數(shù)字信號處理高西全課后答案實用教案

1、解： x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2 給定信號： 2n+54n160n40 其它(1) 畫出x(n)序列的波形， 標上各序列值； (2) 試用延遲的單位(dnwi)脈沖序列及其加權(quán)和表示x(n)序列；(x(n)=第1頁/共445頁第一頁，共445頁。（3） 令x1(n)=2x(n2)， 試畫出x1(n)波形(b xn)； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 試畫出x2(n)波形(b xn)； （5） 令x3(n)=x(2n)， 試畫出x3(n)波形(b xn)。 解： (1) x(n)序列的波形(b x

2、n)如題2解圖（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)4014)(6)()52(mmmnmnm第2頁/共445頁第二頁，共445頁。（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 畫出圖形如題2解圖（三）所示。 (5) 畫x3(n)時， 先畫x(n)的波形(即將x(n)的波形以縱軸為中心(zhngxn)翻轉(zhuǎn)180)， 然后再右移2位， x3(n)波形如題2解圖（四）所示。 第3頁/共4

3、45頁第三頁，共445頁。題2解圖（一）第4頁/共445頁第四頁，共445頁。題2解圖（二）第5頁/共445頁第五頁，共445頁。題2解圖（三）第6頁/共445頁第六頁，共445頁。題2解圖（四）第7頁/共445頁第七頁，共445頁。3 判斷(pndun)下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 確定其周期。 是常數(shù)AnAnx 873cos)()81( je)(nnx(1)(2)解： （1） 因為=, 所以, 這是有理數(shù)， 因此(ync)是周期序列， 周期T=14。（2） 因為=, 所以=16, 這是無理數(shù)， 因此(ync)是非周期序列。738123142第8頁/共445頁第八頁，共445頁。4

4、 對題1圖給出的x(n)要求(yoqi)： (1) 畫出x(n)的波形； (2) 計算xe(n)=x(n)+x(n)， 并畫出xe(n)波形； (3) 計算xo(n)= x(n)x(n)， 并畫出xo(n)波形; (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 將x1(n)與x(n)進行比較， 你能得到什么結(jié)論？2121第9頁/共445頁第九頁，共445頁。解：（1） x(n)的波形(b xn)如題4解圖（一）所示。(2) 將x(n)與x(n)的波形(b xn)對應相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫無疑問， 這是一個偶對稱序列。 xe(n)的波形(b xn)如題4解圖（二）所示。 (3)

5、 畫出xo(n)的波形(b xn)如題4解圖（三）所示。第10頁/共445頁第十頁，共445頁。題4解圖（一）第11頁/共445頁第十一頁，共445頁。題4解圖（二）第12頁/共445頁第十二頁，共445頁。題4解圖（三）第13頁/共445頁第十三頁，共445頁。(4) 很容易證明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式說明實序列(xli)可以分解成偶對稱序列(xli)和奇對稱序列(xli)。 偶對稱序列(xli)可以用題中(2)的公式計算， 奇對稱序列(xli)可以用題中(3)的公式計算。 5 設系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述， x(n)與y(n)分別表示系統(tǒng)輸入和輸出， 判斷

6、系統(tǒng)是否是線性非時變的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0)n0為整常數(shù) （4）y(n)=x(n)第14頁/共445頁第十四頁，共445頁。（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)= （8）y(n)=x(n)sin(n)解： （1） 令輸入(shr)為x(nn0)輸出為 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n)nmmx0)(第15頁/共445頁第十五頁，共445頁。故該系統(tǒng)是非(shfi)時變系

7、統(tǒng)。 因為 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。第16頁/共445頁第十六頁，共445頁。（2） 令輸入為x(nn0)輸出(shch)為y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故該系統(tǒng)是非時變的。 由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2

8、bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故該系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。第17頁/共445頁第十七頁，共445頁。(3) 這是一個(y )延時器， 延時器是線性非時變系統(tǒng)， 下面證明。 令輸入為x(nn1)輸出為y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延時器是非時變系統(tǒng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延時器是線性系統(tǒng)。第18頁/共445頁第十八頁，共445頁。(4) y(n)=x(n)令輸入(shr)為

9、x(nn0)輸出為y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)因此系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。第19頁/共445頁第十九頁，共445頁。（5） y(n)=x2(n)令輸入為 x(nn0)輸出為y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系統(tǒng)是非時變系統(tǒng)。 由于(yuy) Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n)因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。第20頁/共445頁第二十頁，共445頁

10、。（6） y(n)=x(n2)令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n)故系統(tǒng)是非時變(sh bin)系統(tǒng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。第21頁/共445頁第二十一頁，共445頁。（7） y(n)=x(m)令輸入(shr)為x(nn0)輸出為 y(n)=0DD)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系統(tǒng)是時變系統(tǒng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。nm 0nm 000nnm

11、nm 0第22頁/共445頁第二十二頁，共445頁。（8） y(n)=x(n) sin(n)令輸入為x(nn0)輸出(shch)為y(n)=x(nn0) sin(n)y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n)故系統(tǒng)不是非時變系統(tǒng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。第23頁/共445頁第二十三頁，共445頁。6 給定下述系統(tǒng)的差分(ch fn)方程， 試判定系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)， 并說明理由。 （1） y(n)=x(nk) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n

12、)= x(k) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n)101NkN00nnnnk第24頁/共445頁第二十四頁，共445頁。解：（1）只要(zhyo)N1， 該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)， 因為輸出只與n時刻的和n時刻以前的輸入有關(guān)。 如果|x(n)|M， 則|y(n)|M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（2） 該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)， 因為n時間的輸出還和n時間以后（n+1）時間）的輸入有關(guān)。如果|x(n)|M, 則|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。（3） 如果|x(n)|M， 則|y(n)|x(k)|2n0+1|M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的； 假設n00， 系統(tǒng)

13、是非因果的， 因為輸出還和x(n)的將來值有關(guān)。 00nnnnk第25頁/共445頁第二十五頁，共445頁。m（4）假設n00， 系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因為n時刻輸出只和n時刻以后的輸入有關(guān)。 如果|x(n)|M, 則|y(n)|M， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（5） 系統(tǒng)是因果系統(tǒng)， 因為系統(tǒng)的輸出不取決于x(n)的未來值。 如果|x(n)|M, 則|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。7 設線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示， 要求畫出y(n)輸出的波形。解： 解法(ji f)（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(n

14、m)第26頁/共445頁第二十六頁，共445頁。題7圖第27頁/共445頁第二十七頁，共445頁。y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5第28頁/共445頁第二十八頁，共445頁。解法（二）采用解析法。 按照(nzho)題7圖寫出x(n)和h(n)的表達式分別為x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+ (n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故21第29頁/共445頁第二十九頁，共445頁。y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2

15、) =2x(n)+x(n1)+x(n2)將x(n)的表示(biosh)式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5)2121第30頁/共445頁第三十頁，共445頁。8. 設線性時不變系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況， 分別求出輸出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)（2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2)（3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm) 先確定求和域。 由

16、R4(m)和R5(nm)確定y（n）對于(duy)m的非零區(qū)間如下:0m34mnm第31頁/共445頁第三十一頁，共445頁。根據(jù)非零區(qū)間， 將n分成四種(s zhn)情況求解： n7時， y(n)=0nm 034nm第32頁/共445頁第三十二頁，共445頁。最后結(jié)果(ji gu)為 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)的波形如題8解圖（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2) =2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如題8解圖（二）所示y(n)=第33頁/共445頁第三十三頁，共445頁。題8解圖（一）第34頁/共445

17、頁第三十四頁，共445頁。 題8解圖（二）第35頁/共445頁第三十五頁，共445頁。(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y（n）對于(duy)m 的非零區(qū)間為 0m4, mn n0時， y(n)=0 0n4時， mm第36頁/共445頁第三十六頁，共445頁。nmnmnny0115 . 015 . 015 . 05 . 0)(=(10.5n1)0.5n=20.5n n5時nnmmnny5 . 0315 . 05 . 015 . 015 . 05 . 0)(4015最后(zuhu)寫成統(tǒng)一表達式： y(n)=(20.5n

18、)R5(n)+310.5nu(n5)第37頁/共445頁第三十七頁，共445頁。9 證明線性卷積服從交換律、 結(jié)合律和分配律， 即證明下面等式(dngsh)成立： （1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2） x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)（3） x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)證明： （1） 因為令m=nm, 則mmnhmxnhnx)()()()()()()()()()(nxnhmhmnxnhnxm第38頁/共445頁第三十八頁，共445頁。(2) 利用上面(shng min)已證明的結(jié)果， 得到)

19、()()()()()()()()()()()(12121221kmnhkhmxmnhmnhmxnhnhnxnhnhnxmkm第39頁/共445頁第三十九頁，共445頁。交換(jiohun)求和號的次序， 得到)()( )()()()()()()(121221knhknxkhkmnhmxkhnhnhnxkmk)()()(12nhnxnh)()()(21nhnhnx第40頁/共445頁第四十頁，共445頁。)()()()()()()()()()()()()()( ) 3(21212121nhnxnhnxmnhmxmnhmxmnhmnhmxnhnhnxmmm10 設系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)=(3/

20、8)0.5nu(n)， 系統(tǒng)的輸入(shr)x(n)是一些觀測數(shù)據(jù)， 設x(n)=x0, x1, x2, , xk, ， 試利用遞推法求系統(tǒng)的輸出y(n)。 遞推時設系統(tǒng)初始狀態(tài)為零狀態(tài)。第41頁/共445頁第四十一頁，共445頁。解： 5 . 083)(5 . 083)()()(0mnnmmmnmmxmnuxnhnxnyn=0時， n0083)( xnyn=1時， )5 . 0(835 . 083)( 10110 xxxnymmm第42頁/共445頁第四十二頁，共445頁。)5 . 05 . 0(835 . 083)( 2102220 xxxxnymmmn=2時， 最后(zuhu)得到nmm

21、nmxny05 . 083)(11 設系統(tǒng)(xtng)由下面差分方程描述： ) 1(21)() 1(21)(nxnxnyny設系統(tǒng)(xtng)是因果的， 利用遞推法求系統(tǒng)(xtng)的單位脈沖響應。第43頁/共445頁第四十三頁，共445頁。解： 令x(n)=(n), 則) 1(21)() 1(21)(nnnhnhn=0時， 1) 1(21)0() 1(21)0(hhn=1時， 12121)0(21) 1 ()0(21) 1 (hh第44頁/共445頁第四十四頁，共445頁。n=2時， 21) 1 (21)2(hhn=3時， 221)2(21)3(hh歸納起來， 結(jié)果(ji gu)為)() 1

22、(21)(1nnunhn第45頁/共445頁第四十五頁，共445頁。12. 設系統(tǒng)用一階差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述， 初始條件y(-1)=0， 試分析該系統(tǒng)是否是線性非時變系統(tǒng)。 解： 分析的方法是讓系統(tǒng)輸入分別(fnbi)為(n)、 (n1)、 (n)+(n1)時， 求它的輸出， 再檢查是否滿足線性疊加原理和非時變性。 （1） 令x(n)=(n), 這時系統(tǒng)的輸出用y1(n)表示。)() 1()(11nnayny該情況在教材例1.4.1 中已求出， 系統(tǒng)(xtng)的輸出為y1(n)=anu(n)第46頁/共445頁第四十六頁，共445頁。(2) 令x(n)=(n1)， 這

23、時系統(tǒng)(xtng)的輸出用y2(n)表示。 ) 1() 1()(22nnaynyn=0時， 0) 1() 1( )0( 22yayn=1時， 1)0()0( ) 1 (22yayn=2時， ayay) 1 () 1 ( )2(2212)(nany任意(rny) n 時， 第47頁/共445頁第四十七頁，共445頁。最后(zuhu)得到) 1()( 12nuanyn(3) 令x(n)=(n)+(n1), 系統(tǒng)的輸出(shch)用y3(n)表示。 ) 1()() 1()(33nnnaynyn=0時， n=1時， 1) 1()0() 1( )0(33yay1)0() 1 ()0( ) 1 (33ay

24、ayn=2時， 233)1 () 1()2() 1 ( )2(aaaayay第48頁/共445頁第四十八頁，共445頁。n=3時， 任意(rny) n 時， 32233)()2()3()2( )3(aaaaayay13)( nnaany最后(zuhu)得到)() 1()(13nuanuanynn第49頁/共445頁第四十九頁，共445頁。由（1）和（2）得到y(tǒng)1(n)=T(n), y2(n)=T(n1)y1(n)=y2(n1)因此可斷言這是一個時不變系統(tǒng)。 情況（3）的輸入信號(xnho)是情況（1）和情況（2）輸入信號(xnho)的相加信號(xnho)， 因此y3(n)=T(n)+(n1)。

25、 觀察y1(n)、 y2(n)、 y3(n)， 得到y(tǒng)3(n)=y1(n)+y2(n)， 因此該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 最后得到結(jié)論： 用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n), 0a1描寫的系統(tǒng)， 當初始條件為零時， 是一個線性時不變系統(tǒng)。 第50頁/共445頁第五十頁，共445頁。13 有一連續(xù)(linx)信號xa(t)=cos(2ft+j)， 式中， f=20 Hz, j=/2。（1） 求出xa(t)的周期；（2） 用采樣間隔T=0.02 s對xa(t)進行采樣， 試寫出采樣信號 的表達式；（3） 畫出對應 的時域離散信號（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 解： （1） xa(

26、t)的周期為)(txa)(txas 05. 01fT第51頁/共445頁第五十一頁，共445頁。)( )40cos()()2cos()(nTtnTnTtfnTtxnna（2）（3） x(n)的數(shù)字(shz)頻率=0.8， 故， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8n+/2)畫出其波形如題13解圖所示。252第52頁/共445頁第五十二頁，共445頁。題13解圖第53頁/共445頁第五十三頁，共445頁。14. 已知滑動(hudng)平均濾波器的差分方程為)4()3()2() 1()(51)(nxnxnxnxnxny（1） 求出該濾波器的單位脈沖響應；（2） 如果(rgu)輸入信號波

27、形如前面例1.3.4的圖1.3.1所示， 試求出y(n)并畫出它的波形。解： （1） 將題中差分方程中的x(n)用(n)代替， 得到該濾波器的單位脈沖響應， 即)4()3()2() 1()(51)(nnnnnnh第54頁/共445頁第五十四頁，共445頁。（2） 已知輸入信號(xnho)， 用卷積法求輸出。 輸出信號(xnho)y(n)為kknhkxny)()()(表1.4.1表示了用列表法解卷積的過程。 計算時， 表中x(k)不動， h(k)反轉(zhuǎn)后變成h(k)， h(nk)則隨著(su zhe)n的加大向右滑動， 每滑動一次， 將h(nk)和x(k)對應相乘， 再相加和平均， 得到相應的y(

28、n)。 “滑動平均”清楚地表明了這種計算過程。 最后得到的輸出波形如前面圖1.3.2所示。 該圖清楚地說明滑動平均濾波器可以消除信號中的快速變化， 使波形變化緩慢。 第55頁/共445頁第五十五頁，共445頁。第56頁/共445頁第五十六頁，共445頁。15*. 已知系統(tǒng)的差分方程和輸入(shr)信號分別為)2(2)() 1(21)(nxnxnyny 1 , 2 , 4 , 3 , 2 , 1 )(nx用遞推法計算系統(tǒng)(xtng)的零狀態(tài)響應。 解： 求解程序ex115.m如下： %程序ex115.m% 調(diào)用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=x(n)+2x(n2)xn=1， 2

29、， 3， 4， 2， 1， zeros(1， 10)； %x(n)=單位脈沖序列， 長度N=31B=1， 0， 2； A=1， 0.5； %差分方程系數(shù)第57頁/共445頁第五十七頁，共445頁。yn=filter(B， A， xn) %調(diào)用filter解差分(ch fn)方程， 求系統(tǒng)輸出信號y(n)n=0： length(yn)1； subplot(3， 2， 1)； stem(n， yn， .) ； axis(1， 15， 2， 8)title(系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 )； xlabel(n)； ylabel(y(n)程序運行結(jié)果： 第58頁/共445頁第五十八頁，共445頁。yn =1.00

30、00 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.7656 1.6172 -0.8086 0.4043 -0.2021 0.1011 -0.0505 0.0253 -0.0126 0.0063 -0.0032 0.0016 -0.0008 0.0004 -0.0002 0.0001 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000程序運行結(jié)果(ji gu)的y(n)波形圖如題15*解圖所示。第59頁/共445頁第五十九頁，共445頁。題15*解圖第60頁/共445頁第六十頁，共445頁。16*. 已知兩個系統(tǒng)的差分方程分別(fnbi)為 （1）y(n)=

31、0.6y(n1)0.08y(n2)+x(n) （2）y(n)=0.7y(n1)0.1y(n2)+2x(n)x(n2)分別(fnbi)求出所描述的系統(tǒng)的單位脈沖響應和單位階躍響應。 解： （1） 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為B1=1， A1=1， 0.6， 0.08（2） 系統(tǒng)差分方程的系數(shù)向量為B2=2， 0， 1, A2=1， 0.7， 0.1第61頁/共445頁第六十一頁，共445頁。2.5習題與上機題解答習題與上機題解答1 設設X(ej)和和Y(ej)分別是分別是x(n)和和y(n)的的傅里葉變換傅里葉變換(binhun)， 試求下面序列的傅里試求下面序列的傅里葉變換葉變換(binhun)：

32、 (1) x(nn0) (2) x*(n)(3) x(n) (4) x(n)*y(n)(5) x(n)y(n) (6) nx(n)(7) x(2n) (8) x2(n)奇數(shù)偶數(shù)nnnxnx 0 )2/()(9(9)第62頁/共445頁第六十二頁，共445頁。解：（1） nnnnxnnxj00e )()(FT令n=nn0, 即n=n+n0， 則)e (e )()(FTjj)(j000Xenxnnxnnnn（2）)e (e )(e )()(FTjjjXnxnxnxnnnn第63頁/共445頁第六十三頁，共445頁。（3） nnnxnxje )()(FT令n=n， 則)e (e )()(FTjjXn

33、xnxnn（4） FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej) 下面證明(zhngmng)上式成立： mmnymxnynx)()()()(第64頁/共445頁第六十四頁，共445頁。mnnmnymxnynxje)()()()(FT令k=nm, 則)e ()e (e )(e )(ee)()()()(FTjjjjjjyxmxkykymxnynxmnkkmnkk第65頁/共445頁第六十五頁，共445頁。（5） nnnnnYnxnynxnynxjjjjede )e (21)( e )()()()(FT)( j)( jd)e ()e (21de )()e (21XYnxYjnnj第66頁/共445頁第

34、六十六頁，共445頁?；蛘?huzh) )( jjd)e ()e (21)()(FTYXnynx（6） 因為(yn wi)nnnxXjje )()e (對該式兩邊(lingbin)求導， 得到)(jFTe )(jd)e (dnnxnnxXnnjj第67頁/共445頁第六十七頁，共445頁。因此(ync)d)e (dj)(FTjXnnx（7） nnnxnxje)2()2(FT令n=2n， 則第68頁/共445頁第六十八頁，共445頁。)(e)e (21)(ee )(21e)() 1()(21e )()2(FT)(21j21j21j21j21j， 2/jXXenxnxnxnxnxnxnnnjnnn

35、nnnnn取偶數(shù)第69頁/共445頁第六十九頁，共445頁?；蛘?huzh)e()e (21)2(FT21j21jXXnx（8） nnnxnxj22e )()(FT利用(lyng)（5）題結(jié)果， 令x(n)=y(n), 則d)e ()e (21)e ()e (21)(FTjjjj2XXXXnx第70頁/共445頁第七十頁，共445頁。（9）nnnxnxje )2/()2/(FT令n=n/2， 則)e (e )()2/(FT2 j2 jXnxnxnn2 已知 |, 0|, 1)e (00jX求X(ej)的傅里葉反變換(binhun)x(n)。 第71頁/共445頁第七十一頁，共445頁。解： n

36、nnxnsinde21)(0j003. 線性時不變系統(tǒng)(xtng)的頻率響應（頻率響應函數(shù)）H(ej)=|H(ej)|ej()， 如果單位脈沖響應h(n)為實序列， 試證明輸入x(n)=A cos(0n+j)的穩(wěn)態(tài)響應為)(cos| )e (|)(00j0nHAny第72頁/共445頁第七十二頁，共445頁。解： 假設輸入信號x(n)=ej0n，系統(tǒng)(xtng)單位脈沖響應為h(n)， 則系統(tǒng)(xtng)輸出為nmmnmmnHmhmhnxnhny00000jjjj)(je )e (e )(e e )()()()(上式說明(shumng)當輸入信號為復指數(shù)序列時， 輸出序列仍是復指數(shù)序列， 且頻

37、率相同， 但幅度和相位取決于網(wǎng)絡傳輸函數(shù)。 利用該性質(zhì)解此題：第73頁/共445頁第七十三頁，共445頁。)cos()(0nAnxeeee 21jjjj00nnA)(jjjj)(jjjjjjjjjj0000000000e)e (eee)e (e21)e (ee)e (ee 21)(HHeAHHAnynnnn第74頁/共445頁第七十四頁，共445頁。上式中|H(ej)|是的偶函數(shù)， 相位(xingwi)函數(shù)是的奇函數(shù)， |H(ej)|=|H(e-j)|， ()=(), 故)(cos()e (eeeeee)e (21)(00j)(j)(jjj000000nHAHAnynjjnj4設其它01 .

38、01)(nnx第75頁/共445頁第七十五頁，共445頁。將x(n)以4為周期進行周期延拓， 形成周期序列(xli)， 畫出x(n)和的波形， 求出的離散傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。)(nx)(nx)(nx)(kX解： 畫出x(n)和的波形(b xn)如題4解圖所示。 )(nx為周期以4) ( e)4cos(2)ee (ee1ee )()(DFS)(4j4j4j4j2j102j42j30kXknxnxkXkkkkknknknn第76頁/共445頁第七十六頁，共445頁。 題4解圖第77頁/共445頁第七十七頁，共445頁?；蛘?huzh) 為周期以4)( 41sin21sine )e(ee)ee

39、(ee1e1e)(4141j41j41j21j21j21j2j102jkXkkkXkjkkkkkkkkjnkn第78頁/共445頁第七十八頁，共445頁。)2( e )4cos()2( )(2)42()(42)(FT)e (4jjkkkkXkkXnxXkkkk第79頁/共445頁第七十九頁，共445頁。5. 設題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ej)表示， 不直接求出X(ej)， 完成下列(xili)運算或工作：題5圖第80頁/共445頁第八十頁，共445頁。)e (0 jX(1)(2)jd)e (X(3)e (jX(4) 確定并畫出傅里葉變換(binhun)實部ReX(ej)的時間序列xa

40、(n)；2jd| )(e|X(5)(6)d|d)e (d|2jX第81頁/共445頁第八十一頁，共445頁。解(1)6)()e (730 jnnxX(2)42)0(d)e (jxX(3)2)() 1(e )()e (73jjnnnnnxnxX（4） 因為傅里葉變換的實部對應序列的共軛對稱(duchn)部分， 即nnjnxeXRjeee )()()()(21)(enxnxnx第82頁/共445頁第八十二頁，共445頁。按照(nzho)上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。題5解圖第83頁/共445頁第八十三頁，共445頁。(5)28)(2d)e (7322njnxX(6) 因為(yn wi)(

41、jFTd)e (djnnxX因此(ync)316)(2dd)e (d7322jnnnxX第84頁/共445頁第八十四頁，共445頁。6 試求如下(rxi)序列的傅里葉變換：(1) x1(n)=(n3)(2) 1(21)() 1(21)(2nnnnx(3) x3(n)=anu(n)0a1(4) x4(n)=u(n+3)u(n4)解解(1)3jjj1ee)3()e (nnnX第85頁/共445頁第八十五頁，共445頁。(2)cos1)ee (211 e211e21e )()e (jjjjj2j2nnnxX(3)j0jjj3e11e e )()e (aanuaXnnnnnn第86頁/共445頁第八十

42、六頁，共445頁。(4)33jjj4ee )4()3()e (nnnnnunuXjj3 jj4j31j30j31j30jee1e1e1e1eeeennnnnnnn)21sin()27sin(e)ee (e)ee (eee1e1e1eee1e1e1e13j21j21j21j27j27j27j3 jj7 jj4 j3 jj3jj4 j第87頁/共445頁第八十七頁，共445頁?；蛘?huzh): )3()4()3()(73nRnununxnnnRXj7j4e )3()e (j7 j60j7e1e1e)(FTnnnRnnnRXj7j4e )3()e (3 jj7 jee1e1)21sin()27si

43、n()ee (e)ee (ee)ee (e)ee (e2j2j2j27j27j2j3 j2j2j227j2727jjj第88頁/共445頁第八十八頁，共445頁。7 設： （1） x(n)是實偶函數(shù)， （2） x(n)是實奇函數(shù)， 分別分析推導以上(yshng)兩種假設下， 其x(n)的傅里葉變換性質(zhì)。 解：令nnnxXjje )()e (1) 因為(yn wi)x(n)是實偶函數(shù)， 對上式兩邊取共軛， 得到)e (e)(e)()e (j)( jjjXnxnxXnnnn第89頁/共445頁第八十九頁，共445頁。因此 X(ej)=X*（ej）上式說明(shumng)x(n)是實序列， X(ej

44、)具有共軛對稱性質(zhì)。 nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj由于(yuy)x(n)是偶函數(shù)， x(n) sin是奇函數(shù)， 那么nnx0sin)(因此(ync)nnxXcos)()e (j第90頁/共445頁第九十頁，共445頁。該式說明X(ej)是實函數(shù)， 且是的偶函數(shù)。 總結(jié)以上(yshng), x(n)是實偶函數(shù)時， 對應的傅里葉變換X(ej)是實函數(shù)， 是的偶函數(shù)。 （2） x(n)是實奇函數(shù)。 上面已推出， 由于x(n)是實序列， X(ej)具有共軛對稱性質(zhì)， 即 X(ej)=X*(ej)nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj第91頁/共445頁第九十一

45、頁，共445頁。由于(yuy)x(n)是奇函數(shù)， 上式中x(n) cos是奇函數(shù)， 那么0cos)(nnx因此(ync) nnxXsin)(j)(ej這說明X(ej)是純虛數(shù)， 且是的奇函數(shù)。 8 設x(n)=R4(n)， 試求x(n)的共軛對稱序列(xli)xe(n)和共軛反對稱序列(xli)xo(n)， 并分別用圖表示。 第92頁/共445頁第九十二頁，共445頁。解解：)()(21)(44enRnRnx)()(21)(44onRnRnxxe(n)和xo(n)的波形(b xn)如題8解圖所示。 題8解圖第93頁/共445頁第九十三頁，共445頁。9已知x(n)=anu(n), 0a1， 分

46、別(fnbi)求出其偶函數(shù)xe(n)和奇函數(shù)xo(n)的傅里葉變換。解：nnnxXjje )()e (因為xe(n)的傅里葉變換對應(duyng)X(ej)的實部， xo(n)的傅里葉變換對應(duyng)X(ej)的虛部乘以j， 因此第94頁/共445頁第九十四頁，共445頁。cos21cos1e1e1e11e11)e ()(FT2jjjejejeeaaaaaaRaRXRnxcos21sine1e1e11Imje11Imje (Imj)(FT2jjjjjaaaaaaaXnxo第95頁/共445頁第九十五頁，共445頁。10 若序列h(n)是實因果序列， 其傅里葉變換(binhun)的實部如下

47、式： HR(ej)=1+cos求序列h(n)及其傅里葉變換(binhun)H(ej)。 解：nnRnhnhHjeejjje )()(FT e21e211cos1)e (第96頁/共445頁第九十六頁，共445頁。121011 21)(ennnnhnnnnnhnnhnnh其它01101 0)(20)(00)(ee)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH第97頁/共445頁第九十七頁，共445頁。11 若序列(xli)h(n)是實因果序列(xli)， h(0)=1， 其傅里葉變換的虛部為HI(ej)=sin求序列(xli)h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解： eej21si

48、n)e (jjjIHnnoIonhHnhjjjje )(ee 21)(ej)(FT第98頁/共445頁第九十八頁，共445頁。12100121)(onnnnhnnnnnhnnhnnh其它011010)(20)(00)(o)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH第99頁/共445頁第九十九頁，共445頁。12 設系統(tǒng)的單位脈沖響應h(n)=anu(n), 0a1， 輸入序列為x(n)=(n)+2(n2)完成下面各題： (1) 求出系統(tǒng)輸出序列y(n)； (2) 分別(fnbi)求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里葉變換。 解(1)2(2)( )2()()()()(2nua

49、nuannnuanxnhnynnn第100頁/共445頁第一百頁，共445頁。(2)2 jjje21e)2(2)()e (nnnnXj0jjje11ee )()e (aanuaHnnnnnnj2jjjje1e21)e ()e ()e (aXHY第101頁/共445頁第一百零一頁，共445頁。13 已知xa(t)=2 cos(2f0t)， 式中f0=100 Hz， 以采樣頻率fs=400 Hz對xa(t)進行采樣， 得到采樣信號和時域離散(lsn)信號x(n)， 試完成下面各題： （1） 寫出的傅里葉變換表示式Xa(j)； （2） 寫出和x(n)的表達式； （3） 分別求出的傅里葉變換和x(n)

50、序列的傅里葉變換。 解： )(txa)(txa)(txa)(txatttttxXtttttaade ee de )cos(2de )()j ( jjjj0j00第102頁/共445頁第一百零二頁，共445頁。上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在， 引入奇異(qy)函數(shù)函數(shù)， 它的傅里葉變換可以表示成： )()(2)j ( 00aX（2） )()cos(2)()()(0nnaanTtnTnTttxtxnnTnx- )cos(2)(0ms 5 . 21 rad 2002s00fTf第103頁/共445頁第一百零三頁，共445頁。（3） )()(2 )jj (1)(s00ksksaakkTkXTjX式中

51、rad/s 8002ssf)2()2(2e ee e )cos(2e )cos(2e )()e (00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn第104頁/共445頁第一百零四頁，共445頁。式中0=0T=0.5 rad上式推導過程中， 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數(shù)(hnsh)函數(shù)(hnsh)才能寫出它的傅里葉變換表示式。 14 求出以下序列的Z變換及收斂域:(1) 2nu(n)(2) 2nu(n1)(3) 2nu(n)(4) (n)(5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10)第105頁/共445頁第一百零五頁，共445頁。解(1)21 2112)(

52、2)(2ZT110zzzznununnnnnnn(2)21 21121222) 1(2)1(2ZT1111zzzzzzznununnnnnnnnnn第106頁/共445頁第一百零六頁，共445頁。21 2112 2)(2)(2ZT00zzzzznununnnnnnnnnn(3)(4) ZT(n)=10|z|(5) ZT(n1)=z10|z|(6) 0 2121 2)10()(2ZT11101090zzzznununnnn第107頁/共445頁第一百零七頁，共445頁。15 求以下序列的Z變換(binhun)及其收斂域， 并在z平面上畫出極零點分布圖。 (1) x(n)=RN(n)N=4(2)

53、x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j=0.25 rad(3)其它02 12 0)(NnNnNNnnnx式中， N=4。第108頁/共445頁第一百零八頁，共445頁。解(1) 0 ) 1(1z11 )()(3414304zzzzzzznRzXnnnn由z41=0， 得零點(ln din)為3 , 2 , 1 , 0 ez 42jkkk由z3(z1)=0， 得極點(jdin)為 z1, 2=0, 1零極點(jdin)圖和收斂域如題15解圖(a)所示， 圖中, z=1處的零極點(jdin)相互對消。第109頁/共445頁第一百零九頁，共445頁。題15

54、解圖第110頁/共445頁第一百一十頁，共445頁。(2) )( ee eeAr21 )()cos()(jjjj000nununArnxnnnne1ee1e21eeee21)(1jj1j00jjjj0000zrzrAzrzrAzXjnnnnnnnn)e1 ()e1 ()cos(cos1j1j1000zrzrzrArz 第111頁/共445頁第一百一十一頁，共445頁。零點(ln din)為 cos)cos(01 rz極點(jdin)為00j3j2e erzrz極零點(ln din)分布圖如題15解圖(b)所示。(3)令y(n)=R4(n), 則x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=Y(z

55、)2, X(z)=z1Y(z)2第112頁/共445頁第一百一十二頁，共445頁。因為(yn wi) 1(111)(3414zzzzzzY因此(ync)2472341) 1(11) 1(1)(zzzzzzzzX極點(jdin)為z1=0, z2=1零點為3 , 2 , 1 , 0 e42jkzkk在z=1處的極零點相互對消， 收斂域為0|z|， 極零點分布圖如題15解圖(c)所示。第113頁/共445頁第一百一十三頁，共445頁。16 已知112122113)(zzzX求出對應X(z)的各種可能的序列表達式。 解： X(z)有兩個極點： z1=0.5, z2=2， 因為(yn wi)收斂域總是

56、以極點為界， 因此收斂域有三種情況： |z|0.5，0.5|z|2， 2|z|。 三種收斂域?qū)N不同的原序列。 （1）收斂域|z|0.5： 第114頁/共445頁第一百一十四頁，共445頁。zzzXjnxcnd)(21)(1令nnnzzzzzzzzzzXzF)2)(5 . 0(75 )21)(5 . 01 (75)()(11111n0時， 因為c內(nèi)無極點(jdin)，x(n)=0;n1時， c內(nèi)有極點(jdin) 0 ， 但z=0是一個n階極點(jdin)， 改為求圓外極點(jdin)留數(shù)， 圓外極點(jdin)有z1=0.5, z2=2， 那么第115頁/共445頁第一百一十五頁，共44

57、5頁。) 1(22)21(3)2()2)(5 . 0()75()5 . 0()2)(5 . 0()75(2),(sRe5 . 0),( sRe)(25 . 0nuzzzzzzzzzzzFzFnxnnznzn(2)收斂(shulin)域0.5|z|2:)2)(5 . 0()75()( zzzzzFn第116頁/共445頁第一百一十六頁，共445頁。n0時， c內(nèi)有極點(jdin)0.5，nzFnx)21(35 . 0 ),( sRe)( n0時， c內(nèi)有極點 0.5、 0 ， 但 0 是一個n階極點， 改成求c外極點留數(shù)， c外極點只有一個， 即2，x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n

58、1)最后(zuhu)得到) 1(22)()21(3)(nununxnn第117頁/共445頁第一百一十七頁，共445頁。（3）收斂(shulin)域|z|2: )2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0時， c內(nèi)有極點(jdin) 0.5、 2，nnzFzFnx222132 ),( sRe5 . 0),( sRe)( n0時， 由收斂域判斷， 這是一個因果序列， 因此x(n)=0； 或者這樣(zhyng)分析， c內(nèi)有極點0.5、 2、 0， 但0是一個n階極點， 改求c外極點留數(shù)，c外無極點， 所以x(n)=0。 第118頁/共445頁第一百一十八頁，共445頁。最后(zuhu)得

59、到)(22213)( nunxnn17 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分別(fnbi)求： (1) x(n)的Z變換；(2) nx(n)的Z變換；(3) anu(n)的Z變換。解： (1)azazznuanuazXnnnn 11)()(ZT)(1第119頁/共445頁第一百一十九頁，共445頁。azazazzXzznnx )1 ()(dd)( ZT212(2)(3)100 11)(ZTazazzazanuannnnnnn18 已知2112523)(zzzzX分別求： （1） 收斂(shulin)域0.5|z|2對應的原序列x(n)。 第120頁/共445頁第一百二十頁，共445頁。解

60、：cnzzzXnxd)(j21)(1)2)(5 . 0(232523)()(12111zzzzzzzzzXzFnnn（1） 收斂域0.5|z|2:n0時，c內(nèi)有極點0.5，x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0時， c內(nèi)有極點0.5、 0， 但0是一個(y )n階極點， 改求c外極點留數(shù)， c外極點只有2， x(n)=ResF(z), 2=2n第121頁/共445頁第一百二十一頁，共445頁。最后得到(d do) x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0時， c內(nèi)有極點0.5、 2，nnznnzzzzzFzFnx25 . 0)2()2)(5 . 0(235 .