數(shù)學(xué)物理方法04

1、1目的與要求目的與要求：掌握留數(shù)的概念及計(jì)算方法。掌握掌握留數(shù)的概念及計(jì)算方法。掌握 用留數(shù)定理計(jì)算典型實(shí)定積分的方用留數(shù)定理計(jì)算典型實(shí)定積分的方 法。法。重點(diǎn)：重點(diǎn)：難點(diǎn)：難點(diǎn)：留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理2（一）留數(shù)引入（一）留數(shù)引入0z)(zf設(shè)設(shè)為為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)的一個(gè)孤立奇點(diǎn); ;內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù):)(zfRzz 00在在0z.的某去心鄰域的某去心鄰域0zRzz 00鄰域內(nèi)包含鄰域內(nèi)包含0z的任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線的任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線ll001010)()()(azzazzazfkk+ + + + + + + += = LL

2、LLL+ + + + + + +kkzzazza)()(001300 ( (柯西定理柯西定理)i 2LLL+ + + + + + += = l0l0kkzzzazzzad)(d)(1010LL+ + + + + + + + zzzazzzazakl0kl0l0d)(d )(d001012 = =ia的系數(shù)的系數(shù)洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪項(xiàng)洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)冪項(xiàng)101)( zza lzzfd)(積分積分0()Res f z=的留數(shù)的留數(shù)在在0)(zzfzzfiald )(211 = = 即即 = = + + rzznzzz0d)(1 10所所以以 = = = =. 0, 0, 0,2nni前面前面4（二）有限遠(yuǎn)留

3、數(shù)定理（二）有限遠(yuǎn)留數(shù)定理說(shuō)明說(shuō)明:2. 留數(shù)定理將沿留數(shù)定理將沿封閉曲線封閉曲線l積分轉(zhuǎn)化為求積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在被積函數(shù)在l內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).1( )d2 iRes().njjlf zzf b =內(nèi)部處處解析內(nèi)部處處解析；上及上及在在llzf)(. 11.留數(shù)定理留數(shù)定理)(zf在區(qū)域在區(qū)域 B內(nèi)除有限個(gè)孤內(nèi)除有限個(gè)孤12,nb bbL外處處解析外處處解析, l 是閉區(qū)域是閉區(qū)域B包圍諸奇包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線, , 那么那么立奇點(diǎn)立奇點(diǎn)函數(shù)函數(shù)5證證12( )d( )d( )dlllnf zzf zzf zz+L( )dlf zz

4、=12111( )d( )d( )d2 i2 i2 illlnf z zf zzf z z +L12( )( )( )ResResResnf bf bf b=+L兩邊同時(shí)除以兩邊同時(shí)除以 且且2 i 1b2bnbBLl.由復(fù)連通域的柯西定理由復(fù)連通域的柯西定理.),(Res1即可得即可得 = = =njbjf62.2.留數(shù)的計(jì)算方法留數(shù)的計(jì)算方法(1) 如果如果0z為為)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn), , 0(). 0Res f z=則則0000()lim()(. )Reszzf zzzf zz=如果如果 為為 的一階極點(diǎn)的一階極點(diǎn), , 那末那末0z)(zf規(guī)則規(guī)則1 1(2) 如果如果0z為

5、為的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn), , )(zf(3) 如果如果0z為為的極點(diǎn)的極點(diǎn), , 則有如下計(jì)算規(guī)則則有如下計(jì)算規(guī)則)(zf)(zf展開(kāi)展開(kāi)則需將則需將成洛朗級(jí)數(shù)求成洛朗級(jí)數(shù)求1 a7例例1 求求nzzezf= =)(在在0= =z的留數(shù)的留數(shù).解解階極點(diǎn)，階極點(diǎn)，的的是是因?yàn)橐驗(yàn)閚zfz)(0= = Res0f所所以以.)!1(1 = =n = = nznnnzzezzn110ddlim)!1(1如果如果 為為 的的 階極點(diǎn)階極點(diǎn), 0z)(zfm100101()lim()( )(1)!.dResdmmmzzf zzzf zmz=規(guī)則規(guī)則2 2那末那末8例例2 求求51)(zezfz = =在

6、在0= =z的留數(shù)的留數(shù). .解解 0= =z是是)(zf的四階極點(diǎn)的四階極點(diǎn). + + + + + + + += = 1! 6! 5! 4! 3! 21116543255Lzzzzzzzzez,! 6! 51! 41! 31! 211234L+ + + + + + += =zzzzz1(0)Res fa=所所以以.241! 41= = =在在+ + z0內(nèi)將內(nèi)將展成洛朗級(jí)數(shù)展成洛朗級(jí)數(shù):)(zf9例例3 計(jì)算積分計(jì)算積分2,(1)zlezz z dl為正向圓周為正向圓周:. 2= =z解解20(0)lim(1)=Reszzefzz z20lim1(1)zzez=2211(1)lim(1)(2

7、 1)!(1)dResdzzefzzz z=0= =z為一級(jí)極點(diǎn)為一級(jí)極點(diǎn),1= =z為二級(jí)極點(diǎn)為二級(jí)極點(diǎn), = =zezzzddlim121)1(limzzezz = =, 0= =2(1)zlezz z d所所以以210i() =+2(0)(1)i ResResff =+2 i. =10規(guī)則規(guī)則3 3 如果如果,0)(,0)(,0)(000 = = zQzQzP設(shè)設(shè),)()()(zQzPzf= =)(zP及及)(zQ在在0z都解析都解析，那末那末0z為為的一階極點(diǎn)的一階極點(diǎn),)(zf000(.)()ResP zf zQ z= 且有且有例例4 求求6sin)()()(zzzzQzPzf =

8、= =在在0= =z的留數(shù)的留數(shù).分析分析,0)0()0()0(= = = = = =PPP.0)0( P0= =z是是zzsin 的三階零點(diǎn)的三階零點(diǎn)由規(guī)則由規(guī)則2得得的三階極點(diǎn)的三階極點(diǎn)，是是所以所以)(0zfz = =1123260103 1dsinRes( )lim.()!dzzzfzzz=計(jì)算較麻煩計(jì)算較麻煩. .如果利用洛朗展開(kāi)式求如果利用洛朗展開(kāi)式求1a較方便較方便: + + = = L! 5! 31sin5366zzzzzzzz 115Res0.!fa= ,!5!353L+ + = =zz解解12（三）無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)（三）無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)即即 1( )2 ilf zz = d記作

9、記作1( )( )2Resdilff zz =1.1.定義定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(zf在圓環(huán)域在圓環(huán)域+ + zR內(nèi)解析內(nèi)解析，l為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，1)(Res = =af1 = =a1( )2dilf zzl 那那末末積分分的的值與與 無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)， ，則稱此定值則稱此定值點(diǎn)的留數(shù)點(diǎn)的留數(shù)，在在為為 )(zf13.1z.2z.kz .證證1( )()ResResnkkff z= +111( )( )22llf zzf zz =+ddii. 0= =由留數(shù)定義有由留數(shù)定義有:(繞原點(diǎn)的并將繞原點(diǎn)的并將kz內(nèi)部的正向簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)部的正向簡(jiǎn)單

10、閉曲線)l包含在包含在 2. 2.留數(shù)和定理留數(shù)和定理如果函數(shù)如果函數(shù))(zf在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn), ,那末那末在所有各奇點(diǎn)在所有各奇點(diǎn)( (包括包括 點(diǎn)點(diǎn)) ) 的留數(shù)的總和必等于零的留數(shù)的總和必等于零.)(zf14說(shuō)明說(shuō)明: 由定理得由定理得1()(),ResResnjjf zf= 1( )2()diResnjjlf zzf z =( (留數(shù)定理留數(shù)定理) )2().iRes f = 計(jì)算積分計(jì)算積分計(jì)算無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)計(jì)算無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù).( )lf zzd優(yōu)點(diǎn)優(yōu)點(diǎn): : 使計(jì)算積分進(jìn)一步得到使計(jì)算積分進(jìn)一步得到簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化. . ( (避免了計(jì)算諸有

11、限點(diǎn)處的留數(shù)避免了計(jì)算諸有限點(diǎn)處的留數(shù)) )15說(shuō)明說(shuō)明: 0z如如 為為 m 階極點(diǎn)，當(dāng)階極點(diǎn)，當(dāng) m 較大而導(dǎo)數(shù)又難以計(jì)算時(shí)較大而導(dǎo)數(shù)又難以計(jì)算時(shí), 可直接展開(kāi)洛朗級(jí)數(shù)求可直接展開(kāi)洛朗級(jí)數(shù)求1a來(lái)計(jì)算留數(shù)來(lái)計(jì)算留數(shù) .56560106 1dsinRes( )lim()!dzzzfzzz=.! 51 = =2. 在應(yīng)用規(guī)則在應(yīng)用規(guī)則2 2時(shí)時(shí), 取得比實(shí)際的階數(shù)高取得比實(shí)際的階數(shù)高. .階數(shù)高反而使計(jì)算方便階數(shù)高反而使計(jì)算方便. . :6= =m 1. 在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)靈活運(yùn)用計(jì)算規(guī)則在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)靈活運(yùn)用計(jì)算規(guī)則. 為了計(jì)算方便一般不要將為了計(jì)算方便一般不要將m但有時(shí)把但有時(shí)把m取得比實(shí)際的

12、取得比實(shí)際的如上例取如上例取16 解：共有七個(gè)奇點(diǎn)：解：共有七個(gè)奇點(diǎn)：前前6 6個(gè)根均在內(nèi)部，故由留數(shù)和定理可用求個(gè)根均在內(nèi)部，故由留數(shù)和定理可用求無(wú)限遠(yuǎn)奇點(diǎn)留數(shù)解此題。即無(wú)限遠(yuǎn)奇點(diǎn)留數(shù)解此題。即iz = 420 1 2 3, , ,kzk=z4=z 2 iRezIs f z = 例5 計(jì)算 152342412dzzIzzz=+ 而而 故故 。從而。從而 1523241624112121 31211zf zzzzzzz= + + + LL 11Rezs f za= = 2 iI =17 4.1 1.（1）（3）（5）（7）（9） 2. （1）（3） 3.1819 設(shè)法把實(shí)變函數(shù)定積分跟復(fù)變函數(shù)

13、回路積分聯(lián)系設(shè)法把實(shí)變函數(shù)定積分跟復(fù)變函數(shù)回路積分聯(lián)系起來(lái)。起來(lái)。 留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)的定理，若要在實(shí)變函數(shù)留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)的定理，若要在實(shí)變函數(shù)定積分中應(yīng)用，必須將實(shí)變函數(shù)變?yōu)閺?fù)變函數(shù)。這定積分中應(yīng)用，必須將實(shí)變函數(shù)變?yōu)閺?fù)變函數(shù)。這就要利用解析延拓的概念。就要利用解析延拓的概念。留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分原理留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分原理：200ab()bafx dx 如圖，對(duì)于實(shí)積分如圖，對(duì)于實(shí)積分 ，變量變量 x 定義在閉區(qū)間定義在閉區(qū)間 a,b (線段線段l1 )，此區(qū)間應(yīng)是回路此區(qū)間應(yīng)是回路l=l1+l2的一部分。實(shí)的一部分。實(shí)積分要變?yōu)榛芈贩e分，則實(shí)函數(shù)必須積分要變?yōu)榛芈贩e分，則

14、實(shí)函數(shù)必須解析延拓解析延拓到復(fù)到復(fù)平面上包含回路的一個(gè)區(qū)域中，而實(shí)積分成為回路平面上包含回路的一個(gè)區(qū)域中，而實(shí)積分成為回路積分的一部分：積分的一部分：1l2l2( )()( )bllaf z dzf x dxf z dz= =+ + 左邊可以利用留數(shù)定理，右邊對(duì)左邊可以利用留數(shù)定理，右邊對(duì)l2 的積分在解析的積分在解析延拓允許的情況下，可以自由選擇，通常選擇延拓允許的情況下，可以自由選擇，通常選擇l2 使積使積分最易完成。分最易完成。21 20d)sin,(cos R思想方法思想方法 :封閉路線的積分封閉路線的積分 . .兩個(gè)重要工作兩個(gè)重要工作: : 1) 1) 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化

15、2) 2) 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條把定積分化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)沿某條 iez = =令令 ddiiez = =,ddizz= = )(21sin iieei = =,212izz = =)(21cos iiee + += =,212zz + += =當(dāng)當(dāng) 歷經(jīng)變程歷經(jīng)變程2,0時(shí)時(shí),1= =z的的正方向繞行一周正方向繞行一周. .z 沿單位圓周沿單位圓周22 d )sin,(cos20 RizzizzzzRzd21,21122 = = + += =zzfzd )(1 = = =z的有理函數(shù)的有理函數(shù) , , 且在且在單位圓周上分母不單位圓周上分母不為零為零 ,

16、, 滿足留數(shù)定滿足留數(shù)定理的條件。理的條件。包圍在單位圓周包圍在單位圓周內(nèi)的內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn)諸孤立奇點(diǎn)。12iRes().nkkf z=23例例1 計(jì)算積分計(jì)算積分)0(dcossin202 + + baba 解解, iez = =令令則則,21sin2ziz = = ,21cos2zz + += = ,dd iiez = =izzzzbazzbazd2114)1(dcossin21222202 + + + = =+ + = = = =+ + + = =12222d)2(2)1(zzbazbzizz24222222bbaba = =).(2222baab = = = = + + = =12222

17、2222d)1(zbbaazbbaazbizzz22()2(0)()ResResaabiffb +=+25例例2 解解 , 10 p由由于于)cos1(2)1(cos2122 + + = =+ + pppp內(nèi)內(nèi)不不為為零零，在在20 故積分有意義故積分有意義.)(212cos22 iiee + += =由由于于),(2122 + += =zzizzpzzpzzIzd2211221122 + + + + += = = = .)10(dcos21cos2202的值的值計(jì)算計(jì)算 + + = = pppI 26izzpzzpzzIzd2211221122 + + + + += = = = zpzpzi

18、zzzd)(1(21124 = = + += =,1, 0ppz = =被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)被積函數(shù)的三個(gè)極點(diǎn)內(nèi)內(nèi)，在在圓圓周周1, 0= = =zpz0zzp=且為二階極點(diǎn)，為一階極點(diǎn)，.d )(1zzfz = = =上被積函數(shù)無(wú)奇點(diǎn)，上被積函數(shù)無(wú)奇點(diǎn)，所以在圓周所以在圓周1= =z2742201(0)lim2(1)()dResdizzfzzzpz zp+=223422220()4(1)(12)lim2 ()izzpzpp zzzpzpzpzpp z+=+221,2ipp+= 4221,2(1)ippp+=421( )lim ()2(1)()Resizpzf pzpzpz zp+=222221

19、1222(1)iiippIppp+=+.1222pp = =因此因此28例例3證證 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xz = =222cossin=+ixexix如圖路徑如圖路徑，oxyRRADB20,idzl OA AB BAez=+=0222240200,iiiii4ididdiR er exRReR eeerex +=2220,iiidddxzzOAABBOezezez+=.221dcosdsin0202= = = xxxx證明證明2ize設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)29時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) R24042iidreere=1.2222i=+22222240400iicossiniiddidRxRRrRexeReeer =42sin y

20、=sin2/4y=4/注意：由圖可得出注意：由圖可得出30220 xxx+(cosisin)d.221= =1222=+i.2令兩端實(shí)部與虛部分別相等，得令兩端實(shí)部與虛部分別相等，得 02dcosxx = =02dsinxx菲涅耳菲涅耳(fresnel)(fresnel)積分積分 404d2 ReR).1(42ReR = =0 R222cos2sin2sin24400iiiddRRReR eeR 31( )( )0f zzzf z 復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)在在實(shí)實(shí)軸軸上上無(wú)無(wú)奇奇點(diǎn)點(diǎn)，在在上上半半平平面面除除有有限限個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)外外是是解解析析的的；且且當(dāng)當(dāng)在在上上半半平平面面和和在在實(shí)實(shí)軸軸上上時(shí)時(shí)

21、，一一致致地地。11112( )( ),( )( )( )(,)nnnmmmxa xaxf xxxb xbxxxmn +=+LL該該條條件件意意味味著著：即即沒(méi)沒(méi)有有實(shí)實(shí)的的零零點(diǎn)點(diǎn)，的的次次數(shù)數(shù)至至少少高高于于兩兩次次。()()( )ddxxf xxx +=分析分析可先討論可先討論( )d ,RRf xx最后令最后令R 即可即可 . .32lim( )( )( )lim( )RRRRRRIf x dxRf x dxf x dxf x dx= =即即把把積積分分表表為為：若若時(shí)時(shí)，上上述述極極限限存存在在，則則該該極極限限稱稱為為的的主主值值，記記作作：下面分析中采用下面分析中采用“圍道積分法

22、圍道積分法”和和留數(shù)定理計(jì)算！留數(shù)定理計(jì)算！ 首先把積分轉(zhuǎn)化為圍道積分，即首先把積分轉(zhuǎn)化為圍道積分，即d( )RRxf x( )dlf zz33xy0R .R.這里可補(bǔ)線這里可補(bǔ)線RC( (以原點(diǎn)為中心以原點(diǎn)為中心 , R為半徑為半徑的在上半平面的半圓周的在上半平面的半圓周) )RC與與 RR, 一起構(gòu)成封閉曲線一起構(gòu)成封閉曲線l , f(z)在在l及其及其內(nèi)部?jī)?nèi)部( (除去有限孤立奇點(diǎn)）處處解析除去有限孤立奇點(diǎn)）處處解析.取取R適當(dāng)大適當(dāng)大, , 使使f(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)kz都包在這積分路線內(nèi)都包在這積分路線內(nèi). .RC34根據(jù)留數(shù)定理得根據(jù)留數(shù)定理得 :

23、 :( )( )2(),ddiResRkRCRf xxf zzf z+=111111( )1nnm nmma za zf zb zb zz+=+LL1111111nnm nmma za zbzb zz+LL當(dāng)當(dāng) 充分大時(shí)充分大時(shí), , 總可使總可使z111,nna za z+L111,2mmb zb z+L35，因因?yàn)闉? nm111111( )1nnm nmma za zf zbzb zz+LL所所以以24z( )( )ddCCRRf zzf zz24RR4,R=( )2()=diReskf xxf z所所以以:( )0;dCRRf zz+( ),df xx( )dRRf xx36例例4 計(jì)

24、算積分計(jì)算積分), 0, 0()()(d22222bababxaxx + + + + + 222221( )() ()f zzazb=+2221() ()iiz azazb=+解解 在上半平面有二在上半平面有二 階極點(diǎn)階極點(diǎn), iza=. izb=一階極點(diǎn)一階極點(diǎn)2221,2()i b ab=()Resif a372221() ()iiz bzazb=+2232223,4()ibaaba= 2 Re( )isiResif bf a=+.)(2 )2(23bababa+ + += =2232222223124()2 ()iiibaabab ba =+Re()sif b + + + + +)()(

25、d22222bxaxx所以所以38xy0R .R.( )( )( )(0)iiddxa xa xxF x exexa +=積分存在要求積分存在要求: F(x)是是x的有理函數(shù)而分母的次的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次, , 并且并且F(z)在實(shí)軸上在實(shí)軸上RC與與 RR, 曲線曲線l ,使使F(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)所有的在上半平面內(nèi)的極點(diǎn)kz包在這積分路線內(nèi)包在這積分路線內(nèi) . .同前一型同前一型: : 補(bǔ)線補(bǔ)線RC一起構(gòu)成封閉一起構(gòu)成封閉都都RC無(wú)孤立奇點(diǎn)無(wú)孤立奇點(diǎn).（或（或F(x)當(dāng)當(dāng)z在上半平面及實(shí)軸上在上半平面及實(shí)軸上 時(shí)一致的時(shí)一致的 :約

26、當(dāng)引理）約當(dāng)引理）039( )( )iidda za zCCRRF z ezF z ez()2iidaxyCResR+對(duì)于充分大的對(duì)于充分大的 , 且且 時(shí)時(shí), , 有有z1 nm2( )F zz sin,cosRyRx= = =令令zsdd = =id(Re) =.d R= =(cosisin)zR =+0 2i(i )daxyCResR+2idaxayCReesR= d20sin = =aRe40).1 (2aReaR = =,d420)2( aResin02daRe= d420sin = =aRe oy2 = =y sin= =y2 + + R0從而從而210i( )d().a zaRC

27、RF z ezeaR0i( )d.a zCRF z ez 41ii( )d( )dRa xa zRCRF x exF z ez+2iRes()a zkkiF z e=由留數(shù)定理由留數(shù)定理: :+ + R2ii( )diRes()a za xkkF x exF z e+=icosisinaxeaxax=+( )cosdi( )sindF xax xF xax x+2iiRes().a zkkF z e=42例例5 計(jì)算積分計(jì)算積分 .0, 0,d)(sin0222 + + + +amxaxmxx解解 + + + + += =+ +xaxmxxxaxmxxd)(sin21d)(sin2220222

28、2 212iImd()mxxexxa+=+在上半平面只有二級(jí)極點(diǎn)在上半平面只有二級(jí)極點(diǎn)222=+i( ),()mzzf zezai,za=又又43xeaxximxd)(222 + + + +則則2iidRes( i)d()mzz azf aezzai=+,4maeam = =122ImiRes( i)f a =.4maeam = =2 iResif a =xaxmxxd)(sin0222 + + +所以所以注意注意 以上兩型積分中被積函數(shù)中的以上兩型積分中被積函數(shù)中的R(x)在實(shí)軸在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn)上無(wú)孤立奇點(diǎn).44 F(x) 為z的有理函數(shù)的有理函數(shù) , 且在單位圓周上分母不為零且在單位圓周

29、上分母不為零 , 滿足留數(shù)定滿足留數(shù)定理的條件。理的條件。 zk為為包圍在單位圓周內(nèi)的包圍在單位圓周內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn)諸孤立奇點(diǎn)。 d )sin,(cos20 Rzzfzd )(1 = = =12iRes().nkkf z=類型一：類型一：()()()+=ddxfxxxx 類型二：類型二：( )( )0( )( )f zzzf zxx 復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)在在實(shí)實(shí)軸軸上上無(wú)無(wú)奇奇點(diǎn)點(diǎn)，在在上上半半平平面面除除有有限限個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)外外是是解解析析的的；且且當(dāng)當(dāng)在在上上半半平平面面和和在在實(shí)實(shí)軸軸上上時(shí)時(shí)，一一致致地地。這這實(shí)實(shí)際際上上意意味味著著的的次次數(shù)數(shù)至至少少高高于于兩兩次次。( )( )( )(

30、0)iiddxa xa xxF x exexa +=類型三：類型三：F(x)是是x的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高一次, 并且并且F(z)在實(shí)軸上在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn)無(wú)孤立奇點(diǎn).（或（或F(x)當(dāng)當(dāng)z在上半平面及實(shí)軸上在上半平面及實(shí)軸上 時(shí)一致的時(shí)一致的 :約當(dāng)引理）約當(dāng)引理）045CRa-RRCa+a-( )d( )d( )d( )d(dz=)RaRlRaCCf zaazf xxf xxf zzf zz +=+為為圓圓數(shù)數(shù) 為為徑徑圓圓繞繞過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn) ，圖圖。以以心心，以以充充分分小小的的正正半半作作弧弧奇奇構(gòu)構(gòu)成成如如所所示示回回路路0004

31、,Re( );( )d( )d( )dlim( )d,lim( )diRe( )RaaCRCRisf zf x xf x xf x xf z zf z zs f a +=上上半半平平面面取取極極限限則則：左左邊邊2 2：待待求求積積分分右右邊邊第第3 3項(xiàng)項(xiàng)：（由由約約當(dāng)當(dāng)引引理理) )右右邊邊第第 項(xiàng)項(xiàng)：右邊1、2項(xiàng)dii( )Re( )Re( )f xxsf zs f a =+上上半半平平面面2 2（四）實(shí)軸上有單極點(diǎn)的情況（四）實(shí)軸上有單極點(diǎn)的情況( )d ,( )( )2f xx f xzf x =在在實(shí)實(shí)軸軸上上有有某某個(gè)個(gè)單單極極點(diǎn)點(diǎn)；滿滿足足類類型型 的的條條件件4601= =+

32、=lim( )diRe( )( )( )(),()Cf zzsf af zzaaf zP zazaza 項(xiàng)項(xiàng)：將將鄰鄰開(kāi)開(kāi)為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)單單點(diǎn)點(diǎn)，第4在在的的域域展展洛洛朗朗是是極極CRa-RRCa+a-000000=()()dmax()|d |max(),()()lim()lim()dCCCCP zaCP zazP zazP zaza P zaaP za dzP zaz 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)。表表示示的的解解析析部部分分，在在上上且且有有界界有有界界即即00111110= = =+iidd()ididilim( )diRe( )( )diRe( )iRe(z)CCCaaazzaeaazazaef

33、zzsf af xxsf zsf 上上半半平平面面實(shí)實(shí)軸軸2 2而而47=+( )( )dRe( )Re( )f zf x xisf zisf a 上上半半平平面面實(shí)實(shí)軸軸個(gè)個(gè)單單 點(diǎn)點(diǎn), ,滿滿 類類條條2 2若上有1極足 型2 件=+( )Re( )Re( )f x dxisf zisf z 上上半半平平面面實(shí)實(shí)軸軸實(shí)實(shí)軸軸個(gè)個(gè)單單點(diǎn)點(diǎn)則則2 2若上有有限極.C 閉閉線線實(shí)實(shí)軸軸點(diǎn)點(diǎn)單單點(diǎn)點(diǎn)階階點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)注意：1不是合曲2.上的奇只能是極，不能是2或以上的極，更不能是本性奇48.dsin21dsin0 xxxxxx + + + += =例例5 計(jì)算計(jì)算狄利克雷積分狄利克雷積分.dsin0 x

34、xx + +分析分析 所所以以是是偶偶函函數(shù)數(shù) ,sinxxzzsin 某封閉曲線某封閉曲線+ ,因因zzsin在實(shí)軸上有一級(jí)極點(diǎn)在實(shí)軸上有一級(jí)極點(diǎn), 0= =z應(yīng)使封閉路應(yīng)使封閉路線不經(jīng)過(guò)奇點(diǎn)線不經(jīng)過(guò)奇點(diǎn), , 所以可取圖示路線所以可取圖示路線: :49xyoRCrCrRr R 解解 0iiiidddd,zxzxrRCRCrRreeeezxzxzxzx+=封閉曲線封閉曲線l: RrCrRCrR,+ + + + +由柯西定理得由柯西定理得:iiddxtrrRReextxt=id ,xRrexx= ，令令tx = =2iisin,ixxeex=由由5020iisiniddd,zzRrCCRrxe

35、exzzxzz+=知知iiddzzCCRReezszzseRRCyd1 = = = =0sin deR d220sin = =Re d220)2( Re),1(ReR = =+ + R于于是是0idzCRezz充分小時(shí)，充分小時(shí)，當(dāng)當(dāng)r512123ii( )i!nnzzzg zn= +LL當(dāng)當(dāng) 充分小時(shí)充分小時(shí), 總有總有 z, 2)( zg0iididCrzrezre =, = = i1idd( )d ,rrrzCCCezzg zzzz=+112iii!znnezzzzn=+ +LL),(1zgz+ += =ld52,2d2 = = rCrs 0r即即0idizCrezz=+20iisini

36、ddd,zzRrCCRrxeexzzxzz+=02sinidi,xxx+=, 0d)( rCzzgi,=szgzzgrrCCd)(d)( 因?yàn)橐驗(yàn)?2dsin0 + += =xxx所以所以535455221412bazlaedzaIea=222222/2/2000/2( ) 0( ) 0 babaaR iyaRaya R iybaRaxaxRed iyeedyRed iyRedx Redxa + = 56 4.2 1.(1)(2)(6) 2. (1)(2)(6) 3.(2)(4)(6)57如果如果 為為 的的 級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn), 0z)(zfm100101()lim()( )(1)!.dResdm

37、mmzzf zzzf zmz=附錄附錄1 1：規(guī)則規(guī)則2 2證證那末那末+ + + + + = = 2020)()()(zzazzazfmmLL+ + + + + + + )()(010101zzaazza101010)()()()( + + + + + + += = mmmmzzazzaazfzzLL+ + + + + + +10100)()(mmzzazza(3) 如果如果0z為為的極點(diǎn)的極點(diǎn), , 則有則有)(zf58+(含有含有 正冪的項(xiàng)正冪的項(xiàng))0zz ).()(ddlim)!1(10110zfzzzmmmmzz = = )()(dd011zfzzzmmm 兩邊求兩邊求1 m階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), 得得1)!1( = =am,)!1()()(ddlim10110 = = amzfzzzmmmzz1)(Res = = az0f所以所以59規(guī)則規(guī)則3 3 如果如