《應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析》第07章_因子分析

1、第七章第七章 因子分析因子分析第一節(jié)第一節(jié) 引言引言 第二節(jié)第二節(jié) 因子分析模型因子分析模型 第三節(jié)第三節(jié) 因子載荷矩陣求解因子載荷矩陣求解 第四節(jié)第四節(jié) 公因子重要性的分析公因子重要性的分析 第五節(jié)第五節(jié) 實(shí)例分析與計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)實(shí)例分析與計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn) 第一節(jié)第一節(jié) 引言引言n一般認(rèn)為因子分析是從一般認(rèn)為因子分析是從Charles Spearman在在1904年發(fā)表的文年發(fā)表的文章章對(duì)智力測(cè)驗(yàn)得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析對(duì)智力測(cè)驗(yàn)得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析開始，他提出這種方法開始，他提出這種方法用來(lái)解決智力測(cè)驗(yàn)得分的統(tǒng)計(jì)方法。目前因子分析在心理學(xué)、用來(lái)解決智力測(cè)驗(yàn)得分的統(tǒng)計(jì)方法。目前因子分析在心理學(xué)、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)

2、科中都取得了成功的應(yīng)用，是多元統(tǒng)計(jì)社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中都取得了成功的應(yīng)用，是多元統(tǒng)計(jì)分析中典型方法之一。分析中典型方法之一。 n因子分析因子分析(factor analysis)也是一種降維、簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)的技術(shù)。也是一種降維、簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)的技術(shù)。它通過(guò)研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測(cè)數(shù)據(jù)中它通過(guò)研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測(cè)數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個(gè)的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個(gè)“抽象抽象”的變量來(lái)表示其基本的的變量來(lái)表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個(gè)抽象的變量被稱作數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。這幾個(gè)抽象的變量被稱作“因子因子”，能反映原來(lái)，能反映原來(lái)眾多變量的主要信息。原始的變量是可觀測(cè)的顯在變量，而眾多

3、變量的主要信息。原始的變量是可觀測(cè)的顯在變量，而因子一般是不可觀測(cè)的潛在變量。因子一般是不可觀測(cè)的潛在變量。 n例如，在商業(yè)企業(yè)的形象評(píng)價(jià)中，消費(fèi)者可以通過(guò)一系列指例如，在商業(yè)企業(yè)的形象評(píng)價(jià)中，消費(fèi)者可以通過(guò)一系列指標(biāo)構(gòu)成的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，評(píng)價(jià)百貨商場(chǎng)的各個(gè)方面的優(yōu)標(biāo)構(gòu)成的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，評(píng)價(jià)百貨商場(chǎng)的各個(gè)方面的優(yōu)劣。但消費(fèi)者真正關(guān)心的只是三個(gè)方面：商店的環(huán)境、商店劣。但消費(fèi)者真正關(guān)心的只是三個(gè)方面：商店的環(huán)境、商店的服務(wù)和商品的價(jià)格。這三個(gè)方面除了價(jià)格外，商店的環(huán)境的服務(wù)和商品的價(jià)格。這三個(gè)方面除了價(jià)格外，商店的環(huán)境和服務(wù)質(zhì)量，都是客觀存在的、抽象的影響因素，都不便于和服務(wù)質(zhì)量，都是客觀

4、存在的、抽象的影響因素，都不便于直接測(cè)量，只能通過(guò)其它具體指標(biāo)進(jìn)行間接反映。因子分析直接測(cè)量，只能通過(guò)其它具體指標(biāo)進(jìn)行間接反映。因子分析就是一種通過(guò)顯在變量測(cè)評(píng)潛在變量，通過(guò)具體指標(biāo)測(cè)評(píng)抽就是一種通過(guò)顯在變量測(cè)評(píng)潛在變量，通過(guò)具體指標(biāo)測(cè)評(píng)抽象因子的統(tǒng)計(jì)分析方法。又比如，在研究區(qū)域社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展象因子的統(tǒng)計(jì)分析方法。又比如，在研究區(qū)域社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展中，描述社會(huì)與經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的指標(biāo)很多，過(guò)多的指標(biāo)容易導(dǎo)致中，描述社會(huì)與經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的指標(biāo)很多，過(guò)多的指標(biāo)容易導(dǎo)致分析過(guò)程復(fù)雜化。一個(gè)合適的做法就是從這些關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜分析過(guò)程復(fù)雜化。一個(gè)合適的做法就是從這些關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)中提取少數(shù)幾個(gè)主要因子，每一個(gè)主要

5、因子的社會(huì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)中提取少數(shù)幾個(gè)主要因子，每一個(gè)主要因子都能反映相互依賴的社會(huì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)間共同作用，抓住這些主都能反映相互依賴的社會(huì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)間共同作用，抓住這些主要因素就可以幫助我們對(duì)復(fù)雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展問(wèn)題進(jìn)行深入要因素就可以幫助我們對(duì)復(fù)雜的社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展問(wèn)題進(jìn)行深入分析、合理解釋和正確評(píng)價(jià)。分析、合理解釋和正確評(píng)價(jià)。n因子分析的內(nèi)容非常豐富，常用的因子分析類型是因子分析的內(nèi)容非常豐富，常用的因子分析類型是R型因子型因子分析和分析和Q型因子分析。型因子分析。R型的因子分析是對(duì)變量作因子分析，型的因子分析是對(duì)變量作因子分析，Q型因子分析是對(duì)樣品作因子分析。本章側(cè)重討論型因子分析是對(duì)樣品作因子分析。本

6、章側(cè)重討論R型因子型因子分析。分析。 第二節(jié)第二節(jié) 因子分析模型因子分析模型一一 因子分析的數(shù)學(xué)模型因子分析的數(shù)學(xué)模型 二二 因子載荷陣的統(tǒng)計(jì)意義因子載荷陣的統(tǒng)計(jì)意義 一、因子分析的數(shù)學(xué)模型一、因子分析的數(shù)學(xué)模型n無(wú)論是無(wú)論是R型或型或Q型因子分析，都用公共因子型因子分析，都用公共因子F代替代替X，一般要，一般要求求mp，m2時(shí)，我們可以逐次對(duì)每?jī)蓚€(gè)公共因子和進(jìn)行上述旋轉(zhuǎn)。時(shí)，我們可以逐次對(duì)每?jī)蓚€(gè)公共因子和進(jìn)行上述旋轉(zhuǎn)。對(duì)公因子對(duì)公因子Fl和和Fk進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，就是對(duì)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，就是對(duì)A的第的第l和和k兩列進(jìn)行正交兩列進(jìn)行正交變換，使這兩列元素平方的相對(duì)方差之和達(dá)到最大，而其余變換，使這兩列元素平方

7、的相對(duì)方差之和達(dá)到最大，而其余各列不變，其正交變換矩陣為各列不變，其正交變換矩陣為二、因子得分二、因子得分n n 第五節(jié)第五節(jié) 實(shí)例分析與計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)實(shí)例分析與計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)一一 利用利用SPSS進(jìn)行因子分析進(jìn)行因子分析 二二 因子分析在市場(chǎng)研究中的應(yīng)用因子分析在市場(chǎng)研究中的應(yīng)用 一、利用一、利用SPSS進(jìn)行因子分析進(jìn)行因子分析n （一）（一） 操作步驟操作步驟1. 在在SPSS窗口中選擇窗口中選擇AnalyzeData ReductionFactor，調(diào)，調(diào)出因子分析主界面出因子分析主界面圖圖( (7.1) )，并將變量，并將變量X1X13移入移入Variables框中?？蛑?。 圖圖7.1 因子分

8、析主界面因子分析主界面 2. 點(diǎn)擊點(diǎn)擊Descriptives按鈕，展開相應(yīng)對(duì)話框，見圖按鈕，展開相應(yīng)對(duì)話框，見圖7.2。選擇。選擇Initial solution復(fù)選項(xiàng)。這個(gè)選項(xiàng)給出各因子的特征值、各復(fù)選項(xiàng)。這個(gè)選項(xiàng)給出各因子的特征值、各因子特征值占總方差的百分比以及累計(jì)百分比。單擊因子特征值占總方差的百分比以及累計(jì)百分比。單擊Continue按鈕，返回主界面。按鈕，返回主界面。 圖圖7.2 Descriptives子對(duì)話框子對(duì)話框 3. 點(diǎn)擊點(diǎn)擊Extraction按鈕，設(shè)置因子提取的選項(xiàng)，見圖按鈕，設(shè)置因子提取的選項(xiàng)，見圖7.3。在。在Method下拉列表中選擇因子提取的方法，下拉列表中

9、選擇因子提取的方法，SPSS提供了七種提供了七種提取方法可供選擇，一般選擇默認(rèn)選項(xiàng)，即提取方法可供選擇，一般選擇默認(rèn)選項(xiàng)，即“主成分法主成分法”。在在Analyze欄中指定用于提取因子的分析矩陣，分別為相關(guān)欄中指定用于提取因子的分析矩陣，分別為相關(guān)矩陣和協(xié)方差矩陣。在矩陣和協(xié)方差矩陣。在Display欄中指定與因子提取有關(guān)的欄中指定與因子提取有關(guān)的輸出項(xiàng)，如未旋轉(zhuǎn)的因子載荷陣和因子的碎石圖。在輸出項(xiàng)，如未旋轉(zhuǎn)的因子載荷陣和因子的碎石圖。在Extract欄中指定因子提取的數(shù)目，有兩種設(shè)置方法：一種欄中指定因子提取的數(shù)目，有兩種設(shè)置方法：一種是在是在Eigenvalues over后的框中設(shè)置提取

10、的因子對(duì)應(yīng)的特征后的框中設(shè)置提取的因子對(duì)應(yīng)的特征值的范圍，系統(tǒng)默認(rèn)值為值的范圍，系統(tǒng)默認(rèn)值為1，即要求提取那些特征值大于，即要求提取那些特征值大于1的的因子；第二種設(shè)置方法是直接在因子；第二種設(shè)置方法是直接在Number of factors后的矩形后的矩形框中輸入要求提取的公因子的數(shù)目。這里我們均選擇系統(tǒng)默框中輸入要求提取的公因子的數(shù)目。這里我們均選擇系統(tǒng)默認(rèn)選項(xiàng)，單擊認(rèn)選項(xiàng)，單擊Continue按鈕，返回主界面。按鈕，返回主界面。 圖圖7.3 Extraction子對(duì)話框子對(duì)話框 4.點(diǎn)擊點(diǎn)擊Rotation按鈕，設(shè)置因子旋轉(zhuǎn)的方法。這里選擇按鈕，設(shè)置因子旋轉(zhuǎn)的方法。這里選擇Varimax

11、(方差最大旋轉(zhuǎn)方差最大旋轉(zhuǎn))，并選擇，并選擇Display欄中的欄中的Rotated solution復(fù)選框，在輸出窗口中顯示旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣。復(fù)選框，在輸出窗口中顯示旋轉(zhuǎn)后的因子載荷陣。單擊單擊Continue按鈕，返回主界面。按鈕，返回主界面。 圖圖7.4 Rotation子對(duì)話框子對(duì)話框 5.點(diǎn)擊點(diǎn)擊Scores按鈕，設(shè)置因子得分的選項(xiàng)。選中按鈕，設(shè)置因子得分的選項(xiàng)。選中Save as variables復(fù)選框，將因子得分作為新變量保存在數(shù)據(jù)文件中。復(fù)選框，將因子得分作為新變量保存在數(shù)據(jù)文件中。選中選中Display factor score coefficient matrix復(fù)選框

12、，這樣在結(jié)復(fù)選框，這樣在結(jié)果輸出窗口中會(huì)給出因子得分系數(shù)矩陣。單擊果輸出窗口中會(huì)給出因子得分系數(shù)矩陣。單擊Continue按鈕按鈕返回主界面。返回主界面。 6. 單擊單擊OK按鈕，運(yùn)行因子分析過(guò)程。按鈕，運(yùn)行因子分析過(guò)程。 圖圖7.5 Scores子對(duì)話框子對(duì)話框 （二）（二） 主要運(yùn)行結(jié)果解釋主要運(yùn)行結(jié)果解釋1. Communalities（給出變量共同度）（給出變量共同度）變量共同度反映每個(gè)變量對(duì)所提取的所有公共因子的依賴程度，變量共同度反映每個(gè)變量對(duì)所提取的所有公共因子的依賴程度，此數(shù)值是因子載荷陣中每一行的因子載荷量的平方和，提取的此數(shù)值是因子載荷陣中每一行的因子載荷量的平方和，提取的

13、因子個(gè)數(shù)不同，變量共同度也不同。因子個(gè)數(shù)不同，變量共同度也不同。2. Total Variance Explained（給出各公因子方差貢獻(xiàn)表）（給出各公因子方差貢獻(xiàn)表）Initial Eigenvalues給出初始相關(guān)矩陣或協(xié)差陣矩陣的特征值，給出初始相關(guān)矩陣或協(xié)差陣矩陣的特征值，用于確定哪些因子應(yīng)該被提取，共有三項(xiàng)：用于確定哪些因子應(yīng)該被提取，共有三項(xiàng)： Total列為各因子列為各因子對(duì)應(yīng)的特征值，本例中共有四個(gè)因子對(duì)應(yīng)的特征值大于對(duì)應(yīng)的特征值，本例中共有四個(gè)因子對(duì)應(yīng)的特征值大于1，因，因此應(yīng)提取相應(yīng)的四個(gè)公因子；此應(yīng)提取相應(yīng)的四個(gè)公因子；% of Variance列為各因子的方差列為各因

14、子的方差貢獻(xiàn)率；貢獻(xiàn)率；Cumulative %列為各因子的累積方差貢獻(xiàn)率，由表列為各因子的累積方差貢獻(xiàn)率，由表7.1可以看出，前四個(gè)因子已經(jīng)可以解釋可以看出，前四個(gè)因子已經(jīng)可以解釋89.651%的方差。的方差。Rotation Sums of Squared Loadings給出提取出的公因子經(jīng)過(guò)給出提取出的公因子經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后的方差貢獻(xiàn)情況。旋轉(zhuǎn)后的方差貢獻(xiàn)情況。 表表7.1 特征根與方差貢獻(xiàn)率表特征根與方差貢獻(xiàn)率表 表表7.2 旋轉(zhuǎn)前因子載荷陣旋轉(zhuǎn)前因子載荷陣表表7.3 旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣旋轉(zhuǎn)后因子載荷陣 Rotated Component Matrix4.714E-02.925-.1305.

15、040E-02.221.9505.080E-02.104.1831.323E-02.895.152.176-4.567E-02.880.134.174.909.109.101.724.150.470.350.236.104.166.938.232.110.157.943.8433.187E-02-.2674.853E-02.845.157.2556.884E-02.848.214.235.254.782.163.431.387.793.193.445.302X 1X 2X 3X 4X 5X 6X 7X 8X 9X 10X 11X 12X 131234Component注意：在因子表達(dá)式中的各變

16、量為進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換后的標(biāo)準(zhǔn)變注意：在因子表達(dá)式中的各變量為進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換后的標(biāo)準(zhǔn)變量，均值為量，均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為1。7. 由于我們已經(jīng)在由于我們已經(jīng)在Scores子對(duì)話框中選擇了子對(duì)話框中選擇了Save as variables復(fù)選框，因此，因子得分已經(jīng)作為新的變量保存在數(shù)據(jù)文件復(fù)選框，因此，因子得分已經(jīng)作為新的變量保存在數(shù)據(jù)文件中，變量名分別為中，變量名分別為fac1_1、fac2_1、fac3_1和和fac4_1。此后，。此后，我們還可以利用因子得分進(jìn)行其他的統(tǒng)計(jì)分析。我們還可以利用因子得分進(jìn)行其他的統(tǒng)計(jì)分析。 表表7.4 因子得分系數(shù)矩陣因子得分系數(shù)矩陣 二、因子分析在市場(chǎng)研

17、究中的應(yīng)用二、因子分析在市場(chǎng)研究中的應(yīng)用n表表7.5是研究消費(fèi)者對(duì)購(gòu)買牙膏偏好的調(diào)查數(shù)據(jù)。通過(guò)市場(chǎng)是研究消費(fèi)者對(duì)購(gòu)買牙膏偏好的調(diào)查數(shù)據(jù)。通過(guò)市場(chǎng)的攔截訪問(wèn)，用的攔截訪問(wèn)，用7級(jí)量表詢問(wèn)受訪者對(duì)以下陳述的認(rèn)同程度級(jí)量表詢問(wèn)受訪者對(duì)以下陳述的認(rèn)同程度（1表示非常不同意，表示非常不同意，7表示非常同意）。表示非常同意）。V1：購(gòu)買預(yù)防蛀牙的牙膏是重要的；：購(gòu)買預(yù)防蛀牙的牙膏是重要的；V2：我喜歡使牙齒亮澤的牙膏；：我喜歡使牙齒亮澤的牙膏；V3：牙膏應(yīng)當(dāng)保護(hù)牙齦；：牙膏應(yīng)當(dāng)保護(hù)牙齦；V4：我喜歡使口氣清新的牙膏；：我喜歡使口氣清新的牙膏；V5：預(yù)防壞牙不是牙膏提供的一項(xiàng)重要利益；：預(yù)防壞牙不是牙膏提供

18、的一項(xiàng)重要利益；V6：購(gòu)買牙膏時(shí)最重要的考慮是富有魅力的牙齒。：購(gòu)買牙膏時(shí)最重要的考慮是富有魅力的牙齒。 表表7.5 牙膏屬性評(píng)分得分表牙膏屬性評(píng)分得分表n將表將表7.5中的數(shù)據(jù)通過(guò)中的數(shù)據(jù)通過(guò)SPSS進(jìn)行因子分析，得到相關(guān)結(jié)果是：進(jìn)行因子分析，得到相關(guān)結(jié)果是：1. 特征根和累計(jì)貢獻(xiàn)率特征根和累計(jì)貢獻(xiàn)率 表表7.6 方差貢獻(xiàn)率表方差貢獻(xiàn)率表 從表從表7.6可以看出，提取兩個(gè)因子累計(jì)方差貢獻(xiàn)率就達(dá)到可以看出，提取兩個(gè)因子累計(jì)方差貢獻(xiàn)率就達(dá)到82%，第三個(gè)特征根相比下降較快，因此我們選取兩個(gè)公共因子。第三個(gè)特征根相比下降較快，因此我們選取兩個(gè)公共因子。2.因子的含義因子的含義為了得到意義明確的因子含義，我們將因子載荷陣進(jìn)行方差最為了得到意義明確的因子含義，我們將因子載荷陣進(jìn)行方差最大法旋轉(zhuǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣如下表大法旋轉(zhuǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣如下表7.7。 表表7.7 旋轉(zhuǎn)后因子載荷矩陣旋轉(zhuǎn)后因子載荷矩陣 n從因子載荷陣可以看出：因子從因子載荷陣可以看出：因子1與與V1（預(yù)防蛀牙），（預(yù)防蛀牙），V3（保（保護(hù)牙齦），護(hù)牙齦），V5（預(yù)防壞牙）相關(guān)性強(qiáng)，其中（預(yù)防壞牙）相關(guān)性強(qiáng)，其中V5的載荷是負(fù)數(shù)