概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第3講

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三講第三講主講教師：范俊花主講教師：范俊花東南大學(xué)成賢學(xué)院東南大學(xué)成賢學(xué)院 在實(shí)際問(wèn)題中在實(shí)際問(wèn)題中, 除了要考慮某事件除了要考慮某事件A的概率的概率P(A)外，有時(shí)還要考慮在外，有時(shí)還要考慮在“事件事件B已經(jīng)發(fā)生已經(jīng)發(fā)生”的條件下，事件的條件下，事件A發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。2.4.1 條件概率條件概率I. 條件概率的概念條件概率的概念 通常記事件通常記事件B發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下, 事件事件A發(fā)生的發(fā)生的概率為概率為 P(A|B)。一般情況下，一般情況下， P(A|B) P(A) 。2.4 條件概率條件概率例例1：100件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有5件不合格品

2、，而件不合格品，而5件不合件不合格品中又有格品中又有3件是次品，件是次品，2件是廢品?，F(xiàn)從件是廢品?，F(xiàn)從100件產(chǎn)品中任意抽取一件，假定每件產(chǎn)品被件產(chǎn)品中任意抽取一件，假定每件產(chǎn)品被抽到抽到的可能性都相同的可能性都相同，求，求(1).(1).抽到的產(chǎn)品是次品的概率；抽到的產(chǎn)品是次品的概率；(2).(2).在抽到的產(chǎn)品是不合格品條件下在抽到的產(chǎn)品是不合格品條件下, , 產(chǎn)品是產(chǎn)品是 次品的概率次品的概率。解：解：設(shè) A=抽到的產(chǎn)品是次品， B=抽到的產(chǎn)品是不合格品?？梢?jiàn)，可見(jiàn)，P(A) P(A|B)。(2). .53)|(BAP又又 P(B)=5/100， P(AB)=3/100。.)()(10

3、05100353)|(BPABPBAP.)()()|(BPABPBAP(1).(1). ;1003)(AP 若事件若事件B已發(fā)生已發(fā)生, 則為使則為使 A也也發(fā)生發(fā)生 , 試驗(yàn)結(jié)果必須是既試驗(yàn)結(jié)果必須是既在在 B 中又在中又在A中的樣本點(diǎn)中的樣本點(diǎn) , 即即此點(diǎn)必屬于此點(diǎn)必屬于AB。 由于我們已由于我們已經(jīng)知道經(jīng)知道B已發(fā)生已發(fā)生, 故故B就就變成變成了新的樣本空間了新的樣本空間 , 于是于是 就有就有(1)。II. 條件概率定義條件概率定義為在事件為在事件B發(fā)生條件下，事件發(fā)生條件下，事件A的條件概率。的條件概率。定義定義1: 設(shè)設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且是兩個(gè)事件，且P(B)0，稱，稱) 1

4、( )()()|(BPABPBAPIII. 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì)設(shè)設(shè)B是一事件，且是一事件，且P(B)0, 則則1. 對(duì)任一事件對(duì)任一事件A，0P(A|B)1;2. P(|P(|B)=1)=1；而且，前面對(duì)概率所證明的一切性質(zhì)，也都而且，前面對(duì)概率所證明的一切性質(zhì)，也都適用于條件概率。適用于條件概率。3. 設(shè)設(shè)A1, A2,互斥，則互斥，則)|()|()| )(2121BAPBAPBAAP由條件概率的定義：由條件概率的定義：即即 若若P(B)0, 則則 P(AB)=P(B)P(A|B) , (2),)()()|(BPABPBAP2.4.2 乘法公式乘法公式若若 P(A)0，則，則P(A

5、B)=P(A)P(B|A) 。 (3)(2)和和(3)式都稱為乘法公式式都稱為乘法公式, 利用利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率。它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率。當(dāng)當(dāng) P(A1A2An-1) 0 時(shí)，有時(shí)，有 P (A1A2An）= P(A1) P(A2|A1) P(An| A1A2An-1) .多個(gè)事件乘法公式的推廣多個(gè)事件乘法公式的推廣: 例例 2: 根據(jù)以往資料表明，一個(gè)根據(jù)以往資料表明，一個(gè)3 3口之家患某種口之家患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：孩子得病的概率為傳染病的概率有以下規(guī)律：孩子得病的概率為0.30.3，已知孩子得病的條件下母親得病的概率，已知孩子得病的條件下母親得病的概率

6、為為0.50.5，已知母親及孩子得病的條件下，父親，已知母親及孩子得病的條件下，父親得病的概率為得病的概率為0.40.4，求母親和孩子都得病但父，求母親和孩子都得病但父親不得病的概率。親不得病的概率。 全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算全概率公式和貝葉斯公式主要用于計(jì)算比較復(fù)雜事件的概率比較復(fù)雜事件的概率, 它們實(shí)質(zhì)上是加法公它們實(shí)質(zhì)上是加法公式和乘法公式的綜合運(yùn)用。式和乘法公式的綜合運(yùn)用。 綜合運(yùn)用綜合運(yùn)用加法公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 1.4.3 全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式例例3:

7、有三個(gè)箱子有三個(gè)箱子, 分別編號(hào)分別編號(hào)1, 2, 3。1號(hào)箱裝號(hào)箱裝有有1紅球紅球, 4白球白球; 2號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有2紅球紅球, 3白球白球; 3號(hào)箱裝有號(hào)箱裝有3紅球。某人從三箱中任取一箱紅球。某人從三箱中任取一箱, 再再?gòu)南渲腥稳∫磺?，求取到紅球的概率。從箱中任取一球，求取到紅球的概率。解：解：記記 Ai=球取自球取自 i 號(hào)箱號(hào)箱, i =1,2,3; B =取得紅球取得紅球。 B= A1BA2BA3B， 其中其中 A1B、A2B、A3B兩兩互斥。兩兩互斥。于是，于是，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)運(yùn)用加法公式運(yùn)用加法公式將此例中所用的方法推廣到一般的情形，就將

8、此例中所用的方法推廣到一般的情形，就得到在概率計(jì)算中常用的得到在概率計(jì)算中常用的全概率公式。全概率公式。對(duì)和式中的各項(xiàng)對(duì)和式中的各項(xiàng)運(yùn)用乘法公式得運(yùn)用乘法公式得15813152315131)|()(31iiiABPAP31)()(iiBAPBP 設(shè)設(shè)A1, A2, An是兩兩互斥的事件，且是兩兩互斥的事件，且P(Ai)0, i =1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它總是與它總是與A1, A2, , An 之一同時(shí)發(fā)生，則之一同時(shí)發(fā)生，則 niiiABPAPBP1)()()(全概率公式全概率公式 我們可以形象地把全概率公式看成是：我們可以形象地把全概率公式看成是：由原因推結(jié)果由原因

9、推結(jié)果，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的一定的“作用作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的各種原因的“作用作用”大小有關(guān)。全概率公大小有關(guān)。全概率公式表達(dá)了因果之間的關(guān)系式表達(dá)了因果之間的關(guān)系 。諸諸Ai是原因是原因B是結(jié)果是結(jié)果練習(xí)：練習(xí)：1、有兩批相同產(chǎn)品各有、有兩批相同產(chǎn)品各有12件和件和10件，在每批件，在每批產(chǎn)品中有產(chǎn)品中有1件次品，任意地從第一批中抽取件次品，任意地從第一批中抽取1件件混入第二批中，然后再?gòu)牡诙谐槿』烊氲诙?，然后再?gòu)牡诙谐槿?件，件，求從第二批中抽出的求從第二批中抽出的1件是次品的概率件是次品的概率.2、盒子中有

10、、盒子中有15個(gè)乒乓球，其中有個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球，第個(gè)新球，第一次比賽時(shí)從盒子中任意取一次比賽時(shí)從盒子中任意取3個(gè)球，比賽后仍個(gè)球，比賽后仍放回盒子中；在第二次比賽時(shí)同樣任取放回盒子中；在第二次比賽時(shí)同樣任取3個(gè)球，個(gè)球，求：求：(1)第二次比賽時(shí)取出的第二次比賽時(shí)取出的3個(gè)球都是新球的概率；個(gè)球都是新球的概率；實(shí)際中還有下面一類問(wèn)題：實(shí)際中還有下面一類問(wèn)題：已知結(jié)果求原因。已知結(jié)果求原因。 這一類問(wèn)題在實(shí)際中常見(jiàn)，它所求的是這一類問(wèn)題在實(shí)際中常見(jiàn)，它所求的是條件概率，是某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因條件概率，是某結(jié)果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小。發(fā)生的可能性大小。接上例，考慮如下問(wèn)

11、題：接上例，考慮如下問(wèn)題：或者問(wèn)：或者問(wèn)：“該球取自各箱的可能性大小該球取自各箱的可能性大小” 。某人從任意一箱中任意摸出一球，某人從任意一箱中任意摸出一球，發(fā)現(xiàn)是發(fā)現(xiàn)是紅球，求該球是取自紅球，求該球是取自1號(hào)箱的概率號(hào)箱的概率。)()()|(11BPBAPBAP記記 Ai = 球取自球取自 i 號(hào)箱號(hào)箱， i =1, 2, 3; B = 取得紅球取得紅球。所求所求為為 P(A1|B)。3111kkkABPAPABPAP)()()|()(將上述公式一般化，就得貝葉斯公式。將上述公式一般化，就得貝葉斯公式。. , 2 , 1 , )()()()()|(1 niABPAPABPAPBAPnjjji

12、ii貝葉斯公式貝葉斯公式 設(shè)設(shè)A1, A2, An是兩兩互斥的事件，且是兩兩互斥的事件，且P(Ai)0，i=1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它總是與它總是與A1, A2, , An 之一同時(shí)發(fā)生，則之一同時(shí)發(fā)生，則 練習(xí)：練習(xí)：2、盒子中有、盒子中有15個(gè)乒乓球，其中有個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球，個(gè)新球，第一次比賽時(shí)從盒子中任意取第一次比賽時(shí)從盒子中任意取3個(gè)球，比個(gè)球，比賽后仍放回盒子中；在第二次比賽時(shí)同樣賽后仍放回盒子中；在第二次比賽時(shí)同樣任取任取3個(gè)球，求：個(gè)球，求：(1)第二次比賽時(shí)取出的第二次比賽時(shí)取出的3個(gè)球都是新球的個(gè)球都是新球的概率；概率；(2)若已知第二次比賽時(shí)取出的若已知第二次比賽時(shí)取出的3個(gè)球都是個(gè)球都是新球，則第一次比賽時(shí)取出的新球，則第一次比賽時(shí)取出的3個(gè)球中有個(gè)球中有1個(gè)新球的概率個(gè)新球的概率.練習(xí)：練習(xí)：3、在數(shù)字通信中，輸入的信號(hào)為、在數(shù)字通信中，輸入的信號(hào)為0，1序序列，由于隨機(jī)干擾，輸入信號(hào)為列，由于隨機(jī)干擾，輸入信號(hào)為0輸出信輸出信號(hào)為號(hào)為1的概率為的概率為0.02，輸入信號(hào)為，輸入信號(hào)為1輸出信輸出信號(hào)為號(hào)為0的概率為的概率為0.01，輸入過(guò)程中輸入信號(hào)，輸入過(guò)程中輸入信號(hào)為為0，1的比例為的比例為2:1，若已知輸出的信號(hào)，若已知輸出的信號(hào)為為0，