-定積分的計算ppt課件

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程授課教師：劉長榮第七章 一元函數(shù)的積分本章學(xué)習(xí)要求： 熟悉不定積分和定積分的概念、性質(zhì)、基本運算公式. 熟悉不定積分基本運算公式.熟練掌握不定積分和定積分的換 元法和分部積分法.掌握簡單的有理函數(shù)積分的部分分式法. 了解利用建立遞推關(guān)系式求積分的方法. 理解積分上限函數(shù)的概念、求導(dǎo)定理及其與原函數(shù)的關(guān)系. 熟悉牛頓萊布尼茲公式. 理解廣義積分的概念.掌握判別廣義積分收斂的比較判別法. 能熟練運用牛頓萊布尼茲公式計算廣義積分。 由牛頓萊布尼茲公式，可以通過不定積分來計算定積分. 一般是將定積分的計算截然分成兩步：先計算相應(yīng)的不定積分，然后再運用牛頓萊布尼茲公式代值計算

2、出定積分. 這種作法相當(dāng)麻煩，我們希望將不定積分的計算方法與牛頓萊布尼茲公式有機地結(jié)合起來，構(gòu)成定積分自身的計算方法定積分的換元法和定積分的分部積分法. 例1解 . d1 1 0 2xx計算 數(shù)的一個原函數(shù)：先用不定積分求被積函ttxxdcosd1 22 sin tx 令tt d)2cos1 (21Ctt42sin2Cxxx21 21arcsin21 得，萊布尼茲公式由牛頓 . 4 1 21arcsin21d1 1021 0 2xxxxx例1解 . d1 1 0 2xx計算 數(shù)的一個原函數(shù)：先用不定積分求被積函ttxxdcosd1 22 sin tx 令tt d)2cos1 (21Ctt42s

3、in2Cxxx21 21arcsin21 得，萊布尼茲公式由牛頓 . 4 1 21arcsin21d1 1021 0 2xxxxx10 x20 t2 0 21 0 2dcosd1 ttxxtt d)2cos1 (212 0 20 42sin2tt . 4有什么想法沒有？ 就是說，計算定積分時可以使用換元法 . 換元時只要同時改變積分的上、下限，就不必再返回到原來的變量，直接往下計算并運用牛頓萊布尼茲公式便可得到定積分的結(jié)果 . 一、定積分的換元法定理 ; ) , ()( ) 1 ( baCxf設(shè)且單調(diào)； ) , ()( )2(1Ctx，ba)( )( )3( . d)()(d)( tttfxx

4、fba則例2解 . 1 d 53 21 2 xxx計算 dd 1 2，則令ttxtx 35 2 : 53 21 : ，故時，且tx35 2 253 21 2 1d 1 dttxxx2 35 2 1d tt2352 |1|lntt . 3ln)32ln(例3解 . d 0 22axxa計算 dcosd sin ，則令ttaxtax 2 0 : 0 : ，故時，且tax . 2 , 0 sin上單調(diào)、連續(xù)可導(dǎo)在tax 2 0 22 0 22dcosdttaxxaa d) 2cos1 ( 22 0 2tta202 ) 22sin (2tta . 42a例4解 . d)1 (arcsin 43 41

5、xxxx計算 dcossin2d sin arcsin 2，則令tttxtxtx的單調(diào)性保證 )( tx 3 6 : 43 41 : ，故時，且tx )sin1 (sin dcossin2 d)1 (arcsin 3 6 2243 41 ttttttxxxx3 6 d 2tt362 t12 2例5解 . 1d 2 2 2xx計算 dtansecd sec ，則令tttxtx . 2 sec 0 ttx中，故因為 43 32 : 2 2 : ，故時，且tx tan dsectan 1d43 32 2 2 2ttttxx dsec 43 32 tt4332 |tansec|ln tt . 2132

6、ln例6 . dcosdsin 2 0 2 0 xxxxnn證明：證 dd 2 ，則令txtx 0 2 : 2 0 : ，故時，且tx )d()2 ( (sindsin0 2 2 0 ttxxnn dcos 0 2 ttn dcos2 0 ttn . dcos2 0 xxn例7證 ) , ()( ，證明：設(shè)aaCxf . d)( 2d)( )( ) 1 ( 0 aaaxxfxxfxf為偶函數(shù)，則 . 0d)( )( )2( aaxxfxf為奇函數(shù)，則 , d)(d)(d)( 0 0 aaaaxxfxxfxxf因為 0: 0: dd ，從而時，且，則故令ataxtxtx0 0 )d)(d)(aa

7、ttfxxfattf 0 d)( . d)( 0 axxf .d)()( d)(d)(d)( 0 0 0 aaaaaxxfxfxxfxxfxxf于是，故有為偶函數(shù)，則若)()( )( ) 1 (xfxfxf . d)( 2d)( 0 aaaxxfxxf，故有為奇函數(shù)，則若)()( )( )2(xfxfxf . 0d)( aaxxf .d)()( d)(d)(d)( 0 0 0 aaaaaxxfxfxxfxxfxxf例8證 . ) ,()( 證明：，且以為周期設(shè)Rxf . d)(d)( 0 TTaaxxfxxfRa，有 , d)(d)(d)(d)( 0 0 TaTTaTaaxxfxxfxxfxx

8、f因為 0: : dd ，從而時，且，則故令atTaTxtxTtx d)(d)( 0 aTaTtTtfxxf d)(d)( 0 0 aaxxfttf d)(d)(d)(d)( 0 0 0 aTaTaaxxfxxfxxfxxf于是 d)(d)(d)( 0 0 0 aTaxxfxxfxxf . d)( 0 Txxf例9解 . cos1 dsin 0 2xxxx計算 0 : 0 : dd ，故時，則令txtxtx cos1 )d( sin)( cos1 dsin 0 2 0 2ttttxxxx cos1dsin cos1dsin 0 2 0 2ttttttt cos1dsin cos1dsin 0

9、2 0 2xxxxxxx 0 2 0 2cos1dsin 2cos1dsin xxxxxxx從而 . 4 )arctan(cos(220 xxucos二、定積分的分部積分法定理 , )( )( 上可導(dǎo)，在，設(shè)函數(shù)baxvxu ) ,()( )( ，則，且baRxvxu . d)()( )()(d)()( bababaxxvxuxvxuxxvxu . 部積分公式該公式稱為定積分的分證明與不定積分的情形類似 . 例10解 . dcos 0 xxex計算 dsin cosdcosdcos2 0 20 2 0 2 0 xxexeexxxexxxx dsin1dsin12 0 2 0 xxexxxe d

10、cos sin12 0 20 xxexexx dcos12 0 2xxeex . ) 1 ( 21dcos 22 0 exxex故什么情況下運用分部積分法呢？定積分與不定積分的情形相同！例11解 . d |ln| 1 eexx計算eeeexxxxxx 1 1 1 1 d ln d )ln( d |ln| eeeexxxxxx 1 1 1 1 11dlnd ln . ) 11 ( 2e例12證2 0 2 0 dcosdsin xxxxInnn證明： . ,! ! !)!1( ,2! ! !)!1(為正奇數(shù)為正偶數(shù)，nnnnnn dsin 2 0 ，則令xxInn2 0 12 0 sincosds

11、inxxxxInnn2 0 22dcossin) 1(xxxnn2 0 2 0 2dsin) 1(dsin) 1(xxnxxnnn . ) 1() 1(2nnInIn . 1 2nnInnI故 , 1 cosdsin , 2d 2 0 2 0 12 0 0 xxxIxI由于 ，所以 ; 2! ! !)!1(2143231 0nnInnnnInn為正偶數(shù)時，當(dāng) . ! ! !)!1(3254231 1nnInnnnInn為正奇數(shù)時，當(dāng) . dcosdsin 6 2 0 2 0 xxxxnn中已證明：在例證畢例13解 . dsin 2 0 6xx計算 2! ! 6!)!1(6dsin2 0 6xx . 3252246135例14解 . , d)1 ( 1 0 2Znxxn計算 , dcosd ,sin ttxtx則令故時且 ,20 : , 10 : tx2 0 21 0 2dcoscosd1tttxxnn）（2 0 12dcosttn . !)!12(!)!2(nn例1