邏輯代數(shù)的運算

1、1.2 邏輯代數(shù)的運算邏輯代數(shù)的運算1.21 邏輯代數(shù)與邏輯運算邏輯代數(shù)與邏輯運算1.2.2 邏輯代數(shù)的基本運算邏輯代數(shù)的基本運算1.2.3 邏輯代數(shù)的復合運算邏輯代數(shù)的復合運算1.2.11.2.1 邏輯代數(shù)與邏輯變量邏輯代數(shù)與邏輯變量 在客觀世界中，事物的發(fā)展變化通常都是有一定因果關系的。 例如：電燈的亮與滅決定于電源是否接通；如果電源接通了，電燈就會亮，否則就滅。 這里電源接通與否是“因”，電燈亮與不亮是“果”。這種因果關系，一般稱為邏輯關系。 反映和處理邏輯關系的數(shù)學工具，就是邏輯代數(shù)（布爾代數(shù)）（開關代數(shù)） 。邏輯關系邏輯關系數(shù)字電路的輸出信號與輸入信號之間的關系就是邏輯關系，所以數(shù)字

2、電路的工作狀態(tài)可以用邏輯代數(shù)來描述。邏輯代數(shù)和普通代數(shù)一樣，用字母代表變量。 邏輯代數(shù)（布爾）基礎基本概念基本概念如果輸入邏輯變量如果輸入邏輯變量 A、B、C 的取值確定的取值確定之后，輸出邏輯變量之后，輸出邏輯變量 Y 的值也被唯一確定，的值也被唯一確定，則稱則稱 Y 是是 A、B、C 的邏輯函數(shù)。并記作的邏輯函數(shù)。并記作.,CBAFY 分為分為邏輯自變量邏輯自變量和和邏輯因變量邏輯因變量。邏輯自變邏輯自變量（輸入）量（輸入）是決定事物的因素，而被決定是決定事物的因素，而被決定事物的結果為事物的結果為邏輯因變量（輸出）邏輯因變量（輸出）。在邏。在邏輯代數(shù)中，邏輯變量用英文字母表示。輯代數(shù)中，

3、邏輯變量用英文字母表示。邏輯變量：邏輯變量：在邏輯代數(shù)中，變量的取值不是在邏輯代數(shù)中，變量的取值不是 1 就是就是 0 。.,CBAFY 原變量和反變量：原變量和反變量：字母上面無反號的稱為字母上面無反號的稱為原變量原變量，有反，有反號的叫做號的叫做反變量反變量。如：。如：A和和A1.2.2基本邏輯運算基本邏輯運算1. 與邏輯：與邏輯：當決定一事件的所有條件都具備時，事當決定一事件的所有條件都具備時，事件才發(fā)生的邏輯關系。件才發(fā)生的邏輯關系。功能表功能表滅滅滅滅滅滅亮亮斷斷 斷斷斷斷 合合合合 斷斷合合 合合與邏輯關系與邏輯關系開關開關A開關開關B燈燈Y電源電源ABY真值表真值表（Truth

4、table）邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式 與門與門（AND gate)邏邏輯輯符符號號與邏輯的表示方法：與邏輯的表示方法：ABY&000100011011ABBAY 功能表功能表滅滅滅滅滅滅亮亮斷斷 斷斷斷斷 合合合合 斷斷合合 合合ABYABY將變量的狀態(tài)將變量的狀態(tài)賦值后，列出賦值后，列出其對應的表格其對應的表格邏輯規(guī)律：邏輯規(guī)律：有有0出出0，全，全1出出12. 或邏輯：或邏輯： 決定一事件結果的諸條件中，只要有一個或一個決定一事件結果的諸條件中，只要有一個或一個以上具備時，事件就會發(fā)生的邏輯關系。以上具備時，事件就會發(fā)生的邏輯關系。BAY 或門或門(OR gate) )或邏輯關系或邏輯

5、關系開關開關A開關開關B燈燈Y電源電源真值表真值表邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式邏邏輯輯符符號號011100011011ABYABY1邏輯規(guī)律：邏輯規(guī)律：有有1出出1，全，全 0出出03. 非邏輯：非邏輯： 只要條件具備，事件便不會發(fā)生；條件不具備，只要條件具備，事件便不會發(fā)生；條件不具備，事件一定發(fā)生的邏輯關系。事件一定發(fā)生的邏輯關系。真值表真值表邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式A Y 邏邏輯輯符符號號非門非門（NOT gate)非邏輯關系非邏輯關系1001AY1開關開關A燈燈Y電源電源RAY邏輯規(guī)律：邏輯規(guī)律：進進0出出1，進進1出出01.2.3 邏輯代數(shù)的復合邏輯邏輯代數(shù)的復合邏輯定義：含有兩種或兩種以上基本

6、邏輯運算的邏輯函數(shù)定義：含有兩種或兩種以上基本邏輯運算的邏輯函數(shù)(1) 與非邏輯與非邏輯 (NAND)ABY 1AB&1Y邏輯規(guī)律：邏輯規(guī)律：有有0出出1，全，全 1出出011100 00 11 01 1ABY1Y1的真值表的真值表Y1(2) 或非邏輯或非邏輯 (NOR)BAY 2AB2Y1邏輯規(guī)律：邏輯規(guī)律：有有1出出0，全，全 0出出1Y2 的真值表的真值表10000 00 11 01 1ABY2Y2(3) 與或非邏輯與或非邏輯 (AND OR NOT)CDABY 3Y3的真值表的真值表AB&CD3Y1邏輯規(guī)律：邏輯規(guī)律：各組均有各組均有0出出1，某組全，某組全 1出出01

7、1100 0 0 0ABY3CD0 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 1 1 01 1 1 10111 0 1 0 . . . . . . . . . .0Y3(4) 異或邏輯異或邏輯(ExclusiveOR)AB=14YBABABAY 401100 00 11 01 1 ABY4邏輯規(guī)律：邏輯規(guī)律：相同出相同出0，相反出，相反出1Y4(5) 同或邏輯同或邏輯(ExclusiveNOR)( (異或非異或非) )AB=15YBAY 5= ABABBA 10010 00 11 01 1ABY5邏輯規(guī)律：邏輯規(guī)律：相同出相同出1，相反出，相反出0Y5 電路圖電路圖 功能表功能表

8、 真值表真值表 邏輯符號邏輯符號 邏輯表達式邏輯表達式邏輯關系的表達方式有五種小 結1.3 邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)的表示方法一、邏輯函數(shù)的表示方法一、邏輯函數(shù)的表示方法四種四種表示方法表示方法Y=AB + ABY=AB + AB邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式( (邏輯表達式邏輯表達式, , 邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式) )1 11 1& & &11A AB BY Y 邏輯電路圖邏輯電路圖: :卡諾圖卡諾圖 將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與將邏輯函數(shù)輸入變量取值的不同組合與所對應的輸出變量值用列表的方式一一對應列出所對應的輸出變量值用列表的方式一一對應列出的表格。的表格。n2N N

9、個輸入變量個輸入變量 種組合種組合。真值表：真值表： 1、注意：a、運算順序：先括號內(nèi)，后括號外；先與后或b、非號下面的括號可以省略。Y=AB + ABY=AB + AB邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式( (邏輯表達式邏輯表達式, , 邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式) ) A B Y 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0A B C Y0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 10 10 11 01 0A YA Y一輸入變一輸入變量，二種量，二種組合組合二輸入變二輸入變量，四種量，四種組合組合三輸入變?nèi)斎胱兞?，八種量，八種組合組合2 2

10、、真值表、真值表A B C D Y0 0 0 0 1 0 0 0 1 00 0 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 1A B C D Y1 0 0 0 1 1 0 0 1 11 0 1 0 11 0 1 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 1四輸入變四輸入變量，量，16種種組合組合（四輸入變量）（四輸入變量）各種表示方法之間的轉換各種表示方法之間的轉換1 1、由真值表求邏輯表達式、由真值表求邏輯表達式（1）把真值表中邏輯函數(shù)值為）把真值表中邏輯函數(shù)值為1的輸入變量組合的輸入變量組合挑出來；挑出

11、來；（2）若輸入變量為）若輸入變量為1，則寫成原變量，若輸入變，則寫成原變量，若輸入變量為量為0，則寫成反變量；，則寫成反變量；（3）把每個組合中各個變量相乘（即相與），）把每個組合中各個變量相乘（即相與），得到一個乘積項；得到一個乘積項；（4）將各乘積項相加，就得到相應的邏輯表達）將各乘積項相加，就得到相應的邏輯表達式。式。例：試設計一個三人表決器例：試設計一個三人表決器晉晉 級級淘淘 汰汰 請同學們?yōu)橹袊_人秀的評委設計一個表決器，功能要求請同學們?yōu)橹袊_人秀的評委設計一個表決器，功能要求: : 三個評委各控制三個評委各控制 A A、B B、C C三個按鍵中一個，以少數(shù)服從多數(shù)的原三個按鍵

12、中一個，以少數(shù)服從多數(shù)的原則表決事件，按下表示同意，否則為不同意。則表決事件，按下表示同意，否則為不同意。若表決通過，發(fā)光二極管點亮，否則不亮。若表決通過，發(fā)光二極管點亮，否則不亮。設計任務設計任務一、分析要求，列真值表評委同意為“1”，不同意為“0”表決結果通過為“1”，不通過為“0”。列真列真值表值表寫邏輯寫邏輯表達式表達式畫邏輯畫邏輯電路圖電路圖選擇選擇芯片、連線芯片、連線A B C表決結果Z0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111ABCCABCBABCAZABCBCACBACAB二、根據(jù)真值表寫表達式列真列真值表值表寫邏輯寫邏輯表

13、達式表達式畫邏輯畫邏輯電路圖電路圖選擇選擇芯片、連線芯片、連線（1）畫出所有的邏輯變量；）畫出所有的邏輯變量；（2）將函數(shù)式中的各運算關系用相應的圖形符號表示出來；）將函數(shù)式中的各運算關系用相應的圖形符號表示出來；ABCCABCBABCAZ& 1&CAAABBBCCABCZ三、根據(jù)表達式畫邏輯圖四、選擇芯片、連線學生查看集成邏輯門電路清單，確定選用芯片型號：學生查看集成邏輯門電路清單，確定選用芯片型號：列真列真值表值表寫邏輯寫邏輯表達式表達式畫邏輯畫邏輯電路圖電路圖選擇選擇芯片、連線芯片、連線四、畫接線圖、接線電路接線圖電路接線圖三、根據(jù)表達式邏輯電路圖化簡結果：化簡結果：與或

14、式與或式:與非式與非式 :三個兩輸入與門電路三個兩輸入與門電路一個三輸入或門電路一個三輸入或門電路三個兩輸入與非門電路三個兩輸入與非門電路一個三輸入與非門電路一個三輸入與非門電路列真列真值表值表寫邏輯寫邏輯表達式表達式畫邏輯畫邏輯電路圖電路圖門電路的數(shù)量相同，但類型不同門電路的數(shù)量相同，但類型不同 選擇選擇芯片、連線芯片、連線二、寫表達式，化簡化簡結果：化簡結果：與或式與或式:與非式與非式 :列真列真值表值表寫邏輯寫邏輯表達式表達式畫邏輯畫邏輯電路圖電路圖選擇選擇芯片、連線芯片、連線2 2、由邏輯表達式列出真值表、由邏輯表達式列出真值表按照邏輯表達式，對邏輯變量的各種取值進行計算，求出按照邏輯

15、表達式，對邏輯變量的各種取值進行計算，求出相應的函數(shù)值，再把變量取值和函數(shù)值一一對應列成表格。相應的函數(shù)值，再把變量取值和函數(shù)值一一對應列成表格。A B C表決結果 Z0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111ABCCABCBABCAZBABY=A B+ABA BA1&AB&114 4、由邏輯圖求邏輯表達式、由邏輯圖求邏輯表達式由輸入到輸出，按照每個門的符號寫出每個門的邏輯函數(shù)，由輸入到輸出，按照每個門的符號寫出每個門的邏輯函數(shù)，直到最后得到整個邏輯電路的表達式。直到最后得到整個邏輯電路的表達式。2.2 邏輯代數(shù)的基本定律和

16、運算規(guī)則邏輯代數(shù)的基本定律和運算規(guī)則或：或：0 + 0 = 01 + 0 = 11 + 1 = 1 與：與：0 0 = 00 1 = 01 1 = 1 非：非： 1 0 0 1 或：或：A + 0 = AA + 1 = 1與與: :A 0 = 0A 1 = A 非：非： 0 AA AA1 一、一、 常量之間的關系常量之間的關系( (常量：常量：0 和和 1 ) )2.2.1 基本定律基本定律或：或：A + A = A與與: :A A = A二、變量和常量的關系二、變量和常量的關系( (變量：變量：A、B、C) )三、變量和變量的關系三、變量和變量的關系( (變量：變量：A、B、C) )四、與普

17、通代數(shù)相似的定理四、與普通代數(shù)相似的定理交換律交換律ABBA ABBA 結合律結合律)()(CBACBA )()(CBACBA 分配律分配律ACABCBA )()( )(CABABCA BABA BABA 還原律還原律AA 德德 摩根定摩根定理理 例例 1 證明公式證明公式)(CABABCA 解解 方法一：公式法方法一：公式法CBBACAAACABA )(右右式式BCABACA BCBCA )1(左式左式 BCA 例例 2 證明：證明： 德德 摩根定摩根定理理 A B 0 0 0 1 1 0 1 1BA BA 00 0 1 1110ABBA 11 0 0 10101110BA BA BA 01

18、1110001000相等相等相等相等 將將Y 式中式中“.”換成換成“+”,“+”換成換成“.” “0”換成換成“1”,“1”換成換成“0” 原原變量換成變量換成反反變量，變量，反反變量換成變量換成原原變量變量1.1.代入規(guī)則：代入規(guī)則： 將等式兩邊某一變量都代之以一將等式兩邊某一變量都代之以一個邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。個邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。例如，已知例如，已知BABA ( (用函數(shù)用函數(shù) A + C 代替代替 A) )則則BCABCABCA )(2.2.反演規(guī)則：反演規(guī)則：不屬于單個變量上的反號應保留不變不屬于單個變量上的反號應保留不變運算順序：運算順序：括號括號 乘乘 加加注意注意

19、:Y2.2.2 關于等式的三個規(guī)則關于等式的三個規(guī)則例如：例如：已知已知 )( 1CDCBAY ) ( ) (1DCCBAY CDCBAY 2 CDCBAY )(2反演規(guī)則的應用：反演規(guī)則的應用：求邏輯函數(shù)的反函數(shù)求邏輯函數(shù)的反函數(shù)則則 將將 Y 式中式中“.”換成換成“+”,“+”換成換成“.” “0”換成換成“1”,“1”換成換成“0” 原原變量換成變量換成反反變量，變量，反反變量換成變量換成原原變量變量例如：例如：已知已知則則運算順序：運算順序：括號括號 與與 或或不屬于單個變量上不屬于單個變量上的反號應保留不變的反號應保留不變Y3.3.對偶規(guī)則：對偶規(guī)則： 如果兩個表達式相等，則它們的

20、對如果兩個表達式相等，則它們的對偶式也一定相等。偶式也一定相等。將將 Y 中中“. ”換成換成“+”,“+”換成換成“.” “0” 換成換成“1”,“1”換成換成“0” )()(1DC BCAYd )( 1CDCBAY CDCBA Y 2 CD CBAYd)(2例如例如:對偶規(guī)則的應用對偶規(guī)則的應用：證明等式成立：證明等式成立0 0 = 01 + 1 = 1 0 AA AA1 運算順序：運算順序：括號括號 與與 或或 ) ( 對偶式dY2.2.3 若干常用公式若干常用公式ABAAB合并律合并律ABABA)( 吸收律吸收律AABABABAACAABBCCAABABAA)(BABAA)()()()

21、(CABACBCABA(6) 異或、同或運算的常用公式異或、同或運算的常用公式AA 1AA 00 AA1 AA變量與常變量與常量的關系量的關系A 1=AA 0=AA A=0ABBA 交換律交換律結合律結合律)()(C BACBA 分配律分配律 )(ACAB C BA 奇偶律奇偶律AAAAA A=1A A A = A2.3.2 常用邏輯門常用邏輯門幾種常用邏輯門的實際器件引腳圖幾種常用邏輯門的實際器件引腳圖非門只有一個輸入端非門只有一個輸入端實際的異或門和同或門都只有兩個輸入端實際的異或門和同或門都只有兩個輸入端與門、與非門、或非門、與或非門可以有多個輸入端與門、與非門、或非門、與或非門可以有多

22、個輸入端2.3.3 常用邏輯門的等效符號及有效電平常用邏輯門的等效符號及有效電平正邏輯體制正邏輯體制，高電平用邏輯，高電平用邏輯1表示，低電平用邏表示，低電平用邏輯輯0表示；表示；負邏輯體制負邏輯體制，高電平用邏輯，高電平用邏輯0表示，低電平用邏表示，低電平用邏輯輯1表示。表示。正、負邏輯體制正、負邏輯體制如無特殊說明，均采用正邏輯。如無特殊說明，均采用正邏輯。邏輯門的等效符號邏輯門的等效符號有效電平的規(guī)定有效電平的規(guī)定當邏輯符號的輸入或輸出引腳上沒有小圓圈時，表示該引腳是高電平有效；當邏輯符號的輸入或輸出引腳上有小圓圈時，表示該引腳是低電平有效。作業(yè)題作業(yè)題:P37 2-2P37 2-2（1 1）、（）、（3 3）2-3 2-3 （1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）補充：補充：邏輯函數(shù)的表示方法及其相互之間的轉換邏輯函數(shù)的表示方法及其相互之間的轉換1、幾種表示函數(shù)的方法、幾種表示函數(shù)的方法 邏輯函數(shù)式、真值表、符號圖、波形圖、卡諾圖邏輯函數(shù)式、真值表、符號圖、波形圖、卡諾圖邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式CABCABY 真值表真值表ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111描述邏輯函數(shù)各個變量取描述邏輯函數(shù)各個變量取值組合與函數(shù)值之間數(shù)值值組合與函數(shù)值之間數(shù)