羅益民大學(xué)物理之機(jī)械振動(dòng)與波習(xí)題課

1、1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征與規(guī)律簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征與規(guī)律A. 動(dòng)力學(xué)特征：動(dòng)力學(xué)特征：kxF B.運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：)cos( tAxC.規(guī)律：規(guī)律：)cos( tAx)cos( tAa2)sin( tAv0222 xdtxd 機(jī)械振動(dòng)與波機(jī)械振動(dòng)與波2.描寫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本物理量及其關(guān)系描寫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本物理量及其關(guān)系A(chǔ).振幅：振幅： AB.角頻率、頻率和周期：角頻率、頻率和周期：T, 1 T 2 C.初相位：初相位： 由系統(tǒng)決定角頻率：由系統(tǒng)決定角頻率：mk 由初始條件確定由初始條件確定 A和和 ： 22020 vxA )(00 xvarctg X t + oxt = tt = 0 x = A c

2、os( t + ) AA參考圓參考圓3、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量A.動(dòng)能：動(dòng)能：)(sin tmAmvEk22222121B.勢(shì)能：勢(shì)能：)(cos tkAkxEp2222121C.特點(diǎn)：機(jī)械能守恒特點(diǎn)：機(jī)械能守恒221kAEEEpk 4 4、求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方法、求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方法A、解析法、解析法B、振動(dòng)曲線求法、振動(dòng)曲線求法C、旋轉(zhuǎn)矢量求法、旋轉(zhuǎn)矢量求法D、能量求法、能量求法5. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成A. 同方向同頻率：同方向同頻率：)cos(122122212 AAAAA22112211 coscossinsinAAAAtg B.同方向不同頻率：拍同方向不同頻率：拍拍頻為：

3、拍頻為：12C.兩個(gè)相互垂直同頻率的振動(dòng)：兩個(gè)相互垂直同頻率的振動(dòng)：橢圓橢圓D.兩個(gè)相互垂直不同頻率的振動(dòng)：兩個(gè)相互垂直不同頻率的振動(dòng)：李薩如圖李薩如圖多個(gè)：用旋轉(zhuǎn)矢量合成多個(gè)：用旋轉(zhuǎn)矢量合成6、阻尼振動(dòng)，受迫振動(dòng)，共振。、阻尼振動(dòng)，受迫振動(dòng)，共振。1.平面簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程：平面簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程： 0)(cos uxtAy 0)(2cos xTtAyX軸軸正向正向傳播：傳播：X軸軸負(fù)向負(fù)向傳播：傳播： 0)(cos uxtAy 0)(2cos xTtAyx 相距相距兩質(zhì)點(diǎn)的兩質(zhì)點(diǎn)的相位差相位差：x 2 波形圖波形圖：t 時(shí)刻，各質(zhì)點(diǎn)的位移。時(shí)刻，各質(zhì)點(diǎn)的位移。周期：周期：T 由波源決定由波源決定

4、波速：波速：u 由介質(zhì)決定由介質(zhì)決定波長(zhǎng)：波長(zhǎng)： uT 能量密度：能量密度：2220sin()dWxwAtdVu平均能量密度：平均能量密度：2221 AVWw能流密度：能流密度：uAuwI2221 能流：能流：wuSdtdWP 平均能流：平均能流：uSAuSwP2221 相干條件：相干條件：同方向振動(dòng)，同頻率，相位差恒定。同方向振動(dòng)，同頻率，相位差恒定。,.2 , 1,2)(21212 kkrr 21AAA ,.,)(2112 kk 21AAA 駐波：駐波： 兩列振幅相同、相向傳播的相干波疊加形成駐波。兩列振幅相同、相向傳播的相干波疊加形成駐波。波腹與波節(jié)相間，相鄰兩波節(jié)（或波腹）間距為波腹與

5、波節(jié)相間，相鄰兩波節(jié)（或波腹）間距為半波損失：半波損失：波疏介質(zhì)波疏介質(zhì)波密介質(zhì)波密介質(zhì) 入射波在界面處反射時(shí)位相發(fā)生突變的現(xiàn)象。入射波在界面處反射時(shí)位相發(fā)生突變的現(xiàn)象。同段質(zhì)點(diǎn)同相，相鄰段質(zhì)點(diǎn)反相。同段質(zhì)點(diǎn)同相，相鄰段質(zhì)點(diǎn)反相。 能量無傳播。能量無傳播。相位差：相位差：加強(qiáng)條件：加強(qiáng)條件：減弱條件：減弱條件：21. 沿沿X軸軸負(fù)向負(fù)向傳播的平面諧波在傳播的平面諧波在t2秒時(shí)的波形秒時(shí)的波形曲線如圖所示，波速曲線如圖所示，波速u0.5m/s，則，則原點(diǎn)原點(diǎn)O點(diǎn)的振點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為動(dòng)表達(dá)式為 。)22cos(5 . 00 ty)(m)cos(5 .000 ty)(2221 su 0)22cos(

6、)2cos(00 t23,20 20, 200 vty(m)x(m)-. P5 . 012O2.一平面簡(jiǎn)諧波沿一平面簡(jiǎn)諧波沿X軸負(fù)向傳播，波長(zhǎng)為軸負(fù)向傳播，波長(zhǎng)為 ，P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律如圖的振動(dòng)規(guī)律如圖（1）求出）求出P處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程（2）求此波的波動(dòng)方程）求此波的波動(dòng)方程（3）若圖中）若圖中d= /2，求，求O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程yt.1XOPdOYt=0t=1O（1） 由旋轉(zhuǎn)矢由旋轉(zhuǎn)矢量圖：量圖： = t= /2= /2)2cos( tAyPyt.1XOPdO（2）波動(dòng)方程：）波動(dòng)方程： 時(shí)刻原點(diǎn)時(shí)刻原點(diǎn) 的振動(dòng)為的振動(dòng)為 時(shí)刻時(shí)刻 點(diǎn)的振動(dòng)點(diǎn)的振動(dòng)

7、.)2cos( tAyP原點(diǎn)的振動(dòng)方程為：原點(diǎn)的振動(dòng)方程為：)(2cos udtAyO波動(dòng)方程波動(dòng)方程)4(2cos)(2cos dxtAuduxtAy（3）O 處的振動(dòng)方程處的振動(dòng)方程x=0, d= /2tAyO2cos 得得c a 3.一簡(jiǎn)諧波沿一簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播，軸正向傳播，t=T/4的波形如圖所示，若振動(dòng)的波形如圖所示，若振動(dòng)余弦函數(shù)表示，且各點(diǎn)振動(dòng)的初相取余弦函數(shù)表示，且各點(diǎn)振動(dòng)的初相取 到到 之間，求之間，求o,a,b,c,d各點(diǎn)的初相。各點(diǎn)的初相。t=0.XOuabcdYt=T/4解：沿波線方向位相逐點(diǎn)落后解：沿波線方向位相逐點(diǎn)落后由旋轉(zhuǎn)矢量得由旋轉(zhuǎn)矢量得YO d b O2

8、a0 b 2 c d4.如圖所示為一平面簡(jiǎn)諧波在如圖所示為一平面簡(jiǎn)諧波在t=2s時(shí)刻的波形圖時(shí)刻的波形圖求（求（1）波動(dòng)方程波動(dòng)方程 （2）P點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程（已知（已知A、u、 ）解解（1）設(shè)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為設(shè)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為)cos( tAyoOyX-. PuA2 tt=2s時(shí)時(shí)O點(diǎn)位相點(diǎn)位相 22 波動(dòng)方程波動(dòng)方程2)2(2cos22)(cos uxtuAuxtAy u2 （2）P點(diǎn)振動(dòng)方程點(diǎn)振動(dòng)方程x= /22)2(2cos tuAyP（課堂練習(xí)）（課堂練習(xí)）5.圖示為一平面簡(jiǎn)諧波在圖示為一平面簡(jiǎn)諧波在t=0時(shí)刻的波形圖時(shí)刻的波形圖 求求（1）波動(dòng)方程）

9、波動(dòng)方程 （2）P處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程X.Pu=0.08m/s-0.040.02Y)cos( tAyo解：解：設(shè)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為設(shè)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為2 04. 0 08. 0 u21 uT 42 T)(2)08. 0(4cos04. 0mxty P點(diǎn)的振動(dòng)方程點(diǎn)的振動(dòng)方程令令x= 0.02 m)(234cos(04. 0mtyP （課堂練習(xí)）（課堂練習(xí)） 6. 如圖為沿如圖為沿x軸傳播的平面余弦波在軸傳播的平面余弦波在t 時(shí)刻的波形圖時(shí)刻的波形圖 （ 1）若沿）若沿X軸正向傳播，確定各點(diǎn)的振動(dòng)位相軸正向傳播，確定各點(diǎn)的振動(dòng)位相 （2）若沿）若沿X軸負(fù)向傳播，確定各點(diǎn)的振動(dòng)

10、位相軸負(fù)向傳播，確定各點(diǎn)的振動(dòng)位相Ya b 0 a 2 b23 cc u.XOabcYtYu.XOabcYta b （2）若沿）若沿X軸負(fù)向傳播，確定各點(diǎn)的振動(dòng)位相軸負(fù)向傳播，確定各點(diǎn)的振動(dòng)位相0 a 2 b23 cc 7.如圖有一平面簡(jiǎn)諧波在空間傳播，已知如圖有一平面簡(jiǎn)諧波在空間傳播，已知P點(diǎn)的振動(dòng)方程為點(diǎn)的振動(dòng)方程為)cos( tAyP（1）分別就圖中的兩種坐標(biāo)寫出其波動(dòng)方程）分別就圖中的兩種坐標(biāo)寫出其波動(dòng)方程（2）寫出距）寫出距P點(diǎn)為點(diǎn)為b的的Q點(diǎn)的振動(dòng)方程點(diǎn)的振動(dòng)方程OlbPQXYubPQXOYu)(cos ultAyO原點(diǎn)的振動(dòng)方程原點(diǎn)的振動(dòng)方程波動(dòng)方程波動(dòng)方程)(cos uluxt

11、Ay原點(diǎn)的振動(dòng)方程原點(diǎn)的振動(dòng)方程)cos( tAyO波動(dòng)方程波動(dòng)方程)(cos uxtAyOlbPQXYubPQXOYu)(cos uluxtAy)(cos uxtAy（2）寫出距）寫出距P點(diǎn)為點(diǎn)為b的的Q點(diǎn)的振動(dòng)方程點(diǎn)的振動(dòng)方程將將代代入入blx )(cos ubtAyQ)(cos ubtAyQ代代入入bx 將將8.一平面簡(jiǎn)諧波沿一平面簡(jiǎn)諧波沿x正方向傳播，振幅正方向傳播，振幅A10cm，圓頻，圓頻率率 當(dāng)當(dāng)t=1.0s時(shí)，位于時(shí)，位于x=10cm處的質(zhì)點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)a經(jīng)過經(jīng)過平衡位置向平衡位置向y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。此時(shí)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。此時(shí),位于位于x=20cm處的質(zhì)處的質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)b的位移為的位移為5cm

12、, 且向且向y軸正方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)該波波軸正方向運(yùn)動(dòng)。設(shè)該波波長(zhǎng)長(zhǎng) ，試求該波的波動(dòng)方程。，試求該波的波動(dòng)方程。17 s cm10 解：設(shè)該波的波動(dòng)方程為：解：設(shè)該波的波動(dòng)方程為：)(cos uxtAy求解的關(guān)鍵是求出波速求解的關(guān)鍵是求出波速u 及原點(diǎn)的初位相及原點(diǎn)的初位相方法：解析法。方法：解析法。 由題意知由題意知t=1.0s時(shí)時(shí)07710 )cos(. uxya0 av所以所以2707/. uXOabusmu/.840 317 / 取取3/ 故得波動(dòng)方程為故得波動(dòng)方程為)().(cos.mxty3840710 5 . 0)/4 . 17cos( u0 bv得得3417/. u 時(shí)，時(shí)，b點(diǎn)的

13、位相只能取點(diǎn)的位相只能取 （還考慮了（還考慮了 以及以及 的條件。）的條件。）3/cm10 cmxxab10 注意注意a點(diǎn)落后于點(diǎn)落后于b點(diǎn)，故同一時(shí)刻（點(diǎn)，故同一時(shí)刻（t=1.0s)a點(diǎn)的位相點(diǎn)的位相取取2/ 同理同理XOabu9. 題中圖題中圖a表示一水平輕繩，左端表示一水平輕繩，左端D為振動(dòng)器，右端固定為振動(dòng)器，右端固定于于B點(diǎn)。點(diǎn)。t0時(shí)刻振動(dòng)器激起的簡(jiǎn)諧波傳到時(shí)刻振動(dòng)器激起的簡(jiǎn)諧波傳到O點(diǎn)。其波形如點(diǎn)。其波形如圖圖b所示。已知所示。已知OB2.4m，u=0.8m/s. 求：（求：（1）以）以t0為為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出O點(diǎn)的諧振動(dòng)方程；（點(diǎn)的諧振動(dòng)方程；（2）取）取O 點(diǎn)為原

14、點(diǎn)為原點(diǎn)，寫出向右傳播的波動(dòng)方程；（點(diǎn)，寫出向右傳播的波動(dòng)方程；（3）若）若B 處有半波損處有半波損失，寫出反射波的波動(dòng)方程（不計(jì)能量損失）。失，寫出反射波的波動(dòng)方程（不計(jì)能量損失）。解：（解：（1）由）由 2 u得得 4804022 u由由 t =0, y=0 , v0 知：知： 2 )(cos(cmty2440 DOx(cm)y(cm)o-40-204B(a)(b)2)802(4cos4 xOBty)()(coscmxt 28044)(2)80(4cos4cmxty （2） 向右傳播的波動(dòng)方程向右傳播的波動(dòng)方程（3）反射波的波動(dòng)方程反射波的波動(dòng)方程)(cos(cmty2440 DOx(cm)y(cm)o-40-204B(a)(b)10. 有一平面波有一平面波 （SI制），傳到隔制），傳到隔板的兩個(gè)小孔板的兩個(gè)小孔A、B上，上，A、B 兩點(diǎn)的間距兩點(diǎn)的間距1， 若若A、B傳出的子波傳到傳出的子波傳到C點(diǎn)恰好相消。求點(diǎn)恰好相消。求C點(diǎn)到點(diǎn)到A點(diǎn)的距離。點(diǎn)的距離。)330(600cos2xty CAB解：解：).(co