第12章無窮級數(shù)單元自測題

1、第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章第十二章 小結(jié)小結(jié)一、常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)一、常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)1 1、概念、概念(1)(1)定義定義 nnnuuuuu3211 niinnuuuus121級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和(2) 級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散.,lim11 nnnnnnususs且且級級數(shù)數(shù)的的和和收收斂斂則則稱稱若若.,lim1發(fā)發(fā)散散則則稱稱不不存存在在若若 nnnnus第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題2 2、性質(zhì)、性質(zhì)(1)(1)具具有有相相同同斂斂散散性性。與與)0(11 kkuunnnn(2) ，則則、分分別別收收斂斂于

2、于與與若若BAvunnnn 11收收斂斂。BAvuvunnnnnnn 111)(3) 在級數(shù)中去掉、增加或改變前面有限項，不在級數(shù)中去掉、增加或改變前面有限項，不改變級數(shù)的斂散性。改變級數(shù)的斂散性。 第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題(4)(4). 0lim1 nnnnuu 收收斂斂01 nnnuu ，二、正項級數(shù)二、正項級數(shù).0lim1發(fā)發(fā)散散 nnnnuu.0lim1收收斂斂 nnnnuu定義定義1、比較審斂法、比較審斂法（1） 1111nnnnnnnnnnvuuvvu發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散收收斂斂收收斂斂注：注：第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題(2)(2)

3、 11,0(limnnnnnnnvullvu與與則則為為確確定定常常數(shù)數(shù)） 11011,1111,npnnnPPnPnqqaq時時發(fā)發(fā)散散時時收收斂斂，級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)時時發(fā)發(fā)散散時時收收斂斂，等等比比級級數(shù)數(shù)比比較較級級數(shù)數(shù) 具有相同斂散性具有相同斂散性第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題2、比值審斂法、比值審斂法 11111, 1, 10limnnnnnnnnnuuuuu斂斂散散性性需需另另外外判判別別，發(fā)發(fā)散散收收斂斂 一般項一般項 中含階乘或指數(shù)表達式中含階乘或指數(shù)表達式 情形的適用。情形的適用。nuna第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測

4、題3、根值審斂法、根值審斂法 1111, 1, 10limnnnnnnnnnuuuu斂斂散散性性需需另另外外判判別別，發(fā)發(fā)散散收收斂斂 一般項一般項 中含有某個表達式中含有某個表達式 次冪情形的適用。次冪情形的適用。nun第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題萊布尼茨定理萊布尼茨定理 如果交錯級數(shù)滿足條件如果交錯級數(shù)滿足條件0lim)2(), 2 , 1()1(1 nnnnunuu則級數(shù)收斂。則級數(shù)收斂。三、任意項級數(shù)三、任意項級數(shù)1、交錯級數(shù)、交錯級數(shù)定義定義 nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其中其中第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題2、絕

5、對收斂與條件收斂、絕對收斂與條件收斂定定義義: :若若 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 0nnu為為絕絕對對收收斂斂; ;若若 1nnu發(fā)發(fā)散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .)1(11收收斂斂必必收收斂斂，則則若若 nnnnuu（2）斂斂法法或或根根植植審審斂斂法法若若用用正正項項級級數(shù)數(shù)的的比比值值審審)3(.11也也發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散，則則可可得得判判斷斷出出 nnnnuu第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題四、冪級數(shù)四、冪級數(shù)1 1、函數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)概念概念(1)(1) 定義定義(2)(2) 收斂點與收斂域收斂點與收

6、斂域Ixxuxuxuxunnn ,)()()()(211部分和部分和 nkknnxuxuxuxuxs121)()()()()(,)(,100收收斂斂常常數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)如如果果對對于于 nnxuIx第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題存存在在，對對收收斂斂域域中中的的點點)(limxsxnn 則則稱稱0 x為為級級數(shù)數(shù))(1xunn 的的收收斂斂點點, ,否則稱為否則稱為發(fā)散點發(fā)散點. .所所有有發(fā)發(fā)散散點點的的全全體體稱稱為為發(fā)發(fā)散散域域. .函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù))(1xunn 的的所所有有收收斂斂點點的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, ,(3)(3) 和函數(shù)和函數(shù)記記作作)

7、()(limxsxsnn ，且且有有為為函函數(shù)數(shù)項項級級數(shù)數(shù)的的和和函函數(shù)數(shù)稱稱)(xs).()(1xuxsnn 第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題2、冪級數(shù)及收斂域、冪級數(shù)及收斂域(1)(1) 定義定義(2)(2) 收斂收斂半徑半徑與收斂域與收斂域,00 nnnnaxa的的所所有有系系數(shù)數(shù)如如果果冪冪級級數(shù)數(shù),0nnnxa 標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式. .其其中中na為為冪冪級級數(shù)數(shù)系系數(shù)數(shù).,)(00nnnxxa 一般形式一般形式. .則則收收斂斂半半徑徑設(shè)設(shè),lim1 nnnaa第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題 0, 0),(0,),(:0,1xRRR收收斂斂

8、域域：收收斂斂域域：與與收收斂斂端端點點并并集集收收斂斂區(qū)區(qū)間間收收斂斂域域 00nnnnxaa斷斷，則則可可用用比比值值判判別別法法判判若若存存在在進進而而求求出出其其的的斂斂散散性性，的的斂斂散散性性，得得到到 0nnnxa收收斂斂半半徑徑與與收收斂斂域域。第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題( (3 3) ) 冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì).)(0在在收收斂斂域域上上連連續(xù)續(xù)的的和和函函數(shù)數(shù)冪冪級級數(shù)數(shù)xsxannn 1 1) ) 冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(RR 內(nèi)內(nèi)可可積積,且且對對),(RRx 可可逐逐項項積積分

9、分. 3 3) ) 冪冪級級數(shù)數(shù) 0nnnxa的的和和函函數(shù)數(shù))(xs在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間),(RR 內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo), 并并可可逐逐項項求求導(dǎo)導(dǎo)任任意意次次. 2 2) ) 第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題五、五、 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù)),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x1、 常見函數(shù)常見函數(shù)的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開式展開式)1 , 1(,1112 xxxxxn)1 , 1(,)1(1112 xxxxxnn第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題2 2、 間接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)

10、間接法將函數(shù)展開成冪級數(shù) 利用常見利用常見函數(shù)的冪級數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式展開式, , 通過通過變量代換變量代換, , 四則運算四則運算, , 恒等變形恒等變形, , 逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo), , 逐項積分逐項積分等方法等方法, ,求求所給函數(shù)的冪級數(shù)所給函數(shù)的冪級數(shù)展開式展開式. .第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題一、選擇題一、選擇題收收斂斂；)A(發(fā)發(fā)散散；)B(條條件件收收斂斂；)C(.)D(絕絕對對收收斂斂）（，則則級級數(shù)數(shù)、若若極極限限Buunnnn 10lim1第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題)(2D、下下列列級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散的的是是； 111)1(

11、)A(nnn；)111()1()B(11 nnnn. )1()D(1 nn； 11)1()C(nnn分析分析: A、C為交錯級數(shù)，滿足萊布尼茲判別法，收斂。為交錯級數(shù)，滿足萊布尼茲判別法，收斂。 B .)111() 1(,11) 1(,1) 1(111111收收斂斂故故都都收收斂斂 nnnnnnnnnn.)1(1D11 nnnn發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散，所所以以因因為為第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題)(. 3A下下列列級級數(shù)數(shù)絕絕對對收收斂斂的的是是； 2)1()A(nnnn.11)1(B221 nnnnn，發(fā)發(fā)散散； 2ln)1()C(nnn.)1()D(2321 nnn分析分

12、析: .1)1(A2223，收收斂斂 nnnnnn； 211)1(B)nnn.1)1(D2322321，發(fā)發(fā)散散 nnnnn,ln1ln)1(C22 nnnnn所所以以時時，因因為為當(dāng)當(dāng),)1ln(0 xxx .ln1,11ln1, 1)1(1lnln2發(fā)發(fā)散散可可得得故故 nnnnnnn第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題)(4B、下下列列級級數(shù)數(shù)收收斂斂的的是是； 1)1ln(1)A(nn； 1)1ln()1()B(nnn； 112)1()C(nnnn.12)D(1 nnn分析分析: 發(fā)發(fā)散散；知知 1)1ln(1,1)1ln(1,)1ln(Annnnnn尼尼茲茲判判別別法

13、法，收收斂斂；為為交交錯錯級級數(shù)數(shù)，滿滿足足萊萊布布 1)1ln()1(Bnnn發(fā)發(fā)散散；, 02112limD nnn., 012)1(limC發(fā)發(fā)散散 nnnn第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題）的的是是（、下下列列級級數(shù)數(shù)中中條條件件收收斂斂B5； 1)32()1()A(nnn； 11)1()B(nnn； 1112)1()C(nnnn.51)1()D(131 nnn分析分析: ；絕絕對對收收斂斂 11,)32()32()1(Annnnn；尼尼茲茲判判別別法法，條條件件收收斂斂為為交交錯錯級級數(shù)數(shù)，滿滿足足萊萊布布 11)1(nnn 11Bnn發(fā)發(fā)散散，發(fā)發(fā)散散；, 01

14、2) 1(limC1 nnnn.,15151D23113絕對收斂絕對收斂nnnn 第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題。立立的的是是收收斂斂，則則下下列列結(jié)結(jié)論論不不成成、如如果果級級數(shù)數(shù))(61Bunn ；0lim)A( nnu收收斂斂； 1)B(nnu收收斂斂；為為常常數(shù)數(shù) 1)()C(nnkku收收斂斂； 1212)()D(nnnuu分析分析: A、C 顯然成立顯然成立. ,21nnuuuS 的的部部分分和和則則)(2112nnnuu .D,limlim21收收斂斂故故存存在在收收斂斂，則則若若nnnnnnSSu ,22124321nnnnSuuuuuu 的的部部分分和和

15、 1Dnnu第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題。、交交錯錯級級數(shù)數(shù))( )1()1(711Cnnnn 絕絕對對收收斂斂；)A(發(fā)發(fā)散散；)B(條條件件收收斂斂；)C(斂斂散散性性不不能能判判定定)D(分析分析: 其其部部分分和和, )1()1()1(111 nnnnnnn, 112312 nnnSn因因為為故故絕絕對對值值級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散.,)1(limlim nSnnn 111111)1()1()1(nnnnnnnn上式右端為交錯級數(shù)，滿足萊布尼茲判別法，故上式右端為交錯級數(shù)，滿足萊布尼茲判別法，故條件收斂。條件收斂。 第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題。

16、處處處處收收斂斂，則則在在在在、設(shè)設(shè)冪冪級級數(shù)數(shù))A(1281 xxxannn絕絕對對收收斂斂；)A(發(fā)發(fā)散散；)B(條條件件收收斂斂；)C(斂斂散散性性不不能能判判定定)D(分析分析: 內(nèi)內(nèi)處處收收斂斂，則則在在區(qū)區(qū)間間在在因因為為冪冪級級數(shù)數(shù))2 , 2(21 xxannn，所所以以對對收收斂斂。的的每每一一個個點點處處級級數(shù)數(shù)均均絕絕)2 , 2(1 x處處絕絕對對收收斂斂。級級數(shù)數(shù)在在1 x第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題。的的冪冪級級數(shù)數(shù)是是內(nèi)內(nèi)展展成成在在、函函數(shù)數(shù))(),()(922Cxexxfx ； 112)!12()1()A(nnnnx； 12!)B(nn

17、nx； 0)1(2!)C(nnnx； 12!)D(nnnx分析分析: 由由 得得),(,!0 xnxennx),(,!022 xnxennx所以所以 ),(,!00)1(22222 xnxnxxexnnnnx第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題)1 , 1(,)1(111022 xxxnnn的的冪冪級級數(shù)數(shù)是是、函函數(shù)數(shù)二二、填填空空題題分析分析: 由展開式由展開式 即即得得。)1 , 1(,)1(110 xxxnnn第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題。上上的的和和函函數(shù)數(shù)是是在在、冪冪級級數(shù)數(shù) 11)1ln(1 , 1()1(2nnnxnx不要求！不要求！

18、第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題。的的收收斂斂域域為為、冪冪級級數(shù)數(shù) 1)6 , 03)3(3nnnnx分析分析: ,3, 31 nnnntxt級級數(shù)數(shù)化化為為令令313)1(3lim313)1(1limlim111 nnnnnnnnnnnnnaa. 3 R故故收收斂斂半半徑徑.1)1(,3-;1,311收收斂斂級級數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng) nnnntnt).6 , 0),3 , 331 xtntnnn于于是是原原級級數(shù)數(shù)收收斂斂域域為為的的收收斂斂域域為為第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題。要要寫寫出出詳詳細(xì)細(xì)的的判判斷斷過過程程收收斂斂或或

19、發(fā)發(fā)散散三三、判判斷斷以以下下正正項項級級數(shù)數(shù))(。、 1211nnn解解，故故級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散。因因為為02121lim nnn第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題。、 1)3(322nnnn解解，因因為為2332lim1)3(32lim nnnnnnnn發(fā)發(fā)散散，得得由由 11nn發(fā)發(fā)散散。 1)3(32nnnn)1)3(3)3(32(nnnnnnn 或或第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題。、 1133nnnn解解，因因為為13113lim13lim nnnnnnnn收收斂斂。故故級級數(shù)數(shù) 113nnnn第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題

20、收收斂斂， 11)21(2)1(nnnnn解解 , 121221lim221limlim,21111 nnnnuunnnnnnnnnnnn對對于于 1.2nnn收收斂斂故故由由于于 1.2)1(4nnnn、 1.2)1(nnnn收收斂斂所所以以 11)2)1(2(2)1(nnnnnnnnn第十二章無窮級數(shù)單元自測題第十二章無窮級數(shù)單元自測題說說明明條條件件收收斂斂數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性，收收斂斂時時要要四四、判判斷斷以以下下任任意意項項級級詳詳細(xì)細(xì)的的判判斷斷過過程程）或或絕絕對對收收斂斂；（要要寫寫出出 111211nnnn、解解 11111221nnnnnnn, 121221lim221limlim111 nnnnuunnnnnnnnn收收斂斂。收收斂斂，從從而而原原級級數(shù)數(shù)絕絕對對故故 112nnn第十二章無