第一次課漸近線;廣義積分收斂判斷;定積分的應(yīng)用多元微分的應(yīng)用

1、一。漸進(jìn)線的計算一。漸進(jìn)線的計算1.漸近線的定義；漸近線的定義；2.漸近線的計算公式；（求有理函數(shù)垂直漸近線的計算公式；（求有理函數(shù)垂直漸近線：分母為零的點可能存在垂直漸進(jìn)線）漸近線：分母為零的點可能存在垂直漸進(jìn)線）3.例題：例題：14.考研題：考研題：2；22；24；27；29lim( )(lim( )xxf xcf xcyc( )yf xlim( )(- )(lim( )+-)xcxcf xf xxc 或（或）( )yf x函數(shù)的漸近線：函數(shù)的漸近線：漸近線的統(tǒng)一定義（漸近線的統(tǒng)一定義（參多媒體參多媒體）復(fù)習(xí)函數(shù)的水平及垂直漸近線的求法：復(fù)習(xí)函數(shù)的水平及垂直漸近線的求法：為為一條水平漸近線

2、；一條水平漸近線；為為一條垂直漸近線；（一條垂直漸近線；（幾何意義）幾何意義）1;arctan ;xyeyx yx1;ln ,tanyyx yxx例如：例如：均有水平漸近線；均有水平漸近線；均有垂直漸近線；均有垂直漸近線；注意點：求水平漸近線時應(yīng)讓注意點：求水平漸近線時應(yīng)讓x分別趨于正負(fù)分別趨于正負(fù)無窮求極限，如果得不同極限則得不同漸近線無窮求極限，如果得不同極限則得不同漸近線；對于求垂直漸近線類似；對于求垂直漸近線類似22221(1)12(1)(2)(2)xxxxyxxxxx2x lim ( )0 xf xaxb;xyaxb 2.垂直漸近線的求法：（垂直漸近線的求法：（求有理函數(shù)垂直漸近線求

3、有理函數(shù)垂直漸近線：分母為零的點：分母為零的點可能可能存在垂直漸進(jìn)線存在垂直漸進(jìn)線）例如：例如：垂直漸近線垂直漸近線3.斜漸近線斜漸近線： 則表示當(dāng)則表示當(dāng)是函數(shù)有一條斜漸近線。是函數(shù)有一條斜漸近線。( )f xyaxb( )lim ( )0lim0( )( )limlimlim0limxxxxxxf xaxbf xaxbxf xaxbf xaxxxxlim ( )xf xaxb斜漸近線的求法：設(shè)斜漸近線的求法：設(shè)的斜漸近線為：的斜漸近線為：；1）求）求a因因（斜漸近線之斜率斜漸近線之斜率）2）求出）求出a后再由后再由（斜漸近線之截距）斜漸近線之截距）即可求出一條斜漸近線，即可求出一條斜漸近線

4、，( )limxf xx( )lim0 xf xxlim ( )lim( )xxf xaxf xb注：注：1. 如果如果 不存在或為無窮大，則表示這時無斜漸近線。不存在或為無窮大，則表示這時無斜漸近線。2.如果如果，有水平漸近線有水平漸近線y=b，故在求斜漸近線時順便故在求斜漸近線時順便可求出水平漸近線。可求出水平漸近線。1)3)(2(2)(xxxxf)(xf)., 1 () 1 ,(,)(lim1xfx,)(lim1xfx1xxxfx)(lim) 1() 3)(2(2limxxxxx, 2xxxxx21)3)(2(2lim1) 1(2)3)(2(2limxxxxxx, 442 xy例例1求的

5、漸近線的漸近線.的定義域為的定義域為是曲線的鉛直漸近線是曲線的鉛直漸近線.是曲線的一條斜漸近線是曲線的一條斜漸近線.解解 易見函數(shù)易見函數(shù)又又考研題：考研題：1.曲線曲線1(21)xyxe的斜漸近線的方程為的斜漸近線的方程為2.曲線曲線*3.曲線曲線的斜漸近線的方程為的斜漸近線的方程為的斜漸近線的方程為的斜漸近線的方程為221xyx32(1)xyx4.4sin52cosxxyxx的水平漸近線為的水平漸近線為*5.1ln(1)xyex的漸近線的條數(shù)為的漸近線的條數(shù)為A。0； B。1； C。2； D。3答案：答案：1）. 2x+1；2）1124x 3）32x 4）155）D 二。廣義積分?jǐn)可⑿缘呐?/p>

6、別法二。廣義積分?jǐn)可⑿缘呐袆e法 判定一個廣義積分的收斂性判定一個廣義積分的收斂性,是一個重要的問是一個重要的問題題. 當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)求不出來當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)求不出來,或者求原函或者求原函數(shù)的計算過于復(fù)雜時數(shù)的計算過于復(fù)雜時,利用廣義積分的定義來利用廣義積分的定義來判斷它的收斂性就不適用了判斷它的收斂性就不適用了. 因此因此,我們需要其我們需要其它方法來判斷廣義積分的收斂性它方法來判斷廣義積分的收斂性.( ), ( )f xg x ,);(0)aa0( )g( ),()f xxax ( )ag x dx( )af x dx0g( )( ),()xfxax ( )ag x dx( )af x

7、 dx（一）。（一）。無窮限廣義積分的審斂法無窮限廣義積分的審斂法比較審斂原理：設(shè)比較審斂原理：設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間上連續(xù)，上連續(xù)， 1）如果：）如果：且且收斂，則收斂，則收斂；收斂；2）如果：）如果：且且，發(fā)散，發(fā)散發(fā)散；則發(fā)散；則( ),(0)pcg xcx( )f x ,);(0)aa( )0f x ( ),()pMf xa xx ( )af x dx注：注：1.可將廣義積分比較原理與級數(shù)相應(yīng)比較法可將廣義積分比較原理與級數(shù)相應(yīng)比較法對比，其是類似的；對比，其是類似的；2.可通俗的說：大積分收斂，則小積分收斂；可通俗的說：大積分收斂，則小積分收斂；反反之，小積分發(fā)散，則大積分發(fā)散。之，小積分

8、發(fā)散，則大積分發(fā)散。設(shè)設(shè)在區(qū)間在區(qū)間上連續(xù)，且上連續(xù)，且如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)M0,及及p1,使得：使得：則則； Cor1.令令收斂；收斂； 收斂收斂2）如果存在常數(shù)）如果存在常數(shù)N0,使得：使得：( ),()Nf xaxx 發(fā)散；發(fā)散；( )af x dx則則( )f x ,);(0)aa( )0f x lim( ),(1)pxx f xp( )af x dxlim( ),(1)xxf xp( )af x dxCor3（極限形式）設(shè)（極限形式）設(shè)在區(qū)間在區(qū)間上連續(xù)，且上連續(xù)，且則則1）當(dāng)）當(dāng)存在時存在時收斂；收斂；2）當(dāng)）當(dāng)存在或為無窮大時，存在或為無窮大時，發(fā)散；發(fā)散；( )af x d

9、x( )af x dxDef：絕對收斂：如果積分：絕對收斂：如果積分收斂，則稱級數(shù)收斂，則稱級數(shù)定理：絕對收斂級數(shù)必收斂定理：絕對收斂級數(shù)必收斂絕對收斂絕對收斂1341xdx,111103/4434xxx, 134 （ 二）。例題選講二）。例題選講無窮限廣義積分的審斂法無窮限廣義積分的審斂法例例1 判別廣義積分判別廣義積分的斂散性的斂散性.解解 因為因為這里這里故由推論故由推論1知，題設(shè)廣義積分收斂知，題設(shè)廣義積分收斂.121xxdx, 111lim22xxxx, 12 p例例2 判別廣義積分判別廣義積分的斂散性的斂散性.解解 因為因為這里這里故由推論故由推論2知，題設(shè)廣義積分收斂知，題設(shè)廣義

10、積分收斂.122/31dxxx,1lim1lim2222/3xxxxxxxx例例3 判別廣義積分的斂散性的斂散性.解解 因為因為 故根據(jù)推論故根據(jù)推論2知，題設(shè)廣義積分發(fā)散知，題設(shè)廣義積分發(fā)散.dxxex111x,11xxex1arctandxxx,2arctanlimarctanlimxxxxxx例例4 判別廣義積分判別廣義積分的斂散性的斂散性.解解 因為當(dāng)因為當(dāng)時，時， 故由推論故由推論1知，題設(shè)廣義積分發(fā)散知，題設(shè)廣義積分發(fā)散 .例例5 判別廣義積分判別廣義積分解解 因為因為 故根據(jù)推論故根據(jù)推論2知，題設(shè)廣義積分發(fā)散知，題設(shè)廣義積分發(fā)散 .的斂散性的斂散性.0sinbxdxeaxba,

11、. 0a,sinaxaxebxedxeax0dxbxeax|sin|0例例6 判別廣義積分判別廣義積分的收斂性，其中的收斂性，其中都是常數(shù)，且都是常數(shù)，且解解 而而收斂收斂 .收斂，故題設(shè)廣義積分收斂收斂，故題設(shè)廣義積分收斂 .adxxx23sin)0( a,1|sin|223xxxdxxa21dxxxa|sin|23dxxxa23sin例例7 判別廣義積分判別廣義積分.解解 由于由于而而收斂，故收斂，故收斂，即收斂，即絕對收斂絕對收斂 .( ), ( )f xg x( , a b0( )g( ),f xx( )ag x dx( )af x dx（三）無界函數(shù)的廣義積分審斂法（三）無界函數(shù)的廣

12、義積分審斂法定理：（比較原理）設(shè)函數(shù)定理：（比較原理）設(shè)函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間上連續(xù)，上連續(xù)， 1）如果：）如果：且且收斂，則收斂，則收斂；收斂；當(dāng)當(dāng)x充分靠近點充分靠近點a時有時有0( )g( ),f xx( )af x dx( )ag x dx2）如果：當(dāng)）如果：當(dāng)x充分靠近點充分靠近點a時有時有且且發(fā)散則發(fā)散則發(fā)散發(fā)散（即大的收斂則小的也收斂，反之小的（即大的收斂則小的也收斂，反之小的發(fā)散則大的也發(fā)散）發(fā)散則大的也發(fā)散）( ),(0)()pcg xcxa( )f x( , a b0( )0, lim( )xaf xf x 1q ( ),()()qMf xaxbxa( )af x dx取取Cor

13、3設(shè)設(shè)在區(qū)間在區(qū)間上連續(xù)，且上連續(xù)，且1）如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)M0,及及,使得使得：則則收斂；收斂；( ),()()qNf xaxbxa( )af x dx2）如果存在常數(shù)）如果存在常數(shù)N0,及及q1,使得使得則則發(fā)散發(fā)散( )f x( , a b0( )0, lim( )xaf xf x 0lim ()( )qxaxaf x ( )af x dx1q 00lim()()0(lim()() = +)qxaqxaxafxdxafx或( )af x dxCor4.（極限形式）（極限形式）設(shè)設(shè)在區(qū)間在區(qū)間上連續(xù)，且上連續(xù)，且如果存在常數(shù)如果存在常數(shù)0q1,2）n=1，m=1,2； 3）n=1，m

14、2討論討論1I對于對于對于對于2I當(dāng)當(dāng) 0p1時時1lim( )(1)0pxf xx故無論故無論 對于任意的對于任意的m，n均收斂，故選（均收斂，故選（D）（羅比達(dá)）（羅比達(dá)）1I2I三。定積分的應(yīng)用三。定積分的應(yīng)用 1.定積分的元素法（參多媒體定積分的元素法（參多媒體） 平面圖形面積；直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)，例平面圖形面積；直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)，例1,7 體積旋轉(zhuǎn)體體積，例體積旋轉(zhuǎn)體體積，例1,4,5；平行截面面積；平行截面面積已知體積，例已知體積，例7；考研題：；考研題：1,3,5,6 物理應(yīng)用：（物理應(yīng)用：（1）功例）功例15；（；（2）水壓力）水壓力例例67（3）引力例引力例89 考研題考研題4

15、,8 定積分的微元法定積分的微元法 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 定積分是求某種總量的數(shù)學(xué)模型，它在定積分是求某種總量的數(shù)學(xué)模型，它在幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)等方幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)用，顯示了它的巨大面都有著廣泛的應(yīng)用，顯示了它的巨大魅力魅力. 也正是這些廣泛的應(yīng)用，推動著也正是這些廣泛的應(yīng)用，推動著積分學(xué)的不斷發(fā)展和完善積分學(xué)的不斷發(fā)展和完善. 因此，在學(xué)習(xí)因此，在學(xué)習(xí)的過程中，我們不僅要掌握計算某些實的過程中，我們不僅要掌握計算某些實際問題的公式，更重要的還在于深刻領(lǐng)際問題的公式，更重要的還在于深刻領(lǐng)會用定積分解決實際問題的基本思想和會用定積分解決實際問題的

16、基本思想和方法方法微元法，不斷積累和提高數(shù)學(xué)微元法，不斷積累和提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力的應(yīng)用能力.Ux,ba,ba,dxxxUUdxxfdU)( 內(nèi)容要點內(nèi)容要點在應(yīng)用學(xué)科中廣泛采用的將所求量在應(yīng)用學(xué)科中廣泛采用的將所求量（總量總量）表示為定積分的方法）表示為定積分的方法微元法微元法，這個方法的主要步驟如下：這個方法的主要步驟如下： 一、一、由分割寫出微元由分割寫出微元 根據(jù)具體問題，選根據(jù)具體問題，選取一個積分變量，例如取一個積分變量，例如 為積分變量，并確為積分變量，并確定它的變化區(qū)間定它的變化區(qū)間，任取任取的一個區(qū)間的一個區(qū)間，求出相應(yīng)于這個區(qū)間微元上部分量，求出相應(yīng)于這個區(qū)間微元上部分量的近

17、似值，即求出所求總量的近似值，即求出所求總量的區(qū)間的區(qū)間微元，微元，；，并將其表示為，并將其表示為： 微元微元dxxfdU)(UbabadxxfdUU)(二、二、由微元寫出積分由微元寫出積分 根據(jù)根據(jù)寫出表示總量寫出表示總量的定積分的定積分應(yīng)用微元法解決實際問題時，應(yīng)注意如下兩點：應(yīng)用微元法解決實際問題時，應(yīng)注意如下兩點：U,ba,baUUU1） 所求總量所求總量關(guān)于區(qū)間關(guān)于區(qū)間應(yīng)具有可加性，即如果把區(qū)間應(yīng)具有可加性，即如果把區(qū)間分成許多部分區(qū)間分成許多部分區(qū)間, 則則分成許多部分量分成許多部分量, 而而等于所有部分量等于所有部分量之和之和. 這一要求是由定積分概念本身所決定的這一要求是由定積

18、分概念本身所決定的;相應(yīng)地相應(yīng)地Udxxf)(UdUdxxf)(dxxfU)(dxdxxfdU)(（2）使用微元法的關(guān)鍵是正確給出部分量）使用微元法的關(guān)鍵是正確給出部分量的近似表達(dá)式的近似表達(dá)式，即使得，即使得. 在通常情況下，要檢驗在通常情況下，要檢驗是否為是否為的高階無窮小并非易事，因此，的高階無窮小并非易事，因此，的合理性的合理性.在實際應(yīng)用要注意在實際應(yīng)用要注意積分的意義積分的意義1.定積分定積分 可看作一個可看作一個“高級高級”的的加加法法即求和與取極限；即將即求和與取極限；即將“微元微元”在區(qū)間在區(qū)間a,b上進(jìn)行上進(jìn)行“累積累積”這就是這就是“元元素法素法”的思想，因此在用元素法計

19、算定的思想，因此在用元素法計算定積分時關(guān)鍵在于找準(zhǔn)積分時關(guān)鍵在于找準(zhǔn)“元素元素”及及“累積累積”的區(qū)間的區(qū)間a,b( )baf x dx( )f x dx2.這種加法是建立在這種加法是建立在“平行平行”意義意義上的，如果是非平行意義，例如非上的，如果是非平行意義，例如非平行力，則要進(jìn)行平行力，則要進(jìn)行“平行化平行化”處理。處理。3.要注意定積分的應(yīng)用是有范圍的：要注意定積分的應(yīng)用是有范圍的：其總量必須與某直線段（區(qū)間）有其總量必須與某直線段（區(qū)間）有關(guān)，否則便不能用定積分處理。關(guān)，否則便不能用定積分處理。dxxfdV2)(.)(2badxxfV2 ( )dVydy 2 ( ).dcVydy一、

20、一、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 1.繞繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)體積微元體積微元, 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 2.繞繞y軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積 （2） （1）,)(dxxAdV .)(badxxAV 二、二、平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積體積微元體積微元 所求立體的體積所求立體的體積 2( )xf x dx2( )byaVxf x dx注：繞注：繞y軸旋轉(zhuǎn)還可用所謂的軸旋轉(zhuǎn)還可用所謂的“柱殼法柱殼法”：設(shè)由函數(shù)設(shè)由函數(shù)y=f(x)，【x，x+dx】 直線：直線：x=a，x=b，x軸圍成的曲邊梯形繞軸圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)：取區(qū)間軸旋轉(zhuǎn)：取區(qū)間微元：【微元：【x

21、，x+dx】其對應(yīng)的以】其對應(yīng)的以dx為底，為底，f(x)為高的矩形繞為高的矩形繞y周旋轉(zhuǎn)的體積微元為周旋轉(zhuǎn)的體積微元為dv=，故繞，故繞y軸旋轉(zhuǎn)的體積為：軸旋轉(zhuǎn)的體積為： （3）sin, (0)yxx12VV2002( )2sin2yVxf x dxxxdx例例1.求求x周所圍曲邊梯形繞周所圍曲邊梯形繞y軸軸1的旋轉(zhuǎn)體體積的旋轉(zhuǎn)體體積解解1.如應(yīng)用公式（如應(yīng)用公式（2）則化成兩個曲邊梯形）則化成兩個曲邊梯形繞繞y軸旋轉(zhuǎn)體積之差軸旋轉(zhuǎn)體積之差（運算麻煩）（運算麻煩）2.應(yīng)用公式（應(yīng)用公式（3）(sin ),(1cos )xa ttyat02t 202333022(sin )(1 cos ) (

22、sin )6ayVxydxa ttt d tta例例2.計算擺線計算擺線相應(yīng)于相應(yīng)于的圖形繞的圖形繞x，y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。解：方法解：方法1.繞繞y軸旋轉(zhuǎn)：軸旋轉(zhuǎn)： 的一拱，直線的一拱，直線y=0所圍成所圍成（運算麻煩）（運算麻煩）方法方法2.應(yīng)用公式（應(yīng)用公式（3）得：）得：2222332100( )( )6aayVxy dyxy dya 物理應(yīng)用物理應(yīng)用例例1 設(shè)設(shè)40牛的力使彈簧從自然長度牛的力使彈簧從自然長度10厘米拉長厘米拉長成成15厘米厘米, 問需要作多大的功才能克服彈性恢問需要作多大的功才能克服彈性恢復(fù)力復(fù)力, 將伸長的彈簧從將伸長的彈簧從15厘米處再

23、拉長厘米處再拉長3厘米厘米?SSab例例2 在底面積為在底面積為的圓柱形容器中盛有一的圓柱形容器中盛有一)從點從點處推移到處推移到處處. 計算在移動過程中計算在移動過程中, 氣體氣體在等溫條件下在等溫條件下, 由于氣體的膨脹由于氣體的膨脹定量的氣體定量的氣體. , 把容器中的一個活塞把容器中的一個活塞(面積為面積為壓力所作的功壓力所作的功.功功例例3 一圓柱形蓄水池高為一圓柱形蓄水池高為5米米, 底半徑為底半徑為3米米, 池內(nèi)盛滿了水池內(nèi)盛滿了水. 問要把池內(nèi)的水全部吸出問要把池內(nèi)的水全部吸出, 需需作多少功作多少功?例例4 設(shè)有一直徑為設(shè)有一直徑為20m的半球形水池的半球形水池, 池內(nèi)池內(nèi)貯滿水貯滿水, 若要把水抽盡若要把水抽盡, 問至少作多少功問至少作多少功.R例例5 一個橫放著的圓柱形水桶一個橫放著的圓柱形水桶, 桶內(nèi)盛有半桶內(nèi)盛有半桶水桶水, 設(shè)桶的底半徑為設(shè)桶的底半徑為, 水的比重為水的比重為, 計算桶的一端面上所受的壓力計算桶的一端面上所受的壓力.水壓力水壓力aa2例例6 將直角邊各為將直角邊各為及及垂直地浸入水中，斜邊朝下，直角邊的邊長垂直地浸入水