第二章塑性成形力學(xué)基礎(chǔ)1

1、研究變形體受力的6各假設(shè)：1、連續(xù)性假設(shè) 由連續(xù)介質(zhì)組成2、均勻性假設(shè) 組織、化學(xué)成分均勻且相同3、各向同性假設(shè) 各方向的物理、化學(xué)性能相同4、初應(yīng)力為零 受到外力前處于自然平衡5、體積力為零6、體積不變 變形前后的體積相等2.1.1 應(yīng)力與點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)外力(load)與內(nèi)力(internal force) 外力P：施加在變形體的外部載荷。 內(nèi)力Q：變形體抗衡外力機(jī)械作用的體現(xiàn)。 應(yīng)力（stress）應(yīng)力S 是內(nèi)力的集度 內(nèi)力和應(yīng)力均為矢量 應(yīng)力的單位：1Pa=1N/m2 =1.0197kgf/mm2 1MPa=106 N/m20limAPSA 過(guò)一點(diǎn)可以有無(wú)窮多個(gè)方位的面。這些面上的應(yīng)力如何

2、？選取三個(gè)相互垂直的面，則每個(gè)面上都有全應(yīng)力。應(yīng)力可以進(jìn)行分解 Sn n 、n （nnormal,法向） 某截面（外法線方向?yàn)閚）上的應(yīng)力： 或者 （求和約定的縮寫形式） 全應(yīng)力全應(yīng)力(stress)正應(yīng)力正應(yīng)力(normal sress)剪應(yīng)力剪應(yīng)力(shear stress)nnnnxyznxyzS22nij ijnij innnl lSlS一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：是指通過(guò)變形體內(nèi)某點(diǎn)的單元體所有截面上的應(yīng)力的有無(wú)、大小、方向等情況。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的描述： 數(shù)值表達(dá)：x=50MPa，xz=35MPa 圖示表達(dá)：在單元體的三個(gè)正交面上標(biāo)出 張量表達(dá)： (i,j=x,y,z) （對(duì)稱張量，單元體處于平

3、衡狀態(tài)，故繞單元體各坐標(biāo)軸的合力矩為零，由此可得剪應(yīng)力互等，即， 9個(gè)分量，6個(gè)獨(dú)立分量。）zyzyxzxyxij.一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)力張量u 應(yīng)力分量圖示平行于坐標(biāo)面上應(yīng)力示意圖平行于坐標(biāo)面上應(yīng)力示意圖 應(yīng)力的分量表示及正負(fù)符號(hào)的規(guī)定 ij xx 、 xz （便于計(jì)算機(jī)應(yīng)用） i應(yīng)力作用面的外法線方向(與應(yīng)力作用面的外 法線方向平行的坐標(biāo)軸) j應(yīng)力分量本身作用的方向 當(dāng) i=j 時(shí)為正應(yīng)力，即： i、j同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù) 簡(jiǎn)稱為拉應(yīng)力為正、壓應(yīng)力為負(fù) 當(dāng) ij 時(shí)為切應(yīng)力 i、j同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù) 任意斜面的應(yīng)力變形體內(nèi)任一點(diǎn)M某一斜面上的應(yīng)力分布為？四面體受力示意圖 m、n、l ，全應(yīng)力

4、為，它在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為sx、sy、sz。在n上的分量為 ，在作用面上的分量為 。 應(yīng)力平衡方程為：nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx解得：222xyxSSSS)2(zxyzxy2z22nlmnlmnmlnSmSlSyxzyx22S過(guò)M點(diǎn)任意斜面上的應(yīng)力情況取決于:1)方向余弦2) 三個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力，該點(diǎn)任意斜面上的應(yīng)力均可求出。因此一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可用來(lái)描述 用三個(gè)坐標(biāo)面上的應(yīng)力表示一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是充分條件2.1.2.1 主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量1、主應(yīng)力是指作用面上無(wú)切應(yīng)力時(shí)所對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力，該作用面稱作主平面，法線方向?yàn)橹鬏S或主方向 ，則的三個(gè)主平面上的切應(yīng)力為

5、： 0zxyzxylSxmSynSz并且： 代入任意微分斜面的應(yīng)力方程，可得應(yīng)力特征方程：032213JJJ其中稱作應(yīng)力張量的第一、二、三不變量 zyxJ12222)(zxyzxyxzzyyxJ)(22223xyzzxyyzxzxyzxyzyxJ 討論討論： 1. 可以證明，在應(yīng)力空間，主應(yīng)力平面是存在的； 2. 三個(gè)主平面是相互正交的； 3. 三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)根，不可能為虛根； 4. 應(yīng)力特征方程的解是唯一的； 5. 對(duì)于給定的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力不變量也具有唯一性； 6. 應(yīng)力第一不變量J1反映變形體體積變形的劇烈程度，與塑性變形無(wú)關(guān)；J2與屈服準(zhǔn)則有關(guān)。因所以，第一不變量表示物體的體積變化。

6、7. 應(yīng)力不變量不隨坐標(biāo)而改變，是點(diǎn)的確定性的判據(jù)。3211zyxJ121)(21JEEVVzyx例題：1.主應(yīng)力的求解02040 20000101001010ij 2.比較下列應(yīng)力張量是否表示同一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)0301010302、主應(yīng)力圖3、應(yīng)力橢球面 若取三個(gè)主應(yīng)力的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，這種坐標(biāo)系稱為主軸坐標(biāo)系，則一點(diǎn)的應(yīng)力張量為 321000000ij11Sl 22Sm 33Sn 1232222212SSS應(yīng)力橢球面1）對(duì)于一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)，在主軸坐標(biāo)系中，任意斜微分面上的全應(yīng)力矢量的端點(diǎn)都在一個(gè)橢球面上 2）若三個(gè)主應(yīng)力相等，則為一個(gè)球面，任意方向都是主方向S2.1.2.2 主切應(yīng)力和最

7、大切應(yīng)力改變所取坐標(biāo)軸的方向，總有三個(gè)互相垂直的方向使切應(yīng)力達(dá)到極值，這時(shí)稱為主切應(yīng)力，其作用面為主切平面。即：主切應(yīng)力為極值切應(yīng)力（不為零）平面上作用的切應(yīng)力。因：22322212232222212)(nmlnml022l0 22m0 22n1222nml求解 可得 組解因子 一二三四五六001001001000000lmn321212121212121232213221232213221 主平面及其上的主應(yīng)力和主切平面及其上的主切應(yīng)力 32123113max當(dāng)有時(shí)，有最大剪切應(yīng)力 2.1.2.3 八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力設(shè)m為平均應(yīng)力，則有： 131)(31Jzyxm在主應(yīng)力空間中，每一象限中

8、均有一組與三個(gè)坐標(biāo)軸成等傾角的平面，八個(gè)象限共有八組，構(gòu)成正八面體，簡(jiǎn)稱八面體面。八面體表面上的應(yīng)力為八面體應(yīng)力，即為八面體正應(yīng)力和八面體切應(yīng)力。其方向余弦為： )2(zxyzxy2z22nlmnlmnmlnSmSlSyxzyx在主應(yīng)力空間有：232221nml則八面體正應(yīng)力為：mzyxJ)(3131)(311321831nml因：22322212232222212）（nmlnml因：八面體切應(yīng)力為：2132322218)()()(313211J)(1332212J由得2218332JJ)(6)()()(31222222zxyzxyxzzyyx1J2Jm88對(duì)某一確定的應(yīng)力狀態(tài)，應(yīng)力張量不變量

9、 是個(gè)常量， 都是不變量。為了使不同應(yīng)力狀態(tài)具有可比性，定義了等效應(yīng)力823213232221)()()(21)(6)()()(21222222zxyzxyxzzyyx 2.1.3 應(yīng)力張量的分解與幾何表示1.分解:塑性變形時(shí)體積變化為零，只有形狀變化。因此，可以把 分解成與體積變化有關(guān)的量和與形狀變化有關(guān)的量。前者稱應(yīng)力球張量，后者稱應(yīng)力偏張量。 ijijmijmijij)(),( zyxjiijmij 其中其中 即平均應(yīng)力，即平均應(yīng)力， 為柯氏符號(hào)。為柯氏符號(hào)。 即即 )(31zyxm100010001.mzyzyxzxyxzyzyxzxyx,mxxmyymzz與應(yīng)力張量類似，偏應(yīng)力張量也

10、存與應(yīng)力張量類似，偏應(yīng)力張量也存在相應(yīng)的不變量：在相應(yīng)的不變量：ijzxyzxyxzzyyxzyxJJJ)(6)()()(610322222221對(duì)于主軸坐標(biāo)系，則01J)()()(612132322212J3213J01J應(yīng)力偏張量已不含平均應(yīng)力成份 2 J反映了物體形狀變化的程度 3 J反映了變形的類型 2.幾何表示應(yīng)力平面一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可用一矢量來(lái)表示 2.1.4 應(yīng)力莫爾圓 1.平面應(yīng)力莫爾圓若變形體內(nèi)與某方向軸(如z軸)垂直的平面上沒(méi)有應(yīng)力分量，即變形體內(nèi)各點(diǎn)的0zyzxz 則z方向是一個(gè)主方向。在這種情況下，形體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由 、 、 三個(gè)應(yīng)力分量確定，且這些應(yīng)力分量與z軸無(wú)關(guān)

11、，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為平面應(yīng)力狀態(tài)，其應(yīng)力張量為 xyxy00000yyxxyxijcoslsinm0n任意斜微分面AC 法線N的方向余弦為：代入任意斜面的應(yīng)力方程，得2sin2cos)21)21xyyxyx（2cos2sin)21xyyx （消去參數(shù) 2222)2()2(xyyxyx這就是平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力莫爾圓，其圓心和半徑分別為圓心： )0 ,2(yxD半徑： 22)2(xyyxR12xyxy從應(yīng)力莫爾圓，可以方便地寫出平面應(yīng)力狀態(tài)下主應(yīng)力之間的關(guān)系式 2221)2(2xyyxyx03主應(yīng)力的方向與x軸之間的夾角為，則 yxxy2arctan21與x軸成逆時(shí)針角的斜微分面AC，在應(yīng)力莫爾圓

12、上由x面(即B點(diǎn))逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2則得到N點(diǎn)，N點(diǎn)的坐標(biāo)、即為微分面AC上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。22112212從應(yīng)力莫爾圓上可得主切應(yīng)力由于不一定是代數(shù)值最小的主應(yīng)力，所以不一定是最大切應(yīng)力。2.三向應(yīng)力莫爾圓 在主應(yīng)力坐標(biāo)系中，應(yīng)力張量：321ij作一方向余弦分別為l、m、n的斜面ABC，則有：1)(22223322213232222212332221nmlnmlnmlnml解得：221221322313212223231212)()()()()()(nml對(duì)第一個(gè)式子，假定l已知，求232312122232)2()()2(l同樣可求出：000nml若分別令可作圓心、半徑分別如下表示的三個(gè)圓2)0

13、 ,2(2)0 ,2(2)0 ,2(2121313132323.任意平面在莫爾圓上的位置1）平面應(yīng)力zyyxxyx0000在莫爾圓上，規(guī)定正應(yīng)力：拉為正、壓為負(fù)切應(yīng)力：使單元體順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)2）三向應(yīng)力L、m、n已知，2.1.5 應(yīng)力平衡微分方程ij0, 0, 0ZYX應(yīng)力平衡微分方程就是物體任意無(wú)限相鄰二點(diǎn)間 關(guān)系，可以通過(guò)單元體沿坐標(biāo)軸的力平衡來(lái)得到。 推導(dǎo)原理： 靜力平衡條件： 靜力矩平衡條件： 泰勒級(jí)數(shù)展開0, 0, 0zyxMMM.)(! 21)(! 11)()(22xxfxxfxfdxxfxxfxf)()(xxxdxx 1.直角坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程),(zyxij,(dxxij),dzzdyyij假設(shè)物體為連續(xù)介質(zhì)。無(wú)限相鄰近二點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分別為 。， 假設(shè)連續(xù)可導(dǎo)，則有 z)y,x,kj,(i, d),()d,d,d(kkijijijxxzyxzzyyxx直角坐標(biāo)系微體受力 物理意義：表示變形體內(nèi)無(wú)限相鄰兩質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系。對(duì)彈性變形和塑性變形均適用。0008zyxzyxzyxyzxzzyyxyzxyxx2.圓柱坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程 010210)(11rzrrrz