概率論課件第四章

1、(C) Zhao Xu 第四章第四章 大數(shù)定理與中心極限定理大數(shù)定理與中心極限定理 概率論概率論 大數(shù)定理大數(shù)定理中心極限定理中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012一、一、Chebysherv不等式不等式定理：定理：222(),()0-XE XD XPX設(shè)隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望與方差存在，且，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒有第一節(jié)第一節(jié) 大數(shù)定理()( ).Xf x對(duì)連續(xù)型情況證明 設(shè)隨機(jī)變量 的概率密度為證明：22( -)-1對(duì)于 的取值 ，當(dāng)時(shí)，便有xXxx-( )所以有xP Xf x d

2、x 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 201222-( -)( )xxf x dx 2222( -)( )xf x dx2222-1PXPX 注意：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012221PX Chebysherv不等式的應(yīng)用不等式的應(yīng)用 例例4.175015800設(shè)一種小麥品種在某產(chǎn)地的平均產(chǎn)量為公斤，標(biāo)準(zhǔn)差為公斤，試求該小麥品種今年在該地區(qū)畝產(chǎn)量在700公斤于公斤之間的概率。解解：設(shè)該

3、地區(qū)次小麥品種的畝產(chǎn)量為X.222()750()15157008007505010.9150E XD XChebyshervPXP X 由題設(shè)知，由不等式有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 例例4.2()01XD XP Xc設(shè) 為隨機(jī)變量，證明：充分性顯然成立。()0D X 這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，X就失去了隨注意：機(jī)性。 ()0必要性由于D X 0由不等式，對(duì)于任意有Chebysherv2()1()1D XP XE X ()1即有 P XE X()1由于 的任意性，便有P XE X()選便得所要

4、結(jié)論。cE X概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 大數(shù)定理的客觀背景大數(shù)定理的客觀背景 大量隨機(jī)試驗(yàn)大量隨機(jī)試驗(yàn)中中事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于某一常數(shù)測(cè)量值的算術(shù)平均值具有穩(wěn)定性大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率生產(chǎn)過(guò)程生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率中的廢品率文章中字母文章中字母使用頻率使用頻率二、大數(shù)定理二、大數(shù)定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 兩個(gè)常用的大數(shù)定理兩個(gè)常用的大數(shù)

5、定理 定義：定義：1212,lim |1,nnnnPnXXXaPXaXXXaXa 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量序列， 是一個(gè)常數(shù)，若對(duì)于任意正數(shù) ，有則稱序列依概率收斂于 ，記為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 201201nnnXanXaXa依概率收斂于 ，意味對(duì)任意給定的，當(dāng) 充分大時(shí)，事件的概率很大，接近于 ；并不排除事件的發(fā)生，而只是說(shuō)他發(fā)生的可能性很?。灰栏怕适諗勘雀叩葦?shù)學(xué)中的普通意義下的收斂弱些，它具有某種不注意：確定性。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Ma

6、thematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012Chebysherv 1211,()()()011lim()1niiinniiniiXXXE XD XMiD XMPXE Xnn 設(shè)是獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，每個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與存在，且存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意 有，則對(duì)任意正實(shí)數(shù)，恒有 定理定理1 (Chebysherv大數(shù)定理大數(shù)定理) 兩個(gè)常用的大數(shù)定理兩個(gè)常用的大數(shù)定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 20121111()()nniiiiEXE Xnn證因?yàn)槊鳎?1111(

7、)()nniiiiMDXD XnnnChebysherv Chebysherv由不等式，對(duì)于任意的正實(shí)數(shù) 有11111()nniiiiPXE Xnn1111lim()1所以nniiniiPXE Xnn121()1niiDXn21Mn 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012Khintchin推論：推論：1221,1lim1nniniXXXPXn設(shè)是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，且數(shù)學(xué)期望為 ，方差，則對(duì)于任意的正實(shí)數(shù) 有11nPiiXn 這個(gè)定理表明概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability T

8、heory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 定理定理2 (Bernoulli大數(shù)定理大數(shù)定理)Bernoullilim1nnnnApAPpn設(shè)是 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 出現(xiàn)的次數(shù)， 是事件 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正實(shí)數(shù) ，恒有概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012121A;0A1,2,()1()1,2,4lim1iniinniXiinXXXE XpD XpqinChebyshervPpn第 次試驗(yàn)出現(xiàn)事件證明：令第 次試驗(yàn)不出現(xiàn)事

9、件于是有相互獨(dú)立，且由大數(shù)定理有Bernoulli 定理定理2 (Bernoulli大數(shù)定理大數(shù)定理)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012三、大數(shù)定理的應(yīng)用三、大數(shù)定理的應(yīng)用 Khintchin應(yīng)用應(yīng)用11()nniiXnnXE Xn充分大這一定理表明：同一量 在相同條件下觀測(cè) 次，當(dāng)觀測(cè)次數(shù) 充分大時(shí)，“觀測(cè)值得算術(shù)平均值接近期望值”是一個(gè)大概率事件，即下式以大概率成立：尋找隨機(jī)變量的期尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)望值提供了一條實(shí)際可行的途徑際可行的途徑概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Pro

10、bability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012( )nAnnAfP A充分大這一定理表明：在相同條件下重復(fù)同一隨機(jī)試驗(yàn)次，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) 充分大時(shí)，“事件 發(fā)生的頻率接近其概率”是一個(gè)大概率事件，即下式以大概率成立：尋找隨機(jī)事件概率提尋找隨機(jī)事件概率提供了一條實(shí)際可行的供了一條實(shí)際可行的途徑途徑 Bernoull大數(shù)定理應(yīng)用大數(shù)定理應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theor

11、y and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景 在實(shí)際問(wèn)題中許多隨機(jī)變量是由相互獨(dú)立隨機(jī)因素的綜合（或和)影響所形成。例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素（如瞄準(zhǔn)，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的。每個(gè)隨機(jī)因素的對(duì)彈著點(diǎn)（隨機(jī)變量和）所起的作用都是很小的。那么彈著點(diǎn)服從怎樣分布呢 ？第二節(jié)第二節(jié)、中心極限定理、中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012 自從高斯發(fā)現(xiàn)測(cè)量誤差服從正

12、態(tài)分布之后，人們通過(guò)大量的觀察和研究發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見。 在概率論中，習(xí)慣于把隨機(jī)變量和的分布收斂于正態(tài)隨機(jī)變量和的分布收斂于正態(tài)分布分布這一類定理叫作中心極限定理中心極限定理。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012一、一、 隨機(jī)變量序列依分布收斂隨機(jī)變量序列依分布收斂1212,( )1,2,( )( )lim( )( ),nnnnnFnXXXXF xnF xF xxF xF xXXXXXX 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量序列， 是隨機(jī)變量，其分布函數(shù)分別為若對(duì)于的人已連續(xù)點(diǎn) 總有則稱序列依

13、分布收斂于 ，記為定義：定義：nXX依分布收斂于 ，是隨機(jī)變量序列收斂性的一種重要表述，它把不確定性的極限行為以確定性方式表注意：達(dá)出來(lái)了。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012定理定理3 Lindeberg-Levy中心極限定理中心極限定理212212,:()()(1,2,)1lim2niinxtiinXXXE XD XixXnPxedtn 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù) ，有 中心極限定理中心極限定理二、中心極限二、中心極限定理定理概率論與數(shù)理統(tǒng)

14、計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 201221212nxtiniXnPxedtn 在定理?xiàng)l件下，總有理解：1即隨機(jī)變量序列依分布收斂于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布niiXnn定理定理3 Lindeberg-Levy中心極限定理中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 20121221,(,)nniinXXXXN nn近似這就是說(shuō)：當(dāng) 充分大時(shí)，只要獨(dú)立同分布，無(wú)論他們服從什么分布，一定有1(0,1)表明niniXnNn21

15、(,)由正態(tài)分布的性質(zhì)nniiXN nn定理定理3 Lindeberg-Levy中心極限定理中心極限定理 中心極限定理中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012即: 一個(gè)由許多獨(dú)立同分布隨機(jī)變量作用形成的隨機(jī)變量，一個(gè)由許多獨(dú)立同分布隨機(jī)變量作用形成的隨機(jī)變量，其概率分布一定是正態(tài)分布。其概率分布一定是正態(tài)分布。1(0,1)表明niniXnNn21(,)由正態(tài)分布的性質(zhì)nniiXN nn定理定理3 Lindeberg-Levy中心極限定理中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Proba

16、bility Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 201222( ,)1lim2xtnXB n pxXnpPxedtnpq設(shè)隨機(jī)變量，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù) ，有定理定理4 De Moivre-Laplace中心極限定理中心極限定理21212( ,),()()Lindeberg-Levy1lim2nniixtnXB n pBernoulliXXXpXXE XnpD XnpqXnpPxedtnpq因?yàn)?，由大?shù)定理證明有為獨(dú)立同分布于參數(shù)為 的兩點(diǎn)分布的隨機(jī)變量，使得. 易知由中心知：極限定理證明概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theor

17、y and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012(,).nXN np npq在理定理?xiàng)l件下，總有解：定理定理4 De Moivre-Laplace中心極限定理中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012211,(,)nniiniiXnXN nnX近似對(duì)于獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列不管他們服從什么分布，只要存在有限數(shù)學(xué)期望和方差，當(dāng) 充分大時(shí)，就有所以，的有關(guān)概率問(wèn)題可利用正態(tài)分布求解。 Lindeberg-Levy中心極限定理應(yīng)用中心極限定理應(yīng)用 中心極

18、限定理的應(yīng)用中心極限定理的應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012( , )(,)50 0.10.9nXB n pXN np npqnnp對(duì)于隨機(jī)變量，總有，因此，當(dāng) 充分大時(shí)，二項(xiàng)分布的概率問(wèn)題可利用正態(tài)分布解決。一般在實(shí)際中，應(yīng)用效果較理想。 De Moivre-Laplace中心極限定理應(yīng)用中心極限定理應(yīng)用 中心極限定理的應(yīng)用中心極限定理的應(yīng)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012

19、例例4.35010.0513Poisson某城市有個(gè)無(wú)線電尋呼臺(tái)，每個(gè)尋呼臺(tái)在 分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)的分布，求該市某時(shí)刻 分鐘內(nèi)各尋呼臺(tái)呼叫次數(shù)總和超過(guò) 次的概率。1(1,2, )13 .iXiinTP T設(shè)表示第 個(gè)尋呼臺(tái)在給定的 分鐘內(nèi)接收到的呼叫次數(shù)，則該市在給定的 分鐘內(nèi)接收到的呼叫次數(shù)總和 ，于是，所求概率為解：1( )2.5( )2.5顯然niiTXE TD T(2.5,2.5)近似由中心極限定理有LindebergLevyTN313所以有 P TP T 32.51()2.5 1(0.3162)0.3745 1337.4即該市在 分鐘內(nèi)接收到呼叫次數(shù)超過(guò) 的概率約為5%。概

20、率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012例例4.4120.05 0.8 0.15400對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來(lái)參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無(wú)家長(zhǎng)、名家長(zhǎng)、名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的概率分別為， ，。若學(xué)校共有名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立，且具有相同概率分布。4501340(1)求參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù) 超過(guò)的概率；(2)求有 名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多于的概率。X概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概

21、率統(tǒng)計(jì)教研室 2012(1)(1,2,400)kkXkkX設(shè)表示第 個(gè)學(xué)生來(lái)參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)，則的解：分布律為0120.050.800.15kXkp4001()1.1()0.191,2,4004kkkkE XD XkXX易知而由定理 可知隨機(jī)變量(400 1.1,400 0.19)近似XN例例4.4概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012400 1.1450400 1.1450400 0.19400 0.19400 1.111.147400 0.191(1.147)0.1257XP XPXP

22、所以有45012.57%X答：參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù) 超過(guò)的概率約為.4001400 1.1400 1.1N(0,1)400 0.19400 0.19近似即有kkXX例例4.4概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012(2) 設(shè) 表示有一名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)，則有Y-Y400 0.8 400 0.8 0.2400 0.8340400 0.8340400 0.8 0.2400 0.8 0.2400 0.82.5400 0.8 0.2(2.5)0.9938De Moivre LaplaceNYP YP

23、YP 近似由 中心極限定理有（，）所以有134099.38%答：有 名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的學(xué)生數(shù)不多的概率約為.(400,0.8)YB例例4.4概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012例例4.5 某車間有200臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置、調(diào)換工件等常需停車。設(shè)每臺(tái)車床開工率為0.6, 每臺(tái)車床是否開工是獨(dú)立的，每臺(tái)車床在開工時(shí)需電力1千瓦。問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)? 解：解：對(duì)每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)是觀察該臺(tái)車

24、床在某時(shí)刻是否開工, 開工的概率0.6 ,共進(jìn)行200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。用X表示在某時(shí)刻開工的車床數(shù)，依題意XB(200,0.6)。設(shè)需要N千瓦電?，F(xiàn)在的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求滿足PXN0.999的最小的N.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012-200 0.6 200 0.6 0.40De Moivre LaplaceXNP XNPXN近似由 中心極限定理有（，）所以有例例4.5 某車間有200臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置、調(diào)換工件等常需停車。設(shè)每臺(tái)車床開工率為0.6, 每臺(tái)車床是否開工是獨(dú)立的，每臺(tái)車床在開工時(shí)需電力1千瓦。問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)? 解：解：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)The Probability Theory and Mathematical Statistics 概率統(tǒng)計(jì)教研室 2012120120()