差分方程的相容性收斂性和穩(wěn)定性教學(xué)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1差分差分(ch fn)方程的相容性收斂性和穩(wěn)定方程的相容性收斂性和穩(wěn)定性性PPT教學(xué)課件教學(xué)課件第一頁，共23頁。 一個(gè)微分方程采用不同的方法可以得到不同的差分方程。那么，我們要問，對(duì)于這些不同的差分方程是否都同樣有效，同樣可靠，而且能得到同樣的計(jì)算結(jié)果呢？ 答案是否定的。事實(shí)上，不同的差分方程和原方程有完全不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，它們具有(jyu)各自不同的性質(zhì)，因此，數(shù)值結(jié)果也完全不同。在這些差分方程中有些差分方程是有效的、可靠的；些差分方程只有在一定的條件下是有效的、可靠的；有些差分方程則是完全無效的、不可靠的。所以，如何判斷和分析差分方程有效性和可靠性就成為非常必要和現(xiàn)實(shí)的問題了。 在

2、這一節(jié)中我們首先對(duì)差分方程有效性的一些基本概念（如相容性、收斂性、穩(wěn)定性）作簡(jiǎn)單介紹，為本章以后各節(jié)的分析討論奠定基礎(chǔ)。 第1頁/共23頁第二頁，共23頁。,0tx utxnjR,jnxt0njLu 0Lu 111220nnnnnjjjjjuuuuutx2.4.1 相容性（相容性（Consistency ）第2頁/共23頁第三頁，共23頁。1njunt1nju1njujx2312342311()26nnnnnjjjjjuuuuuttttttt 2323412311()26nnnnnjjjjjuuuuuxxxxxxx 2323412311()26nnnnnjjjjjuuuuuxxxxxxx 將1

3、nju1nju代入FTCS格式(g shi)中，即可得到：、和1nju第3頁/共23頁第四頁，共23頁。n一點(diǎn)差分方程逼近于微分方程的程度，相容性是有限差分算法（包括有限體積算法）首先必須滿足的有效性條件。22323222311()()26nnjjuuuutttxtxtt ,0tx 第4頁/共23頁第五頁，共23頁。,jnxt, tx njR, tx ,jnxtnjRnjr第5頁/共23頁第六頁，共23頁。2.4.2 收斂性（收斂性（Convergence ）差分方程(fngchng)收斂性是討論當(dāng),0tx 時(shí)，差分(ch fn)方程的解和微分方程的解是否一致性的問題，也就是(jish)討論差

4、分方程的解和微分方程的解的逼近程度。定義定義1：差分方程的數(shù)值解為，微分方程的精確解為，它們之間的誤差用表示，則稱為離散化誤差。0njLu u定義定義2：節(jié)點(diǎn)為微分方程求解區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，差分方程數(shù)值解趨近于微分方程精確解，即，則差分方程收斂于微分方程。,ppxt0nnjjeuu,ppxxttnju0nnjjeuunjuunje第6頁/共23頁第七頁，共23頁。差分方程(fngchng)收斂性有兩種證明方法，直接證明法和數(shù)值試驗(yàn)法。一、直接證明一、直接證明(zh ji zhn mn)法法對(duì)流方程(fngchng) 的FTBS差分格式為：0 xuatu101(1),()nnnjjjjju

5、r uruux(a)設(shè)求解區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn) ， ，它的微分方程精確解為u，差分方程解為 ，則離散化誤差為 ，把差分方程和微分方程相減可得離散化誤差方程：pxptnjunjnjuue11(1)(,)nnnjjjer ereOxt(b)第7頁/共23頁第八頁，共23頁。由（b）式可以看出離散化誤差方程(fngchng)在形式上和差分方程(fngchng)是完全相同的，由此可以得到：111()(,)1(,)nnnnjjjjnnjjteeaeeOxtxttaeaeOxtxx設(shè)a0， 1，則0 1，于是(ysh)有：xtaxta111(,)1maxmax(,)nnnjjjnnjjjjtteaeaeOxtx

6、xttaeaeOxtxx(c)第8頁/共23頁第九頁，共23頁。式中 表示在n層的所有節(jié)點(diǎn)上離散化誤差(wch) 絕對(duì)值最大值，對(duì)于所有節(jié)點(diǎn)j有：njjemaxnje1max(,)nnjjjeeOxt于是(ysh)有：1maxmax(,)nnjjjjeeOxt1maxmax(,)nnjjjjeeOxt10maxmax(,)jjjjeeOxt第9頁/共23頁第十頁，共23頁。由此可得到(d do)：10maxmax(,)njjjjeeOxt(d)在t=0時(shí)，差分方程的初始條件應(yīng)該是完全(wnqun)準(zhǔn)確的，即：0),(0000jjjjuuexu即：1max(,)njjeOxt即差分方程(fngc

7、hng)離散化誤差和截?cái)嗾`差是相同數(shù)量級(jí)，因此，若 0，則：njR0maxlim100njjxte(f)由此可知，F(xiàn)TBS格式在a0， 時(shí)，是收斂的。1xta(e)第10頁/共23頁第十一頁，共23頁。二、數(shù)值二、數(shù)值(shz)試試驗(yàn)法驗(yàn)法數(shù)值(shz)試驗(yàn)法基本思想是用差分方程求出FTBS數(shù)值(shz)解，然后和微分方程精確解進(jìn)行比較，確定差分方程是否收斂。直接證明法比較簡(jiǎn)單，但是只有很少幾個(gè)差分方程可以采用直接證明法來證明其收斂性，而數(shù)值試驗(yàn)法又非常麻煩，一般來說，很難用數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果(ji gu)嚴(yán)格證明差分方程是否收斂?？偟恼f來，不管是采用直接證明法，還是數(shù)值試驗(yàn)法，要證明差分方程收斂性

8、都是比較困難的。第11頁/共23頁第十二頁，共23頁。關(guān)于關(guān)于(guny)差分方程收斂性需要作以下說明差分方程收斂性需要作以下說明：(1) 差分方程收斂性表示差分方程數(shù)值解和微分方程精確(jngqu)解逼近程度，只有在差分方程收斂于微分方程時(shí)，差分方程解才可能是微分方程精確(jngqu)解。(2) 差分方程相容性是差分方程首先要滿足的，差分方程相容性是收斂性的必要性條件，但并不是充分條件。差分方程相容性并不能保證差分方程數(shù)值解一定收斂于微分方程精確(jngqu)解。若差分方程不相容，則數(shù)值解肯定不收斂微分方程的精確(jngqu)解。第12頁/共23頁第十三頁，共23頁。 粗看起來，差分方程相容

9、性要求時(shí)，差分方程逼近于微分方程，似乎差分方程數(shù)值解也應(yīng)該收斂于微分方程精確解。事實(shí)上，當(dāng)我們?cè)谧C明相容性時(shí)，已經(jīng)假定了差分方程數(shù)值解就是微分方程精確解，在對(duì)微分方程進(jìn)行(jnxng)展開時(shí)，截?cái)嗾`差中已經(jīng)忽略了離散化誤差的存在。因此，差分方程相容性并不能保證其收斂性。(3) 差分方程同樣(tngyng)也有兩種不同形式的收斂性：有條件收斂和無條件收斂。第13頁/共23頁第十四頁，共23頁。2.4.3 穩(wěn)定性（穩(wěn)定性（Stability ）用計(jì)算機(jī)數(shù)值求解差分方程時(shí)，計(jì)算誤差總是不可避免(b k b min)的。計(jì)算誤差包括舍入誤差、離散誤差和初值誤差。設(shè)微分方程精確解為，具有計(jì)算誤差差分方程

10、數(shù)值解為，則計(jì)算誤差定義為：nnnnnjjjjjuuuuuuunju式中，是離散化誤差，而就是舍入誤差。根據(jù)收斂性條件，當(dāng)，差分方程收斂于微分方程。而數(shù)學(xué)性質(zhì)(xngzh)討論，就屬于穩(wěn)定性所要討論的范圍。由此可知，穩(wěn)定性是討論在計(jì)算過程中，某一時(shí)刻，某一點(diǎn)產(chǎn)生計(jì)算誤差，隨著計(jì)算時(shí)間增加，這個(gè)誤差是否能被抑制的問題。nnjjeuunnrjjuu00lim0njtxe r第14頁/共23頁第十五頁，共23頁。定義：在某一個(gè)時(shí)刻定義：在某一個(gè)時(shí)刻(shk)tn存在計(jì)算誤差存在計(jì)算誤差 ，若在，若在 時(shí)時(shí)刻刻(shk)滿足：滿足：nj1nt01jnjnjnjkk或條件，則差分(ch fn)方程是穩(wěn)定

11、的。這里(zhl)定義： 2122xnjnj是某種定義的范數(shù)。第15頁/共23頁第十六頁，共23頁。下面(xi mian)我們用幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子來說明差分方程穩(wěn)定性概念。 njnjnjnjuuruu11111nnnjjjrr（1）對(duì)流方程(fngchng)FTFS差分方程(fngchng)為：其中 。設(shè)在n時(shí)刻(shk)計(jì)算誤差為 ，n+1時(shí)刻(shk)計(jì)算誤差為 ，則計(jì)算誤差傳播方程為：xtrnj1nj可以采用直觀的數(shù)值試驗(yàn)法來分析誤差傳播規(guī)律。 (a)第16頁/共23頁第十七頁，共23頁。在（a）式中設(shè)在tn時(shí)刻xj的計(jì)算誤差為 ，而計(jì)算到n+100時(shí)刻，（xj，tn+100）點(diǎn)的計(jì)算誤差將

12、發(fā)展到 ，假定只有在節(jié)點(diǎn)（xj，tn）上存在誤差 ，其他各節(jié)點(diǎn)的計(jì)算誤差為零，則若取r=0.8，則 。由此可以看出，這個(gè)計(jì)算誤差必定會(huì)將差分方程精確解原來面目完全淹沒了，所求得差分方程數(shù)值解已經(jīng)沒有任何意義了，因此(ync)，F(xiàn)TFS差分方程是不穩(wěn)定的。 njnjrr11001001njnjnjnj251001001037. 38 . 1nj第17頁/共23頁第十八頁，共23頁。（2）對(duì)流(duli)方程FTBS差分格式的誤差傳播方程為：njnjnjnjnjnjrrr1111(b)當(dāng)a0， 時(shí)， ，通過迭代運(yùn)算(yn sun)可得到：1xtanjjnjmax1njjnjjmaxmax11max

13、maxnjjnjj01maxmaxjjjj第18頁/共23頁第十九頁，共23頁。由此可知，在n時(shí)刻的計(jì)算誤差 是不會(huì)大于 ，因此，當(dāng)a0， 時(shí)，F(xiàn)TBS差分(ch fn)格式是穩(wěn)定的（見圖a）。這是有條件的穩(wěn)定，穩(wěn)定的條件是a0， 。但是，對(duì)于不同的a，t，x，F(xiàn)TBS差分(ch fn)格式的穩(wěn)定條件是不同的（見圖b）。nj0j1xta1xta第19頁/共23頁第二十頁，共23頁。當(dāng)a=1，x=0.1，r=0.8，則有： ；當(dāng)a=1，x=0.1，r=1.0，則有： ；當(dāng)a=1，x=0.1，r=2.0，則有： 。njujnjuuu118 . 02 . 0njnjuu11njujnjuuu112通過對(duì)（b）式的數(shù)值(shz)分析可知：njnjnjnjnjnjrrr1111(b)第20頁/共23頁第二十一頁，共23頁。圖b中給出了上述不同條件下差分方程計(jì)算誤差的圖解。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)r=1.0時(shí)，差分方程解和微分方程(wi fn fn chn)解是一致的；當(dāng)r=0.8時(shí)，在差分方程解的兩端有耗散現(xiàn)象，當(dāng)r=2.0時(shí)，差分方程解會(huì)出現(xiàn)振蕩，并且在t=