固體物理 03-08晶體熱容的量子理論

1、固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué) 3.8 晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論 第三章第三章 晶格振動晶格振動固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)晶體的熱容晶體的熱容固體的定容熱容固體的定容熱容VVTEC)(E 固體的平均內(nèi)能固體的平均內(nèi)能固體內(nèi)能固體內(nèi)能 晶格振動的能量和電子熱運(yùn)動的能量晶格振動的能量和電子熱運(yùn)動的能量實(shí)驗(yàn)結(jié)果實(shí)驗(yàn)結(jié)果 低溫下金屬的熱容低溫下金屬的熱容3ATTCV 溫度不是太低的情況，忽略電子對比熱的貢獻(xiàn)溫度不是太低的情況，忽略電子對比熱的貢獻(xiàn)T 電子對比熱的貢獻(xiàn)電子對比熱的貢獻(xiàn)3AT 晶格振動對比熱的貢獻(xiàn)晶格振動對比熱的貢

2、獻(xiàn)固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)晶格振動對熱容的貢獻(xiàn)晶格振動對熱容的貢獻(xiàn) 經(jīng)典理論經(jīng)典理論 一個簡諧振動平均能量一個簡諧振動平均能量TkBN個原子，總的平均能量個原子，總的平均能量TNkEB3摩爾固體熱容摩爾固體熱容VVTEC)(RkNCBAV33 杜隆珀替定律杜隆珀替定律實(shí)驗(yàn)表明實(shí)驗(yàn)表明 在低溫時熱容量隨溫度迅速趨于零在低溫時熱容量隨溫度迅速趨于零 ! 能量均分定律能量均分定律固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué) 一個頻率為一個頻率為 j的的振動模對熱容的貢獻(xiàn)振動模對熱容的貢獻(xiàn)/jBjBjjnk Tnk TnnPee1()2jjjEn頻率

3、為頻率為 j的的振動模由一系列量子能級振動模由一系列量子能級 組成組成 子體系子體系/jBjEk TnPCe子體系處于量子態(tài)子體系處于量子態(tài) 的的概率概率1()2jjjEn/(1)jjBjBjnk Tk TnPee1)1 (xxnn晶格振動對熱容的貢獻(xiàn)晶格振動對熱容的貢獻(xiàn) 量子理論量子理論固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué) 與晶格振動頻率和溫度有關(guān)與晶格振動頻率和溫度有關(guān) VjVdTEdC)( 一個振動模對熱容貢獻(xiàn)一個振動模對熱容貢獻(xiàn)/121jBjjk TejjjnjnEP E一個振動模的平均能量一個振動模的平均能量/(1)jjBjBjnk Tk TnPee1()2j

4、jjEn2(1)nnxnxx零點(diǎn)能零點(diǎn)能平均熱能平均熱能/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)jBTkBVkC p高溫極限高溫極限/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te/211()2jBk TjjBBek Tk T 一個振動模對熱容貢獻(xiàn)一個振動模對熱容貢獻(xiàn) 忽略不計忽略不計222(1)()1()2jjBVBjjBBBk TCkk Tk Tk T固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)jBTkBVkC 高溫極限高溫極限 與杜隆珀替定律相符與杜隆珀替定律相符222(1)()1

5、()2jjBVBjjBBBk TCkk Tk Tk T 這一結(jié)果在量子理論的基礎(chǔ)上說明了在較高溫度時這一結(jié)果在量子理論的基礎(chǔ)上說明了在較高溫度時杜隆珀替定律成立（杜隆珀替定律成立（CV與經(jīng)典值與經(jīng)典值kB一致）的原因一致）的原因 （當(dāng)振子的能量當(dāng)振子的能量kBT遠(yuǎn)大于能量的量子遠(yuǎn)大于能量的量子 時，量時，量子化的效應(yīng)就可以忽略子化的效應(yīng)就可以忽略）j固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)jBTk2/1()jBjVBk TBCkk Te0T0VCp低溫極限低溫極限1/TkBje 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符/2/2()(1)jBjBk TjVBk TBeCkk Te 一個振

6、動模對熱容貢獻(xiàn)一個振動模對熱容貢獻(xiàn)固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)低溫極限低溫極限 從物理意義上看：由于振動能量是量從物理意義上看：由于振動能量是量子化的，在子化的，在 時，振動被時，振動被“凍結(jié)凍結(jié)”在基態(tài)，很難被熱激發(fā)，因而對熱容的貢獻(xiàn)在基態(tài)，很難被熱激發(fā)，因而對熱容的貢獻(xiàn)趨向于趨向于0。jBTk2/1()jBjVBk TBCkk Te0T0VC可知：當(dāng)可知：當(dāng)T時，時，CV，且當(dāng)，且當(dāng) 時，時，固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué) 晶體中有晶體中有3N個振動模，總的能量個振動模，總的能量NjjTETE31)()(NjjVVCC3131(

7、 )NjjdE TdT晶體總的熱容晶體總的熱容/32/21()(1)jBjBk TNjVBk TjBeCkk Te( )VdE TCdT固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)1、根據(jù)以上的分析與討論可以看出，溫度、根據(jù)以上的分析與討論可以看出，溫度T由由0高溫時，高溫時，CV由由03NkB，這與試驗(yàn)結(jié)，這與試驗(yàn)結(jié)果符合，這說明晶格振動的量子理論是成果符合，這說明晶格振動的量子理論是成功的。功的。結(jié)論：結(jié)論：2、由經(jīng)典理論只能證明、由經(jīng)典理論只能證明CV=3NkB（常數(shù)），（常數(shù)），這只與高溫實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合，而與低溫的結(jié)這只與高溫實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合，而與低溫的結(jié)果不符合。果不符

8、合。固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué) 上面我們討論了頻率為上面我們討論了頻率為 的振子對熱容的貢的振子對熱容的貢獻(xiàn)，晶體中包含獻(xiàn)，晶體中包含3N個簡正振動。個簡正振動。NjjTETE31)()(31( )NjjdE TdT總的熱容：總的熱容：/32/21()(1)jBjBk TNjBk TjBekk Te總的能量：總的能量：jNjjVVCC31固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué))(30TkfNkCBBBV1 愛因斯坦模型愛因斯坦模型 N個原子構(gòu)成的晶體，所有原子以相同的頻率個原子構(gòu)成的晶體，所有原子以相同的頻率 0振動振動 VVTEC)(0

9、00/3321Bk TNNe3/11()21jBNjjk TjEe2/20) 1()(300TkTkBBBBeeTkNk熱容熱容總能量總能量固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)愛因斯坦溫度愛因斯坦溫度EBk0BEk02/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC 選取合適的選取合適的 E值，在較大溫度變化的范圍內(nèi)，理值，在較大溫度變化的范圍內(nèi)，理論計算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)好地符合論計算的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果相當(dāng)好地符合 大多數(shù)固體大多數(shù)固體KKE3001002/200) 1()()(00TkTkBBBBBeeTkTkf 愛因斯坦熱容函數(shù)愛因斯坦熱容函數(shù)固體物理 Solid S

10、tate Physics西南科技大學(xué)金剛石金剛石KE1320理論計算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較理論計算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較 10/20固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)22/2/2/)(1) 1(TTTTEEEEeeee22)()22(1EEETTTBVNkC3溫度較高時溫度較高時 10TkB/2/23()(1)EETEVBTeCNkTeTE 與杜隆與杜隆 珀替定律相符珀替定律相符0BEk 晶體熱容晶體熱容/212ETEeT 固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)溫度非常低時溫度非常低時10TkBTETkBBVBeTkNkC020)(31/TEeT0時，時，0VC

11、0BEk 2/2) 1()(3TTEBVEEeeTNkC晶體熱容晶體熱容與實(shí)驗(yàn)符合與實(shí)驗(yàn)符合固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)在極低溫時，實(shí)驗(yàn)測得在極低溫時，實(shí)驗(yàn)測得3ATCV 愛因斯坦模型在低溫時，愛因斯坦模型在低溫時，CV值比值比T3更更快地趨于快地趨于0，即：溫度，即：溫度0時，時，CV減小的速減小的速度快于實(shí)驗(yàn)值，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較大差別，度快于實(shí)驗(yàn)值，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較大差別，如下圖所示。如下圖所示。 愛因斯坦模型的缺陷愛因斯坦模型的缺陷固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)1）和經(jīng)典

12、理論相比，愛因斯坦模型（理論）和經(jīng)典理論相比，愛因斯坦模型（理論）的改進(jìn)是十分明顯的，理論能夠反映出在低溫的改進(jìn)是十分明顯的，理論能夠反映出在低溫下降的基本趨勢。但是在低溫時，愛因斯坦理下降的基本趨勢。但是在低溫時，愛因斯坦理論值下降很陡，與實(shí)驗(yàn)不符。論值下降很陡，與實(shí)驗(yàn)不符。結(jié)論：結(jié)論：固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)a.愛因斯坦把晶體中的各原子看作具有相同的振愛因斯坦把晶體中的各原子看作具有相同的振動頻率動頻率 的諧振子，顯然是一種過于簡化的假的諧振子，顯然是一種過于簡化的假設(shè)。設(shè)。b.在愛因斯坦模型中，在愛因斯坦模型中， 是這樣選取的：使得是這樣選取的：使得比

13、熱在較大的溫度范圍內(nèi)，理論曲線與實(shí)驗(yàn)曲線比熱在較大的溫度范圍內(nèi)，理論曲線與實(shí)驗(yàn)曲線盡可能的符合，這樣的頻率一般在紅外線范圍。盡可能的符合，這樣的頻率一般在紅外線范圍。因此，這樣的頻率是較高，由于忽略了低頻的作因此，這樣的頻率是較高，由于忽略了低頻的作用，從而使用，從而使CV下降得較快。下降得較快。2）產(chǎn)生偏離的原因：）產(chǎn)生偏離的原因：00固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué) 主要在于證明了機(jī)械諧振子也必須主要在于證明了機(jī)械諧振子也必須量子化，就如普朗克把輻射諧振子量子量子化，就如普朗克把輻射諧振子量子化一樣，從而使他得到的理論結(jié)果與實(shí)化一樣，從而使他得到的理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)

14、基本符合一致，證明了引入聲子概念驗(yàn)基本符合一致，證明了引入聲子概念的正確性。的正確性。3） 愛因斯坦模型的意義：愛因斯坦模型的意義：固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)2 德拜模型德拜模型 1912年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表格波年德拜提出以連續(xù)介質(zhì)的彈性波來代表格波 將布喇菲晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì)將布喇菲晶格看作是各向同性的連續(xù)介質(zhì) 有有1個縱波和個縱波和2個獨(dú)立的橫波個獨(dú)立的橫波ltC qFor LongitudinalWaveC qFor TransverseWave 不同不同q的縱波和橫波，構(gòu)成了晶格的全部振動模的縱波和橫波，構(gòu)成了晶格的全部振動模

15、不同的振動模，能量不同不同的振動模，能量不同色散關(guān)系色散關(guān)系固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)頻率在頻率在 之間振動模式的數(shù)目之間振動模式的數(shù)目 ddgdn)( 頻率也近似于連續(xù)取值頻率也近似于連續(xù)取值 振動頻率分布函數(shù)振動頻率分布函數(shù)，或者振動模的，或者振動模的態(tài)密度態(tài)密度函數(shù)函數(shù) )(g一個振動模的熱容一個振動模的熱容 /2/2()(1)jBjBk TjjBk TBeCkk TeltC q andC q振動頻率分布函數(shù)振動頻率分布函數(shù)固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)晶體總的熱容晶體總的熱容 /2/20()( )(1)mBBk TVBk

16、TBeCkgdk Te 振動頻率分布函數(shù)振動頻率分布函數(shù) 和和 m的計算的計算)(g一個振動模的熱容一個振動模的熱容 /2/2()(1)jBjBk TjjBk TBeCkk Te固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)三維晶格，態(tài)密度三維晶格，態(tài)密度 V: 晶體體積晶體體積3)2(V 波矢波矢q允許的取值在允許的取值在q空間形成了均勻分布的點(diǎn)子空間形成了均勻分布的點(diǎn)子體積元態(tài)的數(shù)目體積元態(tài)的數(shù)目qdV3)2( q是準(zhǔn)連續(xù)變化的是準(zhǔn)連續(xù)變化的dqqV234)2(狀態(tài)數(shù)目狀態(tài)數(shù)目dqqq球?qū)忧驅(qū)庸腆w物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)頻率在頻率在 之間，之間

17、，縱波數(shù)目縱波數(shù)目ddqqV234)2(lCqdCVl2322頻率在頻率在 之間，之間，格波數(shù)目格波數(shù)目d22322tVdC頻率在頻率在 之間，之間，橫波數(shù)目橫波數(shù)目d波矢的數(shù)值在波矢的數(shù)值在 之間的振動方式的數(shù)目之間的振動方式的數(shù)目dqqqlCddqdVCCtl22332)21(固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)頻率分布函數(shù)頻率分布函數(shù)2233( )2VgC333213tlCCC格波總的數(shù)目格波總的數(shù)目dVCCtl22332)21(頻率在頻率在 間，格波數(shù)目間，格波數(shù)目dmdgN0)(321/36()mNCV固體物理 Solid State Physics西南科技大

18、學(xué)deeTkkCVTkTkBBBBm22/2032) 1()(23晶體總的熱容晶體總的熱容 /2/20()( )(1)mBBk TVBk TBeCkgdk Te21/36()mNCV固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)deeTkkCVCTkTkBBVBBm22/2032) 1()(23德拜溫度德拜溫度BmDk/4320()3 3()(1)DTVDDTTeCRde晶體總的熱容晶體總的熱容 TkB令令mDmBk TT21/36()mNCV)(3)/(TRfTCDDDV固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)DT1TkB1eTDDDDdTTf/023) 1

19、()( 3)(1RCV3（1）在高溫）在高溫極限下：極限下： 與杜隆珀替定律一致與杜隆珀替定律一致TDDDDdeeTTf/0243) 1()( 3)(德拜熱容函數(shù)德拜熱容函數(shù)BDmk )(3)/(TRfTCDDDV晶體總的熱容晶體總的熱容 固體物理 Solid State Physics西南科技大學(xué)（2）低溫）低溫極限：極限：DT TDDVDdeeTRTC/0243) 1()(9)/(4312(/)()15VDDTCTR T3成正比成正比 德拜定律德拜定律 溫度愈低時，德拜模型近似計算結(jié)果愈好溫度愈低時，德拜模型近似計算結(jié)果愈好 溫度很低時，主要的只有長波格波的激發(fā)溫度很低時，主要的只有長波格波的激發(fā)0243) 1()(9deeTRD1Bk TBDmk 晶體熱容晶體熱容 晶體熱容晶體熱容 固體