第三章三維波動方程的定解問題-2

1、深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院第三章：行波法與積分變換法第三章：行波法與積分變換法3.2 三維波動方程的定解問題三維波動方程的定解問題深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 一維波動方程的達(dá)朗貝爾公式一維波動方程的達(dá)朗貝爾公式 三維波動方程的定解問題三維波動方程的定解問題 拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法 傅立葉變換法傅立葉變換法 積分變換法舉例積分變換法舉例本章內(nèi)容提要本章內(nèi)容提要: :參考了顧樵教授和孫秀泉教授的課件深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院),(),(,- ,00222222222zyxtuzyxuzyxzuyuxuatutt3.2 三維波動方程的定解問題三維波動方程的定解問題深圳

2、大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院xyzrcossinsincossinrzryrx球坐標(biāo)下的三維波動方程222222222zuyuxuatu22222222221sin1sinsin11tuaururrurrr深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院球?qū)ΨQ：球?qū)ΨQ： 無關(guān)，則波動方程可化簡為無關(guān)，則波動方程可化簡為,與u)()(21atrfatrfruratrfatrftru)()(),(21rururrurrururrurururru2)()(22222222222222222)(121rrurarurruarurrratu22222)(rruatru以以 ru 為函為函數(shù)的一維數(shù)的一維波動方程波動方程一、球?qū)ΨQ情

3、況定的初始條件來確定。函數(shù)，它們可以通過給是兩個二階連續(xù)可微的、21ff深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院ratrf/)(2ratrfratrftru)()(),(21ratrf)(2以速度以速度 a 沿沿 r 增加的方向增加的方向傳播的波形傳播的波形 與以與以相同速度沿相同速度沿r減小的方向減小的方向傳播的波形傳播的波形 的疊的疊加加ratrf/)(1ratrf)(1球?qū)ΨQ解的物理意義深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院目的：目的：求任意求任意 t 時刻在任意點(diǎn)時刻在任意點(diǎn) 的波函數(shù)的波函數(shù) 步驟：步驟：1.以以M點(diǎn)為中心，以點(diǎn)為中心，以r為半徑作一為半徑作一 個球面?zhèn)€球面2.求出波函數(shù)在球面上的平均值：求出

4、波函數(shù)在球面上的平均值： 表示球面上的動點(diǎn)表示球面上的動點(diǎn)StMurrtzyxuMrSd ), (41),(2),(zyxMxyz),(),(tMutzyxuMrSM3.在在 情況下求極限：情況下求極限： 給出最后結(jié)果給出最后結(jié)果0r),(),(lim0tzyxurtzyxurMrM二、一般情況：泊松球面平均法深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院上的平均值。為半徑的球面為中心，在以它是MrSrMtMu),(dtMudStMurtruMrMrSS),(41),(41),(2)32 . 3(球球面面上上的的面面積積元元 ddrdSsin2球球立立體體角角元元 ddrdSdsin2是是它它們們的的函函數(shù)數(shù)；是

5、是兩兩個個獨(dú)獨(dú)立立變變量量，和和時時間間顯顯然然：球球半半徑徑),(trutr則是一個參變量；M 的的自自變變量量個個數(shù)數(shù)少少，的的自自變變量量個個數(shù)數(shù)，比比起起),(),(tzyxutru。所所以以研研究究起起來來比比較較方方便便和和我我們們所所求求的的出出，另另外外一一方方面面：很很容容易易看看),(tru，取取有有很很密密切切的的聯(lián)聯(lián)系系：如如果果0),( rtMu).,(tMuSMr上上的的平平均均值值，也也就就是是那那么么在在).,(), 0(tMutu 即即)42 . 3(。出出因因此此，以以下下我我們們將將先先求求),(tru。方方便便得得多多了了）（這這比比求求解解),(tMu

6、 r ),( M xyz0),(zyxMMrS ),()1tru引入球面平均值函數(shù)引入球面平均值函數(shù)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院的通解的通解求出求出),()2tru 22222),(),(rtrurattrur 能夠證明（ ）滿足一維波動方程ur)()(),(tarGtarFtrur其通解為：證明從略，可參考王元明書P65-67深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 r ),( M xyz0),(zyxMMrS 球球面面上上的的面面積積元元 ddrdSsin2球球立立體體角角元元 ddrdSdsin2球球的的體體積積元元 dddrrdrdSdVsin2.cos.20,0,sinsin,cossin rzry

7、rx 球球的的體體積積元元 dddrrdSdrdVsin2球球的的體體積積元元 ddrr2深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院泊泊松松公公式式。，定定解解、依依據(jù)據(jù)初初始始條條件件確確定定GF)3分別求導(dǎo)，得式兩邊對 r)28. 3()()(),()(tarGtarFrurtruurr )29. 3(，得得上上式式中中令令0r分分別別求求導(dǎo)導(dǎo)，得得）式式兩兩邊邊對對（t3.28，得得上上式式中中令令0r)()(), 0(taGtaFtu )30. 3(）式式，得得上上式式的的結(jié)結(jié)果果代代入入（3.30)()(tarGatarFatur )31. 3()()(taGtaF )32. 3()(2), 0(t

8、aFtu )33. 3()()(),(tarGtarFtrur（3.28）深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院)()(),()(tarGtarFrurtruurr )29. 3()()(tarGatarFatur )31. 3(，得得）式式相相加加，并并令令）與與（更更進(jìn)進(jìn)一一步步地地，將將（03.343.29t，得得）式式兩兩邊邊同同除除以以（a3.31)()(tarGtarFtuar )34. 3(00)(2)(tttarFtuarrur即即為為）：，得得到到了了（：令令考考慮慮到到先先前前有有一一個個動動作作3.330r), 0(),(lim),(0tutrutMur )63 . 3(0)()(2

9、ttuarrurrF)35. 3()(2), 0(taFtu ，正正是是另另一一方方面面，令令0r深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院0)()(2), 0(),(ttuarrurrFtutMu)73 . 3( ).,(0zyxMMr）收收縮縮到到點(diǎn)點(diǎn)，時時，球球面面上上點(diǎn)點(diǎn)即即，當(dāng)當(dāng) r ),( M xyz0),(zyxMMrS 將r=at和dStMurtruMrS),(41),(2代入MrSMrSMrStMrStdStaMadStaMtadSturardSurrrtMuMrMrMrMr)(41)(414141),(0202taratr1深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院dtMudStMurtruMrMrSS)

10、,(41),(41),(2MrSMrSdStaMadStaMtatMuMrMr)(41)(41),(三維波動方程初值問題的泊松公式三維波動方程初值問題的泊松公式上上的的值值所所決決定定。在在球球面面、，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為由由初初值值函函數(shù)數(shù)的的值值、時時刻刻在在點(diǎn)點(diǎn)MrStMutMu ),(中中的的坐坐標(biāo)標(biāo)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換換到到球球坐坐標(biāo)標(biāo)系系，計計算算時時，一一定定要要將將 ddrdrdSsin22.20,0,cos,sinsin,cossin rzryrx r ),( M xyz0),(zyxMMrS 深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院SMtaSMttatzyxuMatMatSSd ) (41d ) (141),

11、(22xyzMat* * 表示以表示以 M 為中心，為中心，at 為半徑的球面上的動點(diǎn)為半徑的球面上的動點(diǎn)* * 積分遍及整個球面積分遍及整個球面 * * 球面上的初始條件球面上的初始條件 決定波函數(shù)決定波函數(shù)MMtaS),(tzyxu) () (MM，MtaS),( M三維波動方程的泊松公式cossinsincossinrzryrx是球面是球面 上的動點(diǎn)上的動點(diǎn)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院T0設(shè)初始條件限于區(qū)域設(shè)初始條件限于區(qū)域T0 , d 和和D分別是分別是M點(diǎn)到點(diǎn)到T0的最小的最小和最大距離。和最大距離。 t 時刻時刻 M 點(diǎn)的點(diǎn)的波函數(shù)是由以波函數(shù)是由以M為中心、為中心、 at 為半徑的

12、球面為半徑的球面 上的初始條上的初始條件決定的。件決定的。DMdSMtaSMttatMuMatMatSSd ) (41d ) (141),(22),(zyxM立體區(qū)域立體區(qū)域T0 (x, y, z) 物理意義T0atMMtaSdDMtaS如果如果d at，u(M,t) = 0 (擾動前鋒未到)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院MT0atDMMtaSSMtaSMttatMuMatMatSSd ) (41d ) (141),(22d物理意義如果如果D at，u(M,t) = 0 (擾動前鋒未到)如果如果D at，u(M,t) = 0 (擾動前鋒未到)MtaDMMtad T0 (x, y) 平面區(qū)域平面區(qū)域

13、物理意義T0atDMMtad只要只要dat，則積分值，則積分值不為零，即在時段不為零，即在時段d/at，有有u(M,t) 0 (擾動發(fā)生作用)深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院SMtaSMttatyxuMatMatd ) (41d ) (141),(22T0at設(shè)初始條件限于區(qū)域設(shè)初始條件限于區(qū)域T0，d和和D分別是分別是M點(diǎn)到點(diǎn)到T0的最小和最大的最小和最大距離。距離。 t 時刻時刻 M 點(diǎn)的波函數(shù)是點(diǎn)的波函數(shù)是由以由以 M 為中心、為中心、 at 為半徑的為半徑的圓域圓域 上的初始條件決定的上的初始條件決定的(波函數(shù)依賴于整個圓域內(nèi)的波函數(shù)依賴于整個圓域內(nèi)的初始條件初始條件）。）。MtaDMMta

14、d只要只要 ，則積分值不為零，則積分值不為零，即在時段即在時段有有 (擾動發(fā)生作用)0),(tMuatd tadxyz 物理意義深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院MSMtaSMttatyxuMatMatd ) (41d ) (141),(22T0at設(shè)初始條件限于區(qū)域設(shè)初始條件限于區(qū)域T0，d和和D分別是分別是M點(diǎn)到點(diǎn)到T0的最小和最大距離。的最小和最大距離。 t 時刻時刻 M 點(diǎn)點(diǎn)的波函數(shù)是由以的波函數(shù)是由以 M 為中心、為中心、 at 為半徑為半徑的圓域的圓域 上的初始條件決定的（上的初始條件決定的（波函數(shù)波函數(shù)依賴于整個圓域內(nèi)的初始條件依賴于整個圓域內(nèi)的初始條件）。）。 如果如果d at，u(M

15、,t) = 0 (擾動前鋒未到)MtaDMMtad只要只要 , ,則積分值不為零則積分值不為零, ,即在時段即在時段 就有就有 (擾動發(fā)生作用)0),(tMuatd tadxyz擾動作用有清晰的擾動作用有清晰的“前鋒前鋒”而而無無“后尾后尾”，稱為波的彌散（，稱為波的彌散（后效現(xiàn)象）。后效現(xiàn)象）。深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 zyxzyxattaddddatddzyxattaddatatzyxattaddatzatyatxattaddatatzatyatxattaSMattatzyxuMatS4)(41sincossin)sin(cossin)(41sincossinsincossin41sin

16、cossinsincossin41sin )cos,sinsin,cossin(141d ) (141),(020022022002cossinsincossinrzryrxddatdSsin2xyzMatM為零為零例題：zyxzyx),(0),(zyx已知求三維波動方程相應(yīng)的柯西問題的解深圳大學(xué)電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 空間任意一點(diǎn)空間任意一點(diǎn)M，在任意時刻，在任意時刻t0 的狀態(tài)，完全由以該點(diǎn)的狀態(tài)，完全由以該點(diǎn)為心、為心、at 為半徑的為半徑的球面上球面上初始狀態(tài)決定。初始狀態(tài)決定。 當(dāng)初始擾動限制在空間某局部范圍時，擾動有清晰的當(dāng)初始擾動限制在空間某局部范圍時，擾動有清晰的“前鋒前鋒”與與“陣尾陣尾”，即惠更斯原理成立。，即惠更斯原理成立。 三維齊次波動方程柯西問題泊松公式的物理意義三維齊次波動方程柯西問題泊松公式的物理意義：二維齊次波動方程柯西問題泊松公式的物理意義：二維齊次波動方程柯西問題泊松公式的物理意義： 二維空間任意一點(diǎn)二維空間任意一點(diǎn)M，在任意時刻，在任意時刻t0 的狀態(tài)，完全由以的狀態(tài)，完全由以該點(diǎn)為心、該點(diǎn)為心、at 為半徑