信號系統(tǒng)復(fù)習(xí)大綱

1、信號與系統(tǒng)復(fù)習(xí)大綱（2015）第一章 信號與系統(tǒng)一、周期信號和非周期信號周期信號是定義在(-，)區(qū)間，每隔一定時間T (或整數(shù)N），按相同規(guī)律重復(fù)變化的信號。其特點(diǎn)是：周而復(fù)始且無始無終。連續(xù)周期信號f(t)滿足：離散周期信號f(k)滿足：滿足上述關(guān)系的最小T(或整數(shù)N)稱為該信號的周期。不具有周期性的信號稱為非周期信號。例1.2.2：判斷下列各序列是否為周期性的，如果是周期性的，確定其周期。（1） （2） （3）解：（1），是周期序列，周期。（2），即：為有理分?jǐn)?shù)，所以是周期序列，周期，當(dāng)M5時，N取最小整數(shù)12，所以，其周期。（3），而為無理數(shù)，所以，是非周期序列。例1.2.3：判斷下列信

2、號是否為周期信號，若是，確定其周期。（1） （2）解：兩個周期信號，的周期分別為和，若其周期之比為有理數(shù)，則其和信號仍然是周期信號，其周期為和的最小公倍數(shù)。（1）是周期信號，其角頻率和周期分別為，是周期信號，其角頻率和周期分別為，。由于為有理數(shù)，故為周期信號，其周期為和的最小公倍數(shù)。（2）和的周期分別為，由于為無理數(shù)，故為非周期信號。例1.2.4：判斷下列序列是否為周期信號，若是，確定其周期。（1） （2）解：（1）sin(3k/4) 和cos(0.5k)的數(shù)字角頻率分別為：，由于，為有理數(shù)，故它們的周期分別為，故為周期序列，周期為N1和N2的最小公倍數(shù)8。（2）sin(2k)的數(shù)字角頻率為，

3、由于為無理數(shù)，故為非周期序列。由上面幾例可看出：連續(xù)正弦信號一定是周期信號，而正弦序列不一定是周期序列。兩連續(xù)周期信號之和不一定是周期信號，而兩周期序列之和一定是周期序列。二、能量信號與功率信號將信號f (t)施加于1電阻上，它所消耗的瞬時功率為，在區(qū)間(,)的能量和平均功率定義為：（1）信號的能量E：（2）信號的平均功率P： 若信號f (t)的能量有界，即0E ，則稱其為能量有限信號，簡稱能量信號，此時P=0。 若信號f (t)的功率有界，即P 0，則將f()右移；否則左移。結(jié)論：1、連續(xù)信號和離散信號均可進(jìn)行反轉(zhuǎn)、平移操作。2、平移方向的確定：法一：若t0 (或k0) 0，則將f ()右移

4、；否則左移；法二：自變量整體置零。f(t)12Ot例1.3.3：已知：求：f（2-t）解：法一： 先平移f (t)f (t +2) 再反轉(zhuǎn)f (t +2)f (-t +2)t-21f(t+2)0t021f(2-t)f(t)12Ot左移2單位反轉(zhuǎn)0法二： 先反轉(zhuǎn)再平移：故意直接對-t 進(jìn)行平移（因為-t+2-t-（-2），t0-20，所以，左移兩個單位）f(t)12Otf(-t)tO-21反轉(zhuǎn)tf(-t)O-21-4因為-t+2-t-（-2），t0-21，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮到原來的1/a；若0 a 0，式（2）可寫為，不難求得齊次解為，特解為3（2P=6）。于是有 （6）將初始值代入上式及其導(dǎo)數(shù)

5、，得：，將其代入式（6），得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 (a2)（3）全響應(yīng)y(t)由式(a1)、(a2)可得系統(tǒng)的全響應(yīng)為 其中，為自由響應(yīng)，3為強(qiáng)迫響應(yīng)（即特解）。例2.1-8描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為若已知y(0+)=3，y(0+)=1，求該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。解：本例中已知的是0+時刻的初始值，即 （1） 按上式無法區(qū)分零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)在t=0+時的值。此時，可先求零狀態(tài)響應(yīng)。由于零狀態(tài)響應(yīng)是指y(j)zs(0-)0時方程的解，因此本例中的零狀態(tài)響應(yīng)的求法和結(jié)果與例2.1-7相同，即由上式及其導(dǎo)數(shù)可求得，將它們代入到式（1）得：。本例中，零輸入響應(yīng)的形式也和例2.1-7相同，

6、即：將初始值代入，有由上式解得，于是得該系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為：二、卷積積分1、定義一般地，已知定義在區(qū)間（-，）上的兩個函數(shù)f1(t)和f2(t)，則定義積分為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡稱卷積。記為LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)是激勵與沖激響應(yīng)的卷積積分，即：例2.3-2 設(shè)。求卷積積分 （1） （2） 解：（1）對于，當(dāng)時為零，故其積分下限可寫為：0；對于，當(dāng)，即：時為零，故其積分上限可寫為：t；同時，考慮到時，故有：由于積分上限應(yīng)該大于積分下限，故上式在t0時成立，故應(yīng)寫為：（2）對于，當(dāng)時為零，故其積分下限可寫為：0；對于，當(dāng)，即：時為零，故其積分上限可寫為：t-2；故有：由于積分上限應(yīng)

7、該大于積分下限，故上式在t-20時成立，故應(yīng)寫為：2、圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元： t換為得f1()， f2()（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2()反轉(zhuǎn) f2()右移t f2(t-)（3）乘積： f1() f2(t-)（4）積分： 從到對乘積項積分，即：計算積分注意：t為參變量。3、卷積積分的性質(zhì)交換律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)（2.4-1）分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) （2.4-2）結(jié)合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t) （2.4-

8、3）（2.4-4）（2.4-5）（2.4-6）（2.4-7）若則（2.4-8）若：則：（2.4-14）若：則：（2.4-15）f1()=f2()=0時，（2.4-16a）（2.4-17）2.24某LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，當(dāng)輸入為時，其零狀態(tài)響應(yīng)，求輸入信號。解：法一：時域法（卷積法） 特征根為=-2，激勵，其指數(shù)為-1-2 設(shè)特解為P代入微分方程有：P=1，即特解為：齊次解設(shè)為：，則全解為：=0（因為此時f(t)未接入系統(tǒng)） =0=C+1 C=-1 法二：復(fù)頻域法，時域卷積對應(yīng)于復(fù)頻域乘積，故有：，解得：，求得其逆變換為：第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析一、（周期信號的）傅里葉級數(shù)1、三角形是

9、傅里葉級數(shù)： 1）f(t)為偶函數(shù)縱坐標(biāo)對稱，(bn=0，展開為余弦級數(shù)，包含直流分量)2）f(t)為奇函數(shù)對稱于原點(diǎn)，（an =0，展開為正弦級數(shù)，不含直流分量）3）f(t)為奇諧函數(shù)f(t) =-f(tT/2)（即：f(t)前半周期平移T/2后，與后半周期波形相對于橫坐標(biāo)對稱）。只含奇次諧波分量，不含偶次諧波分量。4）f(t)為偶諧函數(shù)f(t) = f(tT/2)（f(t)前半周期平移T/2后與后半周期重合）。只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分量。2、指數(shù)形式傅里葉級數(shù)：3、周期信號的頻譜將An和的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為幅度（振幅）頻譜圖（簡稱幅度譜）和相位頻譜

10、圖（簡稱相位譜）如圖4.3-1（a）、（c）所示。在頻譜圖中代表各諧波分量振幅和相位的垂線稱之為譜線，每一根譜線所在位置的n值即為該次諧波的角頻率。連接各譜線頂點(diǎn)的曲線（如圖中虛線所示）稱為包絡(luò)線，它反映了各分量幅度隨頻率變化的情況。因為三角形式的傅立葉級數(shù)展開式中n0，故其振幅及相位譜僅在頻譜圖的右半平面，所以稱這種頻譜為單邊譜。而指數(shù)形式傅立葉級數(shù)的展開式中n可以取任何整數(shù)，因此頻譜圖兩側(cè)都有譜線存在，故稱之為雙邊幅度譜，即畫出|Fn|和的關(guān)系，如圖4.3-1（b）、（d）所示。（其中|Fn|=|F-n|=An/2）。若Fn為實數(shù)，也可直接畫Fn（此時用Fn的正負(fù)來表示相位為0或），此時常

11、將幅度譜和相位譜畫在一張圖上（參看圖4.3-3）。由圖可見，周期信號的譜線只出現(xiàn)在頻率為等離散頻率上，即周期信號的頻譜是離散譜。周期信號頻譜的特點(diǎn)：1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性，譜線位置是基頻的整數(shù)倍；2)一般具有收斂性，總趨勢減??；3）譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a) T一定，變小，此時（譜線間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/ 增多。(b) 一定，T增大，間隔減小，頻譜變密，幅度減小。如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。二、非周期信號的頻

12、譜傅里葉變換1、傅里葉變換定義式（4.4-4）稱為函數(shù)f (t)的傅里葉變換（積分），式（4.4-5）稱為函數(shù)F(j)的傅里葉逆變換（或反變換）。F(j)稱為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜，而f(t)稱為F(j)的傅里葉反變換或原函數(shù)。也可簡記為或F(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫為式中|F(j)|和分別是頻譜函數(shù)F(j）的模和相位。R()和X()分別是它的實部和虛部。說明：(1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的充分條件但非必要條件是在無窮區(qū)間內(nèi)f(t)絕對可積，即：(2)用下列關(guān)系還可方便計算一些積分2、常用函數(shù)的傅里葉變換3、傅里葉變換的性質(zhì)表4-

13、2 傅立葉變換的性質(zhì)名稱時域頻域定義線性奇偶性f(t)為實函數(shù)f(t)為虛函數(shù)反轉(zhuǎn)對稱性尺度變換時移特性頻移特性卷積定理時域頻域時域微分時域積分頻域微分頻域積分相關(guān)定理R12()R21()F R12() = F1(j) F2*(j) F R21() =F1*(j) F2(j)4、周期信號的傅里葉變換 （4.7-8）周期信號fT(t)的傅立葉系數(shù)Fn與其第一個周期的單脈沖信號頻譜F0(j)關(guān)系為：三、LTI系統(tǒng)的頻域分析1、頻率響應(yīng)Y(j)=H(j)F(j) （4.8-3） （4.8-4） （4.8-5）2、無失真?zhèn)鬏斔^信號無失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號與輸入信號相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時間的

14、先后不同，而沒有波形上的變化。即輸入信號為f(t)，經(jīng)過無失真?zhèn)鬏敽?，輸出信號?yīng)為即輸出信號的幅度是輸入信號的K倍，而且比輸入信號延時了td秒。其頻譜關(guān)系為： 系統(tǒng)要實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏敚瑢ο到y(tǒng)h(t)，H(j)的要求是：(a) 對h(t)的要求：(b) 對H(j)的要求：，即四、取樣定理所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。這樣得到的離散信號稱為取樣信號，記為fs(t)： 沖激取樣：現(xiàn)在以沖激取樣為例，研究如何從取樣信號恢復(fù)原信號并引出取樣定理。設(shè)有沖激取樣信號，其取樣角頻率（為原信號的最高角頻率）。及其頻譜如圖4.9-5(d)和(a)所示。為

15、了從中無失真地恢復(fù)，選擇一個理想低通濾波器，其頻率響應(yīng)為幅度為，截止角頻率為，即：如圖4.9-5(b)所示。由圖4.9-5(a)、(b)、(c)可見即恢復(fù)了原信號的頻譜函數(shù)。時域取樣定理：一個頻譜在區(qū)間（-wm，wm)以外為0的帶限信號f(t)，可唯一地由其在均勻間隔Ts Ts1/(2fm) 上的樣點(diǎn)值f(nTs)確定。 注意：為恢復(fù)原信號，必須滿足兩個條件：（1）f(t)必須是帶限信號，其頻譜函數(shù)在處處為零；（2）取樣頻率不能太低，必須fs2fm，或者說，取樣間隔不能太大，必須Ts1/(2fm)，否則將發(fā)生混疊。通常把最低允許的取樣頻率fs=2fm稱為奈奎斯特（Nyquist)頻率；把最大允

16、許的取樣間隔Ts=1/(2fm)稱為奈奎斯特間隔。例：若對f(t)進(jìn)行理想取樣，其奈奎斯特取樣頻率為fs，則對進(jìn)行取樣，其奈奎斯特取樣頻率為多少？解：奈奎斯特取樣頻率fs=2fm，為解決本題，需先求的最大頻率fm。根據(jù)傅里葉變換性質(zhì)：尺度變換時移特性得到：若原信號的最大頻率為fm，則，即頻域發(fā)生了展寬，展寬倍數(shù)為2，故其最大頻率為：2fm，因此，其奈奎斯特頻率為2fs例：已知信號f(t)=Sa(2t)，如圖(a)所示，用對其進(jìn)行取樣。 (1)確定奈奎斯特取樣角頻率； (2)若取ws=6wm，求取樣信號fs(t)=f(t)T(t),并畫出波形圖； (3)求Fs(j)=Ffs(t)，并畫出頻譜；

17、(4)確定低通濾波器的截止頻率。（中科院2003年考研題）解:(1)確定奈奎斯特取樣角頻率；故，奈奎斯特取樣角頻率為wsmin=2wm=22=4(rad/s) (2) 取ws=6wm ,求取樣信號fs(t)=f(t)T(t),并畫出波形圖；而ws=6wm=62=12rad/s，故:所以，(3) 求Fs(j)=Ffs(t)，并畫出頻譜；法一：直接對取樣信號fs(t)進(jìn)行傅氏變換；法二：對f(t)和T(t)進(jìn)行傅氏變換，根據(jù)頻域卷積定理求解。(采用此法)(4) 確定低通濾波器的截止頻率。 截止頻率應(yīng)滿足：wmwcws- wm，即：2rad/swc10rad/s。 第五章 連續(xù)系統(tǒng)的S域分析一、拉普

18、拉斯變換1、雙邊拉普拉斯變換結(jié)論：（雙邊拉普拉斯變換）1）對于雙邊拉普拉斯變換而言，F(xiàn)b(S)和收斂域一起，可以唯一地確定f(t)。即：2）不同的信號可以有相同的Fb (S)，但他們的收斂域不同；不同信號如果有相同的收斂域，則他們的Fb (S)必然不同！2、單邊拉氏變換1）定義：單邊拉普拉斯變換對可寫為：2）典型變換對；常用的單元信號的拉氏變換如下表所示。f(t)F(s)f(t)F(s)f(t)F(s)13、拉普拉斯變換的性質(zhì)表5-1 單邊拉普拉斯變換的性質(zhì)注：（0為收斂坐標(biāo)）名稱時域 f(t)F(s) s域定義線性a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)，=Resmax(

19、1,2)尺度變換f(at) (1/a)F(s/a)，=Resa0時移f(t-t0)(t-t0)e-st 0F(s) , =Res0復(fù)頻移，=Res0+a時域微分f (t) sF(s) f(0-)，=Res0時域積分，=Resmax(0,0)時域卷積f1(t)*f2(t) F1(s)F2(s)，=Resmax(1,2)時域相乘s域微分，=Res 0s域積分，=Res 0初值定理，F(xiàn)(s)為真分式終值定理，s=0在sF(s)的收斂域內(nèi)例1：已知：，求和。解：由于F(s)為真分式，故有：由于sF(s)的極點(diǎn)坐標(biāo)為，故其收斂域為Res0=-1，s=0點(diǎn)在其收斂域內(nèi)，所以有：例2：已知：，求和。解：由于

20、F(s)為假分式，故將其化為真分式：，求取初值時，利用真分式即可：。由例1可知：s=0點(diǎn)在其收斂域內(nèi)，故有：4、拉普拉斯逆變換若F(s)是s的實系數(shù)有理真分式（m0時輸入為零（因為k=2時，(k2)=1）。所以，需要利用線性性質(zhì)和移位不變性質(zhì)（時不變性）求得系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。令只有(k)作用時，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h1(k)，它滿足h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)=(k) （2）且初始狀態(tài)：h1(1) = h1(2) = 0令只有(k-2)作用時，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h2(k)，它滿足h2(k) h2(k 1) 2h2(k 2)=(k-2) （3）且初始狀態(tài)：h2(1) = h2(2

21、) = 0。根據(jù)線性性質(zhì)，h(k) = h1(k)+h2(k)比較式（2）（3），根據(jù)移位不變性質(zhì)（時不變性）得：h2(k) h1(k 2)所以，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為：（因為h1(k)上例已經(jīng)求得）2）階躍響應(yīng)定義：由單位階躍序列(k)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)或階躍響應(yīng)，記為g(k)。g(k)=T0,(k)。表3-3 幾種數(shù)列的求和公式序號公式說明12可為正或負(fù)整數(shù)，但34可為正或負(fù)整數(shù)56可為正或負(fù)整數(shù)，但7三、卷積和1、卷積和的定義已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個函數(shù)f1(k)和f2(k)，則定義為f1(t)與f2(t)的卷積和，簡稱卷積；記為注意：求和是在虛設(shè)的變量i下進(jìn)行的，i

22、為求和變量，k為參變量。結(jié)果仍為k的函數(shù)。1） f1(k)為因果序列。即k0時，f1(k)=0，所以求和下限可改寫為0：2） f2(k)為因果序列。即k-ik時，f2(k-i)=0，所以求和上限可改寫為k：3） f1(k)、f2(k)均為因果序列，則：例3.3-11），求零狀態(tài)響應(yīng)。2）求。3）求4）求5）求解：1）因為兩個信號均為因果信號，所以求和上下限分別為k和0，即2）3）4） 由于上式中對k沒有限制，所以可寫為： 5）2、卷積和的圖示卷積過程可分解為四步：（1）換元： k換為i得f1(i)，f2(i)；（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)f2(i)右移kf2(k i)；（3）乘積： f1(i) f2(k i)；（4）求和： i從到對乘積項求和。注意：k為參變量。3、列表法求