第九章三向應(yīng)力狀態(tài)(6,7,8)

1、9-6 9-6 空間應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能空間應(yīng)力狀態(tài)下的變形比能單元體應(yīng)變能（應(yīng)變能密度）單元體應(yīng)變能（應(yīng)變能密度）單位體積單位體積的應(yīng)變能的應(yīng)變能2 2、單元體變形功：、單元體變形功：dydxdzxzyddd11 yzxddd22 zxyddd33 2 13 單向拉伸變形比能：?jiǎn)蜗蚶熳冃伪饶埽? 121v3 3、單元體應(yīng)變比能、單元體應(yīng)變比能xzyddd2111dWyzxddd2122zyxddd2133Vzyxdddd21332211 zyxzyxddd/ddd21332211 33221121 VVvdd332211212121v）（）（）（213313223211111EEE)(22

2、1133221232221Ev123mmm1m2m3m變形比能變形比能=體積改變比能體積改變比能+形狀改變比能形狀改變比能m1233dVvvv)(221133221232221Ev2m2)21 ( 3E1261232E()Vdvvv213232221)()()(61Evd123mmmm13mm2)(221mmmmmm2m2m2mEvV9-189-18求證求證證明：證明：GE)1 (2maxmin( , )0( ,)0 minmax23123221)2(21211EEGvGE)1 (2321,0,maxNmaxAF maxmaxWMz S AFtmaxmax WT*maxmaxSmax bISF

3、zz9-7 強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力maxmax（2）材料的許用應(yīng)力）材料的許用應(yīng)力,是通過拉（壓）試驗(yàn)或純是通過拉（壓）試驗(yàn)或純剪剪試驗(yàn)測(cè)定試試驗(yàn)測(cè)定試件在破壞時(shí)其橫截面上的極限應(yīng)力件在破壞時(shí)其橫截面上的極限應(yīng)力,以此極限應(yīng)力作為強(qiáng)度指標(biāo)以此極限應(yīng)力作為強(qiáng)度指標(biāo),除以適當(dāng)?shù)陌踩驍?shù)而得除以適當(dāng)?shù)陌踩驍?shù)而得,即根據(jù)直接的即根據(jù)直接的試驗(yàn)結(jié)果建立的強(qiáng)度條試驗(yàn)結(jié)果建立的強(qiáng)度條件件.上述強(qiáng)度條件具有如下特點(diǎn)上述強(qiáng)度條件具有如下特點(diǎn)（1）正應(yīng)力和切應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)分別處于）正應(yīng)力和切應(yīng)力危險(xiǎn)點(diǎn)分別處于單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)或或純剪切純剪切應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài); 但是對(duì)于材料在一般平面應(yīng)力狀態(tài)

4、下以及三向應(yīng)力狀態(tài)下的但是對(duì)于材料在一般平面應(yīng)力狀態(tài)下以及三向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度，則由于不等于零的主應(yīng)力可以有多種多樣的組合，所以材料強(qiáng)度，則由于不等于零的主應(yīng)力可以有多種多樣的組合，所以材料破壞的極限應(yīng)力無法通過試驗(yàn)加以測(cè)定。破壞的極限應(yīng)力無法通過試驗(yàn)加以測(cè)定。因而需要通過對(duì)材料破壞因而需要通過對(duì)材料破壞現(xiàn)象的觀察和分析尋求材料強(qiáng)度破壞的規(guī)律，提出關(guān)于材料發(fā)生強(qiáng)現(xiàn)象的觀察和分析尋求材料強(qiáng)度破壞的規(guī)律，提出關(guān)于材料發(fā)生強(qiáng)度破壞的起決定作用的主要度破壞的起決定作用的主要因素，從而得到材料破壞由主要因素引因素，從而得到材料破壞由主要因素引起的假說起的假說強(qiáng)度理論，例如利用單向拉伸試驗(yàn)測(cè)得的強(qiáng)度的一些

5、強(qiáng)度理論，例如利用單向拉伸試驗(yàn)測(cè)得的強(qiáng)度的一些結(jié)果為主要因素，來推斷復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的強(qiáng)度。結(jié)果為主要因素，來推斷復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的強(qiáng)度。工程中常用的強(qiáng)度理論按上述工程中常用的強(qiáng)度理論按上述兩種破壞類型兩種破壞類型分為分為 . . 研究脆性斷裂力學(xué)因素的研究脆性斷裂力學(xué)因素的第一類第一類強(qiáng)度理論，強(qiáng)度理論，其中包括其中包括最大拉應(yīng)力理論和最大拉應(yīng)變理論最大拉應(yīng)力理論和最大拉應(yīng)變理論； . . 研究塑性屈服力學(xué)因素的研究塑性屈服力學(xué)因素的第二類第二類強(qiáng)度理論，強(qiáng)度理論，其中其中包括最大切應(yīng)力理論和形狀改變能密度理論包括最大切應(yīng)力理論和形狀改變能密度理論。 (1) 最大拉應(yīng)力理論最大拉應(yīng)力理論

6、(第一強(qiáng)度理論第一強(qiáng)度理論)： 這個(gè)理論這個(gè)理論認(rèn)為引起材料認(rèn)為引起材料脆性斷裂破壞脆性斷裂破壞的主要因素是最大拉應(yīng)力，的主要因素是最大拉應(yīng)力，無論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力中的拉無論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力中的拉伸主應(yīng)力伸主應(yīng)力 1達(dá)到該材料在單軸拉伸試驗(yàn)的極限應(yīng)力達(dá)到該材料在單軸拉伸試驗(yàn)的極限應(yīng)力 u，材料就發(fā)生脆性斷裂破壞。材料就發(fā)生脆性斷裂破壞?？梢姡谝粡?qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為可見，第一強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為u1 而而相應(yīng)的強(qiáng)度條件則是相應(yīng)的強(qiáng)度條件則是 1其中，其中， 為對(duì)應(yīng)于脆性斷裂的許用拉應(yīng)力，為對(duì)應(yīng)于脆性斷裂的許用拉應(yīng)力， u/n，而，而n為安

7、全因數(shù)。為安全因數(shù)。三、幾個(gè)主要的強(qiáng)度理論三、幾個(gè)主要的強(qiáng)度理論 試驗(yàn)證明，這一理論與鑄鐵、巖石、砼、陶瓷、試驗(yàn)證明，這一理論與鑄鐵、巖石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉斷試驗(yàn)結(jié)果相符，這些材料在玻璃等脆性材料的拉斷試驗(yàn)結(jié)果相符，這些材料在軸向拉伸時(shí)的斷裂破壞發(fā)生于拉應(yīng)力最大的橫截面軸向拉伸時(shí)的斷裂破壞發(fā)生于拉應(yīng)力最大的橫截面上。脆性材料的扭轉(zhuǎn)破壞，也是沿拉應(yīng)力最大的斜上。脆性材料的扭轉(zhuǎn)破壞，也是沿拉應(yīng)力最大的斜面發(fā)生斷裂，這些都與最大拉應(yīng)力理論相符，但這面發(fā)生斷裂，這些都與最大拉應(yīng)力理論相符，但這個(gè)理論沒有考慮其它兩個(gè)主應(yīng)力的影響；此外，它個(gè)理論沒有考慮其它兩個(gè)主應(yīng)力的影響；此外，它對(duì)某一點(diǎn)所

8、取的單元體在任何截面上都沒有拉應(yīng)力對(duì)某一點(diǎn)所取的單元體在任何截面上都沒有拉應(yīng)力的情況就不再適用。的情況就不再適用。 (2)最大拉應(yīng)變理論最大拉應(yīng)變理論( (第二強(qiáng)度理論第二強(qiáng)度理論) ) ：這個(gè)理這個(gè)理論認(rèn)為引起論認(rèn)為引起材料脆性斷裂破壞材料脆性斷裂破壞的主要因素是最大拉的主要因素是最大拉應(yīng)變，無論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處的最大拉應(yīng)變，無論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處的最大拉應(yīng)變應(yīng)變 1達(dá)到該材料在單軸拉伸的極限拉應(yīng)變達(dá)到該材料在單軸拉伸的極限拉應(yīng)變 u，材，材料就會(huì)發(fā)生脆性斷裂破壞。料就會(huì)發(fā)生脆性斷裂破壞?？梢?，第二強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為可見，第二強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為u1 對(duì)應(yīng)

9、于式中材料脆性斷裂的極限拉線應(yīng)變對(duì)應(yīng)于式中材料脆性斷裂的極限拉線應(yīng)變 u， 如果是由單軸拉伸試驗(yàn)如果是由單軸拉伸試驗(yàn)而發(fā)生脆性斷裂情況下而發(fā)生脆性斷裂情況下測(cè)定的測(cè)定的( (例如對(duì)鑄鐵等脆性金屬材料例如對(duì)鑄鐵等脆性金屬材料) )，那么，那么 u u/E。 EEu3211 亦即亦即 u321 而而相應(yīng)的強(qiáng)度條件相應(yīng)的強(qiáng)度條件為為 321 按照這一理論，似乎材料在二軸拉伸或三軸拉按照這一理論，似乎材料在二軸拉伸或三軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下反而比單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下不易斷裂，伸應(yīng)力狀態(tài)下反而比單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下不易斷裂，而這與實(shí)際情況往往不符，故工程上應(yīng)用較少。而這與實(shí)際情況往往不符，故工程上應(yīng)用較少。則第二

10、強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)也可以便于運(yùn)則第二強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)也可以便于運(yùn)用的如下應(yīng)力形式表達(dá)：用的如下應(yīng)力形式表達(dá)： 煤、石料或砼等材料在軸向壓縮試驗(yàn)時(shí)，煤、石料或砼等材料在軸向壓縮試驗(yàn)時(shí)，如端部無摩擦，試件將沿垂直于壓力的方向如端部無摩擦，試件將沿垂直于壓力的方向發(fā)生斷裂，這一方向就是最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變的發(fā)生斷裂，這一方向就是最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變的方向，這與第二強(qiáng)度理論的結(jié)果相近。方向，這與第二強(qiáng)度理論的結(jié)果相近。 (3) 最大切應(yīng)力理論最大切應(yīng)力理論( (第三強(qiáng)度理論第三強(qiáng)度理論) )： 這個(gè)理論這個(gè)理論認(rèn)為引起認(rèn)為引起材料屈服破壞材料屈服破壞的主要因素是最大切應(yīng)力，無的主要因素是最大切應(yīng)

11、力，無論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處的最大切應(yīng)力論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處的最大切應(yīng)力 max達(dá)達(dá)到該材料在軸向拉伸試驗(yàn)中屈服時(shí)最大切應(yīng)力的極限到該材料在軸向拉伸試驗(yàn)中屈服時(shí)最大切應(yīng)力的極限值值 u時(shí)，材料就發(fā)生屈服破壞。時(shí)，材料就發(fā)生屈服破壞。第三強(qiáng)度理論的屈服判據(jù)為第三強(qiáng)度理論的屈服判據(jù)為umax 對(duì)于由單軸拉伸試驗(yàn)可測(cè)定屈服極限對(duì)于由單軸拉伸試驗(yàn)可測(cè)定屈服極限 s s，從而有，從而有 u s/2的材料（例如低碳鋼），上列屈服判據(jù)可寫的材料（例如低碳鋼），上列屈服判據(jù)可寫為為22s31 s31 即即而而相應(yīng)的強(qiáng)度條件相應(yīng)的強(qiáng)度條件則為則為 31 (4) 形狀改變比能理論形狀改變比能理論(

12、(第四強(qiáng)度理論第四強(qiáng)度理論) ) ：該理論認(rèn)該理論認(rèn)為引起為引起材料屈服破壞材料屈服破壞的主要因素是形狀改變比能，無論的主要因素是形狀改變比能，無論在什么應(yīng)力狀態(tài)下，只要一點(diǎn)處的形狀改變比能在什么應(yīng)力狀態(tài)下，只要一點(diǎn)處的形狀改變比能vd達(dá)到達(dá)到單向拉伸時(shí)使材料屈服的形狀改變比能單向拉伸時(shí)使材料屈服的形狀改變比能vdu時(shí)，材料即會(huì)時(shí)，材料即會(huì)發(fā)生屈服破壞。發(fā)生屈服破壞。 第三強(qiáng)度理論曾被許多塑性材料的試驗(yàn)結(jié)果所證第三強(qiáng)度理論曾被許多塑性材料的試驗(yàn)結(jié)果所證實(shí)，且稍偏于安全。這個(gè)理論所提供的計(jì)算式比較實(shí)，且稍偏于安全。這個(gè)理論所提供的計(jì)算式比較簡(jiǎn)單，故它在工程設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。該理簡(jiǎn)單，故它在

13、工程設(shè)計(jì)中得到了廣泛的應(yīng)用。該理論沒有考慮中間主應(yīng)力論沒有考慮中間主應(yīng)力2的影響，其帶來的最大誤的影響，其帶來的最大誤差不超過差不超過15，而在大多數(shù)情況下遠(yuǎn)比此為小。，而在大多數(shù)情況下遠(yuǎn)比此為小。于是，第四強(qiáng)度理論的屈服判據(jù)為于是，第四強(qiáng)度理論的屈服判據(jù)為dudvv 對(duì)于由單軸拉伸試驗(yàn)可測(cè)定屈服極限對(duì)于由單軸拉伸試驗(yàn)可測(cè)定屈服極限 s的材料，注的材料，注意到試驗(yàn)中意到試驗(yàn)中 1 s， 2 30，而相應(yīng)的形狀改，而相應(yīng)的形狀改變能密度的極限值為變能密度的極限值為2sdu261 Ev故屈服判據(jù)可寫為故屈服判據(jù)可寫為 2s21323222126161 EE213232221)()()(61Evd此

14、式中，此式中， 1、 2、 3是構(gòu)成危險(xiǎn)點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力，是構(gòu)成危險(xiǎn)點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力，相應(yīng)的強(qiáng)度條件相應(yīng)的強(qiáng)度條件則為則為 21323222121 這個(gè)理論比第三強(qiáng)度理論更符合已有的一些這個(gè)理論比第三強(qiáng)度理論更符合已有的一些平面應(yīng)力狀態(tài)下的試驗(yàn)結(jié)果，但在工程實(shí)踐中多平面應(yīng)力狀態(tài)下的試驗(yàn)結(jié)果，但在工程實(shí)踐中多半采用計(jì)算較為簡(jiǎn)便的第三強(qiáng)度理論。半采用計(jì)算較為簡(jiǎn)便的第三強(qiáng)度理論。亦即亦即 s21323222121 (5) 強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力 上述四個(gè)強(qiáng)度理論所建立的強(qiáng)度條件可統(tǒng)一寫上述四個(gè)強(qiáng)度理論所建立的強(qiáng)度條件可統(tǒng)一寫作如下形式：作如下形式： r式中，式中， r是根據(jù)不同強(qiáng)度理論

15、以危險(xiǎn)點(diǎn)處以主應(yīng)力是根據(jù)不同強(qiáng)度理論以危險(xiǎn)點(diǎn)處以主應(yīng)力表達(dá)的一個(gè)值，它相當(dāng)于單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度表達(dá)的一個(gè)值，它相當(dāng)于單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度條件條件 中的拉應(yīng)力中的拉應(yīng)力 ，通常稱，通常稱 r為為相當(dāng)應(yīng)力相當(dāng)應(yīng)力。表。表7- -1示出了前述四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式。示出了前述四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式。相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式強(qiáng)度理論名稱及類型強(qiáng)度理論名稱及類型 第一類強(qiáng)第一類強(qiáng)度理論度理論( (脆性脆性斷裂的理論斷裂的理論) )第二類強(qiáng)度第二類強(qiáng)度理論理論( (塑性塑性屈服的理論屈服的理論) )第一強(qiáng)度理論第一強(qiáng)度理論 最大拉應(yīng)力理論最大拉應(yīng)力理論第二強(qiáng)度理論第二強(qiáng)度理論 最大伸

16、長(zhǎng)線應(yīng)變理論最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論第三強(qiáng)度理論第三強(qiáng)度理論 最大切應(yīng)力理論最大切應(yīng)力理論第四強(qiáng)度理論第四強(qiáng)度理論 形狀改變能密度理論形狀改變能密度理論1r1 321r2 313r 2/1213232221r4 21 表表7-1 四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式 一般說來，在常溫和靜載的條件下，脆性材料多一般說來，在常溫和靜載的條件下，脆性材料多發(fā)生脆性斷裂，故通常采用第一、第二強(qiáng)度理論；塑性發(fā)生脆性斷裂，故通常采用第一、第二強(qiáng)度理論；塑性材料多發(fā)生塑性屈服，故應(yīng)采用第三、第四強(qiáng)度理論。材料多發(fā)生塑性屈服，故應(yīng)采用第三、第四強(qiáng)度理論。 影響材料的脆性和塑性的因素很多，例如低溫

17、能提影響材料的脆性和塑性的因素很多，例如低溫能提高脆性，高溫一般能提高塑性；高脆性，高溫一般能提高塑性； 在高速動(dòng)載荷作用下在高速動(dòng)載荷作用下脆性提高，在低速靜載荷作用下保持塑性。脆性提高，在低速靜載荷作用下保持塑性。無論是塑性材料或脆性材料：無論是塑性材料或脆性材料： 在在三向拉應(yīng)力接近相等的情況三向拉應(yīng)力接近相等的情況下，都以下，都以斷裂斷裂的形式破壞，的形式破壞，所以應(yīng)采用所以應(yīng)采用最大拉應(yīng)力理論最大拉應(yīng)力理論； 在在三向壓應(yīng)力接近相等的情況三向壓應(yīng)力接近相等的情況下，都可以引起下，都可以引起塑性塑性變形，變形，所以應(yīng)該采用所以應(yīng)該采用第三或第四強(qiáng)度理論第三或第四強(qiáng)度理論。一一. .適用

18、范圍（適用范圍（The appliance range）（2）塑性材料選用第三或第四強(qiáng)度理論）塑性材料選用第三或第四強(qiáng)度理論;（3）在二向和三向等拉應(yīng)力時(shí)）在二向和三向等拉應(yīng)力時(shí),無論是塑性還是脆性都發(fā)生無論是塑性還是脆性都發(fā)生脆性破壞脆性破壞,故選用第一或第二強(qiáng)度理論故選用第一或第二強(qiáng)度理論;（1）一般脆性材料選用第一或第二強(qiáng)度理論）一般脆性材料選用第一或第二強(qiáng)度理論;（4）在二向和三向等壓應(yīng)力狀態(tài)時(shí)）在二向和三向等壓應(yīng)力狀態(tài)時(shí),無論是塑性還是脆性材無論是塑性還是脆性材料都發(fā)生塑性破壞料都發(fā)生塑性破壞,故選用第三或第四強(qiáng)度理論故選用第三或第四強(qiáng)度理論.9-8 9-8 各種各種強(qiáng)度理論的強(qiáng)度理

19、論的適用范圍適用范圍及其應(yīng)用及其應(yīng)用二二. .強(qiáng)度計(jì)算的步驟強(qiáng)度計(jì)算的步驟 （Steps of strength calculation）（1 1）外力分析）外力分析:確定所需的外力值確定所需的外力值;（2 2）內(nèi)力分析）內(nèi)力分析:畫內(nèi)力圖畫內(nèi)力圖, ,確定可能的危險(xiǎn)面確定可能的危險(xiǎn)面;（3 3）應(yīng)力分析）應(yīng)力分析:畫危面應(yīng)力分布圖畫危面應(yīng)力分布圖,確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫出單元體確定危險(xiǎn)點(diǎn)并畫出單元體,求主應(yīng)力求主應(yīng)力;（4 4）強(qiáng)度分析）強(qiáng)度分析:選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論, ,計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力, ,然后進(jìn)然后進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算行強(qiáng)度計(jì)算. .三三. .應(yīng)用舉例（應(yīng)用舉例（Example

20、sExamples） 和和 maxminxyxyx2222r3=1-3= 213232221)()()(21 r4=22r422r33,4 注意：注意：在解題時(shí)，可直接引用以上兩式，而不必在解題時(shí)，可直接引用以上兩式，而不必推導(dǎo)。推導(dǎo)。、是橫截面危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力。是橫截面危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力。（a）Dyz（b）MPa904 tpD0MPa90MPa180321 MPa155 )()()(212132322214r MPa1802 tpD （b） （c）70 MPa140 MPa80 MPa（d）50MPa（a）MPa120)0120()120120()1200(212224r 01 MPa12032 MP

21、a120)120(0313r MPa128)140(1103021MPa1402224r313r 1140MPa110MPa2 03 （a） 180MPa-70MPa2 -3140MPa28. 572.9440)23070(2307022minmax MPa72941. MPa2853. MPa502 zMPa2203r MPa1954r MPa44893r. MPa5 .774r 140 MPa80 MPa（c）70 MPa（d）50MPaFFMPa7 .351 . 0700016MPa37. 6101 . 05043t32N WTAF32397 .35)237. 6(237. 6)2(22

22、222minmax MPa32, 0,MPa39321 1 MPa4 .9410)37. 73 . 088. 1(3 . 011 . 2 )(1722 yxxE xyAA GEEExyxyyxzxyyyxx 11yxxE21xyyE21003r7 . 71701701 .183 MPa1 .18310)88. 13 . 037. 7(3 . 011 . 2)(1722 xyyE 0,MPa4 .94,MPa1 .183321 MPa1 .183313r 例例9-24 9-24 其次確定主應(yīng)力其次確定主應(yīng)力例例9-25 填空題。填空題。 冬天自來水管凍裂而管內(nèi)冰并未破裂，冬天自來水管凍裂而管內(nèi)冰

23、并未破裂，其原因是冰處于其原因是冰處于 應(yīng)力狀態(tài)，而水管應(yīng)力狀態(tài)，而水管處于處于 應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)。三向壓三向壓二向拉二向拉 石料在單向壓縮時(shí)會(huì)沿壓力作用方向的縱石料在單向壓縮時(shí)會(huì)沿壓力作用方向的縱截面裂開，這與第截面裂開，這與第 強(qiáng)度理論的論述基本強(qiáng)度理論的論述基本一致。一致。二二例例9-269-26在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下：在純剪切應(yīng)力狀態(tài)下：用第三強(qiáng)度理論用第三強(qiáng)度理論和第四強(qiáng)度理論得出塑性材料的許用剪應(yīng)力與和第四強(qiáng)度理論得出塑性材料的許用剪應(yīng)力與許用拉應(yīng)力之比。許用拉應(yīng)力之比。解解（1）純剪切應(yīng)力狀態(tài)下三個(gè)主應(yīng)力分別為純剪切應(yīng)力狀態(tài)下三個(gè)主應(yīng)力分別為1230,第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為：第三

24、強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件為：132 () 由此得：由此得：2剪切強(qiáng)度條件為：剪切強(qiáng)度條件為： 按第三強(qiáng)度理論可求得：按第三強(qiáng)度理論可求得： 5 . 0（2 2）第四強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力：第四強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力：按第四強(qiáng)度理論可求得：按第四強(qiáng)度理論可求得：3)()()(21213232221由此得：由此得： 3剪切強(qiáng)度條件為：剪切強(qiáng)度條件為： 578. 03第四強(qiáng)度理論強(qiáng)度條件第四強(qiáng)度理論強(qiáng)度條件 1、三向應(yīng)力狀態(tài)中，若三個(gè)主應(yīng)力都等于、三向應(yīng)力狀態(tài)中，若三個(gè)主應(yīng)力都等于，材料的彈性模量和泊松比分別為材料的彈性模量和泊松比分別為E和和 ，則三個(gè)，則三個(gè) 主應(yīng)變?yōu)橹鲬?yīng)變?yōu)?。例例9-27 填空題。填空題。

25、112322313312111EEE（）（）（） 2、第三強(qiáng)度理論和第四強(qiáng)度理論的相當(dāng)、第三強(qiáng)度理論和第四強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力分別為應(yīng)力分別為r3及及r4，對(duì)于純剪應(yīng)力狀態(tài)，恒，對(duì)于純剪應(yīng)力狀態(tài)，恒有有r3r4。例例9-27填空題。填空題。1230 ,r3132 ()r4122232312123()()() 試校核圖試校核圖a所示焊接工字梁的強(qiáng)度。已知：梁所示焊接工字梁的強(qiáng)度。已知：梁的橫截面對(duì)于中性軸的橫截面對(duì)于中性軸z的慣性矩為的慣性矩為 Iz = 88106 mm4；半個(gè)橫截面對(duì)于中性軸；半個(gè)橫截面對(duì)于中性軸z的靜矩為的靜矩為S*z,max = 338103 mm3；梁的材料為；梁的材料為

26、Q235鋼，其許用應(yīng)力鋼，其許用應(yīng)力為為 170 MPa， 100 MPa。y例例9-28 由由FS和和M圖可見，圖可見，C偏偏左截面為危險(xiǎn)截面，其左截面為危險(xiǎn)截面，其應(yīng)力分布如圖應(yīng)力分布如圖d所示，所示， max在橫截面的上、下在橫截面的上、下邊緣處，邊緣處， max在中性軸在中性軸處，處，a點(diǎn)處的點(diǎn)處的 a、 a也比也比較大，且該點(diǎn)處于平面較大，且該點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)。該梁應(yīng)當(dāng)進(jìn)應(yīng)力狀態(tài)。該梁應(yīng)當(dāng)進(jìn)行正應(yīng)力校核、切應(yīng)力行正應(yīng)力校核、切應(yīng)力校核，還應(yīng)對(duì)校核，還應(yīng)對(duì)a點(diǎn)用強(qiáng)度點(diǎn)用強(qiáng)度理論進(jìn)行校核。理論進(jìn)行校核。(b)(c)yza(e) a max max a(d)(a)例例9-281. 按正應(yīng)

27、力強(qiáng)度條件校核按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核 彎矩圖如圖彎矩圖如圖c所示，可知最大彎矩為所示，可知最大彎矩為Mmax80 kNm。最大正應(yīng)力為最大正應(yīng)力為 MPa4 .136m1088m10150mN10804633maxmaxmax zIyM故該梁滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。故該梁滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件。(c)例例9-28y2. 按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核此梁的剪力圖如圖此梁的剪力圖如圖b，最大剪力為最大剪力為FS,max=200 kN。梁的所有橫截面上切應(yīng)力的最大值在梁的所有橫截面上切應(yīng)力的最大值在AC段各橫截段各橫截面上的中性軸處：面上的中性軸處： MPa4 .85m109m1088m10338

28、N10200346363*max,max,Smax dISFzz 它小于許用切應(yīng)力它小于許用切應(yīng)力 , ,滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。(b)例例9-28y3. 用強(qiáng)度理論校核用強(qiáng)度理論校核a點(diǎn)的強(qiáng)度點(diǎn)的強(qiáng)度a點(diǎn)的單元體如圖點(diǎn)的單元體如圖f所示，所示，a點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為別為 MPa7 .122m1088m10135mN10804633max zaaIyM MPa6 .64 m109m1088m10)5 . 7135(m1015m10120N102003463333*,max,S dISFzaza a aa(f)y例例9-28 由于梁的材料由于梁的材料Q23

29、5鋼為塑性材料，故用第三或鋼為塑性材料，故用第三或第四強(qiáng)度理論校核第四強(qiáng)度理論校核a點(diǎn)的強(qiáng)度。點(diǎn)的強(qiáng)度。MPa166)MPa6 .64(3)MPa7 .122(3%5%6 . 4%100178170-178MPa178)MPa6 .64(4)MPa7 .122(42222r42222r3 aaaa 所以所以a點(diǎn)的強(qiáng)度也是安全的。點(diǎn)的強(qiáng)度也是安全的。 例例9-28 例例9-29 兩端簡(jiǎn)支的工字鋼梁承受荷載如圖兩端簡(jiǎn)支的工字鋼梁承受荷載如圖a所示。所示。已知已知材料（材料（Q235鋼）的許用應(yīng)力為鋼）的許用應(yīng)力為 =170MPa和和 = 100MPa。試按強(qiáng)度條件選擇工字鋼號(hào)碼。試按強(qiáng)度條件選擇工

30、字鋼號(hào)碼。解：首先確定鋼梁的危解：首先確定鋼梁的危險(xiǎn)截面。險(xiǎn)截面。 作出梁的剪力圖和彎作出梁的剪力圖和彎矩圖如圖矩圖如圖b和圖和圖c所示，可所示，可見見C、D截面為危險(xiǎn)截面，截面為危險(xiǎn)截面，取取C截面計(jì)算，其剪力和截面計(jì)算，其剪力和彎矩為：彎矩為：kN200max,SS FFCmkN84max MMC(b) 200kN200kNFS圖M圖(c) 84kNm(a) B0.42 m2.50 mAC200 kN200 kN0.42 m1.66 mD 先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面型號(hào)。因最大先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面型號(hào)。因最大正應(yīng)力發(fā)生在正應(yīng)力發(fā)生在C截面的上、下邊緣處，且為單向截面的上、下邊緣處，且

31、為單向應(yīng)力狀態(tài)，由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可得截面系數(shù)為：應(yīng)力狀態(tài)，由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可得截面系數(shù)為：3663maxm10496101701084MW據(jù)此可選用據(jù)此可選用28a號(hào)工字鋼，其截面系數(shù)為：號(hào)工字鋼，其截面系數(shù)為：36m10508W 再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。對(duì)再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。對(duì)28a號(hào)工號(hào)工字鋼，查表可得截面幾何性質(zhì)為：字鋼，查表可得截面幾何性質(zhì)為：46m1014.71zIm1062.242max,zzSIm1085. 02d中性軸處的最大切應(yīng)力（純剪應(yīng)力狀態(tài)）為：中性軸處的最大切應(yīng)力（純剪應(yīng)力狀態(tài)）為：100MPaMPa5 .951085. 01062.2410200223ma

32、x,max,SmaxdISFzz 可見，選用可見，選用28a號(hào)工字鋼滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件，號(hào)工字鋼滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件，簡(jiǎn)化的截面形狀和尺寸以及應(yīng)力分布如圖簡(jiǎn)化的截面形狀和尺寸以及應(yīng)力分布如圖d所示。所示。(d)a12213.728013.78.5126.3126.3maxmax 利用圖利用圖d所示的截面簡(jiǎn)化尺寸和已有的所示的截面簡(jiǎn)化尺寸和已有的Iz，可，可求得求得a點(diǎn)的正應(yīng)力點(diǎn)的正應(yīng)力 和切應(yīng)力和切應(yīng)力 分別為：分別為： 以上分析僅考慮了最大正應(yīng)力和切應(yīng)力作用的以上分析僅考慮了最大正應(yīng)力和切應(yīng)力作用的位置，而對(duì)工字型截面腹板和翼緣交界處（圖位置，而對(duì)工字型截面腹板和翼緣交界處（圖d中中的的a點(diǎn)）

33、，正應(yīng)力和切應(yīng)力都較大，且處于平面應(yīng)點(diǎn)），正應(yīng)力和切應(yīng)力都較大，且處于平面應(yīng)力狀態(tài)（見圖力狀態(tài)（見圖e），因此還需對(duì)此進(jìn)行強(qiáng)度校核。），因此還需對(duì)此進(jìn)行強(qiáng)度校核。a(e) MPa1 .1491014.711263. 0108463maxzIyMMPa8 .730085. 01014.711022310200663max,SdISFzz其中，其中，Sz為橫截面的下緣面積對(duì)中性軸的靜矩，為：為橫截面的下緣面積對(duì)中性軸的靜矩，為：361022320137. 0140. 00137. 0122. 0mzS 由前例可得，圖由前例可得，圖e所示應(yīng)力狀態(tài)的第四強(qiáng)度理論所示應(yīng)力狀態(tài)的第四強(qiáng)度理論相當(dāng)應(yīng)力為：相

34、當(dāng)應(yīng)力為： 2. 圖示平面應(yīng)力狀態(tài)為工程中常見的應(yīng)力狀態(tài)，圖示平面應(yīng)力狀態(tài)為工程中常見的應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力分別為其主應(yīng)力分別為0,)2(222213 將它們分別代入將它們分別代入 r3= 1 1- 3及及)()()(21213232221r4 后，得后，得在解題時(shí)，可直接引用以上兩式，而不必推導(dǎo)。在解題時(shí)，可直接引用以上兩式，而不必推導(dǎo)。22r422r33,4 例例9-292234r170MPaMPa4 .1968 .7331 .149322224r 可見，可見，28a號(hào)工字鋼不能滿足要求。改用號(hào)工字鋼不能滿足要求。改用28b號(hào)工字鋼，按同樣的方法可得：號(hào)工字鋼，按同樣的方法可得：MPa2 .1734r誤差誤差1.88%可用?？捎?。若用第三強(qiáng)度理論，則相當(dāng)應(yīng)力為：若用第三強(qiáng)度理論，則相當(dāng)應(yīng)力為：請(qǐng)自行計(jì)算最終結(jié)果。請(qǐng)自行計(jì)算