第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分

1、第四章第四章數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分與數(shù)值微分1 1 引引 言言一、數(shù)值積分的必要性一、數(shù)值積分的必要性本章主要討論如下形式的一元函數(shù)積分本章主要討論如下形式的一元函數(shù)積分badxxffI)()( )( )( )( )baI ff x dxF bF a在微積分里，按在微積分里，按Newton-Leibniz公式公式求定積分求定積分 f x F x F x f x實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題2 sinf xx這個(gè)問(wèn)題就是要求由函數(shù)這個(gè)問(wèn)題就是要求由函數(shù)0 x 48x dxxdxxfL48024802)(cos1)(1 Whats the Original function?!Its so complex

2、that we can not get it.類似的，下列函數(shù)也不存在由初等函數(shù)表示的原函數(shù)類似的，下列函數(shù)也不存在由初等函數(shù)表示的原函數(shù):2,1,ln1,sin,cos,sin322xexxxxxx3222xx)322ln(21693216332412222xxxxxx f x f xx1423454.5688.5原來(lái)通過(guò)原函數(shù)來(lái)原來(lái)通過(guò)原函數(shù)來(lái)計(jì)算積分有它的局計(jì)算積分有它的局限性。那限性。那怎么辦呢？怎么辦呢？呵呵呵呵這就需要積這就需要積分的數(shù)值方法來(lái)幫分的數(shù)值方法來(lái)幫忙啦。忙啦。二、數(shù)值積分的基本思想二、數(shù)值積分的基本思想1、定積分的幾何意義、定積分的幾何意義badxxffI)()(ab

3、xyo f x2、數(shù)值積分的理論依據(jù)、數(shù)值積分的理論依據(jù) f x依據(jù)依據(jù)積分中值定理積分中值定理, 對(duì)于連續(xù)函數(shù)對(duì)于連續(xù)函數(shù) ,在在 內(nèi)存在一點(diǎn)內(nèi)存在一點(diǎn) ,使得使得, a b)()()()(fabdxxffIba稱稱 為為 在區(qū)間在區(qū)間 上的平均高度上的平均高度. f, a b ?f f x3、求積公式的構(gòu)造、求積公式的構(gòu)造 若簡(jiǎn)單選取區(qū)間端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值作為平均高度，則若簡(jiǎn)單選取區(qū)間端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值作為平均高度，則可得一點(diǎn)求積公式如下：可得一點(diǎn)求積公式如下：左矩形公式：左矩形公式：中矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：右矩形公式： Iff aba 2abIffba Iff bbaxyOa

4、b f x f a左矩形公式：左矩形公式： Iff abaxyOab f x2abf2ab中矩形公式：中矩形公式： 2abIffbaxyOab f x f b右矩形公式：右矩形公式： Iff bba 若取若取 兩點(diǎn)，并令兩點(diǎn)，并令 ，則可得梯形，則可得梯形公式（兩點(diǎn)求積公式）公式（兩點(diǎn)求積公式）, a b 2f af bf 2f af bIfbaxyOab f x f a f b則可得則可得Simpson公式公式(三點(diǎn)求積公式三點(diǎn)求積公式), ,2aba b c 46f af cf bf 若取三點(diǎn)，若取三點(diǎn)， 并令并令 46f af cf bIfba 一般地一般地 ，取區(qū)間，取區(qū)間 內(nèi)內(nèi) 個(gè)點(diǎn)

5、個(gè)點(diǎn), a b1n ,0,1,2,.,ixin ,0,1,.,if xin f處的高度處的高度通過(guò)通過(guò)加權(quán)平均加權(quán)平均的方法近似地得出平均高度的方法近似地得出平均高度這類求積方法稱為這類求積方法稱為機(jī)械求積機(jī)械求積:)()()(0ibaniixfabdxxf 或?qū)懗苫驅(qū)懗? :數(shù)值積分公式數(shù)值積分公式求積系數(shù)求積系數(shù) 求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn) )()(0kbankkxfAdxxf記記0( )()nnkkkIfA f x0( )( )( )( )(),nbnkkakR fI fIff x dxA f x稱稱為數(shù)值為數(shù)值求積公式求積公式稱為求積公稱為求積公式余項(xiàng)式余項(xiàng)(誤誤差差).（1）（2）構(gòu)造或確定一

6、個(gè)求積公式，要解決的問(wèn)題包括構(gòu)造或確定一個(gè)求積公式，要解決的問(wèn)題包括:(i) 確定求積系數(shù)確定求積系數(shù) 和求積節(jié)點(diǎn)和求積節(jié)點(diǎn) kAkx；(iii) 求積公式的誤差估計(jì)和收斂性分析求積公式的誤差估計(jì)和收斂性分析.(ii) 確定衡量求積公式好壞的標(biāo)準(zhǔn)；確定衡量求積公式好壞的標(biāo)準(zhǔn)； 稱求積公式稱求積公式 具有具有m次代數(shù)精度次代數(shù)精度,如如果它滿足如下兩個(gè)條件果它滿足如下兩個(gè)條件:定義定義4.1： 0( )()nnkkkIfA f x(i) 對(duì)所有次數(shù)對(duì)所有次數(shù)m次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式 ,有有)(xPm0)()()(mnmmPIPIPR(ii)存在存在m+1次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 ,使得使得)(1xPm0)

7、()()(111mnmmPIPIPR三、求積公式的代數(shù)精度三、求積公式的代數(shù)精度上述定義中的條件上述定義中的條件(i),(ii)等價(jià)于等價(jià)于:1( )()0miiR x( )()()()0,(0)kkkniR xI xIxkm注：梯形公式與中矩形公式都只具有注：梯形公式與中矩形公式都只具有1次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。一般的，一般的，若要使求積公式（若要使求積公式（1 1）具有）具有m m次代數(shù)精度，則只要次代數(shù)精度，則只要使求積公式對(duì)使求積公式對(duì)f (x) = 1，x，x2，, xm 都準(zhǔn)確成立，即都準(zhǔn)確成立，即02201101211nkknkkknmmmkkkAbaA xbaA xbam2 2

8、 插值型求積公式插值型求積公式一、定義一、定義在積分區(qū)間在積分區(qū)間 上，上， ,a b取取 個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)1n,0,1,2,.,ix in作作 的的 次代數(shù)插值多項(xiàng)式次代數(shù)插值多項(xiàng)式（拉格朗日插值公式）（拉格朗日插值公式）: f xn0( )( ) ()nnkkkLxlx f x則有則有)()()(xRxLxfnn其中，其中，)()!1()()(1)1(xwnfxRnnn為插值余項(xiàng)。為插值余項(xiàng)。10( )()nnjjwxxx于是有：于是有：0( )( )( )( )()( )bbbnnaaanbbjjnaajf x dxL x dxR x dxlx dx f xR x dx 取取0( )()(

9、)nbbjjaajf x dxf xlx dxAj0()()nbijaijiijxxAdxxx由由 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) 決定，決定，與與 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 f x稱為稱為插值插值型求積公型求積公式式二、截?cái)嗾`差與代數(shù)精度二、截?cái)嗾`差與代數(shù)精度1、截?cái)嗾`差、截?cái)嗾`差0(1)0()( )()( )( )()()(1)!nbbkknaaknnbxkakR ff x dxA f xf xLxdxfxxdxn2、代數(shù)精度、代數(shù)精度0nkkAba0( )nkkkA f x( )bkkaAl x dx 形如形如 的求積公式至少有的求積公式至少有 n 次代數(shù)精次代數(shù)精度度 該該公式為公式為插值型插值型（即：（即： ）定理定

10、理4.1推論推論 求積系數(shù)求積系數(shù) 滿足滿足:kA3 Newton-Cotes3 Newton-Cotes公式公式一、一、Cotes系數(shù)系數(shù)取取節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)為等距分布等距分布：,0,1,.,ib axa ih hinn 由此構(gòu)造的插值型求積公式稱為由此構(gòu)造的插值型求積公式稱為Newton-Cotes公式公式,此此時(shí)時(shí)求積系數(shù)：求積系數(shù)：0()()nxjixj iijxxAdxxx令令htax 00()()( 1)()()!()!n innijj itj hbah dttj dtij hn i niCotes系數(shù)系數(shù)( ) niC二、二、Newton-Cotes公式公式1、定義：、定義：記記( )

11、00,( 1)()!()!n innnikk iCtkdti ni n則則( )(),0,1,2,niiAba Cin求積公式變?yōu)榍蠓e公式變?yōu)? )0( )()( )nbniiaif x dxbaCf x稱上式為稱上式為n階階閉型閉型Newton-Cotes求積公式。求積公式。( )00,( 1)()!()!n innnikk iCtkdti ni n注意注意:由式由式確定的確定的Cotes系數(shù)只與系數(shù)只與 和和 有關(guān)有關(guān),in 與與 和積分區(qū)間和積分區(qū)間 f x, a b無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)， 且且滿足滿足: ()021nnikC 1nniniCC2、截?cái)嗾`差、截?cái)嗾`差Newton-Cotes公式的誤

12、差為公式的誤差為:),(,)()()!1()()!1()()(00)1(21)1(badtjtfnhdxxwnffRnnjnnnban與與x有關(guān)有關(guān)3、代數(shù)精度、代數(shù)精度作為插值型求積公式，作為插值型求積公式，具有具有 次代數(shù)精度，次代數(shù)精度，n階階Newton-Cotes公式至少公式至少n而實(shí)際的代數(shù)精度是否可以進(jìn)一步而實(shí)際的代數(shù)精度是否可以進(jìn)一步提高呢？提高呢？定理定理 4.2當(dāng)階數(shù)當(dāng)階數(shù) 為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí),nNewton-Cotes公式公式至少至少具有具有次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。1n 證明證明:只需驗(yàn)證當(dāng)只需驗(yàn)證當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí),Newton-Cotes公式對(duì)公式對(duì)的余項(xiàng)為零。的余項(xiàng)

13、為零。n 1nf xx由于由于 ,所以所以 1nf xx 11 !nfxn即得即得 nnjndtjthfR002)()(引進(jìn)變換引進(jìn)變換 ,因?yàn)橐驗(yàn)?為偶數(shù)為偶數(shù),故故 為整數(shù)為整數(shù),2ntu2nn于是有于是有 2202)2()(nnnjndujnuhfR據(jù)此可斷定據(jù)此可斷定 ,因?yàn)樯鲜霰环e函數(shù)是個(gè)奇函數(shù)因?yàn)樯鲜霰环e函數(shù)是個(gè)奇函數(shù). 0R f4、數(shù)值穩(wěn)定性、數(shù)值穩(wěn)定性現(xiàn)在討論現(xiàn)在討論舍入誤差舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生的影響對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生的影響.設(shè)用公式設(shè)用公式 njjnjnxfCabfI0)()()()(近似計(jì)算積分近似計(jì)算積分badxxffI)()(時(shí)時(shí), 其中計(jì)算函數(shù)值其中計(jì)算函數(shù)值 有誤差有

14、誤差則在則在 的計(jì)算中的計(jì)算中,由由 引起的誤差為引起的誤差為jf x0,1,2,.jjn沒(méi)有誤差沒(méi)有誤差, 中間計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差也不考慮中間計(jì)算過(guò)程中的舍入誤差也不考慮, njC計(jì)算計(jì)算( )nIfj，而，而njjnjnjjjnjnjjnjnCabxfCabxfCabe0)(0)(0)()()()()()(如果如果 都是正數(shù)都是正數(shù),并設(shè)并設(shè) njC0max|jj n 則有則有)(|)(|0)(abCabenjnjn故故 是有界的是有界的,nejba7n n njC即由即由 引起的誤差受到控制引起的誤差受到控制,的的 倍倍,不超過(guò)不超過(guò)保證了保證了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。將出現(xiàn)

15、將出現(xiàn)負(fù)數(shù)負(fù)數(shù),而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)時(shí),njnjC0)(|將隨將隨 增大增大,因而因而不能保證數(shù)值穩(wěn)定性不能保證數(shù)值穩(wěn)定性.故高階公式不宜采用故高階公式不宜采用,有實(shí)用價(jià)值的僅僅是幾種有實(shí)用價(jià)值的僅僅是幾種低階的求低階的求積公式積公式.三、幾種常用的低階求積公式三、幾種常用的低階求積公式(1)(1)0111,22CCn = 1:( ) ( )( )2bab af x dxf af b梯形公式梯形公式() ()()2!bxafR fxa x b dx/* 令令 x = a+th, h = b a, 用積用積分中值定理分中值定理 */3()( ), , 12bafa b 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 1n = 2

16、:(2)(2)(2)012121,636CCC2( ) ( ) 4 ()( )6ba bab af x dxf aff bSimpson 公式公式代數(shù)精度代數(shù)精度 = 34(4)5(4)() ( )2( )8180,802b a b abfaR ff( , )a b其中，其中，n = 4:6(6)7(6)8 ( )942()(95)4544b aR ffb ab af01234( )7 ()32 ( ) 12 ()32 ()7 ()90babaf x dxf xf xf xf xf x代數(shù)精度代數(shù)精度 = 5,0,1,2,3,44kbaxakh hk這里這里Cotes 公式公式( , )a b

17、其中，其中，四、復(fù)化求積公式四、復(fù)化求積公式 高次插值有高次插值有Runge 現(xiàn)象，怎么辦？現(xiàn)象，怎么辦？可采用分段低次插值來(lái)解決可采用分段低次插值來(lái)解決高階高階Newton-Cotes公式會(huì)出現(xiàn)公式會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定數(shù)值不穩(wěn)定。而而低階低階Newton-Cotes公式公式有時(shí)又不能滿足精度要求有時(shí)又不能滿足精度要求，怎么辦？，怎么辦？可將積分區(qū)間可將積分區(qū)間 分成若干小分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用低階求積公式計(jì)算，然后求和。低階求積公式計(jì)算，然后求和。, a b 復(fù)化梯形公式：復(fù)化梯形公式：,(0,., )kbahxak hknn在每個(gè)在每個(gè) 上用梯形公式：上用梯形公

18、式：1,kkxx111( ) ()(),0,.,12kkxkkkkxxxf x dxf xf xkn11( )2()( )2nkkhf af xf b110( ) ()()2nbkkakhf x dxf xf x= Tn1321002() ()()1212()( ),( , )12nknkkkfhhR ffbanhba fa b /*介值定理介值定理*/ 復(fù)化梯形公式的幾何意義復(fù)化梯形公式的幾何意義 復(fù)化復(fù)化 Simpson 公式：公式：),., 0(,nkhkaxnabhk)()(4)(6)(1211kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444110( )( )kkn

19、bxaxkf x dxf x dx= Sn44(4)(4)( )( ),( , )28801802babahR fh ffa b 在每個(gè)在每個(gè) 上用上用simpson公式：公式：1,kkxx121101( )4()2()( )6nnkkkkhf af xf xf b 復(fù)化復(fù)化SimpsonSimpson公式的幾何意義公式的幾何意義 復(fù)化復(fù)化 Cotes公式：公式：,(0,., )kbahxak hknn)(7)(32)(12)(32)(790)(14321411kkkkkxxxfxfxfxfxfhdxxfkk101)(7)(32)(12)(32)(790)(432141nkkkkkkbaxfx

20、fxfxfxfhdxxf= Cn),(, )(4945)(2)6(6bafhabfR例例:利用數(shù)據(jù)表利用數(shù)據(jù)表kxkf x01/83/81/25/83/47/811/422.265492.460002.876403.200003.506853.764703.938464計(jì)算積分計(jì)算積分1*2041Idxx解：解：這個(gè)問(wèn)題有明顯的答案這個(gè)問(wèn)題有明顯的答案*104arctg |3.1415926.Ix取取n = 8用復(fù)化梯形公式用復(fù)化梯形公式 1872432852212832412812)0(21818fffffffffT= 3.138988494取取n=4 用辛卜生公式用辛卜生公式 187443

21、2854212834412814)0(61414fffffffffS= 3.141592502運(yùn)算量基運(yùn)算量基本相同本相同復(fù)化梯形公式的誤差估計(jì)復(fù)化梯形公式的誤差估計(jì)給定精度給定精度 ，如何取，如何取 ?n例如：要求例如：要求 ，如何判斷，如何判斷 n = ？ |nTI1、誤差先驗(yàn)估計(jì)式、誤差先驗(yàn)估計(jì)式2 ( )( )()( )12nhR fI fTfba f 2max( )a x bMfx 若記若記則可令則可令 222)(12)()(12Mabhfabh由由其中，其中，bahn于是，于是，32()12ba Mn)()(122 fabhfR ?21()12nkkhfh 22( )( )( )1

22、212bahhfx dxf bf a 上例中若要求上例中若要求 ，則，則6| 10nI T226| |(1)(0)|10126nhhR fff0.00244949h 即：取即：取 n = 409通常采取將區(qū)間通常采取將區(qū)間不斷對(duì)分不斷對(duì)分的方法，即取的方法，即取 n = 2k上例中上例中2k 409 k = 9 時(shí)，時(shí)，T512 = 3.141592502S4 = 3.141592502注意到區(qū)間再次對(duì)分時(shí)注意到區(qū)間再次對(duì)分時(shí)2211 ( )( ) 1224nnhRff bf aR f214nnITIT)(141)(31222nnnnnTTTTTI可用來(lái)判斷迭代可用來(lái)判斷迭代是否停止。是否停止

23、。2、誤差后驗(yàn)估計(jì)式、誤差后驗(yàn)估計(jì)式復(fù)化復(fù)化Simpson公式的誤差估計(jì)公式的誤差估計(jì)1、誤差先驗(yàn)估計(jì)式、誤差先驗(yàn)估計(jì)式2、誤差后驗(yàn)估計(jì)式、誤差后驗(yàn)估計(jì)式)(2180)4(4fhabSIfRn4(3)(3)1( )( )1802hfbfa )(141)(1512222nnnnnSSSSSI復(fù)化復(fù)化Cotes公式的誤差估計(jì)公式的誤差估計(jì)1、誤差先驗(yàn)估計(jì)式、誤差先驗(yàn)估計(jì)式),(, )(4945)(2)6(6bafhabCIfRn2、誤差后驗(yàn)估計(jì)式、誤差后驗(yàn)估計(jì)式6(5)(5)2( )( )9454hfbfa )(141)(6312322nnnnnCCCCCI 復(fù)化求積公式的復(fù)化求積公式的收斂速度（

24、階）收斂速度（階）定義定義4.2：若一個(gè)復(fù)化求積公式的誤差滿足若一個(gè)復(fù)化求積公式的誤差滿足 ，0limphR fCh 且且 ，則，則稱該公式是稱該公式是 p 階收斂階收斂的。的。0C 246() ,() ,()nnnTO hSO hCO h【注【注】根據(jù)上述定義不難驗(yàn)證根據(jù)上述定義不難驗(yàn)證 龍貝格求積公式龍貝格求積公式例例:計(jì)算計(jì)算21410 xdx若取若取 = 10 6 ，則利用復(fù)化求積公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，須將區(qū)間對(duì)分則利用復(fù)化求積公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，須將區(qū)間對(duì)分 9 次，得到次，得到 T512 = 3.141592502考察考察412 nnTITI若由若由 來(lái)計(jì)算來(lái)計(jì)算 I 效果是否好些？效果是否

25、好些？224414 133nnnnTTITT844133TT= 3.141592502 = S4一般有：一般有：nnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRCC 144323Romberg 求積求積公式公式4 Romberg 4 Romberg 算法算法 理查德森理查德森外推加速法外推加速法利用利用低低階公式產(chǎn)生階公式產(chǎn)生高高精度的結(jié)果。精度的結(jié)果。由由Taylor展開(kāi)得到：展開(kāi)得到： i 與與 h 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)現(xiàn)將現(xiàn)將 對(duì)分，得：對(duì)分，得：h0h 0Th 230123.ThIhhh230123.2222hhhhTI設(shè)對(duì)于某一設(shè)對(duì)于某一 ， 有公式有公式 近似計(jì)算某一未知值近似計(jì)算某一

26、未知值 。I如何將公式精度由如何將公式精度由 提高到提高到 ？.432112)()(23322020 hhIhTTh 即：即：230021122( )( )( ).21hTT hT hIhh34212( ).T hIhh211222( )( )21hTT h1212( ).mmmThIhh1122( )( )21mhmmmTTh O h2O h 復(fù)化梯形公式的漸近展開(kāi)式復(fù)化梯形公式的漸近展開(kāi)式定理定理4.34.324212( )knkTfIa ha ha h設(shè)設(shè)( ) , ,f xCa b則成立則成立其中，其中，,bahn系數(shù)系數(shù) 與與 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 (1,2,.)ka k h Romberg

27、 算法：算法： ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1T加速公式加速公式11(1)( )( )4,1,2,.;1,2,.41mmmkkkmmTTTkmNewton-Cotes公式采用公式采用等距節(jié)點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)代等距節(jié)點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)代數(shù)精度至多可達(dá)到數(shù)精度至多可達(dá)到 。（ 為偶數(shù)）為偶數(shù)）1nn那么，在節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)一定的情那么，在節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)一定的情況下，是否可以在況下，是否可以在 上自上自由選擇節(jié)點(diǎn)的位置，使求積由選擇節(jié)點(diǎn)的位置，使

28、求積公式的精度提得更高公式的精度提得更高 ？, a b例例 ：求形如求形如100111( )()( )f x dxA f xA f x的兩點(diǎn)求積公式。的兩點(diǎn)求積公式。 （1）用梯形公式（即以用梯形公式（即以x0 = -1，x1 = 1為節(jié)點(diǎn)的插值型為節(jié)點(diǎn)的插值型 求積公式）立即可得求積公式）立即可得 。11( )( 1)(1)f x dxff只具有只具有1 次代數(shù)次代數(shù)精確度！精確度！（2）若對(duì)求積公式中的四個(gè)待定系數(shù)若對(duì)求積公式中的四個(gè)待定系數(shù)A0, A1, x0, x1適當(dāng)選取，適當(dāng)選取，使求積公式對(duì)使求積公式對(duì)f (x) = 1，x，x2，x3都準(zhǔn)確成立，則都準(zhǔn)確成立，則0101,A A

29、 x x需滿足如下方程組：需滿足如下方程組：0122001 12233001 13344001 1121314AAbaA xAxbaA xAxbaA xAxbaxyo f x11AB0 x1x0( ) ( )()nbkkakx f x dxA f x具有具有2n+1次代數(shù)精度的插值型求積公式次代數(shù)精度的插值型求積公式節(jié)點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)稱為Gauss 點(diǎn)點(diǎn)稱為稱為Gauss 型求積公式型求積公式。注：注：Gauss型求積公式型求積公式是代數(shù)精度最高的是代數(shù)精度最高的插值型求積公式插值型求積公式 . 4 4 高斯型求積公式高斯型求積公式定義定義4.3事實(shí)上，對(duì)于插值型求積公式事實(shí)上，對(duì)于插值型求積公式0

30、( ) ( )()nbkkakx f x dxA f x其代數(shù)精度最高可達(dá)到其代數(shù)精度最高可達(dá)到2n+1次次(Gauss型求積公式型求積公式）。）?？紤]考慮2n+2次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 ，10( )()nnjjwxxx21( )nwx其中，其中，21( )( )0bnax wx dx210()0nknkkA wx而而故故22110( )( )()nbnknkakx wx dxA wx高斯型求高斯型求積積公式的構(gòu)造公式的構(gòu)造將節(jié)點(diǎn)將節(jié)點(diǎn) 以及系數(shù)以及系數(shù) 都作為待定系數(shù)。都作為待定系數(shù)。0.nxx0.nAA并令求積公式對(duì)并令求積公式對(duì) 精確成立精確成立 2211, ,.,nf xx xx可得非線性方

31、程組可得非線性方程組1、待定系數(shù)法、待定系數(shù)法0220212222012122nkknkkknnnnkkkAbaA xbaA xban求解該方程組即可得求解該方程組即可得相應(yīng)的求積節(jié)點(diǎn)與求相應(yīng)的求積節(jié)點(diǎn)與求積系數(shù)。積系數(shù)。例：例：求求 的的 2 點(diǎn)點(diǎn) Gauss 公式。公式。dxxfx)(10 解：解：設(shè)設(shè) ，應(yīng)有，應(yīng)有 3 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 101100)()()(xfAxfAdxxfx令上述公式對(duì)令上述公式對(duì)f (x) = 1, x, x2, x3 精確成立可得精確成立可得 31130092211200721100521032xAxAxAxAxAxAAA2776. 03891. 0

32、2899. 08212. 01010 AAxx不是線性方程組，不是線性方程組，不易求解。不易求解。定理：定理： x0 xn 為為 Gauss 點(diǎn)點(diǎn) 與任意次數(shù)與任意次數(shù)不大于不大于n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 P (x) （帶權(quán)）正交（帶權(quán)）正交。nkkxxxw0)()(證明：證明： “” x0 xn 為為 Gauss 點(diǎn)點(diǎn), 則公式則公式 至少有至少有 2n+1 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。bankkkxfAdxxfx0)()()(對(duì)任意次數(shù)對(duì)任意次數(shù)不大于不大于n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次數(shù)的次數(shù)不大于不大于2n+1，則代入公式應(yīng)則代入公式應(yīng)精確成立精確成立：nkkkm

33、kbamxwxPAdxxwxPx0)()()()()(= 00 求求 Gauss 點(diǎn)點(diǎn) 求求w(x)2、正交多項(xiàng)式法、正交多項(xiàng)式法不大于不大于 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 精確成立，即證明：精確成立，即證明：“”要證明要證明 為為 Gauss 點(diǎn)，點(diǎn)， 即要證公式對(duì)任意次數(shù)即要證公式對(duì)任意次數(shù)設(shè)設(shè))()()()(xrxqxwxPmbababamdxxrxdxxqxwxdxxPx)()()()()()()(0nkkkxrA0)(nkkmkxPA0)( nkkmkbamxPAdxxPx0)()()(0,.,nxx21n mPx 正交多項(xiàng)式族正交多項(xiàng)式族 0, 1, , n, 有性質(zhì)：任意次數(shù)不大有性質(zhì)：任意

34、次數(shù)不大于于n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 P(x) 必與必與 n+1 正交。正交。若取若取 w(x) 為其中的為其中的 n+1，則，則 n+1的根的根就是就是 Gauss 點(diǎn)。點(diǎn)。53 a0)(10 dxaxx0),(10 1021102200)(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxx 215910 cb即：即：22105( )921xxxStep 1：構(gòu)造正交多項(xiàng)式構(gòu)造正交多項(xiàng)式 2設(shè)設(shè)cbxxxaxxx 2210)(,)(, 1)( 再解上例：再解上例： 101100)()()(xfAxfAdxxfx2Step 2：求求 2 = 0 的的 2 個(gè)根，即為個(gè)根，即為 Gauss

35、點(diǎn)點(diǎn) x0 ，x1221/20)9/10(9/1021;0 xStep 3：代入代入 f (x) = 1, x 以求解以求解 A0 ，A1解解線性線性方程組，方程組，簡(jiǎn)單。簡(jiǎn)單。結(jié)果與前一方法相同：結(jié)果與前一方法相同：2776. 0,3891. 0,2899. 0,8212. 01010 AAxx 利用此公式計(jì)算利用此公式計(jì)算 的值的值 10dxexx2555. 1 10dxexx2899. 08212. 0102776. 03891. 010eeeAeAxx 注：注：構(gòu)造正交多項(xiàng)式也可以利用構(gòu)造正交多項(xiàng)式也可以利用 L-S 擬合中介紹過(guò)的遞推擬合中介紹過(guò)的遞推式進(jìn)行。式進(jìn)行。 幾種常用的幾種

36、常用的Gauss型型求積公式：求積公式： Gauss-Legendre 求積公式：求積公式：1)( x 定義在定義在 1, 1上，上，21( )(1)2!kkkkkdPxxkdx滿足：滿足：2210(,)klkklP PklxPP 10, 1 ，遞推公式：，遞推公式：11(1)(21)kkkkPkxPkP其中，求積節(jié)點(diǎn)為其中，求積節(jié)點(diǎn)為 Pn+1 的根（求積系數(shù)通過(guò)解線性方程組的根（求積系數(shù)通過(guò)解線性方程組得到）。得到）。Legendre多項(xiàng)式：多項(xiàng)式：110( )()nkkkf x dxA f xGauss-Legendre 公式：公式：區(qū)間區(qū)間a,b上的上的Gauss-Legendre 公

37、式：公式：110( )222222bankkkbababaf x dxftdtbababaAft其中，其中， 為為 n+1次次Legendre多項(xiàng)式多項(xiàng)式Pn+1 的根。的根。kt Gauss-Chebyshev 求積公式：求積公式：211)(xx 定義在定義在 1, 1上，上，) arccos( cos)(xkxTk Tn+1 的根為：的根為： 2212cosnkxkk = 0, , n以此為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造公式以此為節(jié)點(diǎn)構(gòu)造公式12100( )()()11nnkkkkkf xdxA f xf xnx稱為稱為 Gauss-Chebyshev 公式公式。注意到積分端點(diǎn)注意到積分端點(diǎn) 1 可能是積分可能

38、是積分的的奇點(diǎn)奇點(diǎn)，用普通，用普通Newton-Cotes公式在端點(diǎn)會(huì)出問(wèn)題。而公式在端點(diǎn)會(huì)出問(wèn)題。而Gauss公式可能避免此問(wèn)題的發(fā)生。公式可能避免此問(wèn)題的發(fā)生。Chebyshev多項(xiàng)式：多項(xiàng)式：（3）第二類第二類Gauss-Chebyshev求積公式：求積公式：以以Un+1 的零點(diǎn)作的零點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)構(gòu)造的公式為求積節(jié)點(diǎn)構(gòu)造的公式1221001( )()sin(cos)111nnkkkkkkx f x dxA f xfnnn稱為稱為第二類第二類Gauss-Chebyshev 公式公式。第二類第二類Chebyshev多項(xiàng)式：多項(xiàng)式：2sin(1)arccos ( )(0,1, 2,)1nnxUxnx區(qū)間區(qū)間-1, 1上，帶權(quán)上，帶權(quán)21)(xx(4) Gauss- Laguerre 求積公式：求積公式：以以n+1次次Laguerre 多項(xiàng)式的零點(diǎn)多項(xiàng)式的零點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn)構(gòu)造的公式為求積節(jié)點(diǎn)構(gòu)造的公式00( )()nxkkkef x dxA f x稱為稱為 Gauss- Laguerre 求積求積公式公式。Laguerre多項(xiàng)式：多項(xiàng)式：( )(),0,(0,1, 2,),( )nxnxnnx