數(shù)值積分與數(shù)值微分ppt課件實(shí)用教案

1、1 1 引引 言言一、數(shù)值積分的必要性一、數(shù)值積分的必要性本章主要本章主要(zhyo)討論如下形式的一元函數(shù)積分討論如下形式的一元函數(shù)積分badxxffI)()( )( )( )( )baI ff x dxF bF a在微積分里，按在微積分里，按Newton-Leibniz公式公式(gngsh)求定積分求定積分 f x F x F x第1頁(yè)/共74頁(yè)第一頁(yè)，共74頁(yè)。 F x f x實(shí)際實(shí)際(shj)問問題題例如例如(lr)函數(shù)函數(shù):2,1,ln1,sin,cos,sin322xexxxxxx第2頁(yè)/共74頁(yè)第二頁(yè)，共74頁(yè)。2 sinf xx這個(gè)問題就是要求由函數(shù)這個(gè)問題就是要求由函數(shù)0 x

2、 48x第3頁(yè)/共74頁(yè)第三頁(yè)，共74頁(yè)。dxxdxxfL48024802)(cos1)(1 由微積分學(xué)我們知道由微積分學(xué)我們知道(zh do),所求的弧長(zhǎng)可表示為所求的弧長(zhǎng)可表示為:Whats the Original function?!Its so complex that we can not get it.第4頁(yè)/共74頁(yè)第四頁(yè)，共74頁(yè)。3222xx)322ln(21693216332412222xxxxxx第5頁(yè)/共74頁(yè)第五頁(yè)，共74頁(yè)。 f x f xx1423454.5688.5原來(lái)原來(lái)(yunli)通過原通過原函數(shù)來(lái)計(jì)算積分有它函數(shù)來(lái)計(jì)算積分有它的局限性。那的局限性。那怎

3、么辦呢？怎么辦呢？呵呵呵呵這就需要積分這就需要積分的數(shù)值方法的數(shù)值方法(fngf)來(lái)幫忙啦。來(lái)幫忙啦。第6頁(yè)/共74頁(yè)第六頁(yè)，共74頁(yè)。二、數(shù)值積分的基本二、數(shù)值積分的基本(jbn)思想思想1、定積分的幾何、定積分的幾何(j h)意義意義badxxffI)()(abxyo f x第7頁(yè)/共74頁(yè)第七頁(yè)，共74頁(yè)。2、數(shù)值積分的理論依據(jù)、數(shù)值積分的理論依據(jù) f x依據(jù)依據(jù)(yj)積分中值定理積分中值定理,對(duì)于對(duì)于(duy)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ,在在 內(nèi)存在內(nèi)存在(cnzi)一點(diǎn)一點(diǎn) ,使得使得, a b)()()()(fabdxxffIba稱稱 為區(qū)間為區(qū)間 的平均高度的平均高度. f, a b

4、?f第8頁(yè)/共74頁(yè)第八頁(yè)，共74頁(yè)。3、求積公式、求積公式(gngsh)的構(gòu)造的構(gòu)造 若簡(jiǎn)單選取區(qū)間端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值作為平均高度，則若簡(jiǎn)單選取區(qū)間端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值作為平均高度，則可得一點(diǎn)可得一點(diǎn)(y din)求積公式如下：求積公式如下：左矩形左矩形(jxng)公式：公式：中矩形公式：中矩形公式：右矩形公式：右矩形公式： I ff aba 2abIffba Iff bba第9頁(yè)/共74頁(yè)第九頁(yè)，共74頁(yè)。xyOab f x f a左矩形左矩形(jxng)公式：公式： I ff aba第10頁(yè)/共74頁(yè)第十頁(yè)，共74頁(yè)。xyOab f x2abf2ab中矩形中矩形(jxng)公式：公式： 2

5、abIffba第11頁(yè)/共74頁(yè)第十一頁(yè)，共74頁(yè)。xyOab f x f b右矩形右矩形(jxng)公式：公式： Iff bba第12頁(yè)/共74頁(yè)第十二頁(yè)，共74頁(yè)。 若取若取 兩點(diǎn)，并令兩點(diǎn)，并令 ，則可得梯形，則可得梯形公式（兩點(diǎn)求積公式）公式（兩點(diǎn)求積公式）, a b 2f af bf 2f af bIfba第13頁(yè)/共74頁(yè)第十三頁(yè)，共74頁(yè)。xyOab f x f a f b第14頁(yè)/共74頁(yè)第十四頁(yè)，共74頁(yè)。則可得則可得Simpson公式公式(gngsh)(三點(diǎn)求積公式三點(diǎn)求積公式(gngsh), ,2aba b c 46f af cf bf 若取三點(diǎn)，若取三點(diǎn)， 并令并令 4

6、6f af cf bIfba第15頁(yè)/共74頁(yè)第十五頁(yè)，共74頁(yè)。 一般一般(ybn)地地 ，取區(qū)間，取區(qū)間 內(nèi)內(nèi) 個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn), a b1n ,0,1,2,.,ixin ,0,1,.,if xin f處的高度處的高度(god)通過加權(quán)平均的方法近似通過加權(quán)平均的方法近似(jn s)地得出平均高度地得出平均高度這類求積方法稱為這類求積方法稱為機(jī)械求積機(jī)械求積:)()()(0ibaniixfabdxxf第16頁(yè)/共74頁(yè)第十六頁(yè)，共74頁(yè)。 或?qū)懗苫驅(qū)懗? :數(shù)值積分公式數(shù)值積分公式(gngsh)求積系數(shù)求積系數(shù)(xsh) 求積節(jié)點(diǎn)求積節(jié)點(diǎn)(ji din) (ji din) )()(0kbankkx

7、fAdxxf第17頁(yè)/共74頁(yè)第十七頁(yè)，共74頁(yè)。記記0( )()nnkkkIfA f x0( )( )( )( )(),nbnkkakR fI fIff x dxA f x稱稱為數(shù)值為數(shù)值求積公式求積公式稱為求積公稱為求積公式余項(xiàng)式余項(xiàng)(誤誤差差).第18頁(yè)/共74頁(yè)第十八頁(yè)，共74頁(yè)。三、求積公式三、求積公式(gngsh)的的代數(shù)精度代數(shù)精度1、問題、問題(wnt)的提出的提出構(gòu)造或確定一個(gè)求積公式，要討論構(gòu)造或確定一個(gè)求積公式，要討論(toln)解決的問題有解決的問題有:(i) 確定求積系數(shù)確定求積系數(shù) 和求積節(jié)點(diǎn)和求積節(jié)點(diǎn) kAkx；(iii)求積公式的誤差估計(jì)和收斂性分析求積公式的誤

8、差估計(jì)和收斂性分析.(ii) 判定求積公式精度的衡量標(biāo)準(zhǔn)；判定求積公式精度的衡量標(biāo)準(zhǔn)；第19頁(yè)/共74頁(yè)第十九頁(yè)，共74頁(yè)。 稱求積公式稱求積公式 具有具有m次代數(shù)精度次代數(shù)精度(jn d),如果它滿足如下兩個(gè)條件如果它滿足如下兩個(gè)條件:2、定義、定義(dngy)0( )()nnkkkIfA f x(i) 對(duì)所有對(duì)所有(suyu)次數(shù)次數(shù)m次的多項(xiàng)次的多項(xiàng)式式 ,有有)(xPm0)()()(mnmmPIPIPR(ii)存在存在m+1次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 ,使得使得)(1xPm0)()()(111mnmmPIPIPR第20頁(yè)/共74頁(yè)第二十頁(yè)，共74頁(yè)。上述定義中的條件上述定義中的條件(tiojin

9、)(i),(ii)等等價(jià)于價(jià)于:1( )()0miiR x( )()()()0,(0)kkkniR xI xIxkm第21頁(yè)/共74頁(yè)第二十一頁(yè)，共74頁(yè)。2 2 插值型求積公式插值型求積公式(gngsh)(gngsh)一、定義一、定義(dngy)在積分在積分(jfn)區(qū)間區(qū)間 上，上， ,a b取取 個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)1n,0,1,2,.,ix in作作 的的 次代數(shù)插值多項(xiàng)式次代數(shù)插值多項(xiàng)式（拉格朗日插值公式）（拉格朗日插值公式）: f xnnjjjnxfxlxL0)()()(則有則有)()()(xRxLxfnn其中，其中，)()!1()()(1)1(xwnfxRnnn為插值余項(xiàng)。為插值余項(xiàng)。第

10、22頁(yè)/共74頁(yè)第二十二頁(yè)，共74頁(yè)。于是于是(ysh)有：有： bajnjbajbanbanbadxxRxfdxxldxxRdxxLdxxf)()()()()()(0取取 babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak0()()nbikaikiikxxAdxxx由由 節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn) 決定，決定，與與 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 f x稱為稱為插值插值型求積公型求積公式式第23頁(yè)/共74頁(yè)第二十三頁(yè)，共74頁(yè)。第24頁(yè)/共74頁(yè)第二十四頁(yè)，共74頁(yè)。二、截?cái)嗾`差與代數(shù)二、截?cái)嗾`差與代數(shù)(dish)精度精度1、截?cái)嗾`差、截?cái)嗾`差0(1)0 ( )() ( )( )()()(1)!nbbkknaaknnbxk

11、akR ff x dxA f xf xLx dxfxxdxn第25頁(yè)/共74頁(yè)第二十五頁(yè)，共74頁(yè)。2、代數(shù)、代數(shù)(dish)精度精度0( )nkkkA f x( )bkkaAl x dx推論推論 求積系數(shù)求積系數(shù)(xsh) 滿足滿足:0nkkAba 形如形如 的求積公式至少有的求積公式至少有 n 次代數(shù)次代數(shù)(dish)精精度度 該公式為插值型（即：該公式為插值型（即： ）定理定理kA第26頁(yè)/共74頁(yè)第二十六頁(yè)，共74頁(yè)。3 Newton-Cotes3 Newton-Cotes公式公式(gngsh)(gngsh)一、一、Cotes系數(shù)系數(shù)(xsh)取節(jié)點(diǎn)取節(jié)點(diǎn)(ji din)為等距分布：為

12、等距分布：,0,1,.,ib axa ih hinn 由此構(gòu)造的插值型求積公式稱為由此構(gòu)造的插值型求積公式稱為Newton-Cotes公式公式,此時(shí)此時(shí)求求積系數(shù)：積系數(shù)：0()()nxjixj iijxxAdxxx令令htax 00()()( 1)()()!()!n innijijtj hbah dttj dtij hn i niCotes系數(shù)系數(shù)( ) nkC第27頁(yè)/共74頁(yè)第二十七頁(yè)，共74頁(yè)。二、二、Newton-Cotes公式公式(gngsh)1、定義、定義(dngy)：記記dtktnjnjCnnjkkjnnj0, 0)()()!( !) 1(則則njCabAnjj, 2 , 1

13、, 0,)()(求積公式求積公式(gngsh)變?yōu)樽優(yōu)? )0( )()()nbnjjajf x dxbaCf x稱上式為稱上式為n階階閉型閉型Newton-Cotes求積公式。求積公式。第28頁(yè)/共74頁(yè)第二十八頁(yè)，共74頁(yè)。dtktnjnjCnnjkkjnnj0, 0)()()!( !) 1(注意注意(zh y):由式由式確定確定(qudng)的的Cotes系數(shù)系數(shù)(xsh)只與只與 和和 有關(guān)有關(guān),jn 與與 和積分區(qū)間和積分區(qū)間 f x, a b無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)，且且滿足滿足: ( )021nnjjC 1nnkn kCC第29頁(yè)/共74頁(yè)第二十九頁(yè)，共74頁(yè)。2、截?cái)嗾`差、截?cái)嗾`差Newto

14、n-Cotes公式公式(gngsh)的誤差為的誤差為:),(,)()()!1()()!1()()(00)1(21)1(badtjtfnhdxxwnffRnnjnnnban與與x有關(guān)有關(guān)第30頁(yè)/共74頁(yè)第三十頁(yè)，共74頁(yè)。3、代數(shù)、代數(shù)(dish)精度精度作為作為(zuwi)插值型求插值型求積公式，積公式，具有具有 次代數(shù)次代數(shù)(dish)精度，精度，n階階Newton-Cotes公式至少公式至少n而實(shí)際的代數(shù)精度是否可以進(jìn)一步而實(shí)際的代數(shù)精度是否可以進(jìn)一步提高呢？提高呢？定理定理當(dāng)階數(shù)當(dāng)階數(shù) 為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí),nNewton-Cotes公式公式至少至少具有具有次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。1n第3

15、1頁(yè)/共74頁(yè)第三十一頁(yè)，共74頁(yè)。證明證明(zhngmng):只需驗(yàn)證只需驗(yàn)證(ynzhng)當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí),Newton-Cotes公式對(duì)公式對(duì)的余項(xiàng)為零。的余項(xiàng)為零。n 1nf xx由于由于(yuy) ,所以所以 1nf xx 11 !nfxn即得即得 nnjndtjthfR002)()(引進(jìn)變換引進(jìn)變換 ,因?yàn)橐驗(yàn)?為偶數(shù)為偶數(shù),故故 為整數(shù)為整數(shù),2ntu2nn于是有于是有 2202)2()(nnnjndujnuhfR據(jù)此可斷定據(jù)此可斷定 ,因?yàn)樯鲜霰环e函數(shù)是個(gè)奇函數(shù)因?yàn)樯鲜霰环e函數(shù)是個(gè)奇函數(shù). 0R f第32頁(yè)/共74頁(yè)第三十二頁(yè)，共74頁(yè)。4、數(shù)值、數(shù)值(shz)穩(wěn)定穩(wěn)定

16、性性現(xiàn)在討論舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生現(xiàn)在討論舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生(chnshng)的影響的影響.設(shè)用公式設(shè)用公式(gngsh) njjnjnxfCabfI0)()()()(近似計(jì)算積分近似計(jì)算積分badxxffI)()(時(shí)時(shí),其中計(jì)算函數(shù)值其中計(jì)算函數(shù)值 有誤差有誤差則在則在 的計(jì)算中的計(jì)算中,由由 引起的誤差為引起的誤差為jf x0,1,2,.jjn沒有誤差沒有誤差,中間計(jì)算過程中的舍入誤差也不考慮中間計(jì)算過程中的舍入誤差也不考慮, njC計(jì)算計(jì)算( )nIfj，而，而第33頁(yè)/共74頁(yè)第三十三頁(yè)，共74頁(yè)。njjnjnjjjnjnjjnjnCabxfCabxfCabe0)(0)(0)()(

17、)()()()(如果如果(rgu) 都是正數(shù)都是正數(shù),并設(shè)并設(shè) njC0max|jj n 則有則有)(|)(|0)(abCabenjnjn故故 是有界的是有界的,nejba7n n njC即由即由 引起引起(ynq)的誤差受到控制的誤差受到控制,的的 倍倍,不超過不超過(chogu)保證了保證了數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。將出現(xiàn)將出現(xiàn)負(fù)數(shù)負(fù)數(shù),而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)時(shí),njnjC0)(|將隨將隨 增大增大,因而因而不能保證數(shù)值穩(wěn)定性不能保證數(shù)值穩(wěn)定性.故高階公式不宜采用故高階公式不宜采用,有實(shí)用價(jià)值的僅僅是幾種有實(shí)用價(jià)值的僅僅是幾種低階的求低階的求積公式積公式.第34頁(yè)/共74頁(yè)第三十四頁(yè)，共74

18、頁(yè)。三、幾種常用三、幾種常用(chn yn)的低階的低階求積公式求積公式(1)(1)0111,22CCn = 1:( ) ( )( )2babaf x dxf af b梯形梯形(txng)公式公式() ()()2!bxafR fxa x b dx/* 令令 x = a+th, h = ba, 用中用中值值(zhn zh)定理定理 */31( ), , ,121bah fa bh 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 1第35頁(yè)/共74頁(yè)第三十五頁(yè)，共74頁(yè)。n = 2:(2)(2)(2)012121,636CCC2( ) ( )4 ()( )6ba babaf x dxf aff bSimpson 公式公式(

19、gngsh)代數(shù)代數(shù)(dish)精度精度 = 35(4)1 ( ) ,( , ) ,902baR fh fa bh 第36頁(yè)/共74頁(yè)第三十六頁(yè)，共74頁(yè)。n = 4: Cotes 公式公式(gngsh) 7(6)8( )945R fh f 01234( )7 ()32 ( ) 12 ()32 ()7 ()90babaf x dxf xf xf xf xf x代數(shù)代數(shù)(dish)精度精度 = 5,4kbaxakh h這里這里(zhl)第37頁(yè)/共74頁(yè)第三十七頁(yè)，共74頁(yè)。四、復(fù)化求積公式四、復(fù)化求積公式(gngsh) 高次插值有高次插值有Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象(xinxing)，怎么辦？，怎么

20、辦？可采用分段可采用分段(fn dun)低次插值來(lái)解決低次插值來(lái)解決高階高階Newton-Cotes公式會(huì)出現(xiàn)公式會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定數(shù)值不穩(wěn)定。而而低階低階Newton-Cotes公式公式有時(shí)又不能滿足精度要求有時(shí)又不能滿足精度要求，怎么辦？，怎么辦？可將積分區(qū)間可將積分區(qū)間 分成若干小分成若干小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用低階求積公式計(jì)算，然后求和。低階求積公式計(jì)算，然后求和。, a b第38頁(yè)/共74頁(yè)第三十八頁(yè)，共74頁(yè)。 復(fù)化梯形復(fù)化梯形(txng)公式：公式：,(0,., )ibahxaihinn在每個(gè)在每個(gè) 上用梯形公式：上用梯形公式：,1iixx111( ) ( )

21、(),0,.,12iixiiiixxxf x dxf xf xin11( )2()( )2nkihf af xf b110( ) ( )()2nbiiaihf x dxf xf x= Tn1321002() ()()1212()( ),( , )12niniiifhhR ffbanhba fa b /*中值定理中值定理*/第39頁(yè)/共74頁(yè)第三十九頁(yè)，共74頁(yè)。 復(fù)化梯形(txng)公式積分法第40頁(yè)/共74頁(yè)第四十頁(yè)，共74頁(yè)。 復(fù)化復(fù)化 Simpson 公式公式(gngsh)：),., 0(,nkhkaxnabhk)()(4)(6)(1211kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 k

22、x1 kx44444 )()(2)(4)(6)(1010121nknkkkbabfxfxfafhdxxf= Sn)(2180)4(4fhabfR第41頁(yè)/共74頁(yè)第四十一頁(yè)，共74頁(yè)。 復(fù)化Simpson公式(gngsh)積分法第42頁(yè)/共74頁(yè)第四十二頁(yè)，共74頁(yè)。 復(fù)化復(fù)化 Cotes公式公式(gngsh)：,(0,., )kbahxak hknn)(7)(32)(12)(32)(790)(14321411kkkkkxxxfxfxfxfxfhdxxfkk101)(7)(32)(12)(32)(790)(432141nkkkkkkbaxfxfxfxfxfhdxxf= Cn),(, )(494

23、5)(2)6(6bafhabfR第43頁(yè)/共74頁(yè)第四十三頁(yè)，共74頁(yè)。 收斂收斂(shulin)速度與誤差估速度與誤差估計(jì)：計(jì)：定義定義(dngy)：若一個(gè)積分公式的誤差滿足若一個(gè)積分公式的誤差滿足 ，0limphR fCh 且且 ，則，則稱該公式是稱該公式是 p 階收斂階收斂的。的。0C 246() ,() ,()nnnTO hSO hCO h第44頁(yè)/共74頁(yè)第四十四頁(yè)，共74頁(yè)。例例:利用利用(lyng)數(shù)據(jù)表數(shù)據(jù)表kxkf x01/83/81/25/83/47/811/422.265492.460002.876403.200003.506853.764703.938464計(jì)算計(jì)算(j

24、 sun)積積分分1*2041Idxx解：解：這個(gè)問題這個(gè)問題(wnt)有明顯的答案有明顯的答案*104arctg |3.1415926.Ix第45頁(yè)/共74頁(yè)第四十五頁(yè)，共74頁(yè)。取取n = 8用復(fù)化梯形用復(fù)化梯形(txng)公式公式 1872432852212832412812)0(21818fffffffffT= 3.138988494取取n=4 用辛卜生公式用辛卜生公式(gngsh) 1874432854212834412814)0(61414fffffffffS= 3.141592502運(yùn)算量基運(yùn)算量基本相同本相同第46頁(yè)/共74頁(yè)第四十六頁(yè)，共74頁(yè)。復(fù)化梯形公式的誤差復(fù)化梯形公式

25、的誤差(wch)估計(jì)估計(jì)給定精度給定精度 ，如何取，如何取 ?n例如：要求例如：要求 ，如何判斷，如何判斷 n = ？ |nTI1、誤差、誤差(wch)先驗(yàn)估計(jì)式先驗(yàn)估計(jì)式)()(12)()(2fabhfTfIfRn 2max( )a x bMfx 記記則則 222)(12)()(12Mabhfabh第47頁(yè)/共74頁(yè)第四十七頁(yè)，共74頁(yè)。)()(122 fabhfR ?21()12nkkhfh 22( )( )( )1212bahhfx dxf bf a 上例中若要求上例中若要求 ，則，則6| 10nI T226| |(1)(0)|10126nhhRfff0.00244949h 即：取即：取

26、 n = 409通常采取通常采取(ciq)將區(qū)間不斷對(duì)分的方法，即取將區(qū)間不斷對(duì)分的方法，即取 n = 2k上例中上例中2k 409 k = 9 時(shí)，時(shí)，T512 = 3.14159202S4 = 3.141592502注意到區(qū)間再次對(duì)分時(shí)注意到區(qū)間再次對(duì)分時(shí)2211 ( )( ) 1224nnhRff bf aR f214nnITIT)(141)(31222nnnnnTTTTTI可用來(lái)判斷迭代可用來(lái)判斷迭代(di di)是否停止。是否停止。2、誤差、誤差(wch)后驗(yàn)估計(jì)式后驗(yàn)估計(jì)式第48頁(yè)/共74頁(yè)第四十八頁(yè)，共74頁(yè)。復(fù)化復(fù)化Simpson公式公式(gngsh)的誤差估計(jì)的誤差估計(jì)1、誤

27、差先驗(yàn)、誤差先驗(yàn)(xin yn)估計(jì)式估計(jì)式2、誤差、誤差(wch)后驗(yàn)估計(jì)式后驗(yàn)估計(jì)式)(2180)4(4fhabSIfRn4(3)(3)1 ( )( )1802nhR fISfbfa )(141)(1512222nnnnnSSSSSI第49頁(yè)/共74頁(yè)第四十九頁(yè)，共74頁(yè)。復(fù)化復(fù)化Cotes公式的誤差公式的誤差(wch)估計(jì)估計(jì)1、誤差先驗(yàn)、誤差先驗(yàn)(xin yn)估計(jì)式估計(jì)式),(, )(4945)(2)6(6bafhabCIfRn2、誤差、誤差(wch)后驗(yàn)估計(jì)式后驗(yàn)估計(jì)式6)5()5(4)()(9452hafbfCIfRn)(141)(6312322nnnnnCCCCCI第50頁(yè)/共

28、74頁(yè)第五十頁(yè)，共74頁(yè)。四、龍貝格積分四、龍貝格積分(jfn)例例:計(jì)算計(jì)算(j sun)21410 xdx已知對(duì)于已知對(duì)于 = 106 須將區(qū)間須將區(qū)間(q jin)對(duì)分對(duì)分 9 次，得到次，得到 T512 = 3.14159202考察考察412 nnTITI由由 來(lái)計(jì)算來(lái)計(jì)算 I 效果是否好些？效果是否好些？224414 133nnnnTTITT844133TT= 3.141592502= S4一般有：一般有：nnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRCC 144323Romberg求積公求積公式式第51頁(yè)/共74頁(yè)第五十一頁(yè)，共74頁(yè)。 Romberg 算法算法(sun

29、f)： ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1T第52頁(yè)/共74頁(yè)第五十二頁(yè)，共74頁(yè)。 理查德森理查德森外推法外推法利用利用低低階公式產(chǎn)生階公式產(chǎn)生高高精度的結(jié)果。精度的結(jié)果。由由Taylor展開展開(zhn ki)得得到：到： i 與與 h 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)(wgun)現(xiàn)將現(xiàn)將 對(duì)分，得：對(duì)分，得：h0h 0Th 230123.ThIhhh230123.2222hhhhTI設(shè)對(duì)于設(shè)對(duì)于(duy)某一某一 ，有公式有公式 近似計(jì)算某

30、一未知值近似計(jì)算某一未知值 。I第53頁(yè)/共74頁(yè)第五十三頁(yè)，共74頁(yè)。如何如何(rh)將公式精度由將公式精度由 提高到提高到 ？.432112)()(23322020 hhIhTTh 即：即：230021122( )( )( ).21hTT hT hIhh34212( ).T hIhh211222( )( )21hTT h1212( ).mmmThIhh1122( )( )21mhmmmTTh O h2O h第54頁(yè)/共74頁(yè)第五十四頁(yè)，共74頁(yè)。計(jì)算計(jì)算(j sun)步步驟：驟：1取取 ，計(jì)算，計(jì)算0hba00( )( )2hTf af b2對(duì)k = 1, 2, 計(jì)算(j sun)下列各步

31、12( )(1)00001121222kkkkkihiTTfah第55頁(yè)/共74頁(yè)第五十五頁(yè)，共74頁(yè)。3對(duì)對(duì)n = 0, 1, 2, k = n 1, n 2, (1)( )( )11441nkkknnnnTTT4收斂(shulin)控制(0)(0)1kkTT(0)(0)1(0)kkkTTT若若或或則輸出積分值則輸出積分值 ，否則轉(zhuǎn)否則轉(zhuǎn)3 3。 )0(kT第56頁(yè)/共74頁(yè)第五十六頁(yè)，共74頁(yè)。Newton-Cotes公式采用公式采用等距節(jié)點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)代等距節(jié)點(diǎn)作為求積節(jié)點(diǎn)代數(shù)精度至多可達(dá)到數(shù)精度至多可達(dá)到 。（ 為偶數(shù)）為偶數(shù)）1nn那么，在節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)一定的情那么，在節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)一定的情況下

32、，是否可以在況下，是否可以在 上自上自由選擇節(jié)點(diǎn)的位置，使求積由選擇節(jié)點(diǎn)的位置，使求積公式的精度提得更高公式的精度提得更高 ？, a b第57頁(yè)/共74頁(yè)第五十七頁(yè)，共74頁(yè)。例例 ：求形如求形如100111( )()( )f x dxA f xA f x的兩點(diǎn)求積公式的兩點(diǎn)求積公式(gngsh)(gngsh)。 （1）用梯形公式（即以）用梯形公式（即以x0 = -1，x1 = 1為節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)(ji din)的插值型的插值型 求積公式）立即可得求積公式）立即可得 。11( )( 1)(1)f x dxff只具有只具有(jyu)一一次代數(shù)精確度！次代數(shù)精確度！第58頁(yè)/共74頁(yè)第五十八頁(yè)，共74

33、頁(yè)。（2）若對(duì)求積公式中的四個(gè)待定系數(shù)）若對(duì)求積公式中的四個(gè)待定系數(shù)A0, A1, x0, x1適當(dāng)適當(dāng)(shdng)選取，選取，使求積公式使求積公式(gngsh)(gngsh)對(duì)對(duì)f (x) = 1f (x) = 1，x x，x2x2，x3x3都準(zhǔn)確成立，則都準(zhǔn)確成立，則0101,A A x x需滿足需滿足(mnz)如下方如下方程組：程組：0122001 12233001 13344001 1121314AAbaA xAxbaA xAxbaA xAxba第59頁(yè)/共74頁(yè)第五十九頁(yè)，共74頁(yè)。xyo f x11AB0 x1x第60頁(yè)/共74頁(yè)第六十頁(yè)，共74頁(yè)。五、高斯型積分五、高斯型積分(

34、jfn)0( ) ( )()nbkkakx f x dxA f x構(gòu)造構(gòu)造(guzo)具有具有2n+1次代數(shù)精度的求次代數(shù)精度的求積公式積公式將節(jié)點(diǎn)將節(jié)點(diǎn) 以及以及(yj)系數(shù)系數(shù) 都作為待定系數(shù)。都作為待定系數(shù)。0.nxx0.nAA令令 代入可求解，代入可求解， 2211, ,.,nf xx xx得到的公式得到的公式具有具有 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。21n節(jié)點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)稱為Gauss 點(diǎn)點(diǎn)此公式稱為此公式稱為Gauss 型求積型求積公式公式第61頁(yè)/共74頁(yè)第六十一頁(yè)，共74頁(yè)。例：例：求求 的的 2 點(diǎn)點(diǎn) Gauss 公式。公式。dxxfx)(10 解：解：設(shè)設(shè) ，應(yīng)有，應(yīng)有 3 次代數(shù)精度

35、。次代數(shù)精度。 101100)()()(xfAxfAdxxfx代入代入 f (x) = 1, x, x2, x3 31130092211200721100521032xAxAxAxAxAxAAA2776. 03891. 02899. 08212. 01010 AAxx不是線性方程組，不是線性方程組，不易不易(b y)求解。求解。第62頁(yè)/共74頁(yè)第六十二頁(yè)，共74頁(yè)。定理定理(dngl)： x0 xn 為為 Gauss 點(diǎn)點(diǎn) 與任意與任意(rny)次數(shù)不次數(shù)不大于大于n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 P(x) （帶權(quán)）正交。（帶權(quán)）正交。nkkxxxw0)()(證明證明(zhngmng)： “” x0 x

36、n 為為 Gauss 點(diǎn)點(diǎn), 則公式則公式 至少有至少有 2n+1 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。bankkkxfAdxxfx0)()()(對(duì)任意次數(shù)對(duì)任意次數(shù)不大于不大于n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次數(shù)的次數(shù)不大不大于于2n+1，則代入公式應(yīng)則代入公式應(yīng)精確成立精確成立：nkkkmkbamxwxPAdxxwxPx0)()()()()(= 00 求求 Gauss 點(diǎn)點(diǎn) 求求w(x)第63頁(yè)/共74頁(yè)第六十三頁(yè)，共74頁(yè)。不大于不大于 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 精確成立精確成立(chngl)，即證明：，即證明：“”要證明要證明(zhngmng) 為為 Gauss 點(diǎn)，點(diǎn)，即要證公

37、式對(duì)任意即要證公式對(duì)任意(rny)次數(shù)次數(shù)設(shè)設(shè))()()()(xrxqxwxPmbababamdxxrxdxxqxwxdxxPx)()()()()()()(0nkkkxrA0)(nkkmkxPA0)( nkkmkbamxPAdxxPx0)()()(0,.,nxx21n mPx第64頁(yè)/共74頁(yè)第六十四頁(yè)，共74頁(yè)。 正交多項(xiàng)式族正交多項(xiàng)式族 0, 1, , n, 有性質(zhì)有性質(zhì)(xngzh)：任意次數(shù)不大于任意次數(shù)不大于n 的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式 P(x) 必與必與n+1 正交。正交。若取若取 w(x) 為其中的為其中的 n+1，則，則 n+1的根的根就是就是 Gauss 點(diǎn)。點(diǎn)。第65頁(yè)/共74頁(yè)第

38、六十五頁(yè)，共74頁(yè)。53 a0)(10 dxaxx0),(10 1021102100)(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxx 215910 cb即：即：22105( )921xxxStep 1：構(gòu)造：構(gòu)造(guzo)正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式2設(shè)設(shè)cbxxxaxxx 2210)(,)(, 1)( 再解上例：再解上例： 101100)()()(xfAxfAdxxfx第66頁(yè)/共74頁(yè)第六十六頁(yè)，共74頁(yè)。Step 2：求求 2 = 0 的的 2 個(gè)根，即為個(gè)根，即為 Gauss 點(diǎn)點(diǎn) x0 ，x1221/20)9/10(9/1021;0 xStep 3：代入：代入 f (x) = 1, x 以求解以求解(qi ji) A0 ，A1解線性方程組，解線性方程組，簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單(jindn)。結(jié)果與前一方法相同：結(jié)果與前一方法相同：2776. 0,3891. 0,2899. 0,8212. 01010 AAxx 利用此公