MATLAB-第6講_非線性規(guī)劃

1、1數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗經(jīng)濟數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)建模研究室非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃 2實驗?zāi)康膶嶒災(zāi)康膶嶒瀮?nèi)容實驗內(nèi)容2、掌握用數(shù)學(xué)軟件求解優(yōu)化問題。、掌握用數(shù)學(xué)軟件求解優(yōu)化問題。1、直觀了解非線性規(guī)劃的基本內(nèi)容。、直觀了解非線性規(guī)劃的基本內(nèi)容。1 1、非線性規(guī)劃的基本理論。、非線性規(guī)劃的基本理論。4 4、實驗作業(yè)。、實驗作業(yè)。2、用數(shù)學(xué)軟件求解非線性規(guī)劃。、用數(shù)學(xué)軟件求解非線性規(guī)劃。3、鋼管訂購及運輸優(yōu)化模型、鋼管訂購及運輸優(yōu)化模型3非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃 返回返回4 定義定義 如果目標函數(shù)或約束條件中至少有一個是非線性函數(shù)時的最優(yōu)化問題就叫做非線性規(guī)劃問題非線性規(guī)劃問題非現(xiàn)性規(guī)劃的基本概念非

2、現(xiàn)性規(guī)劃的基本概念 一般形式一般形式: （1） 其中 ， 是定義在 En 上的實值函數(shù)，簡記: Xfmin .,.,2 , 1 0 m;1,2,., 0. . ljXhiXgtsjinTnExxxX,21jihgf,1nj1ni1nE :h ,E :g ,E :EEEf 其它情況其它情況: 求目標函數(shù)的最大值或約束條件為小于等于零的情況，都可通過取其相反數(shù)化為上述一般形式5 定義定義1 1 把滿足問題（1）中條件的解 稱為可行解可行解（或可行（或可行點點），），所有可行點的集合稱為可行集可行集（或（或可行域可行域）記為D即 問題(1)可簡記為 njiEXXhXgXD, 0, 0|)(nEX X

3、fDXmin定義定義2 2 對于問題(1)，設(shè) ，若存在 ,使得對一切 ，且 ，都有 ，則稱X*是f(X)在D上的局部極小值點局部極小值點（局部最優(yōu)解局部最優(yōu)解）特別地當 時，若 ，則稱X*是f(X)在D上的嚴格局部極小值點嚴格局部極小值點（嚴格局部最優(yōu)解嚴格局部最優(yōu)解）DX *0DX *XX*XX XfXf* XfXf*定義定義3 3 對于問題(1),設(shè) ,對任意的 ,都有 則稱X*是f(X)在D上的全局極小值點全局極小值點（全局最優(yōu)解全局最優(yōu)解）特別地當 時，若 ，則稱X*是f(X)在D上的嚴格全局極小值點嚴格全局極小值點（嚴格全局最優(yōu)解嚴格全局最優(yōu)解）DX *DX XfXf*XX XfX

4、f* 返回返回6非線性規(guī)劃的基本解法非線性規(guī)劃的基本解法 返回返回7 罰函數(shù)法罰函數(shù)法 罰函數(shù)法罰函數(shù)法基本思想是通過構(gòu)造罰函數(shù)把約束問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束最優(yōu)化問題，進而用無約束最優(yōu)化方法去求解這類方法稱為序列無約束最小化方法序列無約束最小化方法簡稱為SUMTSUMT法法 其一為SUMTSUMT外點法外點法，其二為SUMTSUMT內(nèi)點內(nèi)點法法8 )2( , 0min,1212ljjmiiXhMXgMXfMXT可設(shè)：)3( ,min 1MXTnEX）轉(zhuǎn)化為無約束問題：將問題（ 其中T(X,M)稱為罰函數(shù)罰函數(shù)，M稱為罰因子罰因子，帶M的項稱為罰項罰項，這里的罰函數(shù)只對不滿足約束條件的點實行懲罰

5、：當 時，滿足各 ，故罰項=0，不受懲罰當 時，必有 的約束條件，故罰項0，要受懲罰DX 0, 0XhXgiiDX 00XhXgii或SUTMSUTM外點法外點法 ) 1 ( .,.,2 , 1 0 m;1,2,., 0. . min ljXhiXgtsXfji對一般的非線性規(guī)劃：9 罰函數(shù)法的缺點缺點是：每個近似最優(yōu)解Xk往往不是容許解，而只能近似滿足約束，在實際問題中這種結(jié)果可能不能使用；在解一系列無約束問題中，計算量太大，特別是隨著Mk的增大，可能導(dǎo)致錯誤1、任意給定初始點X0，取M11，給定允許誤差 ，令k=1；2、求無約束極值問題 的最優(yōu)解，設(shè)為Xk=X(Mk)，即 ；3、若存在 ，

6、使 ，則取MkM( )令k=k+1返回（2），否則，停止迭代得最優(yōu)解 .計算時也可將收斂性判別準則 改為 . 0MXTnEX,min),(,minkkEXMXTMXTnmii1kiXg10, 1MMk 0, 0min12miiXgMkXX*kiXg SUTM SUTM外點法外點法(罰函數(shù)法)的迭代步驟迭代步驟10) 1 (,.,2 , 10. .min i mXgtsXfi考慮問題： 所有嚴格內(nèi)點的集合。是可行域中，設(shè)集合00, 2 , 1, 0|DmiXgXDi 為障礙因子為障礙項，或其中稱或：構(gòu)造障礙函數(shù)rXgrXgrXgrXfrXIXgrXfrXIrXImiimiimiimii11111

7、 ln1)(),( ln, ）（得值問題：）就轉(zhuǎn)化為求一系列極這樣問題（kkkDXrXrXI ,min10SUTMSUTM內(nèi)點法（內(nèi)點法（障礙函數(shù)法）11 內(nèi)點法的迭代步驟內(nèi)點法的迭代步驟(1) 給定允許誤差0，取10 , 01r；(2) 求出約束集合D 的一個內(nèi)點00DX ，令1k；(3) 以01DXk為 初 始 點， 求 解kDXrXI,min0， 其 中0DX 的最優(yōu)解，設(shè)為 0DrXXkk；(4) 檢驗是否滿足mikiXgr1ln或miikXgr11，滿足，停止迭代，kXX *；否則取kkrr 1，令1 kk，返回(3） 12 近似規(guī)劃法的基本思想近似規(guī)劃法的基本思想：將問題(3)中的

8、目標函數(shù) 和約束條件 近似為線性函數(shù)，并對變量的取值范圍加以限制，從而得到一個近似線性規(guī)劃問題，再用單純形法求解之，把其符合原始條件的最優(yōu)解作為(3)的解的近似Xf), 1( 0 m);1,.,( 0ljXhiXgji近似規(guī)劃法近似規(guī)劃法每得到一個近似解后，都從這點出發(fā)，重復(fù)以上步驟 這樣，通過求解一系列線性規(guī)劃問題，產(chǎn)生一個由線性規(guī)劃最優(yōu)解組成的序列，經(jīng)驗表明，這樣的序列往往收斂于非線性規(guī)劃問題的解。13 近似規(guī)劃法的算法步驟如下算法步驟如下(2) 在點kX處，將Xf，XhXgji, 按泰勒級數(shù)展開并取一階近似，得到近似線性規(guī)劃問題： kTkkXXXfXfXfmin miXXXgXgXgkT

9、kikii, 1 0 lXXXhXhXhkTkjkjj, 1j 0；(1) 給定初始可行點112111,nxxxX，步長限制njj, 11，步長縮小系數(shù)1 , 0，允許誤差，令 k=1；145) 判斷精度： 若njkj, 1 ， 則點1kX為近似最優(yōu)解；否則，令 njkjkj, 1 1，k=k+1，返回步驟(2)(3)在上述近似線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)上增加一組限制步長的線性約束條件因為線性近似通常只在展開點附近近似程度較高，故需要對變量的取值范圍加以限制， 所增加的約束條件是： njxxkjkjj, 1 求解該線性規(guī)劃問題，得到最優(yōu)解1kX；(4) 檢驗1kX點對原約束是否可行。若1kX對原約束可

10、行，則轉(zhuǎn)步驟(5)；否則，縮小步長限制，令 njkjkj, 1 ，返回步驟(3)，重解當前的線性規(guī)劃問題； 返回返回15用MATLAB軟件求解,其輸入格式輸入格式如下: 1. x=quadprog(H,C,A,b); 2. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq); 3. x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB); 4. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0); 5. x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options); 6. x,fval=quaprog(.);

11、 7. x,fval,exitflag=quaprog(.); 8. x,fval,exitflag,output=quaprog(.);1、二次規(guī)劃、二次規(guī)劃標準型為： Min Z= 21XTHX+cTX s.t. AX=b beqXAeq VLBXVUB 16例例1 1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t. x1+x22 -x1+2x22 x10, x20 MATLAB（youh1）1、寫成標準形式寫成標準形式： 2、 輸入命令輸入命令： H=1 -1; -1 2; c=-2 ;-6;A=1 1; -1 2;b=2;2; Aeq=;beq=;

12、VLB=0;0;VUB=; x,z=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)3、運算結(jié)果運算結(jié)果為： x =0.6667 1.3333 z = -8.2222212121622 11- 1 ),(minxxxxxxzT212100222 11 1 xxxxs.t.17 1. 首先建立M文件fun.m,定義目標函數(shù)F（X）:function f=fun(X);f=F(X);2、一般非線性規(guī)劃、一般非線性規(guī)劃標準型為： min F(X) s.t AX=b beqXAeq G(X)0 Ceq(X)=0 VLBXVUB 其中X為n維變元向量，G(X)與Ceq(X)均為非線性函

13、數(shù)組成的向量，其它變量的含義與線性規(guī)劃、二次規(guī)劃中相同.用Matlab求解上述問題，基本步驟分三步：2. 若約束條件中有非線性約束:G(X)0或Ceq(X)=0,則建立M文件nonlcon.m定義函數(shù)G(X)與Ceq(X): function G,Ceq=nonlcon(X) G=. Ceq=. 183. 建立主程序.非線性規(guī)劃求解的函數(shù)是fmincon,命令的基本格式如下： (1) x=fmincon(fun,X0,A,b) (2) x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(fun,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB) (4) x=f

14、mincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon)(5)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon,options) (6) x,fval= fmincon(.) (7) x,fval,exitflag= fmincon(.) (8)x,fval,exitflag,output= fmincon(.)輸出極值點M文件迭代的初值參數(shù)說明變量上下限19注意：注意：1 fmincon函數(shù)提供了大型優(yōu)化算法和中型優(yōu)化算法。默認時，若在fun函數(shù)中提供了梯度（options參數(shù)的GradObj設(shè)置為on），并且只有上下界存在

15、或只有等式約束，fmincon函數(shù)將選擇大型算法。當既有等式約束又有梯度約束時，使用中型算法。2 fmincon函數(shù)的中型算法使用的是序列二次規(guī)劃法。在每一步迭代中求解二次規(guī)劃子問題，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩陣。3 fmincon函數(shù)可能會給出局部最優(yōu)解，這與初值X0的選取有關(guān)。201、寫成標準形式寫成標準形式： s.t. 00546322121xxxx2100 xx22212121212minxxxxf22212121212minxxxxf 2x1+3x2 6 s.t x1+4x2 5 x1,x2 0例例2212、先建立先建立M-文件文件 fun3.m: function

16、f=fun3(x); f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)2+(1/2)*x(2)2MATLAB(youh2)3、再建立主程序youh2.m： x0=1;1; A=2 3 ;1 4; b=6;5; Aeq=;beq=; VLB=0;0; VUB=; x,fval=fmincon(fun3,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)4、運算結(jié)果為：運算結(jié)果為： x = 0.7647 1.0588 fval = -2.0294221先建立先建立M文件文件 fun4.m,定義目標函數(shù)定義目標函數(shù): function f=fun4(x); f=exp(x(1) *(4*x(1)2+2

17、*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);) 12424()(22122211xxxxxexfx x1+x2=0 s.t. 1.5+x1x2 - x1 - x2 0 -x1x2 10 0例例32再建立再建立M文件文件mycon.m定義非線性約束：定義非線性約束： function g,ceq=mycon(x) g=x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;233主程序主程序youh3.m為為:x0=-1;1;A=;b=;Aeq=1 1;beq=0;vlb=;vub=;x,fval=fmincon(fun4,x0,A,b,Ae

18、q,beq,vlb,vub,mycon)MATLAB(youh3)3. 運算結(jié)果為運算結(jié)果為： x = -1.2250 1.2250 fval = 1.895124 例4 100 , 50 07 025 . .2min 21222122221121xxxxXgxxXgtsxxXf1先建立先建立M-文件文件fun.m定義目標函數(shù)定義目標函數(shù): function f=fun(x); f=-2*x(1)-x(2);2再建立再建立M文件文件mycon2.m定義非線性約束：定義非線性約束： function g,ceq=mycon2(x) g=x(1)2+x(2)2-25;x(1)2-x(2)2-7;2

19、53. 主程序主程序fxx.m為為: x0=3;2.5; VLB=0 0;VUB=5 10; x,fval,exitflag,output =fmincon(fun,x0,VLB,VUB,mycon2)MATLAB(fxx(fun)264. 運算結(jié)果為運算結(jié)果為: x = 4.0000 3.0000fval =-11.0000exitflag = 1output = iterations: 4 funcCount: 17 stepsize: 1 algorithm: 1x44 char firstorderopt: cgiterations: 返回返回應(yīng)用實例：應(yīng)用實例： 供應(yīng)與選址供應(yīng)與選址

20、 某公司有6個建筑工地要開工，每個工地的位置（用平面坐標系a，b表示，距離單位：千米 ）及水泥日用量d(噸)由下表給出。目前有兩個臨時料場位于A(5,1)，B(2,7)，日儲量各有20噸。假設(shè)從料場到工地之間均有直線道路相連。 （1）試制定每天的供應(yīng)計劃，即從A，B兩料場分別向各工地運送多少噸水泥，使總的噸千米數(shù)最小。 （2）為了進一步減少噸千米數(shù)，打算舍棄兩個臨時料場，改建兩個新的，日儲量各為20噸，問應(yīng)建在何處，節(jié)省的噸千米數(shù)有多大？工地位置（a，b）及水泥日用量 d 1 2 3 4 5 6 a 1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25 b 1.25 0.75 4.75 5 6.

21、5 7.25 d 3 5 4 7 6 11 （一）、建立模型（一）、建立模型 記工地的位置為記工地的位置為(ai，bi)，水泥日用量為，水泥日用量為di，i=1,6;料場位置為料場位置為(xj，yj)，日儲量為，日儲量為ej，j=1,2；從料場；從料場j向工地向工地i的運送量為的運送量為Xij。目標函數(shù)為：216122)()(minjiijijijbyaxXf 約束條件為：2 , 1 ,6 , 2 , 1 ,6121jeXidXjiijijij 當用臨時料場時決策變量為：Xij，當不用臨時料場時決策變量為：Xij，xj，yj。（二）使用臨時料場的情形（二）使用臨時料場的情形 使用兩個臨時料場A

22、(5,1)，B(2,7).求從料場j向工地i的運送量為Xij，在各工地用量必須滿足和各料場運送量不超過日儲量的條件下，使總的噸千米數(shù)最小，這是線性規(guī)劃問題. 線性規(guī)劃模型為：2161),(minjiijXjiaaf2 , 1 , 6 , 2 , 1 , s.t.6121jeXidXjiijijij其中 22)()(),(ijijbyaxjiaa，i=1,2,6,j=1,2,為常數(shù)。 設(shè)X11=X1, X21= X 2, X31= X 3, X41= X 4, X51= X 5, X61= X 6X12= X 7, X22= X 8, X32= X 9, X42= X 10, X52= X 11

23、, X62= X 12 編寫程序gying1.mMATLAB（gying1）30計算結(jié)果為：計算結(jié)果為：x = 3.0000 5.0000 0.0000 7.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 4.0000 0.0000 6.0000 10.0000fval = 136.2275即由料場 A、B 向 6 個工地運料方案為： 1 2 3 4 5 6 料場 A 3 5 0 7 0 1 料場 B 0 0 4 0 6 10 總的噸千米數(shù)為136.2275。 31（三）改建兩個新料場的情形（三）改建兩個新料場的情形 改建兩個新料場，要同時確定料場的位置(xj,yj)和運送量

24、Xij，在同樣條件下使總噸千米數(shù)最小。這是非線性規(guī)劃問題。非線性規(guī)劃模型為：216122)()(minjiijijijbyaxXf2 , 1 , 6 , 2 , 1 , . .6121jeXidXtsjiijijij32設(shè) X11=X1, X21= X 2, X31= X 3, X41= X 4, X51= X 5, X61= X 6 X12= X 7, X22= X 8, X32= X 9, X42= X 10, X52= X 11, X62= X 12 x1=X13, y1=X14, x2=X15, y2=X16 （1）先編寫M文件liaoch.m定義目標函數(shù)。MATLAB（liaoch）

25、(2) 取初值為線性規(guī)劃的計算結(jié)果及臨時料場的坐標: x0=3 5 0 7 0 1 0 0 4 0 6 10 5 1 2 7;編寫主程序gying2.m.MATLAB（gying2）33(3) 計算結(jié)果為：x= 3.0000 5.0000 0.0707 7.0000 0 0.9293 0 0 3.9293 0 6.0000 10.0707 6.3875 4.3943 5.7511 7.1867fval = 105.4626exitflag = 1即兩個新料場的坐標分別為(6.3875, 4.3943),(5.7511, 7.1867),由料場 A、B 向 6 個 工地運料方案為： 1 2 3

26、4 5 6 料場 A 3 5 0.0707 7 0 0.9293 料場 B 0 0 3.9293 0 6 10.0707 總的噸千米數(shù)為105.4626。比用臨時料場節(jié)省約 31 噸千米. 34(4) 若修改主程序gying2.m, 取初值為上面的計算結(jié)果:x0= 3.0000 5.0000 0.0707 7.0000 0 0.9293 0 0 3.9293 0 6.0000 10.0707 6.3875 4.3943 5.7511 7.1867得結(jié)果為:x=3.0000 5.0000 0.3094 7.0000 0.0108 0.6798 0 0 3.6906 0 5.9892 10.320

27、2 5.5369 4.9194 5.8291 7.2852fval =103.4760exitflag = 1總的噸千米數(shù)比上面結(jié)果略優(yōu). (5) 若再取剛得出的結(jié)果為初值, 卻計算不出最優(yōu)解.MATLAB（gying2）MATLAB（gying2）35(6) 若取初值為: x0=3 5 4 7 1 0 0 0 0 0 5 11 5.6348 4.8687 7.2479 7.7499, 則計算結(jié)果為:x=3.0000 5.0000 4.0000 7.0000 1.0000 0 0 0 0 0 5.0000 11.0000 5.6959 4.9285 7.2500 7.7500fval =89.

28、8835exitflag = 1總的噸千米數(shù)89.8835比上面結(jié)果更好. 通過此例可看出fmincon函數(shù)在選取初值上的重要性.MATLAB（gying2） 返回返回36鋼管訂購及運輸優(yōu)化模型鋼管訂購及運輸優(yōu)化模型2000年年“網(wǎng)易杯網(wǎng)易杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題題37符號說明：符號說明：的距離到：表示結(jié)點11.jjjjAAA個結(jié)點的鋼管數(shù)量個工廠運到第：表示從第jixij所需要的鋼管數(shù)量：表示結(jié)點jjAn個結(jié)點的最大生產(chǎn)能力：表示第jsj之間的平衡點到：表示結(jié)點1jjjAAtjA1jAjt)0(1t個結(jié)點的運費和成本個工廠運到第：單位產(chǎn)品從第jiaij是已知的量，

29、是待求的變量，而其中1.,jjijijjijAsnatx3820)(1 ()1 ( )2)(1 (2)1 (1 . 0 )(21 ()21(1 . 01.1.1.1.1.1.jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjtAtAtttAtAtttAtC1、鋪設(shè)總費用：、鋪設(shè)總費用：1411.jjjCC2、成本及運輸總費用：、成本及運輸總費用：71152ijijijaxW總費用總費用=鋪設(shè)總費用鋪設(shè)總費用+成本及運輸總費用成本及運輸總費用=C+W模型的分析與建立模型的分析與建立39 015, 2, 7 , 1 00 500,152,3,j . .1.15215271152711411.jjjijjijjiijijijjiijijjjjAtjixxsxnxtsaxCf或建立模型建立模型40模型求解模型求解利用利用MATLAB軟件包求解得：軟件包求解得：鋼 廠S1S2S3S4S5S6S7訂購量 800 800 10000 101515500總費用127863241 訂購量訂購量 A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15S18000201133200266000000000S2