平衡條件列方程聯(lián)立列方程聯(lián)立求解求解(3)(3)當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場中做當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場中做非勻變速曲線運動非勻變速曲線運動時時，應(yīng)用，應(yīng)用動能定理或能量守恒定律動能定理或能量守恒定律等列方程求解等列方程求解(4)(4)若帶電粒子在復(fù)合場中做若帶電粒子在復(fù)合場中做勻變速直線運動勻變速直線運動時，時，有兩種可能：有兩種可能：帶電粒子不受洛倫茲力帶電粒子不受洛倫茲力帶電粒子所受的洛倫茲力始終與某一個力平衡帶電粒子所受的洛倫茲力始終與某一個力平衡例例. .兩帶電油滴在豎直向上的勻強電場兩帶電油滴在豎直向上的勻強電場E E和垂直紙和垂直紙面向里的勻強磁場面向里的勻強磁場B B正交的空間做豎直平面內(nèi)的正交的空間做豎直平面內(nèi)的勻速圓周運動，如圖所示，則兩油滴一定相同的勻速圓周運動，如圖所示，則兩油滴一定相同的是是( () )帶電性質(zhì)運動周期運動半徑運動速率帶電性質(zhì)運動周期運動半徑運動速率A AB BC C D Dmg=qE,mg=qE,重力方向向下，所以電場力方向向上，重力方向向下，所以電場力方向向上，因此油滴帶正電因此油滴帶正電( (逆時針轉(zhuǎn)動逆時針轉(zhuǎn)動) )由于由于 ，故兩油滴周期相同，故兩油滴周期相同由于粒子速率不能確定，故軌道半徑