第三章隨機向量

1、第三章第三章 隨機向量隨機向量第一節(jié)第一節(jié) 二維隨機向量及其分布二維隨機向量及其分布第二節(jié)第二節(jié) 邊緣分布邊緣分布第三節(jié)第三節(jié) 條件分布條件分布第四節(jié)第四節(jié) 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性第五節(jié)第五節(jié) 兩個隨機變量的函數(shù)的分兩個隨機變量的函數(shù)的分布布1、二維隨機向量及其分布函數(shù)、二維隨機向量及其分布函數(shù)定義定義1：設(shè)：設(shè)E是一個隨機試驗，它的樣本空間是是一個隨機試驗，它的樣本空間是 =e.設(shè)設(shè)X(e)與與Y(e)是定義在同一樣本空間是定義在同一樣本空間 上的兩上的兩個個隨機變量隨機變量,則稱則稱(X(e),Y(e)為為 上的上的二維隨機向量二維隨機向量或或二維隨機變量二維隨機變量。簡記為。簡

2、記為(X,Y).定義定義2：設(shè)：設(shè)(X,Y)是二維隨機向量是二維隨機向量,對于任意實數(shù)對于任意實數(shù)x,y，稱，稱二元函數(shù)二元函數(shù) F(x,y)=PX x，Y y 為二維隨機向量為二維隨機向量(X,Y)的的分布函數(shù)分布函數(shù)或或聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)。第一節(jié)第一節(jié) 二維隨機向量及其分布二維隨機向量及其分布上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回(X,Y)的分布函數(shù)滿足如下的分布函數(shù)滿足如下基本性質(zhì)基本性質(zhì)： (2) 0 F(x,y) 1(1)F(x,y)是變量是變量x,y的不減函數(shù)的不減函數(shù). 0),(, yFy對于任意的對于任意的0),(, xFx對于任意的對于任意的1),(0),( FF，)0,()

3、,(), 0(),( ,),()3( yxFyxFyxFyxFyxyxF，是右連續(xù)的，即是右連續(xù)的，即關(guān)于關(guān)于0),(),(),(),( ,),(),()4(1121122221212211 yxFyxFyxFyxFyyxxyxyx有有，和和對于任意對于任意上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回2、二維離散型隨機變量、二維離散型隨機變量定義定義3：若二維隨機向量：若二維隨機向量(X,Y)的所有可能取值是有的所有可能取值是有限對或無限可列多對限對或無限可列多對,則稱則稱(X,Y) 為為二維離散型隨機二維離散型隨機向量向量。設(shè)設(shè)(X,Y)的一切可能值為的一切可能值為(xi,yj)，i,j=1,2, ，且

4、，且(X,Y)取取各對可能值的概率為各對可能值的概率為 PX=xi，Y=yj=pij， i,j=1,2, (1) 非負性非負性: pij0，i，j=1，2；1)2(, jiijp規(guī)范性：規(guī)范性：上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回, ( , ),X YF x yP Xx Yypijxx yyii 離離散散型型隨隨機機變變量量的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù)：定義定義4的聯(lián)合分布律。的聯(lián)合分布律。和和或隨機變量或隨機變量的概率分布或分布律，的概率分布或分布律，離散型隨機變量離散型隨機變量為二維為二維稱稱YXYXjipYYxXPij),(,.)2 , 1,(, 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回(X,Y)的

5、分布律也可用表格形式表示的分布律也可用表格形式表示 Y X y1 y2 yj x 1 x2 . . xi p11 p12 p1j p21 p22 p2j . . . . . pi1 pi2 pij 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例1:從一個裝有從一個裝有2個紅球個紅球,3個白球和個白球和4個黑球的袋中隨機個黑球的袋中隨機地取地取3個球個球,設(shè)設(shè)X和和Y分別表示取出的紅球數(shù)和白球數(shù)分別表示取出的紅球數(shù)和白球數(shù),求求(X,Y)的分布律的分布律,并求并求PX1,Y2,PX+Y=2,及及PX=1.843391322/1, 2 CCCYXP解解:X的可能值為的可能值為0,1,2,Y的可能為的可能為0

6、,1,2,3.(X,Y)的所有可的所有可能值為能值為(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).由古典概率計算可得由古典概率計算可得 8443934/0, 0 CCYXP8418392413/1, 0 CCCYXP8412391423/2, 0 CCCYXP8413933/3, 0 CCYXP8412392412/0, 1 CCCYXP842439141312/1, 1 CCCCYXP846392312/2, 1 CCCYXP844391422/0, 2 CCCYXP上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回于是于是(X,Y)的分布可用表示

7、的分布可用表示 Y X0 1 2 30124/84 18/84 12/84 1/8412/84 24/84 6/84 0 4/84 3/84 0 0由由(X,Y)的分布的分布律律,所求概率為所求概率為6905. 08458842484128418844 1, 10, 1 1, 00, 02, 1 YXPYXPYXPYXPYXP上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回4762. 08440844842484120, 2 1, 12, 02 YXPYXPYXPYXP5 . 08442846842484122, 11, 10, 11 YXPYXPYXPXP上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回3 、二維連續(xù)型隨機

8、變量、二維連續(xù)型隨機變量.,),(),(簡簡稱稱為為概概率率密密度度聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)的的稱稱為為非非負負二二元元函函數(shù)數(shù)YXyxf定義定義5：設(shè)設(shè)(X,Y)為二維隨機向量為二維隨機向量,(X,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x,y).若存在非負二元函數(shù)若存在非負二元函數(shù)f(x,y),對于任意實數(shù)對于任意實數(shù)x,y，有，有 xydvduvufyxF),(),(.),(為為二二維維連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機向向量量則則稱稱YX上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 1),()2(dxdyyxf的的性性質(zhì)質(zhì)：概概率率密密度度)(xf;0),()1( yxf),(),(,),(),()3(2yxf

9、yxyxFyxyxf 則則連連續(xù)續(xù)在在若若 GdxdyyxfGYXPxOyG),(),( ,)4(則則平平面面的的一一區(qū)區(qū)域域為為設(shè)設(shè)上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回.),(,),(,)4(, 1,)2(.),(為頂?shù)那斨w的體積為頂?shù)那斨w的體積以曲面以曲面為底為底的值等于以的值等于以知知由性質(zhì)由性質(zhì)積為積為平面之間空間區(qū)域的體平面之間空間區(qū)域的體介于該曲面和介于該曲面和知知由性質(zhì)由性質(zhì)表示空間的一張曲面表示空間的一張曲面在幾何上在幾何上yxfzGDYXPxOyyxfz ,)4(,)3(;)2( ;)1(00 , 10),(),(:221412143 YXPYPXPAxyxAxyxfYX

10、系數(shù)系數(shù)求求其它其它的概率密度為的概率密度為設(shè)隨機向量設(shè)隨機向量例例33)(),(1)1(100 AAdxAxdydxdyyxfx得得由由概概率率密密度度的的性性質(zhì)質(zhì)知知解解：上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回6437),(),(43,),(43,43| ),()2( DdxdyyxfDyxPXPDYXXxyxD于于是是則則設(shè)設(shè)641),(21,41)4(2141 yxdxdyyxfYXP1611),(21)3(21 ydxdyyxfYP類類似似地地可可計計算算上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回11y=xoxy1Oyx1Oyx41143Oyx上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 設(shè)設(shè)G是平面上的有界區(qū)

11、域是平面上的有界區(qū)域,其面積為其面積為S,若二維隨機變?nèi)舳S隨機變量量(X.,Y)的概率密度為的概率密度為 其它其它0),(1),(GyxAyxf設(shè)設(shè)(X,Y)在區(qū)域在區(qū)域G上服從均勻分布上服從均勻分布,D為為G內(nèi)的一區(qū)域內(nèi)的一區(qū)域,即即D G,且且D的面積為的面積為S(D),那么那么SDSdxdySdxdyyxfDYXPDD)(1),(),( 二維均勻分布二維均勻分布則稱則稱(X,Y)在區(qū)域在區(qū)域G上服從均勻分布上服從均勻分布.上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回若若(X.,Y)的概率密度為的概率密度為)()(2)(121exp121),(2222212121212221 yyxxyxf二維正態(tài)

12、分布二維正態(tài)分布).,(),(),(. 11, 0, 0,21212121 NYXYX記為記為服從二維正態(tài)分布，服從二維正態(tài)分布，則稱則稱其中其中 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回4、n維隨機變量維隨機變量 設(shè)設(shè)E是一個隨機試驗是一個隨機試驗,它的樣本空間是它的樣本空間是 =(e). 設(shè)設(shè)隨機變量隨機變量 是定義在同一樣本空是定義在同一樣本空間間 上的上的n個隨機變量，則稱向量個隨機變量，則稱向量 為為n維隨機向量維隨機向量或或n維隨機變量維隨機變量。簡記為簡記為 )(,),(),(21eXeXeXn)(,),(),(21eXeXeXn),(21nXXX設(shè)設(shè) 是是n維隨機變量，對于任意實維隨機

13、變量，對于任意實數(shù)數(shù) ,稱稱n元函數(shù)元函數(shù)為為n維隨機變量維隨機變量 的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)。),(21nXXXnxxx,21,),.,(221121nnnxXxXxXPxxxF ),(21nXXX上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 X和和Y自身的分布函數(shù)分別稱為二維隨機向量自身的分布函數(shù)分別稱為二維隨機向量(X,Y)關(guān)于關(guān)于X和和Y的的邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)，分別記為，分別記為FX(x), FY(y)。當(dāng)。當(dāng)已知已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)時，可通過時，可通過),(),(lim,lim,)(yFyxFyYxXPyYXPyYPyFxxY 求得兩個邊緣分布函數(shù)求得

14、兩個邊緣分布函數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 邊緣分布邊緣分布 ),(),(limlim, xFyxFyx，YXPYxXPxXPxFyyX上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例1：設(shè)二維隨機向量：設(shè)二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為230 , 20)3(;)2(;,)1()3arctan)(2arctan(),( XPYXPYXCBAyCxBAyxF及及求求的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù)和和求求的值的值試確定試確定.2,2,1,0)2)(2arctan(),(0)3arctan)(2(),(1)2)(2(),(,)1(:2 CBACxBAxFyCBAyFCBAF由此可解得由此可解得知知由分布函

15、數(shù)的性質(zhì)由分布函數(shù)的性質(zhì)解解上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回3arctan121)3arctan2(1),()(2arctan121)2arctan2(1),()()2(22yyyFyFxxxFxFYX 由由定定義義可可得得161418383169)0 , 0()3 , 0()0 , 2()3 , 2(30 , 20:41)2(1212,)3( FFFFYXPFXPXPXX可可得得得得的的邊邊緣緣分分布布函函數(shù)數(shù)由由上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回1、二維離散型隨機變量的邊緣分布、二維離散型隨機變量的邊緣分布, 2 , 1,),( jipyYxXPYXijji其其分分布布律律為為為為二二維維離

16、離散散型型隨隨機機向向量量設(shè)設(shè) xxjijXipxFxF),()( 于于是是有有邊邊緣緣分分布布函函數(shù)數(shù). 2 , 1,),( ,. 2 , 1, ,),( jpyYPYYXipxXPXYXYXYXiijjjiji的的邊邊緣緣分分布布律律為為關(guān)關(guān)于于同同理理的的邊邊緣緣分分布布律律為為關(guān)關(guān)于于邊邊緣緣分分布布律律的的和和關(guān)關(guān)于于關(guān)關(guān)于于自自身身分分布布律律分分別別稱稱之之為為和和上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回0, 1 , 0, 1 , 0:2121 kYkXPnkknYnX時時當(dāng)當(dāng)?shù)牡乃杏锌煽赡苣苤抵禐闉榈牡乃杏锌煽赡苣苤抵禐闉榻饨?),(,. 1),3 , 2 , 1( 10,)(

17、,),(,.,:221321321321321邊邊緣緣分分布布律律的的和和關(guān)關(guān)于于的的分分布布律律及及關(guān)關(guān)于于求求現(xiàn)現(xiàn)的的次次數(shù)數(shù)出出次次試試驗驗中中分分別別表表示示以以次次立立地地重重復(fù)復(fù)獨獨將將試試驗驗滿滿足足有有三三個個結(jié)結(jié)果果試試驗驗例例YXYXAAnYXnEpppippAPAAAjiAAAAAAAAEiiiji 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回,)1(,212121212121321213221121kknkkkknkkpppppppkknAkAkAnkk 次次試試驗驗中中出出現(xiàn)現(xiàn)的的概概率率為為在在其其余余次次試試驗驗中中出出現(xiàn)現(xiàn)在在另另外外指指定定的的某某次次試試驗驗中中出出現(xiàn)現(xiàn)

18、在在指指定定的的某某由由于于試試驗驗的的獨獨立立性性時時當(dāng)當(dāng)2121211211211211)1(,.,212121212211kknkkkknknkknknkknknkknknppppCCkYkXPCCCCCCAAkAkAn 因因此此個個事事件件兩兩兩兩互互斥斥的的種種不不同同順順序序?qū)Χ仪疫@這種種不不同同的的出出現(xiàn)現(xiàn)順順序序總總共共有有次次試試驗驗中中出出現(xiàn)現(xiàn)可可在在其其中中任任意意而而次次試試驗驗中中出出現(xiàn)現(xiàn)可可在在其其中中任任意意次次試試驗驗中中考考慮慮到到在在上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回nkppCkYPYknkkn,2 , 1 , 0,)1(2222222 的邊緣分布律為的

19、邊緣分布律為同樣可求得關(guān)于同樣可求得關(guān)于nkknkkppppCCkYkXPYXkknkkkknkn 2121212121, 1 , 0,)1(,),(2121211的分布律為的分布律為所以所以).,(,2 , 1 , 0,)1(,1111210111112pnbXnkppCkYkXPkXPXknkknknk可見可見的邊緣分布律為的邊緣分布律為關(guān)于關(guān)于 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回2、二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布、二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布設(shè)設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量，具有概率密度為二維連續(xù)型隨機向量，具有概率密度f(x,y)， 則則( )()()xXFx= F x,f x, y d

20、y dx 從而知，從而知，X為連續(xù)型隨機變量且概率密度為為連續(xù)型隨機變量且概率密度為 dyyxfdxxdFxfXX),()()(.),()(),(的的邊邊緣緣概概率率密密度度和和關(guān)關(guān)于于關(guān)關(guān)于于為為分分別別稱稱YXYXyfxfYX同理，同理，Y也是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為也是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為 dxyxfdyydFyfYY),()()(上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回61)(:10 dxxxSD的面積的面積區(qū)域區(qū)域解解)().(),(,| ),(),(:32如圖如圖的邊緣概率密度的邊緣概率密度和和求關(guān)于求關(guān)于上服從均勻分布上服從均勻分布在區(qū)域在區(qū)域設(shè)二維隨機向量設(shè)二維隨機向量例例

21、yfxfYXyxyyxDYXYX 其它其它的概率密度為的概率密度為所以所以06),(),(2yxyyxfYX yOx2yx yx 其它其它其它其它010)(66),()(010)(66),()(22yyYxxXyyydydxyxfyfxxxdydyyxfxf上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回., 2 , 1,|, 0,., 2 , 1,|, 0,),( 的條件分布律的條件分布律條件下條件下為在為在則稱則稱若若對于固定的對于固定的同樣同樣的條件分布律的條件分布律條件下隨機變量條件下隨機變量為在為在則稱則稱若若對于固定的對于固定的是二維離散型隨機向量是二維離散型隨機向量設(shè)設(shè)YxXjxXPyYxXPx

22、XyYPxXPiXyYiyYPyYxXPyYxXPyYPjYXiijiijijjiijij 第三節(jié)第三節(jié) 條件分布條件分布1、二維離散型隨機變量的條件分布律、二維離散型隨機變量的條件分布律定義定義6:上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例1： 一射手進行射擊一射手進行射擊,每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為p(0p1)且假設(shè)各次擊中目標(biāo)與否相互獨立且假設(shè)各次擊中目標(biāo)與否相互獨立,射擊進行射擊進行到擊中目標(biāo)兩次為止到擊中目標(biāo)兩次為止.設(shè)以設(shè)以X表示到第一次擊中目標(biāo)所表示到第一次擊中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù)需要的射擊次數(shù),以以Y表示總共進行的射擊次數(shù)表示總共進行的射擊次數(shù).試求試求(X

23、,Y)的聯(lián)合分布律和條件分布律的聯(lián)合分布律和條件分布律.pqiijiqpjYiXPj 1, 2, 1, 2 , 1,22解解: 由題意由題意,X=i表示第表示第i次首次擊中目標(biāo)次首次擊中目標(biāo),Y=j表示表示第第j次擊中目標(biāo)次擊中目標(biāo),因而因而ij,X=i, Y=j表示第表示第i次和第次和第j次次擊中目標(biāo)而其余擊中目標(biāo)而其余j-2次均未擊中目標(biāo)次均未擊中目標(biāo).于是于是(X,Y)的聯(lián)的聯(lián)合分布律為：合分布律為：上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回, 3 , 2)1(, 2 , 12211221122 jqpjqpjYPipqqpiXPYXjjijijij的的邊邊緣緣分分布布律律分分別別為為和和關(guān)關(guān)于于

24、關(guān)關(guān)于于由由這這一一聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律可可得得上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回jjjYjXp qP Xi Yjijjjp q22222,3,1|1,2,11(1) 對對于于固固定定的的 在在條條件件下下 的的條條件件分分布布律律為為, 2, 1|, 2 , 11122 iijpqpqqpiXjYPYiXiijij的條件分布律為的條件分布律為下下在條件在條件對于固定的對于固定的上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回2、二維連續(xù)型隨機變量的條件分布、二維連續(xù)型隨機變量的條件分布定義定義7： 對固定的實數(shù)對固定的實數(shù)y，設(shè)對于任意給定的正數(shù)，設(shè)對于任意給定的正數(shù)，Py-0,且若對于任意實數(shù)且若對于任意實

25、數(shù)x，極限，極限lim0yYyxXP,lim0yYyPyYyxXP存在，則稱此極限為存在，則稱此極限為在在Y=y的條件下的條件下X的條件分布函數(shù)的條件分布函數(shù)，記作記作P 或記為或記為 .yYxX )(yxFYX同樣同樣,在在X=x條件下隨機變量條件下隨機變量Y的條件分布函數(shù)的條件分布函數(shù)lim)(0 xXxyYPxyFXY為為)|(xyFXY上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回設(shè)設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x,y)，概率密度為，概率密度為f(x,y)。若在點。若在點(x,y)處處f(x,y)連續(xù)，邊緣概率密度連續(xù)，邊緣概率密度fY(y)連續(xù)，且連續(xù)，且fY(y)0，則有：則有：)()

26、,(2/)()(2/),(),(lim)()(),(),(lim,lim)(000yFdydyyxFyFyFyxFyxFyFyFyxFyxFyYyPyYyxXPyxFYYYYYYX 亦即亦即 xYYxYXduyfyufyfduyufyxF)(),()(),()(上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回類似地在相應(yīng)條件下可得在類似地在相應(yīng)條件下可得在X=x條件下條件下Y的條件概率的條件概率密度為密度為 )(),()(xfyxfxyfXXY 若記若記 為條件為條件Y=y下下X的條件概率函數(shù)，則由上的條件概率函數(shù)，則由上式知：式知：)(),()(yfyxfyxfYYX )(yxfYX上一頁上一頁下一頁下一頁

27、返回返回 其它其它011),(22yxyxf 且有邊緣概率密度且有邊緣概率密度 其其它它01112121122yydxyy 當(dāng)當(dāng)1y1時有：時有： 其其它它01112112/1)(),()(2222yxyyyyfyxfyxfYYX 解：解： (X,Y)的概率密度為的概率密度為 dxyxfyfY),()(例例2： 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量(X,Y)在區(qū)域在區(qū)域D=(x,y) x2+y21上上服從均勻分布，求條件概率密度服從均勻分布，求條件概率密度 。)(yxfYX上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回特別特別y=0和和y= 時條件概率密度分別為時條件概率密度分別為21 其它其它01121)0(xyxfYX

28、 其它其它0232331)21(xyxfYX類似于條件概率的乘法公式，也有類似于條件概率的乘法公式，也有 )()()()(),(yfyxfxfxyfyxfYYXXXY 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回設(shè)設(shè)F(x,y)為二維隨機變量為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)，的分布函數(shù)， (X,Y)關(guān)于關(guān)于X和關(guān)于和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)分別為的邊緣分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，則上，則上式等價于式等價于第四節(jié)第四節(jié) 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性定義定義8： 設(shè)設(shè)X和和Y是兩個隨機變量，如果對于任意實是兩個隨機變量，如果對于任意實數(shù)數(shù)x和和y，事件，事件Xx與與Yy相互獨立，即有相互獨立，即有

29、P Xx , Yy =PXxPYy，則稱，則稱隨機變量隨機變量X與與Y相互獨立相互獨立。RyxyFxFyxFYX ,),()(),(由獨立性定義可證由獨立性定義可證 “若若X與與Y相互獨立，則對于任意實數(shù)相互獨立，則對于任意實數(shù)x1x2,y1y2,事件事件 x1Xx2與事件與事件 y1Yy2相互獨立相互獨立”。上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回結(jié)論推廣結(jié)論推廣：“若若X與與Y獨立，則對于任意一維區(qū)間獨立，則對于任意一維區(qū)間I1和和I2，事件，事件XI1與與YI2相互獨立相互獨立”。Px1Xx2 ,y1Yy2=F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1)=FX(x

30、2) FY(y2)-FX(x2) FY(y1)-FX(x1) FY(y2)+FX(x1) FY(y1)= FX(x2)-FX(x1) FY(y2)-FY(y1)= Px1Xx2Py1Yy2 所以事件所以事件x1Xx2與與y1Yy2是相互獨立的。是相互獨立的。當(dāng)（當(dāng)（X,Y）為離散型或連續(xù)型隨機向量時，可用它的）為離散型或連續(xù)型隨機向量時，可用它的分布律或概率密度來判別分布律或概率密度來判別X與與Y的獨立性。的獨立性。上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例1: 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(X,Y)的分布律如表所示。的分布律如表所示。X Y-102-1/22/201/202/2012/201/20

31、2/201/24/202/204/20問問X與與Y相相互獨立嗎？互獨立嗎？解解: X與與Y的邊緣分布律分別為的邊緣分布律分別為X -1/2 1 1/2pi. 1/4 1/4 1/2Y -1 0 2p.j 2/5 1/5 2/5 逐一驗證可知，逐一驗證可知，pij= pi. p.j（i=1,2,3,j=1,2,3）。）。從而從而X與與Y相互獨立。相互獨立。上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例2: 設(shè)設(shè)X和和Y都服從參數(shù)為都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，且相互獨的指數(shù)分布，且相互獨立，試求立，試求PX+Y1。 000)(yyeyfyY由于由于X與與Y相互獨立，所以相互獨立，所以(X,Y)的概率密度為的概

32、率密度為 其它其它00, 0)()(),()(yxeyfxfyxfyxYX于是于是 1),(1yxdadyyxfYXP解解 :設(shè)設(shè)fX(x),fY(y)分別為分別為X和和Y的概率密度，則的概率密度，則 000)(xxexfxX2642. 02111010)( edyedxxyx上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回第五節(jié)第五節(jié) 兩個隨機變量的函數(shù)的分布兩個隨機變量的函數(shù)的分布1、二維離散型隨機變量的函數(shù)分布、二維離散型隨機變量的函數(shù)分布 Y12101/321/31/3例例 設(shè)（設(shè)（X,Y）分布律為）分布律為求求 XY, XY ,XY及及X/Y的分布的分布. .解：先列出下表解：先列出下表X上一頁上一

33、頁下一頁下一頁返回返回P01/31/31/3(X,Y)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)X Y2334X Y0 110XY1224X/Y11/221于是于是X+Y的分布律為的分布律為X+Y234P02/31/3上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回同理同理X-YX-Y的分布律為的分布律為X Y 101P1/31/31/3X/Y124P02/31/3XYXY及及X/YX/Y的分布律分別為的分布律分別為XY124P02/31/3上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回設(shè)設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機向量，具有概率密度為連續(xù)型隨機向量，具有概率密度f(x,y)，又又Z=g(X,Y)(g(x,y)為一已知的連續(xù)函數(shù)

34、為一已知的連續(xù)函數(shù))。大部分情。大部分情況下，況下，Z是一連續(xù)型隨機變量。是一連續(xù)型隨機變量。),()(zYXgPzZPzFZ dxdyyxfzyxg),(),( 為求為求Z的概率密度，可先求出的概率密度，可先求出Z的分布函數(shù)的分布函數(shù)2、二維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)分布、二維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)分布上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回即首先找出上式右端的積分區(qū)域即首先找出上式右端的積分區(qū)域Dz。如果求得了。如果求得了FZ(z) ,那么可通過那么可通過 求出求出Z的概率密的概率密度度 。dzzdFzfZZ)()( )(zfZ求解過程中，關(guān)鍵在于將事件求解過程中，關(guān)鍵在于將事件Zz等價地轉(zhuǎn)化為用等價地轉(zhuǎn)

35、化為用(X,Y)表示的事件表示的事件g(X,Y) z=(X,Y) ,其其中中 。zD ),(),(zyxgyxDz 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例1：設(shè)：設(shè) 且且X與與Y相互相互獨立，求獨立，求 的概率密度。的概率密度。), 0(), 0(22 NYNX22YXZ 22222221)(,21)( yYxXeyfexf 由于由于X與與Y相互獨立，于是相互獨立，于是(X,Y)的概率密度為的概率密度為 2222221)()(),( yxYXeyfxfyxf 先求先求Z的分布函數(shù)的分布函數(shù)FZ(z) )(22zYXPxZPzFZ 解解 ： X和和Y的概率密度分別為的概率密度分別為當(dāng)當(dāng)z0時時,

36、zxZdxexzxzf011212121)()()()( zzdxxzxe011212121)()()( 1011121212121)1()()(dtttezztxz 令令zez 121212121)()(),(zez 1212121)(上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回綜上所述，綜上所述，Z=X+Y的概率密度為的概率密度為 0 00)()(1212121zzezzfzZ 這正是參數(shù)為這正是參數(shù)為 的的 分布的概率密度。分布的概率密度。 ,21 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 21),( ),( )( ,),(),(DDzdxdyyxfdxdyyxfzZPzFZYXZYXZyxfYX的的分分布

37、布函函數(shù)數(shù)為為的的概概率率密密度度現(xiàn)現(xiàn)求求又又的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度為為設(shè)設(shè)商的分布商的分布)2( 0),(),(1yzDdxdyyxfdxdyyxf而而yx1D2Dzyx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 yzzduyyuyfdxyxf),(),(得得 zzDdyduyyuyfdudyyyuyfdxdyyxf00),(),(),(1于是于是),0(),(, yyxudxyxfyzyz作作換換元元積積分分對對于于固固定定的的 0),(),(:2yzDdudyyyuyfdxdyyxf類似地可得類似地可得 zdyduyyuyf0),(上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 21),(),()(:D

38、DzdxdyyxfdxdyyxfzF故故有有:的的概概率率密密度度為為由由概概率率密密度度定定義義可可得得YXZ 00),(),(dudyyyuyfdyyyuyfz zdudyyyufy),(| dyyyzfyzfZ),(|)(: 相相互互獨獨立立時時有有與與當(dāng)當(dāng)YX dyyfyzfyzfYXz)()(|)(.)()(的的概概率率密密度度和和分分別別為為和和其其中中YXyfxfYX上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回.:0002)(000)(,:32的的概概率率密密度度求求它它們們的的概概率率密密度度分分別別為為相相互互獨獨立立和和設(shè)設(shè)例例YXZyyeyfxxexfYXyYxX dyyfyzfyzfZYXZ)()(|)(:的的概概率率密密度度為為解解2)2(22)( 002 zdyeyezfxyyzZ時時當(dāng)