n階行列式(第一節(jié))

1、 線線 性性 代代 數(shù)數(shù) 第一章第一章 行列式行列式山西財經(jīng)大學(xué)山西財經(jīng)大學(xué) 張保田張保田線性代數(shù)介紹線性代數(shù)介紹 線性代數(shù)是一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，已被線性代數(shù)是一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，已被廣泛地應(yīng)用于管理學(xué)科的各個領(lǐng)域，它是財經(jīng)類大廣泛地應(yīng)用于管理學(xué)科的各個領(lǐng)域，它是財經(jīng)類大學(xué)生必備的基礎(chǔ)知識。學(xué)生必備的基礎(chǔ)知識。 其核心內(nèi)容是：其核心內(nèi)容是： 研究線性方程組的解的存在條件、解的求法研究線性方程組的解的存在條件、解的求法及解的結(jié)構(gòu)。及解的結(jié)構(gòu)。 【完】中學(xué)討論過：中學(xué)討論過：【完】121223823xxxx二元一次線性二元一次線性方程組方程組滿足方程組的未滿足方程組的未知數(shù)的值稱為方知數(shù)的

2、值稱為方程組的解。程組的解。如何求解？如何求解？常用：常用：消元法消元法未知量為未知量為n個時如何討論解的存在、求解呢？個時如何討論解的存在、求解呢？1課程結(jié)構(gòu)：課程結(jié)構(gòu)： 對線性方程組：對線性方程組：11 112 21121 122 2221 12 2n nn nmmmn nma xa xa xba xa xaxbaxaxaxb 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) 由向量、矩陣討論解的結(jié)構(gòu)應(yīng)用由向量、矩陣討論解的結(jié)構(gòu)應(yīng)用(第三章第三章)。 應(yīng)用：特征值與特征向量應(yīng)用：特征值與特征向量(第六章第六章)、二次型、二次型(第七章第七章)。mnmn【完】時，由行列式討論解時，由行列式討論解(第一章第一章)；時，由矩陣討論其

3、解時，由矩陣討論其解(第二章第二章)；3線性代數(shù)的應(yīng)用：線性代數(shù)的應(yīng)用： 經(jīng)濟計量學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、管理決策、預(yù)測經(jīng)濟計量學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、管理決策、預(yù)測 （管理會計、決策會計）、信息等。（管理會計、決策會計）、信息等。4參考書：參考書： 線性代數(shù)線性代數(shù)龍永紅主編龍永紅主編 高教出版社高教出版社 【面向面向21世紀(jì)教材世紀(jì)教材】 線性代數(shù)線性代數(shù) 陳文燈高教出版社（教育科陳文燈高教出版社（教育科 學(xué)學(xué)“十五十五”國家規(guī)劃課題研究成果）國家規(guī)劃課題研究成果） 線性代數(shù)輔導(dǎo)講義線性代數(shù)輔導(dǎo)講義清華大學(xué)清華大學(xué) 2本教材內(nèi)容：本教材內(nèi)容： 行列式，矩陣，線性方程組與向量，行列式，矩陣，線性方程組與向量， 矩陣

4、的特征值與特征向量，二次型矩陣的特征值與特征向量，二次型?！就辍康谝还?jié)第一節(jié) 第一章第一章 行列式行列式 1.1 n階行列式階行列式內(nèi)內(nèi) 容容1.1.1 二階和三階行列式二階和三階行列式 中學(xué)討論過二元一次與三元一次線性方程中學(xué)討論過二元一次與三元一次線性方程組的求解問題組的求解問題 ，常用的方法為消元法。下面有，常用的方法為消元法。下面有二元、三元方程組的求解來歸納一般線性方程二元、三元方程組的求解來歸納一般線性方程組求解的公式：行列式解方程組。組求解的公式：行列式解方程組?！就辍恳?、二元線性方程組與二階行列式一、二元線性方程組與二階行列式11 112 2121 122 2212a xa x

5、ba xa xb（）（ ）一、二元線性方程組與二階行列式一、二元線性方程組與二階行列式1. 二元線性方程組二元線性方程組二元線性方程組的一般形式為二元線性方程組的一般形式為 用消元法解二元線性方程組用消元法解二元線性方程組 221212aa得得1x11 221221a aa a1 222 12(3)bab a11 112 2121 122 22(1)(2)a xa xba xa xb 221212aa，得，得11 2212 2111 222 12(3)xbaabaaaa 112121aa，得，得 2x 【完】11 2212 210a aa a當(dāng)時 ，有有111 221221211 2211 2

6、222 1222111 211b ab abxa aa axa aaaaab規(guī)律？規(guī)律？11 2212 21a aa a2 111 21(4)b aba【完】11 2212 210a aa a當(dāng)時，有有111 221221211 2211 2222 1222111 211b ab abxa aa axa aaaaab11 112 2121 122 22(1)(2)a xa xba xa xb 解中都是解中都是4個數(shù)的算式，我們規(guī)定其為個數(shù)的算式，我們規(guī)定其為二階行列式二階行列式。11 221221a aa a【完】 定義定義1 設(shè)由設(shè)由22個元素個元素11122122aaaa組成的組成的稱為二

7、階稱為二階行列式行列式，記為，記為11122122aaDaa2. 二階行列式定義二階行列式定義( ,1,2)ijai j 算式：算式： 從左上角到右下角稱為行列式的從左上角到右下角稱為行列式的主對角線主對角線，左下角到右上角稱為行列式的左下角到右上角稱為行列式的次對角線次對角線。 如圖：如圖： 實連線稱為主對角，虛線連線稱為次對角線實連線稱為主對角，虛線連線稱為次對角線22211211aaaa 二階行列式的值等于二階行列式的值等于主對角線上兩元素之積主對角線上兩元素之積減去減去副對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積。【完】即即D 11122122aaaa11 221221a aa a例例14

8、32110) 3(241例例2：251aDa問：問：(1)?0(2)?0aDaD設(shè)設(shè)解解251aDa因此，因此，(1) 當(dāng)當(dāng) a= 0 或或 a = 5 時時，D= 0(2) 當(dāng) 050,aaD且時 【二階行列式是由加減、代入二階行列式是由加減、代入消元法解消元法解二元線性方程組二元線性方程組引入的引入的】【完】25(5)aaa a當(dāng)當(dāng)D0時，有時，有11 2212 210a aa a當(dāng)時 ， 有唯一解：有唯一解：111 221221211 2211 2222 1222111 211b ab abxa aa axa aaaaab11 112 2121 122 22(1)(2)a xa xba

9、xa xb 對于二元線性方程組，記：對于二元線性方程組，記：11122122aaDaa稱為系數(shù)行列式；稱為系數(shù)行列式；12DDDD111212122aaDaa12bb111222122aaDaa12bb例例3 解方程組解方程組 328322121xxxx解解 2312D 1283322813DD故方程組有唯一解：故方程組有唯一解：11227171427DxDDxD【完】223 170 82337238 114 二、三階行列式二、三階行列式 【類似于二元線性方程組，對三元線性方程組：類似于二元線性方程組，對三元線性方程組：11 112 213 3121 122 223 3231 132 233

10、33a xa xa xba xa xa xba xa xa xb消去消去中的兩個，則其系數(shù)為中的兩個，則其系數(shù)為六項的代數(shù)和六項的代數(shù)和。123,x xx我們定義這六項的代數(shù)和為三階行列式：我們定義這六項的代數(shù)和為三階行列式： 1.三階行列式定義：三階行列式定義： 【完】 定義定義2 設(shè)由設(shè)由32個元素個元素111213212223313233aaaaaaaaa組成的組成的稱為三階稱為三階行列式行列式，其值等于所有不同行不同列的，其值等于所有不同行不同列的三個元素乘積的代數(shù)和：三個元素乘積的代數(shù)和：11 22 3312 23 3113 213 22 3111 23 3212 2113323.a

11、a a aa a aa aa aa a aa a aa( ,1,2,3)ijai j 算式：算式：11 22 331223 3113 213 22 3111 23 32122113323.aa a aa a aa aa aa a aa a aa記為：記為：111213212223313233aaaDaaaaaa11 22 3312 23 3113 21 3213 22 3111 23 3212 21 33.a a aa a aa a aa a aa a aa a a 三階行列式有三階行列式有3！6項；項； 每一項均為每一項均為不同行不同列的三個元素之積；不同行不同列的三個元素之積； 再冠以正負(fù)

12、號再冠以正負(fù)號?！菊?fù)號如何確定？正負(fù)號如何確定？】 三階行列式展開三階行列式展開6項運算的規(guī)律性可用項運算的規(guī)律性可用 “對角線法則對角線法則”（見圖（見圖2） 或或“沙路法則沙路法則”（見圖（見圖3）來表述之。）來表述之。 (1) 沙路法則沙路法則111213212223313233aaaaaaaaa111221223132aaaaaa (2)三角形法規(guī)三角形法規(guī)333231232221131211aaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa三項三項 “”三項三項 “”11 22 33a a a13 22 31a a a 1223 31a a a13 21 32

13、a a a11 23 32a a a12 21 33a a a例例4：123312231例例5：當(dāng)k=?時，0100143kkkD解：解：341001kDkk 所以，當(dāng)所以，當(dāng) k =1 或或 k =3 時，時，D=01 1 13 3 3 2223 1 22 3 1 1 2 318 【完完】243(1)(3)kkkk2. 三元線性方程組三元線性方程組 對三元線性方程組對三元線性方程組 11 112 213 3121 122 223 3231 132 233 33a xa xa xba xa xa xba xa xa xb記記111213212223313233,aaaDaaaaaa123123

14、,DDDxxxDDD【完】若系數(shù)行列式若系數(shù)行列式 0則該方程組有唯一解：則該方程組有唯一解： D1112131212223313233,aaaDaaaaaa123bbb1112132212223313233,aaaDaaaaaa123bbb1112133212223313233,aaaDaaaaaa123bbb 例例6 解三元線性方程組解三元線性方程組 12312312321310231xxxxxxxxx解解 因為系數(shù)行列式因為系數(shù)行列式【由例由例3】 11211150231D 11312101 15131D 21 1321 10110211D 311 1321 103511 1D 故所求方

15、程組的解為：故所求方程組的解為： 1231231,2,7DDDxxxDDD【完】 四階以上的行列式的計算，已無法找到四階以上的行列式的計算，已無法找到類似三階行列式的計算方法。類似三階行列式的計算方法。如何定義如何定義n階行列式？階行列式？ 定義定義n階行列式常見的方法有兩種：階行列式常見的方法有兩種： 2.由由n級排列定義級排列定義：用到排列，理論完備，考研：用到排列，理論完備，考研大綱用這種定義法。大綱用這種定義法。 1.降階遞推定義降階遞推定義：直觀但理論不完備；：直觀但理論不完備； （1）二階行列式二階行列式 3. 二、三階行列式定義的規(guī)律二、三階行列式定義的規(guī)律 111211 221

16、2212122aaa aa aaa列標(biāo):1 2(0) 2 1 (1)1212jja a其中其中 1 2j j為二級排列；為二級排列； 1 2j j為對所有二級排列求和，共為對所有二級排列求和，共2！2項。項。 1 2()( 1)N j j1 2j j（2）三階行列式）三階行列式 333231232221131211aaaaaaaaa11 22 3312 23 3113 21 3213 22 3111 23 3212 21 33.a a aa a aa a aa a aa a aa a a列標(biāo)列標(biāo):123(0) 231(2) 312(2)列標(biāo)列標(biāo):321(3) 132(1) 213(1)1231

17、23jjjaaa其中其中 1 2 3j j j為對所有三級排列求和，共為對所有三級排列求和，共3！6項。項。 共同特點為：共同特點為：1 2 3()( 1)N j j j1 2 3j j j（1）二（三）階行列式共有二（三）階行列式共有2！（?。?！6）項）項（3）每項的符號是：當(dāng)該項元素的每項的符號是：當(dāng)該項元素的行標(biāo)按自然數(shù)行標(biāo)按自然數(shù)序序順序排列后，若對應(yīng)的順序排列后，若對應(yīng)的列標(biāo)列標(biāo)構(gòu)成的排列是構(gòu)成的排列是偶排列則偶排列則取正號，是奇排列則取負(fù)號。取正號，是奇排列則取負(fù)號。共同特點為：共同特點為：（2）每項都是取自每項都是取自不同行不同列不同行不同列的三個元素的乘積；的三個元素的乘積； 小小 結(jié)結(jié) 1. 二階和三階行列式二階和三階行列式 2二、三元線性方程組的行列式解法二、三元線性方程組的行列式解